1、圆和圆的位置关系例题与变式例 1 已知：如图，O 1与O 2相切于点 T，直线 AB、CD 经过点 T，交O 1于点 A、C，交O 2于点 B、D.求 证：ACBD分析：这是课本题目，题目中只说明两圆相切，所以证明时要分两种情况画图。过点 T 作两圆的公切线，利用弦切角定理说明A=B（TAC=TBD）或 者C=D（TCA=TDB） ，由于这是课本题目， 大家都练习过，所以这里不再详细书写了。证明略。变式训练：已知：半径不等的O 1与O 2相切于点 P，直线 AB，CD 都经过切点 P，并且 AB 分别交O 1、O 2于 A、B 两点，CD 分别交O 1、O 2于 C、D 两点（点 A、B、C、
2、D、P 互不重合） ，连结 AC 和 BD.(1) 请根据题意画出图形；(2) 根据你所画的图形，写出一个与题设有关的正确结论，并证明这个结论（结论中不能出现题设以外的其他字母） 。 （2002 年福州市）例 2、如图：已知O 1和O 2 相交于 A、B 两点，P 是O 1上一点，PB的延长线交O 2 于点 C，PA 交O 2于点 D，CD 的延长线交O 1于点 N。（1）过点 A 作 AECN 交O 1于点 E，求证：PAPE；（2）连结 PN，若 PB4，BC2，求 PN 的长。 （2003 年重庆市）分析：（1）要证 PAPE，即要证PAEE，所以连结 AB，利用圆内接四边形性质、同弧所
3、对的圆周角相等及 AECN 即可得证。（2）要求 PN 的长，可通过证明PDNPNA，得 PADN2， 利用由割线定理：PBPCPDPA 即可求得 PN 的长。（1）证明：连结 AB四边形 AEPB 是O 1的内接四边形ABCE 在O 2中，ABCADCADCEO1 O2TABCDO2T O1BDAC1O2 O1 NDEAPBC 第 105题 答 案 图 2 例 2 图又AECNADCPAE故PAEEPAPE（2）连结 AN四边形 ANPB 是O 1的内接四边形ABCPNA由（1）可知PDNADCABCPDNPNA又DPNNPAPDNPNA PADN2又在O 2中，由割线定理：PBPCPDPA
4、 62)4(CB反思:在解两圆相交的题中，构造公共弦是常用的辅助线，并常用到圆内接四边形性质、同弧所对的圆周角相等、相交弦、切割线定理等；两圆相切作公切线及连连心线也是常用的辅助线。练习与反馈一 选择题（每题只有一个正确答案）1、若两圆相交，则这两圆的公切线（ ）A、只有一条 B、有两条C、有三条 D、有四条2、如果两圆的半径分别为 3cm 和 5cm，圆心距为 10cm，那么这两个圆的公切线共有（ ）A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条3、如果两圆半径分别为 3 和 7，圆心距为 4，那么这两圆的位置关系是（ ） 。A、内含 B、内切 C、相交 D、外切4、如图，两个等圆O 和O外
5、切，过 O 作O的两条切线OA、OB，A、B 是切点，则AOB 等于 （ ）A.30 B.45 C.60 D.90 5、如图，O 1与O 2相交，P 是O 1上的一点，过 P 点作两圆的切线，则切线的条数可能是（ ）A、1，2 B、1，3 C、1，2，3 D、1，2，3，46、已知两圆外公切线的长为 l，两圆半径分别为 R、 r（ ） ，若Rrl，则两圆的位置关系为（ ）A、外离 B、外切 C、相交 D、内切7、圆心距为 6，直径分别是方程 的两根的两圆位置关系0762x是（ ）A、外离 B、外切 C、相交 D、内切8、两圆的半径分别是 R 和 r，圆心距 d，且满足关系式，则两圆的公切线共有
6、（ ）)2()(drR（A、1 条 B、3 条 C、4 条 D、1 条或 3 条二 填空1、若半径不相等的两个圆有唯一公共点，则此两圆的公切线有 条。2、如果两个圆的半径分别是 3cm 和 5cm，圆心距为 7cm，那么这两个圆有 条公切线。3、已知：O 1的半径为 3，O 2的半径为 4，若O 1与O 2相外切，O OAB4O2O1 第 5题 图 则 O1O2 。4、两圆相切，圆心距为 5，其中一个圆的半径为 4，则另一个圆的半径为 .5、如图：这是某机械传动部分的示意图，已知两轮的外沿直径分别为 2 分米和 8 分米，轴心距为 6 分米，那么两轮上的外公切线长为 分米。三、解答题1 已知，
