1、第七章 系统函数,系统函数在系统分析中具有重要的地位。 （1）可描述系统的微（差）分方程 （2）与冲激（单位序列）响应构成直接变换关系。 （3）反映时域特性频域特性 （4）与框图、信号流图有对应关系 （5）完成系统综合 本章主要内容： 一、系统函数与系统特性 二、系统的稳定性 三、信号流图 四、系统模拟,7.1 系统函数与系统特性,主要内容： 一、系统的零点与极点 二、系统函数与时域响应 三、系统函数与频域响应,一、系统的零点与极点,LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式,它是s或z的有理多项式B() 与A () 之比。,对于连续系统,对于离散系统,A()=0的根p1，p2，pn称为系统
2、函数H()的极点； B()=0的根 1， 2， m称为系统函数H（）的零点极点pi和零点i的值可能是实数、虚数或复数。由于A()和 B()的系数都是实数，所以零、极点若为虚数或复数，则必共轭成对。,例1、已知系统函数如下所示，请求出系统的零、极点，并画出其分布图,解：零点：2； 极点：p1=p2=-1;p3=j;p4=-j,将零点、极点画在复平面上得到零、极点分布图,极点用“”表示； 零点用“o”表示。,本题：由H(s)得到零极点图,例2、已知H(s)的零、极点分布图如下图所示，并且h(0+)=2,求H(s)的表达式。,解：极点p1-1j2;p2=-1-j2零点0,所以,根据初值定理，有,本题
3、：由零极点图得到H(s),二、系统函数H()与时域响应h(),冲激响应或单位序列响应的函数形式由H(.)的极点确定。,下面讨论H(.)极点的位置与其时域响应的函数形式。,所讨论系统均为因果系统。,1连续因果系统,H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。,（1）在左半平面,若系统函数有负实单极点p= (0)，则A(s)中有因子(s+)，其所对应的响应函数为Ke-t(t),(b) 若有一对共轭复极点p12=-j，则A(s)中有因子(s+)2+2-K e-tcos(t+)(t),(c) 若有r重极点， 则A(s)中有因子(s+)r或(s+)2+2r，其响应为 Ki
4、ti e-t(t)或Kiti e-tcos(t+)(t) (i=0,1,2,r-1),以上三种情况：当t时，响应均趋于0。暂态分量。,（2）在虚轴上,(a)单极点p=0或p12=j， 则响应为K(t)或Kcos(t+)(t)-稳态分量,(b) r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+2)r，其响应函数为Kiti(t)或Kiticos(t+)(t)(i=0,1,2,r-1)递增函数,（3）在右半开平面 ：均为递增函数。,综合结论： LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。,H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当t时，响应均趋于0。,H(s)在虚轴上的一阶极点所
5、对应的响应函数为稳态分量。,H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。即当t时，响应均趋于。,2离散因果系统,H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外三类。 根据z与s的对应关系，有结论：,H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当k时，响应均趋于0。,H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。,H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应序列都是递增的。即当k时，响应均趋于。,系统函数的收敛域与其极点的关系： 根据收敛域的定义，H(.)收敛域不能含H(.)的极点。 例3、某离散系统函
