1、第七章 函数逼近用简单的函数 p(x)近似地代替函数 f (x)，是计算数学中最基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数 f (x)称为被逼近的函数，p (x) 称为逼近函数，两者之差)(R称为逼近的误差或余项在计算数学里，所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函数，如有理分式函数、多项式等。由于多项式最简单，计算其值只需用到加、减与乘三种运算，且求其微分和积分都很方便，所以常用它来作为逼近函数，而被逼近的函数 f (x)一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。不过，它要求函数 p (x)与 f (x
2、)在节点处具有相同的函数值 (甚至要求有相同的导数值)，但在非节点处，p (x) 虽然有可能很好地逼 f (x)，但也可能使逼近 f (x) 的误差很大，如果实际问题要求 p (x)在区间a, b 上每一点都“很好”地逼近的话，用插值多项式 p (x) 去逼近 f (x)有时就要失败，所谓龙格现象，就是典型一例。大家知道，用 f (x)的泰勒(Taylor)展开式 )()()!1!)2)(010( 0(200之 间与在 xxnf nfxfnn的部分和去逼近函数 f (x)，也是常用的方法。这种方法的特点是：x 越接近于 x0，误差就越小，x 越偏离 x0，误差就越大。若要使这种逼近在整个所讨论
3、的区间上都达到精度要求，则需取很多项，这样，计算工作量就大大增加。因此，如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题，这个问题的一般提法是：对于函数类 A 中给定的函数 f (x)，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类 B( A)中寻找一个函数 p (x)，使 p (x)与 f (x)之差在某种度量意义下最小。一般，最常见的函数类 A 是区间a, b 上的连续函数，记作 Ca, b。最常用的函数类 B 有代数多项式、三角多项式以及有理分式函数等。最常用的度量标准有两种：(一) 一致逼近以函数 f (x)和 p (x)的最大误差ma,fb作为度量误差 f (x) - p
4、 (x)的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近，讲得更具体一点，也即对于任意给定的一个小正数 0，如果存在函数 p (x)，使不等式 )(maxpfb成立，则称该函数 p (x)在区间 a, b上一致逼近或均匀逼近于函数 f (x)。(二) 平方逼近：如果我们采用 dxpxfba2)(作为度量误差 的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼近称为平方逼近或)(均方逼近。这种方法要比一致逼近的相应问题简单得多。本章主要介绍在这两种度量标准下用代数多项式 p (x)去逼近区间 a, b上的连续函数，也就是介绍函数的最佳一致逼近多项式和最佳平方逼近多项式。由于正交多项式是函数逼近
5、的重要工具，因此，下面先介绍几种常见的正交多项式。7.1 正交多项式一、正交函数系的概念高等数学中介绍傅立叶(Fourier) 级数时，证明过函数系；1， cosx，sin x，cos2x ，sin2 x，connx，sin nx， (7.1)中任何两个函数的乘积在区间- , 上的积分都等于 0。我们称这个函数中任何两个函数在- , 上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：（7.2)nxxxsi1,co,sin1,co,21 那么这个函数系在- , 上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每一个函数自乘之积，在- ,
