1、进 入,学案5 直线和平面所成的角与二面角,考点一,考点二,考点三,返回目录,1.直线和平面所成角及其范围平面的一条斜线，与它在平面内的射影所成的 ，叫这条直线与平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们就说这条直线与平面所成的角是 .一直线与平面平行或在平面内，我们说这条直线与平面所成的角是 .若表示直线与平面所成的角，则线面角的范围是 .,锐角,直角,0角,090,2.直线与平面所成角的性质及公式斜线与平面所成的角是这条直线与平面内的一切直线所成的角中 .公式：cos=cos1cos2.斜线AB与平面所成的角为1,A为斜足,AC在内，且与AB的射影成2角，BAC=，则有cos=cos1cos2
2、.,最小的角,返回目录,3.二面角及其平面角从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.一个平面垂直于二面角-l-的棱l，且与两个半平面的交线分别是射线OA,OB，O为垂足，则AOB叫做二面角-l-的 .平面角的范围是(0,180.4.两个平面互相垂直的判定定理及性质定理如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直.如果两个平面互相垂直，那么 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.,在一个平面内,半平面,平面角,一条垂线,返回目录,考点一 求线面角,【例1】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角.
3、,【分析】求线、面所成角的基本方法就是作出斜线在平面内的射影，得到直线和平面所成的角，通过解三角形或求出该角.,返回目录,【解析】解法一：如上图,连接BC1交B1C于O. ABCDA1B1C1D1为正方体， BOB1C. 又A1B1面B1BCC1，则A1B1BO， BO面A1B1CD，A1O是A1B在面A1B1CD上的射影.且BA1O是直线BA1与平面A1B1CD所成的角. 设正方体棱长为a，则A1B= a,BO= a. sinBA1O= ，BA1O=30. 因此，A1B与平面A1B1CD所成的角为30.,返回目录,【评析】求线面角的关键是找射影，而由斜线上一点作面的垂线时，需明确垂足的位置，
4、这样便于计算.,返回目录,对应演练,如图所示，四面体ABCS中，SA，SB，SC两两垂直，SBA=45,SBC=60,M为AB的中点.求： （1）BC与平面SAB 所成的角； （2）SC与平面ABC 所成角的正切值.,返回目录,（1）CSSB,CSSA,SC平面SAB， BC在平面SAB上的射影为SB, SBC为SB与平面SAB所成的角. 又SBC=60, 故BC与平面SAB 所成的角为60.,返回目录,（2）连结MC，在RtASB中，SBA=45, SMAB. 又ABSC，AB面SMC. 面SMC面ABC. 过点S作SOMC于点O， SO面ABC， SCM为SC与平面ABC所成的角. 设SB
5、=a,则SM= a, 在SBC中，SC=SBtan60= a, tanSCM= = .,返回目录,考点二 求二面角,【例2】如图，在长方体中，已知，.，分别是线段，上的点，且.求： （）二面角 的正切值； （）直线 与所成角的余 弦值.,返回目录,【分析】（1）利用三垂线定理作出二面角CDEC1的平面角，解三角形求得.（2）将两条异面直线平移为相交直线得到夹角.,【解析】解法一：如图所示,（）过作，垂足为，连结. 平面， 是在平面上的射影.,返回目录,由三垂线定理得. 是二面角的平面角. 在中，,ADE=45 CDG =90- 45=45. CGCDsinCDG4sin45= . tanCGC
6、1= .,返回目录,所以，于是为与所成的角或其补角.因为在BEF中，EF,(2)延长至点，使，连结EF,DE1, DE,DF.有DC， DC ，则四边形是平行四边形.,返回目录,在RtD中，在中，所以在中，由余弦定理得EDF,返回目录,【评析】本题主要涉及求异面直线所成的角和二面角.一般方法要求根据定义作出角来，再计算大小.,返回目录,对应演练,如图所示，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC=60,E,F分别是BC,PC的中点. (1)证明:AEPD; (2)若H为PD上的动点, EH与平面PAD所成最 大角的正切值为 ,求 二面角EAFC的余 弦值.,返回目录,
7、(1)证明:由四边形ABCD为菱形,ABC=60,可得ABC为正三角形. 因为E为BC的中点,所以AEBC. 又BCAD,因此AEAD. 因为PA平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE. 而PA 平面PAD,AD 平面PAD且PAAD=A, 所以AE平面PAD.又PD 平面PAD， 所以AEPD.,返回目录,(2)如图甲,设AB=2,H为PD上任意一点, 连结 AH,EH.由(1)知AE平面PAD, 则EHA为EH与平面PAD所成的角. 在RtEAH中,AE= , 所以当AH最短时,EHA最大, 即当AHPD时,EHA最大. 此时tanEHA= , 因此AH= .又AD=2,所以ADH=
8、45, 所以PA=2. 因为PA平面ABCD,PA平面PAC, 所以平面PAC平面ABCD.,返回目录,过E作EOAC于O,则EO平面PAC, 过O作OSAF于S,连结ES,则ESO为二面角EAFC的平面角, 在RtAOE中,EO=AEsin30= ,AO=AEcos30= , 又F是PC的中点, 在RtASO中,SO=AOsin45= , 又 在RtESO中,cosESO= , 即所求二面角的余弦值为 .,返回目录,考点三 面面垂直的判定和性质的应用,【例3】如图所示,ABC为正三角形，EC面ABC，BDEC且EC=CA=2BD，M为EA中点. 求证：（1）平面BDM平面ACE； （2）平面
9、DEA平面ECA.,【分析】要证面面垂直，首先想到判定定理，转为证线面垂直，再转换为证线线垂直.,返回目录,返回目录,【评析】证明线面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直.一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线与添加辅助线解决.,返回目录,返回目录,（1）证明：如图甲所示，连结BD，由ABCD是菱形且BCD=60知，BCD是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以BECD. 又ABCD，所以BEAB. 又因为PA平面ABCD， BE平面ABCD， 所以PABE.而PAAB =A,因此BE平面PAB. 又BE平面PBE，所以 平面PBE平面PAB.,返回目录,（2）如图乙所示，延长AD，BE相交于点F，连结PF. 过点A作AHPB于H，由（1）知平面PBE平面PAB，所以AH平面PBE. 在RtABF中， 因为BAF=60, 所以，AF=2AB=2=AP. 在等腰RtPAF中， 取PF的中点G，连 结AG，则AGPF.,返回目录,返回目录,1.几何法求角的一般步骤是：(1)找出或作出有关的平面角.(2)证明它符合定义.(3)归到某一三角形中进行计算，也就是说计算题要有推理过程.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
