1、1离散数学辅助教材概念分析结构思想与推理证明第一部分集合论刘国荣交大电信学院计算机系2离散数学习题解答习题一 （第一章集合）1. 列出下述集合的全部元素： 1）A=x | x Nx 是偶数 x152）B=x|xN4+x=33）C=x|x 是十进制的数字解 1）A=2 ， 4，6，8，10，12，142）B=3）C=0，1，2，3，4，5，6，7，8，92. 用谓词法表示下列集合：1）奇整数集合2）小于 7 的非负整数集合3）3，5，7，11，13，17， 19，23，29解 1）nnI(mI)(n=2m+1)；2）n nIn0n2p30(dN)(d1dp(kN)(p=kd)。3. 确定下列各命
2、题的真假性：1）2） 3）4） 5）a，b a，b，c ，a ，b，c6）a,b (a ，b，c ，a ，b，c)7）a，b a，b，a，b， 8）a，ba，b，a，b，解1）真。因为空集是任意集合的子集；2）假。因为空集不含任何元素；3）真。因为空集是任意集合的子集；4）真。因为是集合 的元素；5）真。因为a，b是集合a，b，c，a，b，c 的子集；6）假。因为a,b不是集合a，b，c，a，b，c 的元素；37）真。因为a，b是集合a，b，a ，b的子集；8）假。因为a,b不是集合a，b，a ，b的元素。4. 对任意集合 A，B，C，确定下列命题的真假性：1）如果 ABBC ，则 AC 。2
3、）如果 ABBC ，则 AC 。3）如果 ABBC ，则 AC 。解 1）假。例如 A=a，B=a，b，C=a，b，从而 ABB C 但 AC。2）假。例如 A=a，B=a，a，C=a，a，从而 AB BC，但、AC。3）假。例如 A=a，B=a，b，C=a，a，b，从而 ACBB C，但AC。5对任意集合 A，B，C，确定下列命题的真假性：1）如果 ABBC ，则 AC 。2）如果 ABBC ，则 AC。3）如果 ABBC ，则 AC 。3）如果 ABBC ，则 AC。解 1）真。因为 BCx（xB xC） ，因此 ABA C 。2）假。例如 A=a，B=a，b ，C=a，b，c从而 ABB
4、 C，但AC。3）假。例如 A=a，B=a ，b，C=a ，a，b，从而 ABBC，但AC。4）假。例如 A=a，B=a ，b，C=a ，b，b，从而 ABB C，但AC。6求下列集合的幂集：1）a，b，c2）a，b，c3） 4） ，5）a， b，a ，a，b，a，b，a ，b解 1），a，b，c，a，b，a，c ，b，c， a，b，c2），a，b，c，a ，a，b3） ，44） ， ， ， 5） ，a ， b7给定自然数集合 N 的下列子集：A=1，2，7，8B= x|x250C=x|x 可以被 3 整除且 0x30D=x|x=2K，KIOK6列出下面集合的元素：1） ABC D2） ABC
5、 D3） B（ AC）4） （AB）D解 因为 B=1，2，3，4，5，6，7，C=3 ，6，9，12，15，18，21，24，27，30，D=1，2，4，8，16，32，64，故此1）ABCD=1 ，2，3，4，5，6，7，8，9，12，15，16，18，21，24，27，30，32，642）ABC D=3）B（ AC）=4，54） （AB）D=1，2，3，4，5，6，7，8，16，32，648设 A、B、C 是集合，证明：1） （AB）=A(BC)2） （AB）C=（AC）（BC）3） （AB）C=(AC)B证明 1）方法一：（AB） C=（A B） C （差集的定义）=A（ BC） （交