6、数为,（1）若系统为因果系统，求单位序列响应h(k)； （2）若系统为反因果系统，求单位序列响应h(k) ； （3） 若系统为双边序列，求单位序列响应h(k) ；,解： （1）因为系统为因果系统，所以收敛域为|Z|3;所以,（2）因为系统为反因果系统，所以收敛域为|Z|1/2;所以,（3）因为系统为双边序列，所以收敛域为1/2|Z|3;所以,问：因果系统的极点在,二、系统函数与时域响应,时域特性能反映响应变化的快慢、上升、下降时间长短及衰减的程度等。 系统的自由响应（P42）的函数（或序列）形式由A()的根确定，亦即由H()的极点确定，而冲击响应或单位序列响应的函数形式也由H()极点确定。,1
7、、连续系统,0,结论： 1）LTI连续系统的自由响应（书P 42 ）、冲击响应的函数形式由H(s)的极点确定。 2）H(s)在左半开平面的极点所对应的响应函数是衰减的， 当t - 时，对应的响应函数趋近于零。极点全部在左半平面的系统是稳定的系统（见7.2）。,3）H(s)在虚轴上的一阶极点对应的响应函数的幅度不随时间变化。 4） H(s)在虚轴上的二阶及二阶以上的极点或在右半开平面上的极点，其所对应的响应函数都随t的增长而增大，当t趋于无限时，它们都趋于无穷大。这样的系统是不稳定的。 见书P237,2、离散系统,离散系统的系统函数H(z)的极点，按其在z平面的位置可分为：在单位圆内、单位圆上和
8、单位圆外三类。,S域与Z域的关系,T为取样周期,S表示为直角坐标形式,Z表示为坐极标形式,可见，S平面的左半平面(0)对应Z平面的圆内(|Z|=1);在S平面 以虚轴为界，Z平面以|Z|=1的单位圆为界,S平面映射到Z平面,离散系统,结论：,1)、LTI离散系统的自由响应、单位序列响应的函数形式由H(z)的极点确定。 2)、 H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列是衰减的，当k- 时，对应的响应序列趋近于零。极点全部在 单位圆内的系统是稳定的系统。,3)、 H(z)在单位圆上的一阶极点对应的响应序列的幅度不随时间变化。 4)、 H(z)在单位圆上的二阶及二阶以上的极点或在单位圆外的极点，其所
9、对应的响应序列都随k的增长而增大，当k趋于无限时，它们都趋于无穷大。这样的系统是不稳定的。,三、系统函数与频域响应,在s平面上，任意复数（常数或变数）都可以用有向线段表示,1、连续系统,要求系统函数的极点都在左半开平面,对于任意极点 pi和零点j 令,式中Ai、Bj分别是差矢量（ j-pi)和（ j- j ） 的模， i、 j 是它们的辐角。于是，系统函数可以写为：,相频响应：,式中幅频响应：,提示：把频率从0（或-）变化到+ ,根据各矢量模和幅角的变化，就可大致画出幅频响应和相频响应曲线。,例1、某线性系统的系统函数的零、极点如图所示,已知H(0)=1。 (1)求该系统的冲激响应和阶跃响应
10、(2)若该系统的零状态响应为,求其激励,(3)大致画出系统的幅频特性和相频特性,解:(1) 根据零极点图，得,因为H(0)=1,K=6,（2）,(3)因为极点均在左半开平面，所以,根据上式可分别画出其幅频曲线和相频曲线,A1,A2,2,1,幅频曲线,相频曲线,全通函数： 如果系统的幅频响应|H(j)对所有的均为常数，则称该系统为全通系统，相应的系统函数称为全通函数。 以二阶系统为例说明。,如有二阶系统，其系统函数在左平面有 一对共轭极点： p1,2= j ，令s1=p1， s2=p2，它在右半平面上有一对共轭零点 1= j= s1， 2= j= s2，那么系统函数的零点和极点对于j轴是镜像对称
11、的。,其系统函数可写为：,其频率特性为：,对所有的有A1=B1， A2=B2，所以幅频特性,相频特性：,上述幅频响应为常数的系统，对所有频率的正弦信号都一律平等地传输，因而被称为全通系统，其系统函数称为全通函数。,无失真传输？,如下图所示：,最小相移函数:右半开平面没有零点的系统函数称为最小相移函数。,全通函数:若系统的幅频响应| H(j)|为常数，则称为全通系统，其相应的H(s)称为全通函数。凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数即为全通函数。,2、离散因果系统的频率响应,若H(z)的极点均在单位圆内，则它在单位圆上也收敛，频率响应为：,
