压电有关理论和公式.doc

1、压电有关理论和公式1 / 23压电有关理论和公式1 弹性1.1 应力 12133xyxzzxyzTT123xyznTij = Tji，应力矩阵只有 6 个独立分量。某个方向 n 上的应力： Tn = Tn1.2 应变正应变：线段的相对伸长或缩短称为正应变。 ， ，xuSyvzwS切应变：方向的变化。， ，1()2xyvuSxy1()2yzwSz1()2zxzux113223xxzyyzxzSij = Sji，应变矩阵只有 6 个独立分量。应变各分量带有位移梯度的意思，因此，应变矩阵又称为位移梯度矩阵。1.3 下标缩写 4.p24由于应力，应变等的矩阵 9 个分量只有 6 个是独立的，可以讲 3

2、3 矩阵缩写为一个 6 个分量的列向量，坐标缩减方式为：双下标 xx(11) yy(22) zz(33) yz,zy(23,32) zx,xz(31,13) xy,yx(12,21)单下标 1 2 3 4 5 6对于应变还要引入因子 1/2，有： Syz= S4，S zx= S5，S xy= S6，对于应力没有此因子。1212123456SS3456TT1.4 胡克定律和弹性常数 4.p25应力与应变之间的线性关系可用胡克定律表示： T = cS， S=sT其中，c 为弹性刚度常数，s 为弹性柔顺常数。81 个弹性常数分量中，只有 21 个独立参数，且有： ijkljilijlkjilklij

3、cc展开求和形式为： Tmn=cmnpqSpq，S mn=smnpqTpq (i,j,p,q = 13)缩减下标形式： Ti=cijSj，S i=sijTj (i,j = 16)其中：sij = smnpq i,j = 13sij = 2 smnpq i or j = 46sij = 4smnpq i,j = 46对于应力没有此因子。压电有关理论和公式2 / 23弹性刚度系数与弹性柔顺系数互为逆矩阵： s = c-11.5 坐标变换1.5.1 坐标基矢量的表示设变换前的坐标系 o-xyz 坐标基矢量为： 10Iijkijk我们可以把此坐标系下的向量用一个列向量来表示，比如：， ，10ijk01

4、jijk01ijk1.5.2 向量在坐标系中的表示对于笛卡尔坐标系（O-xyz）中的任意向量矢量 R=OR，其在三个坐标轴上的分量为其可以用其在三个坐标轴的截距 OA、OB、OC 表示，记做 R1、R 2、R 3，则：R = R1 + R2 + R3 =R1 i + R2 j +Rr3 k其中，i、j、k 分别是三个坐标轴方向的基矢量，其矩阵形式为：，xyzijk或123xyzRRRijijkijk设矢量 R 的长度为 R，R 与三个坐标轴的夹角分别为 1， 1， 1，则矢量 R 在三个坐标轴上的投影（三个坐标分量，实际上也就是 R 点的坐标）分别为：R1 = Rx = Rcos 1，R 2

5、= Ry = Rcos 1，R 3 = Rz = Rcos 1将矢量 R 表示为矩阵形式： 12 123 3cosaijkijkijkijk 压电有关理论和公式3 / 23其中，a 1 = cos 1，a 2 = cos 1，a 3 = cos 1，为矢量 R 与坐标轴夹角的余弦。1.5.3 二维平面旋转坐标系二维平面的直角坐标系 O-xyz 绕 z 轴旋转角度 之后，平面上 P 点在新旧坐标系中的左边满足：cosinixyy22矩阵形式为： cosscosini ()2xxxyyy上式中的各个角度分别代表新坐标的 x，y轴与原坐标的 x，y 轴的夹角。设 1， 1 分别为新坐标系中 x坐标轴

6、基矢 i 与原坐标系中 x，y 坐标轴的夹角， 2， 2 分别为新坐标系中 y基矢与原坐标系 x，y 轴夹角，则有： 1122cosscos()y 令： 1 12csa12 2scoa1112oA有： 12axxyyA其中，矩阵 A 可以看做是一个新旧坐标之间的变换矩阵。空间中的一个点 P 在新坐标系中的坐标可以通过该变换矩阵与原坐标中的坐标计算得出。1.5.4 二维平面旋转坐标系新坐标在原坐标系中的表示对于二维平面中的笛卡尔坐标系 O-xy，经过坐标旋转后，变成新的坐标系 O-xy，根据上面的二维平面中的矢量坐标变换参数定义，x轴、y轴的基矢量 、 在原坐标系中坐标为：ij111222cos