6、上的积分是 1。为了使讨论更具有一般性，先要介绍一些基本概念。1权函数的概念定义 7.1 设 (x)定义在有限或无限区间 a, b上，如果具有下列性质：(1) (x) 0，对任意 x a, b，(2) 积分 存在，( n = 0, 1, 2, )，dnba)(3) 对非负的连续函数 g (x) 若 。badx0(则在(a, b) 上 g (x) 0，我们就称 (x)为a, b 上的权函数。在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有：；1)(,ba2, xeba)(,0, 2, x等等。2内积的概念定义 7.2 设 f (x)，g (x) C a, b， (x)是 a, b上
7、的权函数，则称badgf(,为 f (x)与 g (x)在a, b上以 (x)为权函数的内积。内积有如下性质：(1) (f, f )0，且(f, f )=0 f = 0；(2) (f, g) = (g, f )；(3) (f1 + f2, g ) = (f1, g) + (f2, g)；(4) 对任意实数 k，(kf , g) = k (f, g )。这些性质，由内积的定义不难得到证明。3正交性的概念定义 7.3 设 f (x)，g(x) C a, b若badxf0)(,(则称 f (x)与 g (x)在a, b上带权 (x)正交。定义 7.4 设在a, b上给定函数系 ，若满足条件 ),(,
8、)(,10xn)(,0,)(,( 是 常 数kkkj AjjAx则称函数系 k (x)是a, b上带权 (x)的正交函数系，特别地，当 Ak 1 时，则称该函数系为标准正交函数系。若定义 7.4 中的函数系为多项式函数系 ，则称)(,0xp为以 (x)为权的在a, b上的正交多项式系。并称 pn(x)是a, b上带权 (x)的 n 次)(pk正交多项式。例 1 验证多项式： 在 上带权 (x) = 1 两两正交。31,2x,解 容易验证 10xd1231132 0dxdxx而 120x1d1203x由定义 7.4，结论成立。有了以上的基本概念，下面我们介绍几个常用的正交多项式。二、常用的正交多
9、项式1切比雪夫( )多项式切比雪夫多项式具有很多重要性质，是函数逼近的重要工具，并且有广泛的应用。定义 7.5 称多项式)2,101( )cosnar() nxxxTn(7.3)为 n 次的切比雪夫多项式(第一类)。切比雪夫多项式 Tn (x)具有以下性质：(1) 正交性：由 T n (x)所组成的序列 Tn (x)是在区间-1, 1上带权21)的正交多项式序列。且(7.4) 0,2,0)(12 nmdxTxnm证 因为 ，)arcos()(Tn令 ， 则 ，cosxnxn于是 0,2,0cos)sin(si1)(1002 nmdmddTxnm (2) 递推关系相邻的三个切比雪夫多项式具有三项
10、递推关系式：(7.5) ),21()(2)(,110 nxTxTnn证 显然，n = 0 时， 时，;0 x当 n1 时，令 x = cos ，则 xncos)(由三角恒等式cos2)1cos()cs( nn即得 )()()(11xTxTnnn移项就得上述递推关系(7.5)。由三项递推关系式可依次写出如下常用的前面几个切比雪夫多项式的表达式： 。1321602518)( ,76483,)(18,42)(,14877 243552330 xxxTxxTxT可见 Tn (x)也是普通的 n 次多项式。(3) 奇偶性：切比雪夫多项式 Tn (x)，当 n 为奇数时为奇函数；n 为偶数时为偶函数。这是
11、因为)(1)cosar()1( cosarcos xTxnn (4) Tn (x)在区间-1, 1上有 n 个不同的零点。),2,(,2)(cosnkk 证 由于 xn令 0)(T有 ),21(2/ nkk所以在区间 0 上有 n 个值k)1(使 cos即 在0, 中有 n 个不同的零点，且由于 Tn (x)是 n 次多项式，所以至多有 n 个零点，ns现已找到 n 个不同的零点，则每一个 xk 都是 Tn (x)的单重零点。显然，T n (x)在-1, 1中的零点都是实的、互异的，且全部在-1, 1内。(5) Tn (x) 在-1, 1上有 n + 1 个不同的极值点 ),2,0(cosnk
