1、172 勾股定理的逆定理(一)知识与技能 1体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2了解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程。过程与方法 通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合法的应用。教学目标情感态度与价值观1、 通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的关系。2、 通过“创设情景建立模型实验探究理论释意拓展应用”的勾股定理的逆定理的探索过程，经历知识的发生、发展、形成和应用的过程；重点 掌握勾股定理的逆定理及证明。难点 勾股定理的逆定理的证明。教学过程教学设计 与 师生互动 备 注第一步：复习巩固：创设情境：怎样
2、判定一个三角形是等腰三角形？怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。第二步：应用提高：例 1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？同旁内角互补，两条直线平行。如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半。分析：每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。解略。例 2（P82 探究）证明：如果三角形的三
3、边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。分析：注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。abcabB CA A1C1B1先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边 A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实
4、践到理论学生更容易接受。证明略。例 3（补充）已知：在ABC 中，A、B 、C 的对边分别是a、b、c，a=n 21，b=2n ，c=n 21（n1）求证：C=90。分析：运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断那条边最大。分别用代数方法计算出 a2+b2 和 c2 的值。判断 a2+b2 和 c2 是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。要证C=90，只要证ABC 是直角三角形，并且 c 边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明 a2+b2=c2 即可。由于 a2+b2= （n 21） 2（2n） 2=n42n 21，c 2=（n 21） 2=
5、n42n 21，从而a2+b2=c2，故命题获证。第三步：精选精练：1判断题。在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。命题：“在一个三角形中，有一个角是 30，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。ABC 的三边之比是 1：1： ，则ABC 是直角三角形。22ABC 中A、B 、C 的对边分别是 a、b、c ，下列命题中的假命题是（ ）A如果CB=A，则ABC 是直角三角形。B如果 c2= b2a2，则ABC 是直角三角形，且C=90。C如果（c a） （ca
6、）=b 2，则ABC 是直角三角形。D如果A：B：C=5 ：2：3，则ABC 是直角三角形。3下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）Aa=8，b=15 ，c=17Ba=9，b=12，c=15Ca= ，b= ，c=532Da：b：c=2：3：44已知：在ABC 中，A、B 、C 的对边分别是 a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ a= ，b= ，c= ； a=5，b=7，c=9；25a=2，b= ，c= ； a=5，b= ，c=1。3762第四步：课后练习1叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。如果 a30，那么 a20；如果三角形有一个角小于
7、 90，那么这个三角形是锐角三角形；如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；关于某条直线对称的两条线段一定相等。2填空题。任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。“两直线平行，内错角相等。 ”的逆定理是 。在ABC 中，若 a2=b2c 2，则ABC 是 三角形， 是直角；若 a2b 2c 2，则B 是 。若在ABC 中，a=m 2n 2，b=2mn ，c= m 2n 2，则ABC 是 三角形。3若三角形的三边是 1、 、2； ； 3 2，4 2，5 2 351,439，40，41； （mn） 21，2（mn） ， （mn） 21；则构成的是直角三角形的有（ ）A2 个 B个 个 个4
8、已知：在ABC 中，A、B 、C 的对边分别是 a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a=9，b=41，c=40； a=15，b=16，c=6；a=2，b= ，c=4； a=5k，b=12k，c=13k（k0） 。32课后反思：182 勾股定理的逆定理（二）知识与技能 1进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。2灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。教学目标过程与方法 通过练习，进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其应用。情感态度与价值观 培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。重点 灵活应用勾股定理及逆定理解