6、运算的结合律）=A（ BC） （deMorgan 律）=A（BC ） （差集的定义）方法二：对任一元素 x（AB ）C，则 xC，同时，xAB，xA，xB，所以，xA，xBC，即 xA（BC ） ，由此可见（ AB）CA（ BC ） 。5反之，对任一元素 xA（B C） ，则 xA，且 xBC，也就是说xA，xB，x C。所以 x （AB ）C，由此可见 A（BC ）（AB）C 。因此 A（BC） 。2）方法一：（AB）C=A（B C） （根据 1） ）=A（C B） （并运算交换律）=A（C B） ） （01 律）=A（C B） （CC） ） （01 律）=A（C （BC） （分配律）=（A
7、C ）（BC） （根据 1）=（AC ）（BC） （差集的定义）方法二：对任一元素 x（AB ）C，可知 xA，xB，xC，xAC 。又由xB，xBC， x（AC）（BC）（BC） 。所以（AB）C （AC）（BC） 。反之，对任 x（AC）（BC） ，可知 xAC，x BC。由 xAC，可知xA， xC。又因为 xBC 及 xC，可知 xB。所以，x（AB）C。因此（AB）C （AB ）C。由此可得（AB）（BC ）（AB）C。3）方法一：（AC）C=A（B C） (根据 1)=A（C B） （并运算交换律）=（AC ）B （根据 1） ）方法二：对任一元素 x（AB ）C，可知 xA，xB
8、，xC。由为xA，xC ，所以，x AC。又由 xB，x（AC）B 。所以， （AB）C（AC）B。同理可证得 （AC）B （AB）C 。9. 设 A、B 是全集的子集，证明：ABAB=XAB=解(采用循环证法)(1)先证 ABAB=X；方法一：AB=A(A B) （因为条件 AB 及定理 4）=(AA)B （的结合律）6=(AA)B （的交换律）=XB （互补律）=X （零壹律）方法二：ABAB=B （定理 4）B=A B （等号=的对称性）AB=A(A B) （两边同时左并上 A）AB=(AA) B （的结合律）AB=(A A)B （的交换律）AB=XB （互补律）AB= （零壹律）方法三
9、：因为 AX 且 BX，所以根据定理 2 的 3）就有 AB ；另一方面，由于 BAB 及根据换质位律可得 BAAB，因此，由互补律及再次应用定理 2 的 3） ，可得 X=BB AB，即XA B；所以，AB=。(2)次证 A B=XAB= ；AB=X(AB)=X （两边同时取补运算）(A)B =X （de Morgan 律）AB =X （反身律）AB =X （零壹律）(3)再证 AB =AB；方法一：A=A X (零壹律)=A(B B) (互补律)=(AB)(AB) (分配律)=(AB) (条件 AB=)=AB (零壹律)B （定理 2 的 3)）方法二：AB= B=B (零壹律)=B(A
10、B) （条件 AB = ）=(BA)(BB) (分配律)=(AB)(BB) (的交换律)=(AB)X (互补律)7=AB (零壹律)AB （定理 4 的 2)）10. 对于任意集合 A，B，C，下列各式是否成立，为什么？1） AB=ACB=C2） AB=ACB=C解 1）不一定。例如：A=a，B=a，b，C=b。显然有AB=AC ，但 BC。2）不一定。例如：A=a，B=a，b，C=b，c 。显然有AB=AC ，但 BC。11设 A，B 为集合，给出下列等式成立的充分必要条件：1） AB=B2） AB=BA3） AB=AB4） AB=A解 1）AB=AB ，由假设可知 AB=B，即 AB=B。
11、由此可知B=A B B ， 故此 B=BB = 。由假设可知 A=A=AB=B=。所以当 AB=B 时有 A=B=。反之，当 A=B=时，显然 AB=B。因此 AB=B 的充分必要条件是 A=B=。2）设 AB ，则有元素 aAB ，那么，aA ，而由假设 AB=BA。所以a BA，从而 aA，矛盾。所以 AB=，故 AB。另一方面由 BA=AB=。可得 BA。因此当 AB=BA 时，有 A=B。反之，当 A=B 时，显然 AB=BA=因此，AB=BA 的充要条件是 A=B。3）由于 AB=AB，从而 AAB=A B B，以及 BAB=AB A 故此AB=AB ，有 A=B。5） 根据定理 6