12、k 使 Tn (x)轮流取得最大值 1 和最小值-1。证 因为在区间 0 上有 n + 1 个点 ),2,0(2nkk使 cosn 顺次取 +1 及-1，因此，n + 1 个点),1,(cosxkk 使 Tn (x)顺次为+1 及-1，即 ),21,0(,)ss)( nkknkn 由于 cosn 之最大值是+1，最小值是 -1，因此，我们把这 n + 1 个点 叫做 Tn (x)在-1, +1k上的极值点，也称它为 Tn (x)的交错点组。这是切比雪夫多项式的一个重要性质。如果将 Tn (x)的零点 xk 和极值点 按大小排列，则有k 11 011xnn(6)切比雪夫多项式的极值性质显然，由三
13、项递推关系式容易验证 Tn (x)的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, )。譬如 T1(x) = x， 最高次项系数为 21-1，T2(x) = 2x2 1，最高次项系数为 22-1。由三项递推关系可看到，每升高一次幂要乘 2，则)()(1Tnn是一个首项系数为 1 的 n 次多项式，又由性质(5)知 在点)(xTn,2,0(coskxk 顺次达到它在-1, 1上的极值 1/n即 12)(nkknxT若用 Hn (x)表示首项系数为 1 的 n 次多项式的全体，则有定理 7.1 在-1x 1 上，在首项系数为 1 的一切 n 次多项式 Hn (x)中)(2)(xTnn与零的偏差最小
14、，且其偏差为 1即，对于任何 ，有)()(xHpn0)(max0a2111pTxn证明 (用反证法)假若存在首项系数为 1 的另一 n 次多项式)(xTpn它对零的偏差比 与零的偏差还小，即 111 20)(ma0)(a nnxx令 pTqn由于 ，p (x)均属于 Hn (x)，则 q (x)是一个次数不超过 n 1 的多项式。n在 Tn (x)的交错点组 ),21,0(cosnkk 处，由于 112)(max)(nkpp即 12kn在 处轮流取到)(xTnk 1)(n因而 )(2)(1knkkxpxq则有 0)()(10xxn0)(21)(1xpxqn2即，q (x) 在 n + 1 个交
15、错点处轮流取正负值，由连续函数的性质知，q (x)应当具有 n 个零点，但已知 q (x)至多是 n 1 次多项式，因而 q (x) 0，所以， 。这个结果与假设)(xTpn矛盾，从而定理得证。从这个定理知，所有首项系数为 1 的 n 次多项式在区间-1, 1 上的最大值满足12)(maxnp定理 7.1 称为切比雪夫多项式的极性，这种极性也是切比雪夫多项式的一种重要性质。作为应用，介绍一下多项式插值余项的极小化。设在-1, 1上给定 n + 1 个互异的节点 x0, x1, , xn，函数 f (x)在-1, 1上具有 n + 1 阶连续导数 f (n+1) (x)，对 f (x)作多项式插
16、值时，由拉格朗日插值的余项表示式 njjnn xfLR0)1( )(!其中 ，若得到),(ba，)(max11fMnn则有 njjxxR01)()!()显然，余项的大小，取决于因子 的大小。njj0现在我们提出一个问题：怎样选取节点 xj ( j = 0, 1, 2, , n)能使 尽可能小？)(max101 n由于 是一个最高次项系数为 1 的 n + 1 次多项式，由 Tn(x)的极性讨论知，njj0)(当 xj 满足)(21)()(10 xTxxnn时， nx )()(ma01取得极小，亦即只要插值节点 xk 取成 n + 1 次比雪夫多项式的零点 ),2,0()(2cos( nkk 则