7、如图，O 1与O 2外切于点 A，BC 是O 1与O 2的外公切线，B、C 为切点，AT 为内公切线，AT 与 BC 相交于点 T.延长 BA、CA，分别与两圆交于点 E、F，求证：ABAC=AEAF2、如图，已知：O 和O相交于 A、B 两点，过点 A 作O的切线交O 于点 C，过点 B 作两圆的割线分别交O、O于点E、F.EF 与 AC 相交于点 P.求证：（1）PAPE=PCPF（2） PBFCE2 第 50题 图 5 题图O1FO2ABECT1OE OAC FPB23、已知：如图，O 1 和O 2外切于点 D，BC 是两圆的外公切线，切点为 B、C，AD 为O 1的直径.(1) 求证：
8、ABCD(2) 若 AB=4，CD=9，求 BD 的长。归纳小结：解圆的有关证明题或计算题时，常常需要添加辅助线来沟通已知条件和所求的结论的联系。因此我们需掌握一些作辅助线的基本方法，如：已知条件中有圆的弦，常作弦心距，以便利用垂径定理；若已知条件中有圆的直径，可构造直径上的圆周角，以便利用直角三角形的性质；若已知条件中有圆的切线，可连结圆心和切点，以便利用切线的性质；若已知条件有两圆相交，可连结两圆的公共弦，以便沟通两圆的角的关系；若已知条件中有两圆相切，可过切点作两圆的公共切线，来沟通两圆的角的关系。四、课外作业1、已知O 1的半径为 5，O 2半径为 6，O 1 O24，则两圆的位置关系
9、是_。2、两圆相切，圆心距为 10，其中一个圆的半径为 8，则另一个圆的半径为 。O1 O2B CDA33、已知O 1和O 2的半径分别是 5cm 和 7cm，圆心距 O1O2是 3cm，那么这两个圆的位置关系是（ ）A、外离 B、外切 C、相交 D、内切4、两圆的半径分别为 3 和 5，圆心距为 1，则两圆的位置关系是（ ）A、外切 B、内切 C、相交 D、内含5、若两圆外切，则这两圆的公切线有( )A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4条A 组6、如图，O 1 和O 2外切于 C，O 1 和O 2的连心线与外公切线相交于点 P，外公切线与两圆的切点分别为 A，B，且 AC=4，BC=5
10、.(1)求线段 AB 的长；（2）证明：（2002 年杭州市）BAC2B 组7、如图O 与O相交于 A、B 两点，点 O 在O上，O的弦 OC交 AB 于点 D 求证：OA OCOD；2 如果 ACBC OC，O 的半径为 r求证：AB （南京3 r32003）第 7 题图O1 O2CPAB6圆和圆的位置关系参考答案变式训练：(1)如图；（2）以两圆外切为 例。第一种结论：ACBD证明：略第二种结论：APCBPD.证明：过 P 作两圆公切线 MN，MPA=C，NPB=DAPM=NPB，C=DAPC=BPD，APCBPD.第三种结论：O 1 P O2 三点共线（或连心线 O1O2必过切点 P）.
11、证明：圆是轴对称图形，相切的两圆也组成一个轴称图形 ，连心线 O1O2是两圆的对称轴，O 1 P O2三点共线（或连心线 O1O2必过切点 P）一、1、B 2、D 3、B 4、C 5、C 6、B 7、A 8、D二、1、3 2、2 3、7 4、1 或 9 5、 3三、解答题O2 O1PBADCO1P O2ACBD1MNMN1、连结 BF、CE 先证三角形 BAC 是直角三角形，再证 RtABFRtAEC 即可。2、 （1）两圆相交常连结两圆的公共弦，通过证PECPFA，得出结论。（2）由于弦 AC、BE 相交于点 P，由相交弦定理可得PEPB=PAPC，再利用（1）的结论可证 BFCE23、 （1）过点 D 作两圆的公切线，证BDC=90；（2）证ABDBDC.四、课外作业1、相交 2、2 或 18 3、C 4、D 5、C6、解：（1）由已知条件可得AO 1O2+BO 2O1=180，对CAB+CBA=（AO 1O2+BO 2O1）=90所以ACB=90，AB= =2541（2）证PCAPBC 有 ，即证得PCABPBA27、证明：（1）连结 OB，证AOCDOA 即可；（2）由AOCDOA，得 。同理可得ODAC,即 ，BOBDOABCrrA3,3