12、式中Ts, 为原来信号的角频率， Ts为取样周期,系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的系统函数,例7.1-2 某离散因果系统的系统函数,求其频率响应。,解：由H(z)的表达式可知，其极点在p=1/3处，故收敛域包括单位圆，系统的频率响应（= Ts）,其幅频响应为,相频响应为,响应曲线？,一、系统的因果性,因果系统指的是，系统的零状态响应yzs()不出现于激励f()之前的系统。即对于任意的f(.)=0,t(或k)0,如果系统的零状态响应都有yzs(.)=0,t(或k)0，就称该系统为因果系统，否则称为非因果系统。,连续因果系统的充分和必要条件是：,或者，系统函数H(s)的收敛域为：,00; 0
13、0 ;0=0 ?,7.2 系统的因果性与稳定性,离散因果系统的充分和必要条件是：,或者，系统函数H(z)的收敛域为,即其收敛域为半径等于0的圆外区域，或者说H(z)的极点都在收敛圆|z|= 0内部,二、系统的稳定性,一个系统（连续的或离散的），如果对任意的有界输入， 其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出稳定的系统，简称为稳定系统。也就是说，设Mf，My为正常数，如果系统对于所有的激励,其零状态响应,则称该系统是稳定的。,连续系统是稳定系统的充分和必要条件：,连续因果系统,离散系统是稳定系统的充分和必要条件：,离散因果系统,若H(z)的收敛域包括单位圆，则系统是稳定的；,对于既是
14、稳定的又是因果的连续系统，其系统函数 H(s)的极点都在s平面的左半开平面；其逆也成立。,若存在虚轴上的一阶极点，按上面的定义是不稳定的，但有时也称为边界稳定系统。,对于既是稳定的又是因果的离散系统，其系统函数 H(z)的极点都在z平面的单位圆内；其逆也成立。,例1、如图所示的反馈因果系统，问当k满足什么条件时，系统是稳定的，其中子系统的系统函数为,解：设加法器的输出信号为X(s),有,H(s)的极点为,为使极点在左半平面，必须,K2,例2、y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)=f(k-1) (1)若为因果系统，求h(k),并判断系统是否稳定； （2）若为稳定系统，求h(k)。,解：,若
15、为因果系统，则|z|2,系统不稳定,（2）若系统是稳定的，0.5|z|2;所以,问，该系统是因果系统吗？若|z|0.5，系统稳定吗？,例3、下图为离散因果系统框图，为使系统稳定，求常量a的取值范围。,解：设加法器输出信号为X(z),有,为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位圆内，即有|a|1,例7.2-2 如图7.2-4 所示的离散系统，当K满足什么条件时，系统是稳定的？,解：设系统左端加法器的输出为X(z),则有,所以系统函数为,当k1/4时，为实极点，为使极点在单位圆内，必须满足,K0,当k1/4时，为复极点，,为使极点在单位圆内，必须满足|p1,2|1,可得k1;所以当0k1时系统是稳定
16、的。,三、连续因果系统稳定性判断准则罗斯-霍尔维兹准则,所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。,1、必要条件简单方法,一实系数多项式A(s)=ansn+a0=0的所有根位于左半开平面的必要条件是：（1）所有系数都必须非0，即不缺项；（2）系数的符号相同。,例1 A(s)=s3+4s2-3s+2 符号相异，不稳定例2 A(s)=3s3+s2+2 ， a1=0，不稳定例3 A(s)=3s3+s2+2s+8 需进一步判断，非充分条件。,对因果系统，只要判断H(s)的极点，即A(s)=0的根（称为系统特征根）是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。,2、罗斯列表,将多