17、插值公式的余项在全区间-1, 1 上的最大绝对值为极小，此时，有余项公式： nnxn nxn MTMxxLf 2)!1(2)ma)!1( )()(101 注意：如果插值区间是a, b，而不是-1, 1，总可以作变换 tbax2把函数变换成 )(2)( tgafxf 其中 -1t 1，即可将定义在区间 a,b上的函数 f (x)化为新变量 t 的定义在区间-1, 1上的函数 g (t)。以上讨论在数值积分中将要用到。2勒让德(Legendre)多项式定义 7.6 多项式(7.6),210()1(!21)(2 nxdnxpnn称为 n 次勒让德多项式。显然 p0 (x) = 1pn (x)的最高次
18、幂 xn 项的系数是 2)!(n勒让德多项式具有以下一些重要性质：(1) 正交性勒让德多项式序列p n(x)是在-1, 1 上带权 (x) = 1 的正交多项式序列。即 (7.7) nmdpnm20)1(2) 递推关系相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：(7.8) ),21()1)(12)(,10 nxpnxpnxpn由此可得， ),5103521(6),78,3035(1),2,3() 2465244322 xxxpxxpxp(3) 奇偶性：当 n 为偶数时，p n (x)为偶函数；当 n 为奇数时，p n (x)为奇函数。即)(1这是由于 pn (x)的表达式中的(x 2 - 1)n
19、 是偶次多项式，经过偶次求导仍为偶次多项式，经过奇次求导则为奇次多项式，故 n 为偶数时，p n (x)为偶函数；n 为奇数时，p n (x)为奇函数。(4) pn (x)的 n 个零点都是实的、相异的，且全部在区间-1, 1 内部。3其它常用的正交多项式一般而言，如果给定的区间a, b不同且权函数不同，正交多项式也就不同，我们再介绍几个常用的正交多项式。(1) 第二类切比雪夫多项式定义 7.7 称(7.9),210(1arcos)sin()(2nxxun为第二类切比雪夫多项式。可以证明 un(x)是在区间-1, 1上带权函数 的正交多项式序列。即21)(x(7.10) 。nmdxumn,2,
20、0)(12 相邻的三项具有递推关系式：(7.11) ),21()(2)(,110 nxuxunnn(2)拉盖尔(Laguerre)多项式定义 7.8 称多项式(7.12),210()(nxexdxLnn为拉盖尔多项式。可证 Ln(x)是在区间0, +上带权 (x) = e-x的正交多项式序列。即(7.13) 。nmdLxenm,)!(0)(20 相邻的三项具有递推关系式：(7.14) ),21(),)(21(),), 120 nxLnxnxLn(3)埃尔米特(Hermite)多项式定义 7.9 称多项式(7.15),210(),()1(22nxedxHnxnn为埃尔米特多项式。可以证明 Hn(
21、x)是在区间(-, +)上带权函数 的正交多项式序列。即2)(xe(7.16) nmndxHenmx ,!2,0)(2 相邻的三项具有递推关系式：(7.17) ),21(),2)()(,110 nxnxxnn7.2 最佳一致逼近一、最佳一致逼近的概念定义 7.10 设函数 f (x)是区间a, b上的连续函数，对于任意给定的 0，如果存在多项式 p (x)，使不等式 )(mapfbx成立，则称多项式 p (x)在区间 a, b上一致逼近( 或均匀逼近 )于函数 f (x)。那么，对于在区间a, b上的连续函数 f (x)，是否存在多项式 p(x)一致逼近于 f (x)呢？这个问题有许多人研究过
22、。德国数学家维尔斯特拉斯(Weierstrass)在 1885 年曾给出下述著名定理。维尔斯特拉斯定理 若 f (x)是区间a, b上的连续函数，则对于任意 0，总存在多项式 p (x)，使对一切 a x b 有)(pf证明从略。维尔斯特拉斯定理表明，连续函数 f (x)可以用多项式 p (x)逼近到任意精确程度，但维尔斯特拉斯定理只在理论上肯定了闭区间上的连续函数可以用多项式以任意精确度来逼近，并没有给出确定逼近得最快的多项式的方法。事实上，如果精确度要求较高，则用来逼近的多项式的次数一般也很高，这就增加了计算工作量。因而，在实际计算时，我们总量希望在一定的精确度要求下，逼近多项式的次数越低