7、incossijjaj i压电有关理论和公式4 / 23从原坐标到新坐标的坐标变换矩阵即可看做由以上基矢量的行矩阵组成。 12axxyyA由于原坐标和新坐标是对称的，就是说，哪一个坐标都可以看做是原坐标。如果我们认为坐标系 O-xy为原坐标系， O-xy 为新坐标系，经过坐标旋转后，上式可以转化为12axyB由于两个向量夹角与向量标注的前后顺序无关， （1，2）与（2，1）的夹角实际上是一个，因此，相应的系数也是一样的， 。于是，上式可以变为：ijjia12 12 axxxyyy B可以看出，矩阵 A 与 B 互为转置矩阵。以上的结论可以推广到三维坐标变换。如果考虑左侧的列向量为新坐标系的基矢

8、量 ，其在新坐标系中可以表示为i1 0xijijy在原坐标系中的坐标为 12 12 1 20aaaxxyy B1.5.5 新坐标在原坐标系中的表示压电有关理论和公式5 / 23对于坐标变换 A，设变换后的坐标系为 O-xyz，在新坐标系中的基矢为 。ijk设 1， 1， 1 分别为新坐标系中 x坐标轴基矢 i 与原坐标系中 x，y，z 坐标轴的夹角， 2， 2， 2 分别为新坐标系中 y基矢与原坐标系 x，y ，z 轴夹角， 3， 3， 3 分别为新坐标系中 z基矢与原坐标系 x，y ，z 轴夹角；a11，a 12，a 13 为新坐标系中 x基矢与原坐标系 x，y ，z 轴夹角的方向余弦；a

9、21，a 22，a 23 为新坐标系中 y基矢与原坐标系 x，y ，z 轴夹角的方向余弦；a 31，a 32，a 33 为新坐标系中 z基矢与原坐标系x，y，z 轴夹角的方向余弦；即： 1123cosa2123cosa3132cosa， ，123ijk213jijk312 aijk则坐标系 o-xyz坐标基矢量为： 12133 aijkijkijkT1.6 变换矩阵1.6.1 向量变换矩阵对于向量 R，设其在新坐标系 o-xyz中的表示为： 123RijkRijk由于在坐标变换过程中，向量本身并没有发生变化，只是参照坐标系发生了旋转，则有： 1 12 23 3 RRijkijkijkijkR将

10、新坐标系在原坐标系中的表示代入，有： 12313 aijkRijkijkR设变换矩阵为 A，对于上述变换有： R = AR，可见，12313aT所以有：R = AR T-1R，即得 A = T-1。我们可以证明，T 为一个正交矩阵，则变换矩阵为 A：121313aA同理，如果我们知道了坐标变换矩阵，也可以反向表示成新坐标系基矢在原坐标中的表示。压电有关理论和公式6 / 231.6.2 不同切型的向量变换矩阵不同切型的晶片可以按绕 x、y、z 轴旋转不同的角度达到，用 IRE 切型切型符号法( YXwlt) 表示，包括一组字母和角度；前两个字母为 xyz 坐标的两个，依次代表旋转前晶片的 厚度和

11、长度方向，比如，yz 切型表示晶片厚度为 y 方向，长度为 z 方向；其他字母表示晶片旋转的棱边方向，分别为t，l，w ，代表旋转轴为厚度、长度和宽度方向；再后面是旋转的角度。例如， （yzw）-50表示晶片原始厚度，长度分别平行 y、z 轴，晶片沿宽度轴（x）逆时针旋转-50，即顺时针旋转 50。可以通过坐标变换矩阵确定该切型在晶体中的方向余弦。根据晶体点群不同，确定晶体原始坐标系原始坐标为 o-xyz，晶体绕 x 轴旋转 角后形成的新坐标系为 O-xyz， （旋转切型形成的是切割刀具的坐标系 4p89-92 ） ，根据上面的坐标变换法则，有，121331223 2 aRRA此处，将变换矩阵