12、 的 1）有 A=A，由已知条件 AB=A，可得 AB=A。从而由对称差的消去律可得 B=。反之，若 B=，则 AB=A=A。所以 AB=A 的充分必要条件为 B=。12. 对下列集合，画出其文图：1） AB82） A（BC ）3） A（BC）解13. 用公式表示出下面图中的阴影部分解14. 试用成员表法证明1） （AB ）C=A（BC）2） （AB）（BC ）AB 解 1）成员表如下A B C AB （A B）C BC A（B） 成员表中运算结果及（）的两列状态表明，全集中的每一个体对它俩有相同的从属关系，故（ ） （）A BA B A (B C ) B CA (B C )ACBA X X
13、XACBx(ABC)(ABC)BCAx(AC) B91） 成员表如下：A B C AB （BC） (BC) (AB)(B C) B AB 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0成员表中运算结果（AB）（BC ）及 AB 的两列状态表明，全集中的每一个体，凡是从属（A B）（BC ）的，都从属 AB，故（AB）（BC ）AB注：自然数集 N 取为1，2，3，n，10习题二（第二章 关系）1设 A=1，2，3，B=a，b求1）AB 2）B A 3）BB 4） 2BB解 1）AB=（1，a ） ， （1，b）
14、 ， （2，a） ， （2，a） ， （3，a） ， （3，b）2）BA= （a，1） ， （a ，2） ， （a ，3） ， （b，1） ， （b，2） ， （b，3）3）BB=（a，a ） ， （a，b） ， （b，a） ， （b，b）4）2B=，a，b，a，b2BB（ ，a） ， （，b） ， （a ，a） ， （a，b） ， （b，a） ， （b ，b） ，（a ，b，b） 2使 AAA 成立的集合 A 存在吗？请阐明理由。解 一般地说，使 AAA 成立的集合 A 不存在，除非 A=。否则 A，则存在元素 xAA，故有 y1，y 2A ，使 x=（y 1，y 2） ，从而 y1，y 2
15、AA，故此有 y1，y 2，y 3，y 4，使 y1=（y 1，y 2） ，y 2=（y 3，y 4） ，。这说明 A 中每个元素 x，其结构为元组的无穷次嵌套构成，这不可能。我们讨论的元素的结构必须是由元组的有限次嵌套构成。3证明 AB=BAA=B=A=B证 必要性：即证 AB=BAA=B= A=B若 AB=，则 A=或者 B=若 AB，则 A且 B ，因此对任何 xA 及任何 yB 就有（x，y）AB，根据 AB=BA，可得（x，y）B A，故此可得xB ， yA，因此而得 AB 且 BA，所以由的反对称性 A=B。充分性：即证 A=B= A=BAB=BA 这是显然的。4证明（AB）（CD
16、）=（AC ）（BD ）证证法一：（元素法）对任一（x，y）（AB）（ CD ） 有xAB，yCD，于是 xA，xB ，yC，yD。因而（x，y）AC，且（x，y）BD，所以（x，y）（AC ）（BD） 。因而（AB）（CD）（A C）（BD ）另一方面，对任一（x，y）（A C）（BD） ，于是有（x，y）AC 且（x，y）BD，因而 xA，yC ，xB yD 。所以xAB ，y（CD） 。所以（x，y）（AB ）（C D） 。因而（AC ）（BD）（A B ）（CD ） 。11综合这两个方面有（AB）（CD）=（AC ）（B D） 。证法二：（逻辑法）对任何 x,y(x,y)(AB)(CD