23、越好。切比雪夫从这样的观点去研究一致逼近问题，他不让逼近多项式的次数 n 趋于无穷大，而是先把 n 加以固定。对于给定的a, b上的连续函数 f (x)，他提出在次数不超过 n 的多项式的集合 pn 中去寻找一个多项式 ，使它在 a, b上“最佳地逼近”f (x)。这里最佳逼)(*xpn近的意思是指 对 f (x)的偏差。*)(ma*nbx和其它任一 p(x) pn 对 f (x)的偏差ba比较时是最小的，也就是说(7.18)(maxin)(mx)(* Pfxpf bpnba 这就是通常所谓的最佳一致逼近问题，也称为切比雪夫逼近问题。若这样的 存在，)(*xpn则称 是函数 f (x)在区间
24、a, b上的 n 次最佳一致逼近多项式 ，简称为最佳逼近多项式。)(*pn现在要问：最佳逼近多项式 是否存在？是否唯一？如何构造？)(*xpn我们不妨设 n 次多项式 naaxp10)(显然 )(mxfbxa应与 p (x)的系数 a0, a1, ，a n 有关。若记 )()xpfbx则 应是 n + 1 个系数 a0, a1, ，a n 的正值连续函数。我们称多元函数 (a0, a1, ，a n)的最小值（7.19）),21,0(maximi nkpfbk 为 f (x)与 p (x)在a, b上最小偏差。对照公式(7.18)可知，寻求 f (x)在a, b上的 n 次最佳一致逼近多项式 的
25、问题就归)(*xpn结为求多元函数 (a0, a1, ， an)的最小值问题。可以证明，存在唯一的 能使),(*1*0n 成立，)(maxin),(*1*0 pfabk也即存在唯一的 nn xxp*10*)(满足关系式 )(mai)(ma* pff bxubx 这就说明，对于a, b上的任意连续函数 f (x)，其 n 次最佳逼近多项式 是存在且唯一)(*xpn的， （因证明较繁，这里我们不予讨论） 。下面我们主要介绍 的构造。)(*n二、最佳一致逼近多项式的求法定理 7.2 是 a, b上连续函数 f (x)的 n 次最佳一致逼近多项式的充分必要条件)(*xpn是 在区间a, b上至少有 n
26、 + 2 个点)(*xn x21使得 )2,1()1()(* nkpxfkknk 其中 是 f (x)与 在a, b 上的偏差，即(7.20)(m*,xfnx 为“1”或“-1” 。因证明较复杂，这里从略。点集x 1, x2, ，x n+2称为切比雪夫交错点组。其中每一个 xk (k = 1, 2, ，n+2)称为交错点。定理 7.2 表明，若用最佳一致逼近多项式 来近似代替 f(x)，则误差)(*xpn在a, b 上的分布是十分均匀的。)()(*xpfxRn定理 7.2 常称为切比雪夫定理，由此定理还可推得下面两个有用的推论。推论 1 设 则 f (x)在 pn 中的最佳一致逼近多项式，就是
27、 f (x)在 a, b上,)(Cf的某个 n 次拉格朗日插值多项式。证明 设 是 f (x)在 a, b上的 n 次最佳一致逼近多项式，根据切比雪夫定理可知，*pn连续函数 在区间a, b上至少有 n + 2 个点使其交替变号，这就是说，方程)(*xpfn=0 在a, b上至少有 n + 1 个根，即存在 n + 1 个点 (k = 0, 1, 2, , )(*xfn ,baxkn )，使，(k = 0, 1, 2, , n )*knxfp所以， 实际上就是以 为插值节点的 f (x)的 n 次拉格朗日插多项式。)(*xn n,10推论 1 表明：如果能适当选择插值节点，求出使偏差 为最小的
28、 n 次)(ma,xpbx拉格朗日插值多项式，那么就能求得 f (x)的 n 次最佳一致逼近多项式 。*n推论 2 如果函数 f (x)在区间a, b 上有 n + 1 阶导数，且 f (n+1)(x)在a, b 上恒为正(或负)，那么区间a, b的端点 a 和 b 都属于 的交错点组。)(*pf证明(反证法)设 a (或 b)不属于 的交错点组，那么函数)(*xfnR (x) = p在开区间(a, b)内至少有 n +1 个点 ，使其取得最大值和最小值，ban121则由取得极值的必要条件，必有，(k = 1, 2, , n+1 )0)kR反复用罗尔定理可知，在(a, b)由至少存在一点 ，使