12、记作 Cx，有12131112223333coscoscos0scos10()cosin22icos()cosxxxxxa 同理，有 0in1sincosyy yyyCcosin0i01zzzC对于两次旋转，比如先绕 x 后绕 y 旋转，则变换矩阵 C 为：yA坐标变换公式为： 112233RC压电有关理论和公式7 / 231.6.3 二阶张量变换矩阵考虑空间矢量 R，r，有关系 R = Kr，K 为联系两个一阶张量的二阶张量。如，电位移矢量 D 与电场强度 E 的关系：D=E在新坐标系中的关系为：R Kr对于上述坐标变换 A，有：R = AR，r = Ar变换矩阵 A 为正交矩阵，其逆矩阵等

13、于其转置矩阵 At，A-1= At将向量之间的关系代入，有：R = AR = AKr = AKA-1r = Kr则有： K = AKA-1=AKAt这就是二阶张量在坐标变换关系。1.6.4 二阶张量缩写下标形式的矩阵在旋转坐标下的变换下面以应力为例研究二阶张量缩写下标形式的矩阵在旋转坐标下的变换。根据二阶张量的坐标变换关系： K =AKAt可以得到应力张量的变换关系为： T=ATAt设二阶应力张量的缩写坐标形式的变换矩阵为 M222111312313122332 32132323311212111()()()aaaaaMaaa2 12aa 则有： T =MT同理，对于二阶应变张量 S 有变换关

14、系： S=ASAt设二阶应力张量的缩写坐标形式的变换矩阵为 N222111312313122332 321232323311212111()()()aaaaaNaaa2 12aa 则有： S=NS1.7 常用的常数的坐标变换1.7.1 弹性常数矩阵的坐标变换形式原坐标系中的胡克定律： S=sT T=cS新坐标系中的胡克定律： S=sT T=cS将变换公式 T=MT 与 S=NS 代入，有：S=NS=NsT=NsM1T T=MT=McS=McN-1S则可以得到： s=NsM-1 c=McN-1而 M 和 N 之间有关系： M-1=Nt N-1=Mt这样，可以得到： s=NsNt c=McMt压电

15、有关理论和公式8 / 231.7.2 压电常数矩阵的坐标变换形式第一类压电方程： S=sET + dtE D=dT + TE电场为 0 的情况下，有： D=dT新坐标下有： D=dT电位移矢量、应力张量在新坐标下为：D=AD T=MT则有： D=AD=AdT=AdM-1T=dT所以， d = AdM-1 = AdNt1.7.3 介电常数矩阵的坐标变换形式根据二阶张量的坐标变换关系： K = AKA-1=AKAt介电常数矩阵的在新坐标中的形式为： =AAt1.7.4 压电方程的坐标变换形式第一类压电方程： S=sET + dtE D=dT + TE在新坐标下压电方程： S=sET + dtE D

16、=dT + TE1.8 坐标变换应用示例1.8.1 压电常数1.8.1.1 计算公式根据上面的关系式，压电应变常数的坐标变换公式为：d = AdM-1 = AdNt其中， 12131112223333coscosaA222111121312332332 321 22313121211313()()()aaaaaMaaa2 12aa 对于（yxwl ）0/48.5切，原始位置为晶片长度、厚度和宽度分别沿晶体坐标系的 x、y、z 方向，旋转顺序为：先沿着厚度方向旋转 0（实际上没有操作） ，然后再沿旋转后的长度旋转 48.5。根据其操作过程，此切型可以简化为（yxl)48.5切。如下所示：a：原始

17、位置 b：（yxw）0切 c：（yxwl）0/48.5切压电有关理论和公式9 / 231.8.1.2 变换矩阵（yxl )48.5切的晶片，令 =48.5，设 1， 1， 1 分别为新坐标系中 x坐标轴基矢 i 与原坐标系中 x，y，z 坐标轴的夹角， 2， 2， 2 分别为新坐标系中 y基矢与原坐标系 x，y，z 轴夹角， 3， 3， 3 分别为新坐标系中 z基矢与原坐标系 x，y，z 轴夹角；对应的旋转坐标变换矩阵中，各个夹角见下表所示：夹角() 1 1 1 2 2 2 3 3 3表示 0 90 90 90 90- 90 90- 如下形式更为明显： 1 0 /2 /22 /2 /23 /2

