1、22.3 实际问题与一元二次方程(3)教学内容根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题教学目标掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题重难点关键1 重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题2 难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（口述）1直角三角形的面积公式是什么？ 一般三角形的面积公式是什么呢？2正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3梯形的面积公式是什么？4菱形
2、的面积公式是什么？5平行四边形的面积公式是什么？6圆的面积公式是什么？（学生口答，老师点评）二、探索新知现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题例 1某林场计划修一条长 750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6m2， 上口宽比渠深多 2m，渠底比渠深多 0.4m（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土 48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为 xm，则上口宽为 x+2， 渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模解：（1）设渠深为 xm则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m依
3、题意，得： 12（x+2+x+0.4）x=1.6整理，得：5x 2+6x-8=0解得：x 1= 45=0.8m，x 2=-2（舍）上口宽为 2.8m，渠底为 1.2m（2） .6708=25 天答：渠道的上口宽与渠底深各是 2.8m 和 1.2m；需要 25 天才能挖完渠道学生活动：例 2如图，要设计一 本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm， 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形， 如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽， 应如何设计四周边衬的宽度（精确到 0.1cm）？九 年级 练数 学 习同步老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于
4、封面的长宽之比9：7 ， 由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为 9：7 ，设上、下边衬的宽均为 9xcm， 则左、右边衬的宽均为 7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（ 27-18x）cm，宽为（21-14x ）cm 因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的 14，则中央矩形的面积是封面面积的所以（27-18x ） （21-14x ） = 342721整理，得：16x 2-48x+9=0解方程，得：x= 6，x12.8cm，x 20.2所以：9x 1=25.2cm（舍去） ，9x 2=1.8cm，7x 2=1.4cm因此，上下边衬的宽均为 1.8cm，左、右边衬的宽均为 1.4cm三、巩固
5、练习有一张长方形的桌子，长 6 尺，宽 3 尺，有一块台布的面积是桌面面积的 2 倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到 01 尺）四、应用拓展例 3如图（a） 、 （b ）所示，在ABC 中B=90，AB=6cm ，BC=8cm，点 P 从点 A开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度运动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度运动（1）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经过几秒钟，使 SPBQ=8cm2（2）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进，Q 到C后又继续在
6、CA 边上前进，经过几秒钟，使PCQ 的面积等于 12.6cm2 （友情提示：过点 Q作 DQCB，垂足为 D，则： C）(a) BACQP(b) BACQ DP分析：（1）设经过 x 秒钟，使 SPBQ=8cm2，那么 AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型（2）设经过 y 秒钟，这里的 y6 使PCQ 的面积等于 12.6cm2因为 AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于 PA=y，CP=（14-y） ，CQ=（2y-8） ，又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模解：（1）设 x 秒，点 P 在 AB 上，点 Q 在
7、 BC 上，且使PBQ 的面积为 8cm2则： 2（6-x）2x=8整理，得：x 2-6x+8=0解得：x 1=2，x 2=4经过 2 秒，点 P 到离 A 点 12=2cm 处，点 Q 离 B 点 22=4cm 处，经过 4 秒，点P 到离 A 点 14=4cm 处，点 Q 离 B 点 24=8cm 处，所以它们都符合要求（2）设 y 秒后点 P 移到 BC 上，且有 CP=（14-y）cm，点 Q 在 CA 上移动，且使CQ=（2y-8 ）cm，过点 Q 作 DQCB，垂足为 D，则有 CAAB=6 ，BC=8由勾股定理，得：AC= 268=10DQ= 6(28)(4)105y则： （14
8、-y） =12.6整理，得：y 2-18y+77=0解得：y 1=7，y 2=11即经过 7 秒，点 P 在 BC 上距 C 点 7cm 处（CP=14-y=7） ，点 Q 在 CA 上距 C 点 6cm 处（CQ=2y-8=6 ） ，使PCD 的面积为 12.6cm2经过 11 秒，点 P 在 BC 上距 C 点 3cm 处，点 Q 在 CA 上距 C 点 14cm10，点 Q 已超过 CA 的范围，即此解不存在本小题只有一解 y1=7五、归纳小结本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题六、布置作业1教材综合运用 5、6 拓广探索全部2选用作业
9、设计:一、选择题1直角三角形两条直角边的和为 7，面积为 6，则斜边为（ ） A 37 B5 C 38 D72有两块木板，第一块长是宽的 2 倍，第二块的长比第一块的长少 2m，宽是第一块宽的3 倍，已知第二块木板的面积比第一块大 108m2，这两块木板的长和宽分别是（ ） A第一块木板长 18m，宽 9m，第二块木板长 16m，宽 27m;B第一块木板长 12m，宽 6m，第二块木板长 10m，宽 18m;C第一块木板长 9m，宽 4.5m，第二块木板长 7m，宽 13.5m;D以上都不对3从正方形铁片，截去 2cm 宽的一条长方形，余下的面积是 48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）
10、 A8cm B64cm C8cm 2 D64cm 2二、填空题1矩形的周长为 8 2，面积为 1，则矩形的长和宽分别为_2长方形的长比宽多 4cm，面积为 60cm2，则它的周长为_3如图，是长方形鸡场平面示意图，一 边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为 150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_三、综合提高题1如图所示的一防水坝的横截面（梯形） ，坝顶宽 3m，背水坡度为 1：2，迎水坡度为1： 1，若坝长 30m，完成大坝所用去的土方为 4500m2，问水坝的高应是多少?（说明：背水坡度 CFB= 2，迎水坡度 1DEA） （精确到 0.1m）BACEDF2在一
11、块长 12m，宽 8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为 8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?3谁能量出道路的宽度:如图 22-10，有矩形地 ABCD 一块，要在中央修一矩形花辅 EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具， 只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行BACEDH GF答案:一、1B 2 B 3D二、12 + 7 2 - 2 32cm 3 20m 和 7.5m 或 15m 和 10m三、1设坝的高是 x，则 AE=x，BF=2x，AB=3+3x ，依题意，得： 12（3+3+3x）x30=4500整理，得：x 2+2x-100=0解得 x 0.即 x9.05（m）2设宽为 x，则 128-8=28x+2（12-2x ）x整理，得：x 2-10x+22=0解得：x 1=5+ 3（舍去） ，x 2=5- 33设道路的宽为 x，AB=a，AD=b则（a-2x） （b-2x）= ab解得：x= 14 （a+b）- 2ab量法为：用绳子量出 AB+AD（即 a+b）之长，从中减去 BD 之长（对角线 BD=2ab） ，得 L=AB+AD-BD，再将 L 对折两次即得到道路的宽 4ABD，即24