29、()1n但是 ，)()()(11*1)( xfpxfRnnn 从而有 ,0)(1bafn这与 在a, b上恒为正(或负) 的已知条件矛盾。)1(xfn切比雪夫定理不仅给出了最佳一致逼近多项式的特性，并从理论上给出了寻找最佳一致逼近多项式的方法。但通常，在讨论连续函数的多项式逼近中，要为某一连续函数求取最佳一致逼近多项式往往是十分困难的。下面我们仅介绍比较简单的线性最佳一致逼近多项式的求法以及切比雪夫多项在求最佳一致逼近时的应用。1线性最佳一致逼近多项式 的求法)(*1xp设函数 f (x)在a, b上有二阶导数，且 在a, b上不变号(即恒为正或负) ，则可按f下面方法求 f (x)在a, b
30、上的线性最佳一致逼近多项式 。*1xp设 ，则根据切比雪夫定理，在a, b上至少存在三个点：p*10*1，使xa32(7.21)(max)()( *1,*1 xpff bkkk 其中 = 1，k = 1, 2, 3。由于 在a, b上不变号，根据推论 2 可知，区间a, b的两个端点 a, b 都属于)(xf的交错点组，即有)(*1pfx31,则另一交错点 x2 必位于a, b 的内部，且它是 的极值点，所以)(*1xpf，而0)()(2*1xpf 2*1)(a从而 (即等于 在点 x2 处的斜率 )。又因为 在a, b上不2*12)(xf 1*1)(xf变号，所以一阶导数 在a, b上严格单
31、调，因此它只能取 一次，这就证明了)f *1在a, b内除了点 x2 外不能再有其它极值点，也即 在(a, b)内有，)(*1xpf )(xpf且只有一个极值点，它就是交错点 x2。于是由(7.21)式得：)()() 2*10*10 xfaaf bf解此方程组得 )23.7(22)( .*1*02xaxfab把 代入 的表示式，即求得 f (x)在 a, b上线性最佳一致逼近多项式 为*10,a)(xp )(*1xp(7.24)22*1 xffa线性最佳一致逼近的几何意义是：直线 与弦 AB 平行且过线段 AC 的中点 D，其)(*1xpy方程为 2)(21*12axfay见图 7-1，其中
32、213d图 7-1例 7.2 求函数 在 上的线性最佳一致逼近多项式 。xf)(1,4 xaxp*10*1)(解 显然 在 上不变号， 故 ，x 3 = 1，由(7.22)式得)(xf1,40)(xf4132/*1a由 及(7.22)式得xf2)(，312所以 69x再由(7.23)式得 4817693241*0 a故函数481732)(*1xp这就是函数 在区间1/4, 1上的线性最佳一致逼近多项式。f2切比雪夫多项式在函数逼近中的应用在1 中我们已经讨论了切比雪夫多项式的极值性质，也即在区间-1, 1上，所有最高次项系数为 1 的一切 n 次多项式中，n 次切比雪夫多项项 Tn (x)与
33、1/2n-1 的乘积与零的偏差最小，且其偏差为 1/2(n-1)。利用这个极值性质，切比雪夫多面式就成为-1, 1 上逼近其它函数 f (x)的重要工具。下面分两种情况讨论(1) 若 f (x)是 n 次多项式，则它的 n 1 次最佳一致逼近多项式 能精确求出。)(*1pn例 7.3 已知 ，求其在-1, 1上的二次最佳一致逼近多项式234xx。)(*2xp解 令 4)()(*23xpfxg它是首项系数为 1 的 3 次多项式，要它在-1, 1上的最大值最小，由切比雪夫多项式的极值性质知，在-1, 1上，p 3 中与零偏差最小的首项系数为 1 的三次多项式是 ，)(213xT所以令 )(214