18、 /2 12133cos0scos2210()cosinicos()cos2xxxxxaC 带入 =48.5，有 0.61010cosin.74895i 62xxxC222111312313122332 32132323311212111()()()aaaaaMaaa2 12000.4397.563.925-.2187000.6aa -.748962 1.8.1.3 压电常数数据根据文献，LGS 的压电常数矩阵（pC/N）为：6.3.05.401.8d 另外的数据：王增梅毕业论文 王曾梅文献 18 王曾梅文献 19 王增梅 2004d11(10-12C/N) 2.2 -6.150.2 -6.1

19、6 5.59压电有关理论和公式10 / 23d14(10-12C/N) -1.1 -6.010.7 5.36 -5.011.8.1.4 计算程序1）压电应变常数数据%data_d.m%压电应变常数数据%压电应变常数,(10(-12)C/N)%d_1 数据取自王增梅毕业论文d11_1=2.2; d14_1=-1.1;d_1= d11_1 -d11_1 0 d14_1 0 0;0 0 0 0 -d14_1 -2*d11_1;0 0 0 0 0 0 ;%d_2 数据取自王增梅毕业论文文献 18d11_2=6.15; d14_2=-6.01;d_2= d11_2 -d11_2 0 d14_2 0 0;

20、0 0 0 0 -d14_2 -2*d11_2;0 0 0 0 0 0 ;%d_3 数据取自王增梅毕业论文文献 19d11_3=6.16; d14_3=-5.39;d_3= d11_3 -d11_3 0 d14_3 0 0;0 0 0 0 -d14_3 -2*d11_3;0 0 0 0 0 0 ;%d_4 数据取自王增梅毕业论文最新测试数据d11_4=5.59; d14_4=-5.01;d_4= d11_4 -d11_4 0 d14_4 0 0;0 0 0 0 -d14_4 -2*d11_4;0 0 0 0 0 0 ;%d_5 数据取自尹鑫，王继扬等La3Ga5SiO14 单晶电弹常数的测量压

21、电与声光,2003 年 1 月,Vol.25d11_5=6.63; d14_5=-5.4;d_5= d11_5 -d11_5 0 d14_5 0 0;0 0 0 0 -d14_5 -2*d11_5;0 0 0 0 0 0 ;%2）变换矩阵%myAMN_degree.mfunction A,M,N=myAMN_degree(a,b,c)%计算 IRE 切型 (YXwlt) 的变换矩阵 A、M、N%变换矩阵%对于 IRE 切型 (YXwlt)，输入的角度对应关系为：Za，Xb，Yc%Cx 为绕 X 轴旋转角度 （对应于输入角度 b）的变换矩阵Cx=cosd(0 90 90;90 b 90-b;90

22、 90+b 90);%Cy 为绕 X 轴旋转角度 （对应于输入角度 c）的变换矩阵Cy= cosd(c 90 90+c;90 0 90;90-c 90 c);%Cx 为绕 X 轴旋转角度 （对应于输入角度 a）的变换矩阵压电有关理论和公式11 / 23Cz= cosd(a 90-a 90;90+a a 90;90 90 0);%切型的总的变换矩阵 A 为A = Cy*Cx*Cz%变换矩阵的各个矩阵元a11=A(1,1); a12=A(1,2); a13=A(1,3);a21=A(2,1); a22=A(2,2); a23=A(2,3);a31=A(3,1); a32=A(3,2); a33=A

23、(3,3);%张量变换矩阵 M，NM=a112 a122 a132 2*a12*a13 2*a11*a13 2*a11*a12; a212 a222 a232 2*a22*a23 2*a21*a23 2*a21*a22 ;a312 a322 a332 2*a32*a33 2*a31*a33 2*a31*a32 ;a21*a31 a22*a32 a23*a33 (a22*a33+a32*a23) (a23*a31+a33*a21) (a21*a32+a31*a22) ;a31*a11 a32*a12 a33*a13 (a32*a13+a12*a33) (a33*a11+a13*a31) (a31

24、*a12+a11*a32) ;a11*a21 a12*a22 a13*a23 (a12*a23+a22*a13) (a13*a21+a23*a11) (a11*a22+a21*a12) N=a112 a122 a132 a12*a13 a11*a13 a11*a12; a212 a222 a232 a22*a23 a21*a23 a21*a22 ;a312 a322 a332 a32*a33 a31*a33 a31*a32 ;2*a21*a31 2*a22*a32 2*a23*a33 (a22*a33+a32*a23) (a23*a31+a33*a21) (a21*a32+a31*a22) ;