17、)xAB yCD(xA xB)(y C yD)(xA yC)(x B yD) (的结合律、交换律)(x,y)AC(x,y) BD(x,y)(AC)(BD)由 x，y 的任意性，可得：(AB)(CD)= (AC)(BD) 。5下列各式中哪些成立，哪些不成立？对成立的式子给出证明，对不成立的式子给出反例。1） （AB）（CD）=（AC ）（BD ）2） （AB）（CD）= （ AC） （BD）3） （AB）（CD）=（AC ）（BD）4） （AB）C=（AC） （BC ）5） （AB）C= （AC）（B C）解 1）不成立。设 A=a，B=b ，C=c ，D=d，则（a，-d）（A B ）（C D
18、 ） ，但（a，-d）（AC ）（BD） 。所以（AB）（C D ）= （ AC）（ BD）不成立。事实上有：（AC）（B D）（A B ）（C ）（AB）（ CD） 。2）不成立。设 A=a，B=b ，C=D=c，则（a，c）（AC）（BD）但（a ，c ）（AB）（CD） 。因而（Ab）（CD ）=（AC）（BD）不成立。事实上有：（AB ）（CD）（A C） （BD） 。因为 ABA，CD，故有（A C） （BD） AC；又若（x，y）（AB）（CD）故此 xAB，从而 xB，yCD，从而 yD，故此（x，y）BD 综合这两方面，有（AB）（CD ） （A C）（BD） 。3）不成立。设
19、 A=a，B=b ，C=a，D=b，则（a，b）（AB）（C D） ，但（a ，b）（ AC）（B D） 。所以（A B）（C D）（ A）（BD）不成立。又设 A=a，B=b，C=a ，D=c 则（a ，c ）（A）（B D） ，但（a，c ）（AB）（CD） 。所以（A） （ BD）（A B）（CD ）不成立。因此（ AB）12（CD）与（A）（ BD）无任何包含关系。总之（A B）（CD）=（A）（ BD）不成立。4）成立。证明如下：对任一（x，y）（AB）C ，有 xA ，x B，yC 于是（x，y）AC，且（x，y）（AB）C ，且（x，y ）BC （否则 xB） ，所以（x，y）（
20、AC） （ BC） 。因而（AB）C （AC ）（B C） 。又对任一（x，y）（AC）（B C） ，有（x，y）AC，且（x，y）BC 从而 xA， yC 及 xB。即 xAB ，yC，故此（x，y）（AB ）C。所以（AC） （B C）（AB）C 。因而（AB）C=（AC） （BC ） 。另一种证明方法：（AB）C=（A B） C（差集的定义）=（A C）（ BC） （叉积对交运算的分配律）=（A C）（ BC）（因（BC ）= （BC） ）（B C）（B C ）但（AC）（BC ）=（A C）（B C） ） =（A C）（ BC） ）=（A C）（ BC） （差集的定义）证法三：（逻辑法
21、）对任何 x,y(x,y)(AC) (BC)(x,y)AC(x,y) BC(xA yC)(x ByC)(xA yCxB)(x AyCyC) (对的分配律)(xA xByC)(x AyCyC) (的结合律、交换律)(xA xB)yC (及的零壹律、的结合律)xA B yC(x,y)(A B)C由 x，y 的任意性，可得：(A B)C=(AC) (BC) 。5）成立。证明如下：对任一（x，y）（A B）C，故此 xAB，yC 于是 xA 且 xB，或者 xA 且 xB 。因此（x，y）（AC）（BC ） 。所以（AB）C（AC） （BC） 。13对任一（x，y）（AC）（BC ） 。则（x，y）A
22、C 且（x，y）BC，或者（x，y）A C 且（x，y）BC 。因此 xA ，yC ，x B，或者xB， yC ， xA。所以 x AB，或 xBA，并且 y C，故此 xA B，yC。因此（x， y）（A B）C，即（A C） （BC）（A B）C。综合两方面、就有（AB）C=（AC）（B C）另一种证明方法：（AB）C=（AB ）（BA） ）C（对称差的定义）=（AB ）C） （BA）C） （叉积对并运算的分配律）=（AC）（BC）（BC ）（A C） ） （根据 4） ）=（A C） （BC ） （对称差的定义）6设 A=1，2，3，B=a，求出所有由 A 到 B 的关系。解：R 0=，
