1、第 35 课时：正多边形的有关计算(二)教学目标：1、复习正多边形的基本计算图，并会通过解一般直角三角形来完成正多边形的计算，解决实际应用问题；2、通过正十边形的边长 a10与半径 R 的关系的证明，学习边计算边推理的数学方法；3、在基本计算图的基础上，能将同圆内接正 n 边形与外切正 n 边形的有关计算数据进行相互转化4、在解应用题时，使学生学会把实际问题抽象为数学问题，把实物抽象为几何图形的抽象能力；5、根据条件进行正确迅速计算的运算能力；6、用代数计算的结果作证明依据的综合、分析问题，解决问题的能力；7、通过研究同圆内接正 n 边形与外切正 n 边形的关系，培养学生的观察能力教学重点：
2、(1)应用正多边形的基本计算图解决实际应用问题；(2)用边形与外切正 n 边形已知条件与未知元素的相互转化教学难点：例 3 的证明教学过程：一、新课引入：上节课我们根据正多边形的定义及其概念，运用将正多边形分割成三角形的方法，得到了化正多边形有关计算为解直角三角形问题基本计算图，并应用基本计算图解决诸如正三角形、正方形、正六边形的有关计算问题，即解决了含特殊角的正多边形的有关计算问题，本节课我们继续研究正多边形的有关计算问题正多边形的有关计算方法是基本的几何计算知识之一，掌握这些知识，一方面可以为学生进一步学习打好基础，另一方面，这些知识在生产和生活中常常会用到，掌握后对学生参加实践活动具有实
3、用意义，为此本堂课讲解了几个正多边形有关计算的实例，借以培养学生用数学意识二、新课讲解：展示正多边形的一般计算图 7-144，提问以下问题让学生回忆并作答：1在 RtAOD 中，斜边 R 是正 n 边形的_；(安排中下生回答：半径)2直角边 rn是正 n 边形的_；(安排中下生回答：边心距)3图中的 an表示正多边形的什么？(安排中下生回答：边长)4图中的 an表示正多边形的什么？(安排中下生回答：中心角)哪位同学记得解这类题的一般步骤？(安排中下生回答：先画计算度数是多少？(安排中下生回答：45)分析完后，安排学生计算出结果(幻灯给出应用题)：在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形，测得
4、这个正五边形的边长是 48cm，求它的半径 R 和边心距 r5(精确到0.1cm)解：设正五边形为 ABCDE，它的中心为点 O，连接 OA，作 OFAB，垂足为 F，(问：这一步目的是什么？)则 OA=R，OF=r 5，AOF=？(安排学生回答：36)r 5=24ctg36=241.376433.0(cm)答：这个正多边形的半径约为 40.8cm，边心距约为 33.0cm正多边形的有关计算，在生产和生活中常常会用到，但将实际问题归结为正多边形的有关计算后，解题的步骤方法就依然如故了，本题拨禾轮问题与前题正方形的计算不是同出一辙吗？巩固练习：教材 P.173 中 7，要用圆形铁片截出边长 a
5、的正方形铁片，选用的圆铁片的直径最小要多长？启发，提出下列问题：1要截出边长为 a 的正方形铁片与选用的直径最小的圆铁片它们之间是什么关系？(安排中等生回答：正方形是圆的内接正方形)2这题实质是给出了正方形的什么元素，求什么元素？(安排中下生回答：给出正方形边长求半径)请同学们以最快的速度，求出答案幻灯给出顶角 36的等腰三角形，作如下启发思考的提问：1如图 7-146，已知ABC 中 AB=AC，A=36，哪位同学知道B 与c 的度数？(安排中下生回答)2如果 BD 平分ABC 交 AC 于 D，你发现图形中与 BC 相等的线段有哪些？(安排中下生回答)3你发现图形中哪两个三角形相似？(安排
6、中等生回答)4如果 AC=a，BC 应是多少？怎么计算？(安排学生讨论、研究)(继续启发思考提问)：大家观察证明中 BC2=DEAC 这一步，因 BC=AD，所以前等式变为 AD2=DCAC，也就是说点 D 将线段 AC 分为两部分，其中较长的线段 AD 是较小线段 CD 与全线段 AC 的比例中项，哪位同学记得点 D 应叫做线段 AC 的什么点？(安排回忆起来的学生回答：黄金分割点)由上面的证明我们知道 AD 应是 AC 的黄金分割线段，由于 BC 与 AD 相等，观察发现BC 是顶角 36角的等腰三角形的底，AC 是这等腰三角形的腰？通过上面证明哪位同学能说一下你所得的结论？(安排中上学生
7、回答：顶角 36角的等腰三角形的底边长是它腰长的黄金分割线段)若腰长为 a 则底边长应是多少？(安排中等生回答：1哪位同学知道正十边形的中心角的度数是多少？(安排中下生回答：36)2大家想想看，正十边形的夹 36中心角的半径与边长组成一个什么图形？(安排中等生回答：顶角 36的等腰三角形)3如果一个正十边形的半径为 R，那么这个正十边形的边长 a10应该等于多少？幻灯供题：已知O 的内接正六边形的边长为 2，求O 的外切正三角形的边长大家观察O 的半径 OC，它与内接正六边形 ABCDEF、外切正MNP 有什么联系？(安排中上学生回答：OC 是内接正六边形的半径，它又是外切正MNP 的弦心距)
8、由于正六边形的边长等于半径，知边长为 2 即知O 的半径 R=2，而半径 OC 又是O 外切通过这题你发现连接圆内接正 n 边形与圆外切正多边形的桥梁是什么？(安排中等学生回答：这个圆的半径 R)这 R 是内接正 n 边形的半径又是同圆外切正多边形的边心距，所以解这类题的关键在于根据已知条件首先求出R，再将 R 转化求出未知元素三、课堂小结：哪位同学能说一下，这堂课我们都学习了什么知识？(安排上等生归纳)1应用正多边形的有关计算解决实际问题3明确了连接圆内接正 n 边形与同圆外切正多边形的桥梁是这个圆的半径，即它是内接正 n 边形的半径又是同圆外切正多边形的边心距，因此解决此类问题首先要求它四、布置作业教材 P.165 中练习 1；P.173 中 8；P.173 中 12(此题改为：求 5 孔心所在圆的半径)；P.173 中 8、9、10、11