17、项式A(s)的系数排列为如下阵列罗斯阵列 第1行 an an-2 an-4 第2行 an-1 an-3 an-5 第3行 cn-1 cn-3 cn-5 它由第1，2行，按下列规则计算得到：,第4行由2，3行同样方法得到。一直排到第n+1行。,罗斯准则指出：若第一列元素具有相同的符号，则A(s)=0所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。,特例：对于二阶系统 A(s)=a2s2+a1s+a0，若a20，不难得出，A(s)为霍尔维兹多项式的条件为：a10，a00,例1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2,罗斯阵列： 2 12 21 8 0,
18、2,8.5 0,2,第1列元素符号改变2次，因此，有2个根位于右半平面。,注意：在排罗斯阵列时，可能遇到一些特殊情况，如第一列的某个元素为0或某一行元素全为0，这时可断言：该多项式不是霍尔维兹多项式。,例2 已知某因果系统函数,为使系统稳定，k应满足什么条件？,解 列罗斯阵列,3 3 1+k,(8-k)/3,1+k,所以， 1k8，系统稳定。,四、离散因果系统稳定性判断准则朱里准则,为判断离散因果系统的稳定性，要判断A(z)=0的所有根的绝对值是否都小于1。朱里提出一种列表的检验方法，称为朱里准则。,朱里列表： 第1行 an an-1 an-2 a2 a1 a0 第2行 a0 a1 a 2 a
19、n-2 an-1 an 第3行 cn-1 cn-2 cn-3 c1 c0 第4行 c0 c1 c2 cn-2 cn-1 第5行 dn-2 dn-3 dn-4 d0 第6行 d0 d1 d2 dn-2 第2n-3行 r2 r1 r0,第3行按下列规则计算：,一直到第2n-3行，该行有3个元素。,朱里准则指出，A(z)=0的所有根都在单位圆内的充分必要的条件是: (1) A(1)0 (2) (-1)nA(-1)0 (3) an|a0| cn-1|c0| dn-2|d0| r2|r0| 奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。,特例：对二阶系统。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得A(1)
20、0 A(-1)0 a2|a0|,例 A(z)=4z4-4z3+2z-1,解,4 -4 0 2 -1 -1 2 0 -4 4 15 -14 0 4 4 0 -14 15 209 -210 56,41 ， 154 ， 20956 所以系统稳定。,(-1)4A(-1)=50,排朱里列表,A(1)=10,7.3 信号流图,主要内容 信号流图 梅森公式,信号流图是用有向的线段和点描述线性方程组变量间因果关系的一种图。信号流图用来描述系统较方框图更为简便；而且通过梅森公式将系统函数与相应的信号流图联系起来，不仅有利于系统分析，而且也便于系统模拟。,一.信号流图,Y(z),一般而言，信号流图是一种赋权的有向
21、图。它由连接在结点间的有向支路构成。它的一些术语定义如下：,2、源点：仅有出支路的结点称为源点。汇点：仅有入支路的结点称为汇点。,信号流图基本术语,1、结点和支路 信号流图中的每个结点对应于一个变量或信号，连接两结点间的有向线段称为支路，每条支路的权值（支路增益）就是该两结点间的系统函数（转移函数）。,3、通路 从任一结点出发沿着箭头方向连续经过各相连的不同的支路和结点到达另一结点的路径称为通路。通路包含有：开通路、闭通路或回路（或环路）、不接触回路、自回路（自环）等。,前向通路：从源点到汇点的开通路。闭通路或回路（或环路）:通路的起点就是通路的终点（与其余节点相遇不多于一次）不接触回路:相互