23、R 1=（1，a） ，R 2=（2，a） ，R 3=（3 ，a） ，R4=（1，a） ， （2，a），R s=（1，a） ， （3，a），R 6=（2，a） ，（3，a ），R 7=（1，a） ， （2，a ） ， （3，a）7设 A=1，2，3，4，R1=（1，3） ， （2，2） ， （3，4） ，R2=（1，4） ， （2，3） ，（3，4），求：R 1R 2，R 1R 2，R 1R2，R 1，（R 1） ，（R 2） ，（R 1） ，（R 2） ， （R 1R 2） ，（R 1R 2）解：R 1R 2=（1，3） ， （1，4） ， （2，2） ， （2，3） ， （3，4）R1R 2
24、=（3， 4）R1R2=（1，3 ） ， （2，2）R1=（AA）R= （1，1） ， （1，2） ， （1，4） ， （2，1） ， （2，3） ， （2，4） ，（3，1） ， （3，2） ， （3，3） ， （4，1） ， （4，2） ， （4，3） ， （4，4）（R 1）=1，2， 3，（R1 ）=2，3，4，（R 2）=1，2， 3，（R2 ）=3，4（R 1R 2）=1，2，3，（R 1R 2）=48对任意集合 A 及上的关系 R1 和 R2，证明1） （R 1R 2）=（R1）（R 2）2） （R 1R 2）（R 1）（R 2）证 1）一方面，由于 R1R 1R 2，R 2R
25、1R 2，根据定理 1，有 （R 1）（R 1R 2） ，（R 2）（R 1R 2）故（ R1）（ R2）（R 1R 2）14另一方面，若 x（R 1R 2）那么存在着 yA ，使（y，x）（R 1 R2）因此（ y，x）R 1，或者（y，x）R 2，从而 x（R 1）或者x （ R2）于是 x(R 1) （R 2） ，所以 （R 1R 2）（R 1） （R 2） 。11设 A=1，2，3，4，定义 A 上的下列关系R1=（1，1） ， （ 1，2） ， （3， 3） ， （3，4），R2=（1，2） ， （2，1）R3=（1，1） ， （ 1，2） ， （2， 2） ， （2，1） ， （3
26、，3） ， （3，4） ， （4，3） ， （4，4）R4=（1，2） ， （ 2，4） ， （3， 3） ， （4，1）R5=（1，2） ， （ 1，3） ， （1， 4） ， （2，3） ， （2，4） ， （3，4）R6=AA，R 7=请给出上述每一个关系的关系图与关系矩陈，并指出它具有的性质。解：1） 011RR1 是反对称的，传递的。2） 01RR2 是反自反的，对称的。3） 101R1 0 0 23 0 0 4 15R3 是自反的，对称的，传递的，因此是等价关系。循环的 综合这两方面，就有（R1 R2）=（R1）（R2） 。2）由于 R1R 2R 1，R 1R 2R 2，根据定理
27、1，有 （R 1R 2）（R 1） ，（R 1 R2）R 2，所以 （R 1R 2）（R 1）（R 2）反方向的包含不成立，反全由第 7 题可得，那里 （R 1R 2）=4 ， （R 1）（R 2）=2，3， 43，4=3 ，4因此（ R1） （R 2）（R 1R 2）9设 A 有 n 个元素的有限集合，请指出 A 上有多少个二元关系？并阐明理由。解 A 上有 2n2 个元关系。因为叉积 AA 有 n2 个元素，因而 AA 有 2n2 个子集，而每个子集都是 A 上的一个二元关系。10定义在整数集合 I 上的相等关系、 “”关系、 “”关系，全域关系，空关系，是否具有表中所指的性质，请用 Y（
