1、现代控制理论,主讲：杨西侠山东大学网络教育学院,2,第4章 控制系统的状态空间设计,4.1 状态反馈和输出反馈 4.2 极 点 配 置 4.4 状态观测器设计 4.5 带状态观测器的状态反馈闭环系统,3,4.1 状态反馈与输出反馈,4.1.1 状态反馈将被控系统（A，B，C）的状态变量，按照线性 反馈的规律反馈至输入端，构成闭环系统，这种控制规律称为状态反馈。其方框图如下,其中：K称为状态反馈阵：r n常数阵,4,下面推导状态反馈闭环系统的数学模型,由此可见，经过状态反馈后，系数矩阵C和B没有变化，仅仅是系统矩阵发生了变化，变成了(A BK)。也就是说状态反馈矩阵K的引入，没有增加新的状态变量
2、，也没有增加系统的维数，但可以通过K阵的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统达到所要求的性能。,状态反馈律 u = r Kx,简记为K(A BK),B,C,5,412 输出反馈输出反馈是将受控系统的输出变量，按照线性反馈规律反馈到输入端，构成闭环系统。这种控制规律称为输出反馈。经典控制理论中所讨论的反馈就是这种反馈，其结构图如下。,6,状态反馈控制律为u = r H y,可得输出反馈闭环系统的状态空间表达式,简记为H(A BHC )，B，C。,由此可见，与状态反馈一样，经过输出反馈后，闭环系统同样没有引入新的状态变量，仅仅是系统矩阵变成了（A BHC）。比较这两种反馈形式，若令K = H
3、C，则Kx = HCx = Hy。因此输出反馈只是状态反馈的一种特殊情况。,7,4.1.3 闭环系统的能控性和能观测性,定理4-1 状态反馈不改变受控系统0(A，B，C)的能控性，但却不一定保持系统的能观测性。证明 因为原受控系统0(A,B,C )的能控性矩阵为 B AB An1B 而状态反馈闭环系统K的能控性矩阵为 B (A BK)B (A BK)n1B (A BK)B=AB BKB,这表明(A BK)B的列向量可以由B AB的列向量的线性组合来表示。(A BK)2B的列向量可以由B AB A2B的列向量的线性组合来表示。 B (A BK) (A BK) n 1B的列向量可以由B AB A
4、n 1B的列向量的线性组合来表示。因此有,8,rank B (A BK)B (A BK)n1B rank B AB An1B 而受控系统又可认为是系统K(A BK),B,C 通过K阵正反馈构成的状态反馈系统。于是有rank B AB An1B rank B (A BK)B (A BK)n1B 要使两不等式同时成立，只能是rank B AB An1B =rank B (A BK)B (A BK)n1B 所以状态反馈前后系统的能控性不变。,9,定理4-2 输出反馈系统不改变原受控系统0的能控性和能观测性。证明 因为输出反馈是状态反馈的一种特殊情况，因此输出反馈和状态反馈一样，也保持了受控系统的能控
5、性不变。关于能观测性不变，可由输出反馈前后两系统的能观测矩阵,仿照定理4-1的证明方法，可以证明上述两能观测性矩阵的秩相等，因此输出反馈保持原受控系统的能观测性不变。,和,10,解： Qc=B AB =,系统是能控的且能观测 。引入K = 3 1后，闭环系统K的状态空间表达式,0 1,2 1,例4-1 设系统的状态空间表达式为 试分析系统引入状态反馈K = 3 1后的能控性和能观测性。,1 2,7 4,系统K是能控的，但不是能观测的。,11,4.2 极点配置,控制系统的稳定性和动态性能主要取决于系统的闭环极点在根平面上的分布。因此在进行系统设计时，可以根据对系统性能的要求，规定系统的闭环极点应
6、有的位置。所谓极点配置，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵，使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希望的动态性能。 4.2.1 状态反馈极点配置1 极点配置定理定理4-3 受控系统0(A，B，C )利用状态反馈矩阵K，能使其闭环极点任意配置的充要条件是受控系统0完全能控。证明 为简单起见，设受控系统o为单变量系统，其状态空间表达式为,12, 充分性：即若0完全能控，则闭环极点必能任意配置。设0完全能控，则必存在非奇异线性变换 ，将它化成能控标准型,13,受控系统0的传递函数为,取状态反馈阵为,则闭环的系统矩阵 为,14,设希望的闭环极点为s1，s2，sn，则希望的闭环特征多项式为