25、2*a31*a11 2*a32*a12 2*a33*a13 (a32*a13+a12*a33) (a33*a11+a13*a31) (a31*a12+a11*a32) ;2*a11*a21 2*a12*a22 2*a13*a23 (a12*a23+a22*a13) (a13*a21+a23*a11) (a11*a22+a21*a12) 3）计算坐标变换后的压电应变常数%myCalcRotatedD.mfunction myCalcRotatedD(a,b,c)%计算坐标变换后的压电应变常数%载入压电应变常数,(10(-12)C/N)data_d;%计算 IRE 切型 (YXwlt) 的变换矩阵

26、 A、M、NA,M,N=myAMN_degree(a,b,c);%变换公式为：d = A*d*M(-1) = A*d*Ntd_1_r = A*d_1*N;d_2_r = A*d_2*N;d_3_r = A*d_3*N;d_4_r = A*d_4*N;d_5_r = A*d_5*N;%显示结果digits(4);vpa(A),vpa(M),vpa(N)vpa(d_1),vpa(d_1_r)vpa(d_2),vpa(d_2_r)vpa(d_3),vpa(d_3_r)vpa(d_4),vpa(d_4_r)vpa(d_5),vpa(d_5_r)4）计算结果A = 1., 0., 0. 0., .662

27、6, .7490 0., -.7490, .6626M = 1., 0., 0., 0., 0., 0. 0., .4391, .5609, .9925, 0., 0. 0., .5609, .4391, -.9925, 0., 0. 0., -.4963, .4963, -.1219, 0., 0. 0., 0., 0., 0., .6626, -.7490压电有关理论和公式12 / 23 0., 0., 0., 0., .7490, .6626N = 1., 0., 0., 0., 0., 0. 0., .4391, .5609, .4963, 0., 0. 0., .5609, .439

28、1, -.4963, 0., 0. 0., -.9925, .9925, -.1219, 0., 0. 0., 0., 0., 0., .6626, -.7490 0., 0., 0., 0., .7490, .6626D_1 = 2.200, -2.200, 0., -1.100, 0., 0. 0., 0., 0., 0., 1.100, -4.400 0., 0., 0., 0., 0., 0.D _1_r = 2.200, -1.512, -.6882, 2.318, 0., 0. 0., 0., 0., 0., 2.667, -1.386 0., 0., 0., 0., -3.014

29、, 1.567D _2 = 6.150, -6.150, 0., -6.010, 0., 0. 0., 0., 0., 0., 6.010, -12.30 0., 0., 0., 0., 0., 0.D _2_r = 6.150, -5.683, -.4671, 6.837, 0., 0. 0., 0., 0., 0., 8.743, -2.418 0., 0., 0., 0., -9.882, 2.733D _3 = 6.160, -6.160, 0., -5.390, 0., 0. 0., 0., 0., 0., 5.390, -12.32 0., 0., 0., 0., 0., 0.D

30、_3_r = 6.160, -5.380, -.7804, 6.771, 0., 0. 0., 0., 0., 0., 8.481, -2.734 0., 0., 0., 0., -9.586, 3.091D _4 = 5.590, -5.590, 0., -5.010, 0., 0. 0., 0., 0., 0., 5.010, -11.18 0., 0., 0., 0., 0., 0.D _4_r = 5.590, -4.941, -.6493, 6.159, 0., 0. 0., 0., 0., 0., 7.748, -2.422 0., 0., 0., 0., -8.758, 2.73

31、8D _5 = 6.630, -6.630, 0., -5.400, 0., 0. 0., 0., 0., 0., 5.400, -13.26 0., 0., 0., 0., 0., 0.D _5_r = 6.630, -5.591, -1.039, 7.239, 0., 0. 0., 0., 0., 0., 8.952, -3.142 0., 0., 0., 0., -10.12, 3.5521.8.2 介电常数1.8.2.1 计算公式根据二阶张量的坐标变换关系： K = AKA-1=AKAt介电常数矩阵的在新坐标中的形式为： =AAt1.8.2.2 变换矩阵压电有关理论和公式13 / 23