28、有）或 N（元）将结果填在表中。性质关系自反的 反自反的 对称的 反对称的 传递的相等关系 Y N Y Y Y关系 Y N N Y Y关系 N Y N Y Y全域关系 Y N Y N Y空关系 N Y Y Y Y4）3142014RR4 是反对称的，循环的。5）4321 015RR5 是反自反的，反对称的，传递的。166）4321 16RR6 是自反的，对称的，传递的，循环的。从而是等价关系。7）4321 07R12设 A 是 A 上的关系，证明1）R 是自反的当且反当 IAR2）R 是反自反的当且仅当 IAR=3）R 是对称的当且反当 R=4） R 是反对称的当且仅当 R I A5）R 是传
29、递的当且仅当 R RR证 1）必要性若 R 是自反的，则对任何 x A，都有（x，x）R，但是 IA=（x，x）|x A，所以 IAR。充分性若 IA A 则由 IA=（x，x）|xA，可知对任何 xA，都有（x，x）R ，所以 R 是自反的。2）必要性R7 是反自反的对称的，传递的，循环的，反传递的，反对称的。17若 R 是反自反的，则对任何 xA，都是（x，x） R，从而（ x，x）R ，由 IA=（x，x）|xA 可知 IAR。于是 IAR RR= ，另外 IAR ，所以 IAR=。充分性若 IA R=，则 R 是反自反的。否则，不是反自反的，那么应存在某一x0A，使得（x 0，x 0）
30、R。但是（x 0，x 0）I A，从而（x 0，x 0）。这不可能，矛盾。3）必要性，若 R 是对称的，则对任何（x ，y）R ，就有（y，x） R。于是根据逆关系的定义，可得（x，y） ，于是 R ；对任何（ x，y） ，由逆关系的定义，可得（y，x）R 。再次利用 R 的对称性有（ y，x）R，于是R ；综合两方面，有 R= 。充分性若 R= ，则对任何（x， y）R，由 R= 可得（x，y） 。从而由 逆关系的定义，可知（y，x）R 这说明 R 是对称的。4）必要性若 R 是反对称的，则对任何（x，y） ，即有（x， y）R 及（x，y） ，从逆关系的定义，就有（x， y）R 及（y，x
31、）R，因此，利用 R 的反对称性，可得 x=y。于是就有（x，y）=（x， x）I A，所以 RI A。充分性若 R I A，则对任何（x，y）R 及（y，x）R，从逆 关系的定 义，可得（x，y）R 及（x ，y） ，也即（x，y） R ，利用 R =IA 可得（x，y）I A，于是 x=y。所以 R 是反对称的。5）必要性若 R 是传递的，则对任何（x ，y）R R，由复合关系的定义可知，存在着yA，使（x，y）R 且（y，y）R，从而利用 R 的传递性，可知（ x，y）R 。所以RRR。充分性RR。从而利用 RRR 可得（x，y）R。所以 R 是传递的。证法二：181):对任何 x，xA
32、(x,x)I A (IA 是幺关系，因此是自反关系 )(x,x)R (R 是自反关系)所以 IAR ；):对任何 xA，xA(x,x)I A (IA 是幺关系，因此是自反关系 )(x,x)R (因 IAR)所以，R 是自反关系；2)首先 IAR ；其次，对任何 x，yA，若(x,y)I AR(x,y)I A(x,y)Rx=y(x,y)R (IA 是幺关系，因此是自反关系)(x,x)R则与 R 是反自反关系，(x,x)R 矛盾。故 IAR ；因此，由包含关系的反对称性，可得 IAR= ；):对任何 xA，若(x,x)R(x,x)I A(x,x)R (IA 是幺关系，因此是自反关系 )(x,x)I
33、 AR(x,x) (因 IAR=)则与空集不含任何元素，(x,x)矛盾。故对任何 xA，(x,x) R ；所以，R 是反自反关系；3)对任何 x，yA(x,y)R(y,x)R (R 是对称关系)(x,y)所以，R= ；):对任何 x,yA19(x,y)R(x,y) (R= ) R(y,x)R所以，R 是对称的；4)对任何 x，yA(x,y)R(x,y)R (x,y)(x,y)R (y,x)Rx=y (R 是反对称关系) (x,y)I A (IA 是自反关系)所以，R IA ；):对任何 x,yA(x,y)R(x,y) (R= )R(y,x)R所以，R 是对称的；13设 A、B 为有穷集合，R，