7、(s s1) (s s2) (s sn) = sn + a1*s n 1 + an*,而闭环系统的传递函数为,其闭环特征多项式为,15,根据状态反馈控制律在线性变换前后的表达式,可得到原系统0的状态反馈阵为, 必要性：即若原系统0可由状态反馈任意配置极点，则0完全能控。采用反证法，即假设0通过状态反馈可任意配置极点，但0为不完全能控。因为系统0不完全能控，故必可采用线性变换，将系统分解为能控和不能控两部分，,引入状态反馈,16,对应的特征多项式为,系统变为,上式说明，利用状态反馈只能改变系统能控部分的极点，而不能改变不能控部分的极点。也就是说，在这种情况下，不可能任意配置系统的全部极点，这与假
8、设相矛盾，因此系统是完全能控的。必要性得证。,17,2 性质 状态反馈不能改变系统的零点。由上述定理的证明过程中，状态反馈前后传递函数的分子多项式相同，也就是说状态反馈不能改变系统的零点。由于状态反馈可以任意配置极点，因此有可能使系统产生零、极点对消，从而使状态反馈不能保持原系统的能观测性。这就回答了前面曾提出的问题。只有当原系统不含有零点时，状态反馈才能保持原系统的能观测性。该性质适用于单输入系统，但不适用于多输入系统。 当受控系统不完全能控时，状态反馈只能任意配置系统能控部分的极点，而不能改变不能控部分的极点 上述极点配置定理对多输入多输出系统也是成立的，区别在于后者的状态反馈阵K不是唯一
9、的，而对单变量系统K阵是唯一的。原因在于多输入多输出系统的能控标准形不是唯一的。,18,3 K阵的求法在以上充分性的证明过程中实际上已经给出了求取状态反馈K阵的方法。 利用能控标准形求K阵。首先求将0变换成能控标准形的线性变换P阵。然后根据要求的极点配置，计算状态反馈阵 。,该方法比较麻烦，但对高阶系统是一种通用的计算方法，在利用计算机求K阵时，通常采用这种方法。,最后将 变换成对原系统0的状态反馈阵K， 。,19, 直接求K阵的方法。首先根据要求的极点配置，写出希望的闭环特征多项式。然后令状态反馈闭环系统的特征多项式| sI (A BK) | = 希望的特征多项式 得到n个代数方程。求解这个
10、代数方程组，即可求出K阵。这种方法适用于低阶系统手工计算K阵的场合。,20,原系统是完全能控的，通过状态反馈可以实现任意的极点配置。设 K = k1 k2 则状态反馈闭环系统的特征多项式为,例4-2 已知系统的状态空间表达式为试求使状态反馈系统具有极点为 1和 2的状态反馈阵K。,解： 因为,21,而希望的特征多项式为(s+1) (s+2) = s2 + 3s + 2 可解得： k1 = 4，k2 = 1K = k1 k2 = 4 1 ,22,4.2.3 输出反馈极点配置,输出反馈有两种方式，下面均以多输入单输出受控对象为例来讨论。1输出反馈至状态微分,该受控系统的状态空间表达式为,则输出反馈
11、闭环系统为,23,定理4-4 采用输出至状态微分的反馈可任意配置闭环极点的充要条件是：受控系统状态完全能观测。证明 用对偶原理来证明。若（A，B，C）能观测，则对偶系统（AT，CT，BT）能控。由状态反馈极点配置定理可知，(AT CTHT)的特征值可任意配置。而(AT CTHT)的特征值与(AT CTHT)T = A HC的特征值是相同的，故当仅当（A，B，C）能观测时，可以任意配置（A HC）的特征值。证毕。该定理也可以用证明状态反馈极点配置定理的类似步骤来证明，并且可以看出输出至状态微分的反馈系统仍是能观测的，也未改变闭环零点，因此不一定能保持原受控系统的能控性。,24,2输出反馈至参考输入,u = r H y 则输出反馈闭环系统的状态空间表达式为,25,定理4-5 对完全能控的受控系统（A，B，C），不能采用输出线性反馈来实现闭环极点的任意配置。这一点用单输入单输出系统就可以说明，这时输出反馈阵H就是一个反馈放大系数。改变反馈放大系数，也就是改变开环传递系数。由根轨迹法可知，当改变开环传递系数时，闭环极点只能沿该系统的根轨迹曲线移动。所以闭环极点不能在根平面上任意配置。如果要任意配置闭环极点，系统必须加校正网络。这就要在输出线性反馈的同时，在受控系统中串联补偿器，即通过增加开环零极点的途径来实现极点的任意配置。,26,结 束,