32、0.621010cosin.74895i 62xxxC1.8.2.3 介电常数数据介电常数矩阵（王增梅毕业论文数据）：（1KHz） ， （10KHz ）21.80.54T1.02.548S1.8.2.4 计算程序1）数据%data_epsilon.m%相对介电常数,(0=8.85410(-12)F/m);数据取自王增梅毕业论文epT11=21.8; epT33=55.4;epS11=21.2; epS33=54.8;epT = epT11 0 0;0 epT11 0;0 0 epT33epS = epS11 0 0;0 epS11 0;0 0 epS332）计算%myCalcRotatedEp

33、silon_VPA.mfunction myCalcRotatedEpsilon_VPA(a,b,c)%计算坐标变换后的介电常数%载入介电常数data_epsilon;%计算 IRE 切型 (YXwlt) 的变换矩阵 A、M、NA,M,N=myAMN_degree(a,b,c);%计算坐标变换后的介电常数%变换公式为：=AAtepT_r = A*epT*A;epS_r = A*epS*A;%显示结果digits(4);vpa(A),vpa(M),vpa(N)vpa(epT),vpa(epT_r)vpa(epS),vpa(epS_r)1.8.2.5 计算结果A = 1., 0., 0. 0.,

34、.6626, .7490 0., -.7490, .6626 T= 21.80, 0., 0. 0., 21.80, 0. 0., 0., 55.40 T _r= 21.80, 0., 0. 0. , 40.65, 16.67 0., 16.67, 36.55 S = 21.20, 0., 0. 0. , 21.20, 0.压电有关理论和公式14 / 23 0., 0., 54.80 S _r = 21.20, 0., 0. 0. , 40.05, 16.67 0. , 16.67, 35.95压电有关理论和公式15 / 232 介电性3 压电性3.1 压电方程 4-48第一类压电方程： 分量

35、式：EtTSsdDEijmiTinSsdD第二类压电方程： 分量式：tSceijiSmimnce第三类压电方程： 分量式：DtTsgeijiTinSsgE第四类压电方程： 分量式：tSchEijmSinTchD3.2 压电常数压电应变常数 ()()miiETiDd压电电压常数 iiimSg压电应力常数 ()()miiESie压电电刚度常数 iiDimThS3.3 压电常数变换关系根据特征函数的定义，四种压电常数之间的关系为： TEminimjidgesSEminimjiehdcDhDg3.4 压电常数缩减下标单下标与双下标的关系为：双下标 xx(11) yy(22) zz(33) yz,zy(

36、23,32) zx,xz(31,13) xy,yx(12,21)单下标 1 2 3 4 5 6由于应变的下标变换时引入了因子 2，因此，压电常数 d, g 缩减下标时也要引入因子 2。dmi = dmnp gmi = gmnp (m = 1,2,3) (i = 1,2,3)dmi = 2dmnp gmi = 2gmnp (m = 1,2,3) (i = 4,5,6)4 切型4.1 IRE 切型4.1.1 切型符号 14-p145IRE 标准的符号表示：包括一组字母和角度，符号的前两个字母为 xyz 坐标的两个，依次代表旋转前晶片的厚度和长度方向，比如，yz 切型表示晶片厚度为 y 方向，长度为

37、 z 方向。符号的其他字母表示晶片旋转的棱边方向，分别为 t，l ，w ，代表旋转轴为厚度、长度和宽度方向。再后面是旋转的角度。例如， （yzw）-50 表示晶片原始厚度，长度分别平行 y、z 轴，晶片沿宽度轴（x）逆时针旋转-50，即顺时针旋转 50。xyz 表示的是晶体坐标系。旋转切型形成的是切割刀具的坐标系 4p89-92 。压电有关理论和公式16 / 23切型(yxl)35表示在原始位置晶片厚度方向与 Y 轴重合，长度方向与 X 轴重合，然后坐标绕 X 轴旋转 35得到最后的晶片的取向，如图所示：IRE 标准定义的（YXl）35切型如果存在两次旋转，则需要 4 个字母表示，后面跟两个角