34、SAB，M R=（x ij） mn，M S=（y ij） mn1）为了 RS，必须且只须 ij（x ij yij）2）设 MRS =（Z ij）mn，那么 Zij=xijVyij，I=1，2，m，j=1，2，n.3）设 MRS =（t ij）mn，那么 tij=xijyiji=1，2， m；j=1 ，2，n.证 由于 A、 B 是有穷集合，不妨设A=a1，a 2，a m，B=b 1，b 2，b n1）必要性若 RS ，则对任何 i1，2，m，对任何 j1 ，2，n，若（a i，b j）R ，则 R 的关系矩阵 MR=（x ij） mn 中第 I 行第 j 列元素 xij=1，根据RS，可得 （
35、 ai，b j）S，从而得 S 的关系矩阵 MS=（y ij） mn 中第 I 行第 j 列元素 yij=1，由于是 11 故此 xijy ij；若（a i，b j）R， 则 R 的关系矩阵MR=（x ij） mn 中第 i 行第 j 列元素 xij=0，因此由 S 的关系矩阵 MS=（y ij） mn中第 j 列元素 yij0，可得 xijy ij。总之，有（ i）( j)（ xijy ij） 。2）充分性20若（ i）( j)（ xijy ij） ，则对任何（a i，b j）R ，就有 R 的关系矩阵 MR=（x ij） mn 中第 i 行第 j 列元素 xij=1，由于 xijy ij，
36、所以 yij1，故此 yij1 这说明 S 的关系矩阵 MS=（y ij） mn 中第 i 行第 j 列元素 yij 为 1，因此必有（a i，b j）S，所以 RS。2）对任何 i1，2，m，对任何 j1 ，2，n若 Zij=1，则（ai ，bj）RS，故此（a i，b j）R 或者（a i，b j）S ，于是 xij=1 或者yij=1。从而bj）S，于是 xij=0 且 yij=0。从而 xijy ij=0。因而 Zij=xij yij=0；综合上述两种情况，就有 zji=xijy ij，i=1，2，m，j=1,2,n， 。3）对任何 i1，2，m，对任何 j1 ，2，n。若 tij=1
37、，则（a i，b j）R S ，故此（a i，b j）S 且（a i，b j）S ，于是 xij=1，且 yij=1 从而 xijy ij=1。因而 tij=xijy ij=1；若 tij=0，则（a i，b j）R S，故此（a i，b j）S，于是 xij=0 或者 yij=0，从而 xijy ij=0。因而 tij=xijy ij=0。综合上述两种情况，就有 tij=xijy ij，i=1，2，m ，j=1，2，n。14设 A=1，2，3，4，R 1，R 2 为 A 上的关系，R1=（1，1） ， （1，2） ， （2，4），R2=（1，4） ， （ 2，3） ， （2， 4） ， （3
38、，2），求 R1R 2，R 2R 1，R 1R 2R 1解 ，011RM012RM1） 0101012121 RRM2143214321R1 R22） 0101011212 RRM432432R2 R13） 001011212 RRM4343无论从复合关系图还是从复合关系矩阵都可得 R1R 2=（1，3） ， （ 1，4）无论从复合关系图还是从复合关系矩阵都可得 R2R 1=（3，4）无论从复合关系图还是从复合关系矩阵都可得 R1R 2R 1=224） 010101 01010111131 RRM43214321R1 R1 R115）设 R1，R 2，R 3 是 A 上的二元关系，如果 R1R 2，证明1）R 1 R3R 2 R3 2）R 3 R1R 3 R2 证明 1）对任何（x，y）R 1R3，由复合关系之定义，必存在 zA ，使得（x，z）R 1 且（z，y）R 3，利用 R1R 2 可