34、)()(3*3 xTxfg其中 T33则 15 )34()13()()223*2x xxfxp就是 f (x)在-1, 1上的二次最佳一致逼近多项式。(2) 若 f (x)不是多项式，也可利用切比雪夫多项式的极值性质，求出 f (x)的近似最佳一致逼近多项式。常用的有“切比雪夫插值法”和“缩减幂级数法”两种近似方法。我们将简单地介绍用切比雪夫多项式来降低逼近多项式的次数。我们常要在一定区间上求一个函数在一定误差范围内的逼近多项式，自然，我们希望此逼近多项式的次数越低越好。由于x k也可用切比雪夫多项式T n(x)表示，即 ),510(6,438),(1,2,35243201Txxx若把普通 n
35、 次多项式 中的所有nn xaxap210)(用上述切比雪夫多项式去代替，则 pn(x)可改写为),21,0(kx)()(210 TbxbTbxn在满足误差要求的情况下，可利用切比雪夫多项式的极值性质，把 pn(x)的高次幂的项缩减下来，使它成为 m (m n - 1)次多项式，这个 m 次多项式可以作为在已给精度下的 f (x)在-1, 1上的近似的最佳一致逼近多项式。下面通过简单的例子来说明这种方法。例 7.4 设在区间 -1, 1上，要计算 f (x) = ex，欲找一个近似多项式 p (x)近似代替 ex，使误差 0.01。解 先对 f (x) = ex 在 x = 0 处作泰勒展开，
36、有 !54!321x若取前六项之和 54325 12061)( xxxp作为 ex 的近似，这时截断误差 R5(x)满足 01.38.7201!)(65e即误差确实满足所提要求，但注意 p5(x)是一个 5 次多项式。若利用x k和 Tk (x)的关系式，p 5(x)也可表示为 543210 192087497648 TTTp 这里，我们看到 Tk 的足标 k 越小，T k 的系数就越小，由于在 上 ，(k = 0, 1, x)k2, )，故可以略去次数 Tk (x)项，而这就意味着逼近多项式的次数降低，这正是我们希望达到的。此题中，若略去其最后的两项，则所增添的误差为 058.192从而在
37、上，若用x 3210847764)( TTy近似代替 ex 的总误差不超过0.0038 + 0.0058 = 0.0096 0.01亦即用 y(x)代替 ex 也满足所提要求。再利用T k (x)和x k之间的关系，把 y (x)重写为通常的 x 的乘幂形式，则)682038(41) 3这个 y (x)是一个 3 次多项式，比原来的 p5 (x)降低 2 次，从而用 y (x)求值的计算工作量比用 p5(x)少。这个方法为缩减幂级数法。上述方法既使逼近多项式的次数降低了，而且还可以使误差的分布更为均匀，因此可以作为 f (x)的近似最佳一致逼近多项式。对于任一有限区间a, b上的逼近问题，可以
38、通过变量替换 tab2把a, b区间转化为-1, 1上的逼近问题类似讨论。7.3 最佳平方逼近一般而言，在a, b上对给定的函数求它的一致逼近函数比较困难，下面我们介绍在 a, b上较易计算的另一种逼近方法最佳平方逼近。一、预备知识1函数系的线性关系定义 7.11 若函数 ，在区间a, b 上连续，如果关系式)(,)(,10xxn 0)()(20 aan当且仅当 时才成立，则称函数 在a, b0210naa )(,)(,10xxn上是线性无关的，否则称线性相关。如果函数系 k (x)(k = 0, 1, 2, )中的任何有限个函数线性无关，则称函数系 k (x)为线性无关函数系，例如1, x,
39、 , x n, 就是在区间 a, b上的 线性无关函数系。设 是a, b 上线性无关的连续函数 a0, a1, , an 是任意实数，则)(,)(10 )(10 xxxSn的全体是 Ca, b的一个子集，记为 ,pn10n并称 是生成集合的一个基底。)(),(10xx例如 Pn = Span 1, x, x2, , xn表示由基底 1, x, , xn, 生成的多项式集合。下面给出判断函数系 k (x)(k = 0, 1, 2, n)线性无关的一个充要条件。定理 7.3 连续函数 在 a, b上线性无关的充分必要条件是它们(,),10的克莱姆(Gram)行列式 Gn 0，其中(7.25),()