9、决实际问题。难点 灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。教学过程教学设计 与 师生互动 备 注第一步：复习巩固：创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。第二步：应用提高：例 1（P83 例 2）分析：了解方位角，及方位名词；依题意画出图形；依题意可得 PR=121.5=18，PQ=161.5=24， QR=30；因为242+182=302，PQ 2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知QPR=90；PRS=QPR-QPS=45 。小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。例 2（补充）一根 30 米长的细绳折成 3 段，围成一个三
10、角形，其中一条边的长度比较短边长 7 米，比较长边短 1 米，请你试判断这个三角形的形状。分析：若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；设未知数列方程，求出三角形的三边长 5、12、13；根据勾股定理的逆定理，由 52+122=132，知三角形为直角三角形。解略。第三步：精选精练：1小强在操场上向东走 80m 后，又走了 60m，再走 100m 回到原地。小强在操场上向东走了 80m 后，又走 60m 的方向 是 。2如图，在操场上竖直立着一根长为 2 米的测影竿，早晨测得它的影长为 4 米，中午测得它的影 长为 1 米，则A、B、 C 三点能否构成直角三角形？ 为什么？3如图，在我国沿海有一
11、艘不明国 籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即 从相距 13 海里的A、B 两个基地前去拦截，六分钟后同 时到达 C 地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行 120 海里，乙巡逻艇每 小时航行 50 海里，航向为北偏西 40，问：甲巡逻艇的 航向？PNESQRENA BCB ACD第四步：课后练习1一根 24 米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。2一根 12 米的电线杆 AB，用铁丝 AC、AD 固定，现已知用去铁丝 AC=15 米，AD=13 米，又测得地面上 B、C 两点之间距离是 9 米，B、D 两点之间距离是 5 米，则电线杆和地面是否
12、垂直，为什么？3如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得 AB=4 米，BC=3 米，CD=13 米，DA=12 米，又已知B=90。课后反思：182 勾股定理的逆定理（三）知识与技能1、应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。 2、灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。3、进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。过程与方法 通过练习，进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其综合应用。教学目标情感态度与价值观 在探究勾股定理的逆定理的证明及应用的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作
13、的意识和探究精神重点 利用勾股定理及逆定理解综合题。难点 利用勾股定理及逆定理解综合题。教学过程教学设计 与 师生互动 备 注第一步：复习巩固：勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。第二步：应用提高：例 1（补充）已知：在ABC 中，A、B 、C 的对边分别是 a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。试判断ABC 的形状。AB CDD CABAB CDE分析：移项，配成三个完全平方；三个非负数的和为 0，则都为 0；已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。例 2（补充）已知：如图，四边形ABCD，AD BC，A
14、B=4，BC=6 ，CD=5，AD=3。求：四边形 ABCD 的面积。分析：作 DEAB，连结 BD，则可以证明ABD EDB（ASA ） ；DE=AB=4， BE=AD=3，EC=EB=3；在DEC 中，3、4、5 勾股数，DEC 为直角三角形，DEBC；利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。例 3（补充）已知：如图，在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD2=ADBD。求证：ABC 是直角三角形。 分析：AC 2=AD2+CD2，BC 2=CD2+BD2AC 2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2ADBD+BD2=（AD+BD） 2=AB2第三步：精选精练：1若ABC
15、 的三边 a、b、c，满足（ab） （a 2b 2c 2）=0，则ABC 是（ ）A等腰三角形；B直角三角形；C等腰三角形或直角三角形；D等腰直角三角形。2若ABC 的三边 a、b、c，满足 a：b：c=1：1：，试判断ABC 的形状。3已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC= ，CD= ，AD=3，且431ABBC。求：四边形 ABCD 的面积。4已知：在ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，且 CD2=ADBD。求证：ABC 中是直角三角形。第四步：课后练习1若ABC 的三边 a、b、c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求 ABC 的面积。2在ABC 中，AB=1
16、3cm ，AC=24cm ，中线 BD=5cm。求证：ABC 是等腰三角形。3已知：如图，1=2，AD=AE，D 为 BC 上一点，且 BD=DC，AC 2=AE2+CE2。求证：AB 2=AE2+CE2。4已知ABC 的三边为B ACDAB CDB CAEDa、b、c，且 a+b=4，ab=1，c= ，试判定ABC 的形状。 14课后反思：183 勾股定理小结与复习知识与技能1、对直角三角形的特殊性质全面地进行总结。 2、让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理得获得和验证的过程；体会勾股定理及其逆定理得广泛应用。3、说出勾股定理的历史。过程与方法 1、体会在结论获得和验证过程中