38、度，之间用斜线分开。如， （yzlt）40/50表示晶片原始厚度平行 y 轴，长度平行 z 轴，晶片第一次旋转围绕长度轴（z）逆时针旋转40，第二次旋转围绕厚度轴（y）旋转 50。如果存在三次旋转，则需要 5 个字母表示，后跟 3 个角度。如（yztwt ）30/40 /15表示晶片原始厚度平行 y 轴，长度平行 z 轴，晶片第一次围绕厚度轴逆时针旋转 30，第二次围绕宽度轴旋转50，第三次再围绕新的厚度轴逆时针旋转 15。按照 IRE 标准表示声表面波切型及传播形如(YXwlt)，先用二次旋转(首先绕 Z 轴旋转 ，然后绕 X轴旋转 确定基片的切向，然后再在晶片绕法线方向旋转 确定声表面波的

39、传播方向，如图所示4.1.2 常见切型 旋转 y 切族表示为（yxl），是晶片沿 x 轴（长度）旋转的切型。晶片法向为 y方向。对于石英，(yxl)30和(yxl) 49切型是厚度切变振动模式的谐振频率零温度系数切型；(yxl)压电有关理论和公式17 / 2338和(yxl)51切型是面切变振动模式的谐振频率零温度系数切型；(yxl)42.75切型是声表面波延迟温度系数为 0 的切型。 x 切族表示为（xyt），是晶片沿 x 轴（厚度）旋转的切型。晶片法向为 x 方向。对于石英，(xyt)5切型既是长度伸缩振动模式的谐振频率零温度系数切型，又是厚度弯曲振动模式的谐振频率零温度系数切型。 双转角

40、切族必须注意弹性耦合作用的影响。4.2 欧拉角表示为了描述绕定点运动的刚体在空间的方位，过定点 O 建立一固定坐标系 Oxyz 和一个固结于刚体上的动系 Oxyz，称为结体系，如下图所示（刚体未画出） 。其中 ： ON 为 xy 平面与 xy 平面之交线，称为节线。结体系（即刚体）的方位由下列三个角确定：进动角 、 章动角 、自转角 。 ， ， 称为欧拉角。欧拉角的形成过程如下图所示，表示欧拉角的形成步骤： 初始时结体系与定系重合，记为 x0y0z0 绕 z 轴转过 角x 1y1z； 此时 x、x 1（即 ON） 、y 和 y1 共面。 再绕 x1 轴（即节线 ON）转过 角x 1y2z ；此

41、时 Ox1y1 平面转到 Ox1y2，两平面之交线表为ON，称为节线；y 1，y 2，z 和 z 四轴共面，且与 ON 正交； 再绕 z 轴转过 角xyz，形成如上图所示之欧拉角。此时 N ，x ，y 2，y 四轴共面，且与 Oz 正交。压电有关理论和公式18 / 234.3 欧拉角与 IRE 切型之间的关系欧拉角表征声波在晶体中的传播，晶体为固定系，声波为结体系。在声表面波坐标系(x 1,x2,x3 )中，x1 轴与波的传播方向平行，x 2 轴平行于波的波阵面，x 3 轴为基片的法线方向。从晶轴坐标系(X,Y,Z)到声表面波坐标系(x 1,x2,x3 )需要经过三个连续地坐标旋转： 首先绕

42、Z 轴旋转 得到 新坐标系(X,Y,Z )； 然后绕 X 轴旋转 确定 了基片的切向，坐标变为(X,Y,Z )； 最后绕 Z 轴旋转 得到 声表面波坐标系。三个旋转角(，)称为 欧拉角，它确定了基片的切向和波 的传播方向。切型符号法表征的是晶体为固 定坐标系，切割刀具的方向。切型 符号法和欧拉角法表示的切向和传 播方向的含义是不同的。设欧拉角法旋转角度为(，)，切型符号法(YXwlt) 旋转角度为(，)，根据坐标转换可以建立两种表示法之间的联系为： 2例如，对石英晶体的 ST 切（(yxl)4246 ） ）X 传播，用切型符号法表示其角度为(0,42.75,0)，用欧拉角表示其角度为(0,132.75,0)。4.4 切型的选择选择依据：单频性好，压电活性高，温度系数小。单频性主要决定于晶片的弹性常数。例如，弹性柔顺常数 s，s ij 当 ij 时称为交叉弹性常数，表示两种应变之间的弹性耦合性质。为了获得单一的振动模式，要求交叉弹性常数等于或接近于 0。大的压电常数可提供大的压电活性并抑制不希望的耦合效应。4.4.1 频率温度特性压电晶片的温度频率特性方程为：f = f0(1 + a0(