40、,(),( ,)()()(,1011 0100 nnn nnn 证明 设 a0, a1, , an 是一组实数，使 0)()()(10 xaxn现分别用 乘上式，然后在a, b上积分，于是得,x方程组 0),(),(),( , )()()(101 0100 nnn naa 显然，上述齐次线性代数方程组只有零解的充要条件是它的系数行列式。证毕。),(10nnG根据本定理即可断定：在区间a, b 上带权 (x)的正交函数系是线性无关的函数系。2广义多项式我们已知，n 次代数多项式是函数 1, x, x2, , xn 的线性组合。现在我们推广多项式的概念。设函数系 ， 线性无关，则其有限项的线性组合
41、)(,)(,10xn(7.26)0aSjuj称为广义多项式。例如三角多项式 nxbaxbxba nsico2sicosinco2110 就是一个广义多项式。二、函数的最佳平方逼近我们已知，用平方误差 取得最小，作为度量标准研究函数badxpxf2)(的逼近函数 p (x)，就是最佳平方逼近问题。,)(baCxf若设 njj nxaxaS021)(表示任意一个不高于 n 次的多项式函数，P n = Span 1, x, , xn，则最佳平方逼近多项式的定义可叙述为：定义 7.12 对于给定的函数 ，若 n 次多项式,)(baCxfjnjxS0*)(满足关系式(7.27)dxSxfdxxf baP
42、sba n 2)(2* )(mi)(则称 S*(x)为 f (x)在区间a, b上的 n 次最佳平方逼近多项式 。实用上，为用使问题的讨论更有一般性，我们可以把定义进行更一般的推广，若把 xj推广为一般的连续函数 j(x)，且要求 0, 1, , n 线性无关，并且积分可带权函数，则定义7.12 可改为定义 7.13 对于给定的函数 ,)(baCxf如果存在 ,)(10* nSpn使(7.28)dxsfxdxxf baSba 2)(2* )(mi)()( 则称 S*(x)是 f (x)在集合中的最佳平方逼近函数。显然定义 7.12 是定义(7.13)中取 (x) = 1, i (x) = xj
43、 的特殊情况，作这样的推广，使我们可以考虑更一般的，象 dxsfxesxf21220)(,)(2之类在实际问题中有用的带权函数的平方逼近问题。在 时，满足条件(7.28)的 S* (x)，就是函数 f (x)的 n 次最佳,1Span2n平方逼近多项式。显然，求最佳平方逼近函数 的问题可归结为求它的系数)()(0*xaxSjnj，使多元函数*1*0,na dxaxfaI jnjbn 2010 )()(),( 取得极小值，也即点( )是 I (a0, ，a n)的极点。由于 I (a0, a1, ，a n)是关于*1*0,na0, a1, ，a n 的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，(
44、k = 0, 1, 2, , n)kI即(7.29)0)()()(20dxxaxfaI kjnjbk 得方程组(7.30),21,0(,)()(0 nkdxfxkbajknj 如采用函数内积记号 ,)()(),( dxfxfkqakjbj 那么，方程组可以简写为),21,0(),(),(0 nkfkjnjk 这是一个包含 n + 1 个未知元 a0, a1, , an 的 n + 1 阶线性代数方程组，写成矩阵形式为(7.31) ),(,)(),(),(),( , )()()( 10101011 00 nnnnn ffa 此方程组叫做求 aj (j = 0, 1, 2, , n)的法方程组。显然，其系数行列式就是克莱姆行列式 Gn = Gn (0, 1, , n)。由于 0, 1, , n 线性无关，故 Gn 0，于是上述方程组存在唯一解 。从而肯定了函数 f *kak(x)在中如果存在最佳平方逼近函数，则必是 )()(0*xaxSjuj例 7.5 。求 (不超过二次的多项式全体)，使1,)(4xf 2HP最小。12dx)(f解：设 ，即取2)(cbaxP1)(,)(,)(,1220 xxx方程组(7.31)成为),(),(),(),( , 221202 11 000 fcbaf其中，),