17、的数形结合的思想方法。2、在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力。教学目标情感态度与价值观1在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣。2通过对勾股定理历史的了解，培养爱国主义精神，体验科学给人来带来的力量。重点1回顾并思考勾股定理及其逆定理获得和验证的过程，总结直角三角形边、角之间分别存在的关系。2体会勾股定理及其逆定理在生活中的广泛应用。难点 1勾股定理及其逆定理的广泛应用。2建立本章的知识框架图。教学过程教学设计 与 师生互动 备 注（一）引入新课勾股定理，我们把它称为世界第一定理。它的重要性。通过这一章的学习已深有体验，首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解
18、勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理得发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在实数一章里讲到，第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到 1995 年，数学家怀尔斯才将它证明。勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用。（二）回顾与思考问题 1：直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？教师引导，小组讨论、总结：生： 从边的关系来说，当然就是勾股定理；从
19、角度的关系来说，由于直角三角形中有一个特殊的角即直角，所以直角三角形的两个锐角互余。生： 我认为直角三角形作为一个特殊的三角形。如果又有一个锐角是 30，那么30的角所对的直角边时斜边的一半。问题 2：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形。生 判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断。（1）从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形。例如：在 ABC中， =75， C1，根据三角形的内角和定理，可得=90，根据定义可判断 是直角三角形。在 中，123，有三角形的内角和定理可知+2380，所以 0， B2A=60， C3=90，是直角三角形。（2）从边出发来判断一个三角形是直角
20、三角形。其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件（即勾股定理得逆定理） 。 例如：在 ABC的三条边分别为 a=7 ，b=25，c=24，而222a+c=7465=b，即 2a+cb，根据勾股定理得逆定理可知 AB是直角三角形，但这里要注意的是 b 所对的角 B=90。在 三条边的比为 : 5:13，则可设 a5k ,b=12,c3k，222bk19k， 2()6，所以， +， C是直角三角形。问题 3 重温一下勾股定理得获得和验证的过程是什么？体会验证过程中的数形结合的思想和方法。生： 勾股定理获得是从一些特例猜想得到的，我们在方格纸上任意画出一个直角三角形，使他的每个顶
21、点都在方格纸的交点上，然后以它的每个边为边长在外部长出三个正方形，我们通过讨论、计算、数格子的方法得到了三个正方形的面积，并且发现以斜边为边长的正方形的面积等于那两个以直角三角形的两直角边为边长的正方形的面积和，我们设直角三角形的两直角边为 a、b，斜边为 c，大正方形的面积 2c，两个小正方形的面积为 2a、 b，由上面的关系，我们猜想，是不是所有的直角三角形都有2+= c这个结论呢？先是又找了几个特例验证，发现这个结论正确，但是我们不可能把所有的直角三角形都拿来验证，仅此说明它对正确，又不可信，接下来，我们就用先人的方法拼图，从一般意义上证明了勾股定理：取四个全等的直角三角形，将他们拼摆，
22、得到一个以斜边为边长的正方形，通过用两种方法表示拼出的整个图形的面积，找到相等关系，从而得到勾股定理。师：在我们的数学史上，好多结论的发现都是这样一个过程，都是从几个或大量的特例中发现规律，大胆猜想出结论，然后以前面的理论作为基础，证明猜想，一个伟大的成果就诞生了，掌握这种研究数学的方法，大胆创新，刻苦钻研，说不一定你就是未来的商高，第二个赵爽。 问题 4：请你举生活中的一个实例，并运用勾股定理理解决它。（这个问题可让学生在小组内先交流讨论，实例已由学生事先准备好，然后每组推存一个最好的实例，展示给全班同学，在全班进行交流）生 例如：台风使一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形
23、成气旋风暴，有极强的破坏力，如下图，据气象观测，距沿海城市 A 的正南方向 260 千米B 处有一台风中心，沿 BC 的方向以 15 千米/时的速度向 D 移动，已知 AD 是城市 A 距台风中心的距离最短，且 AD=10千米，求台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？解：根据题意可知 ADBC，在 Rt中， =260千米， =10千米， 22AB=D+，所以222BD= -14， 千米，则台风中心经过 240 千米15千米/时，=16（小时）从 B 点移到 D 点。生 例如：一个长为 10 米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为 8米，梯子的顶端下滑 2 米后，底端将水平滑动
24、2 米吗？试说明理由。 解：根据题意，可知：下图中 =E10米， C=8米， 2米，所以C=8-6米。在 RtABD中， 222C=-A10-8=36， BC米，在 RtDE中，22CE=-10-68， E米，则 E-8=2米。所以顶端向下滑动 2 米，底端也水平滑动 2 米。问题 5：你了解勾股定理的史料吗？ 我们从学习这一章开始，就让同学们通过各种渠道收集勾股定理史料，现找学生介绍一下他们收集到有关勾股定理的史料。 （三）知识结构通过回顾与思考中的问题的交流，由同学们自己建立本章的知识结构图。 （四）板书设计小结与复习1回顾与思考问题 1：直角三角形的边、角之间分别存在什么关系？问题 2：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形？在 ABC中，如果 +B=90，则 AC是直角三角形。如果22abc，则 是直角三角形。问题 3 重温一下勾股定理得获得和验证的过程是什么？问题 4：举生活实例，用勾股定理解决它。例 1台风问题例 2梯子问题问题 5：勾股定理史料2本章知识结构图课后反思：