22、没有公共节点的回路。自回路（自环）:只有一个节点和一条支路的回路。,开通路:如果通路与任一节点相遇不多于一次；,前向通路：x1x2 x3 x4 x5; x1x2 x3 x5,回路: x2 x3 x2; x2 x3 x4 x2; x4 x4,不接触回路： x2 x3 x2与x4 x4,自回路： x4 x4,通路(开通路或回路)中各支路增益的乘积称为通路增益（或回路增益）,流图化简的规则,（2）两条增益分别为a和b的支路相并联，可以合并为一条增益为（a+b）的支路。,（1）两条增益分别为a和b的支路相串联，可以合并为一条增益为 ab的支路，同时消去中间的结点。,（3）一条x1 x2 x3的通路，如
23、果x1 x2支路的增益为 a， x2 x3的增益为c，在x2处有增益为b的自环，则可以化简为增益为ac/(1-b)的支路，同时削去结点x2。,（1）将串联支路合并从而减少结点；（2）将并联支路合并从而减少支路；,信号流图化简步骤,（3）消除自环。反复运用以上步骤，可将复杂的信号流图简化为只有一个源点和一个汇点的信号流图，从而求得系统函数。,例7.3-1 求图下图所示信号流图的系统函数,解 根据串联支路合并规则，将图(a)中回路x1 x2 x1和x1 x2 x3 x1化简为自环，如图b所,例7.3-1,示，将x1到Y(s)之间各串联、并联支路合并，得图（c）。并利用并联支路合并规则，将x1处两个
24、自环合并，然后消除自环，得图（d）。于是得到系统函数,这正是二阶微分方程,的系统函数。,二、梅森公式,梅森公式为,式中：, 称为信号流图的特征行列式，其中,是所有不同回路的增益之和；,是所有两两不接触回路的增益乘积和,是所有三个都互不接触回路的增益乘积之 和。,i表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号； Pi是由源点到汇点的第i条前向通路的增益； i是第i条前向通路特征行列式的余因子，它是与第i条前向通路不相接触的子图的特征行列式。,例7.3-2求右图信 号流图的 系统函数。,例 7.3-2,解 为了求出特征行列式，先求出有关参数。上图共有4个回路，各回路的增益为x1x2 x1回路，L1=G1
25、H1x2 x3 x2回路，L2=G2H2x3 x4 x3回路，L3=G3H3x1 x4 x3 x2 x1回路，L4=G1G2G3H4 它只有一对两两互不接触的回路x1 x2 x1与x3 x4 x3，,其回路增益乘积为,没有三个以上的互不接触的回路。所以得,再求其它参数。图中有两条前向通路，对于前向通路 F x1 x2 x3 x4 Y ,其增益为,由于各回路都与该通路有接触，故1=1 对于前向通路F x1 x4 Y ，其增益为,最后，按式（7.3-8）得,不与P2接触的回路有x2 x3 x2，所以,7.4 系统模拟,主要内容 直接实现 级联实现 并联实现,为了对信号(连续或离散的信号)进行处理（
26、如滤波），就必须构造出合适的实际结构（硬件实现结构或软件运算结构）。,对于同一系统函数，通过不同的运算，可以得到多种形式的实现方案，常用的有直接形式、级联和并联形式等。,一、直接实现,将上式分子、分母除以s2,上式可写为,设二阶系统的系统函数,根据梅森公式，上式的分母可看作是特征行列式，括号内表示有两个互相接触的回路，其增益分别为-a1s-1和-a0s-2。,H(s)的分子表示三条前向通路，其增益分别为b2、b1s-1和b0s-2，并且不与各前向通路相接触的子图特征行列式i （i=1,2,3)均等于1，也就是说，信号流图中的两个回路都与各前向回路相接触，这样就以得到(a) 信号流图，其对应的s
27、域框图如图(b) 。,还可以得到如下的信号流图和框图。,以上的分析方法可以推广到高阶的情形。见书P348,例 7.4-1 某连续系统的系统函数,用直接形式模拟系统。,解 将H(s)改写为,根据梅森公式，可画出上式的信号流图如图（a),信号流图的转置,二、级联和并联实现,级联形式是将系统函数H(z)(或H(s)分解为几个简单的系统函数的乘积，即,其框图形式如下图所示 ，其中每一个子系统Hi(z)可以用直接形式实现。,并联实现,并联形式是将H(z)或H(s)分解为几个较简单的子系统之和，即,其框图形式如图所示，其中各子系统可用直接形式实现。,通常各子系统选用一阶函数和二阶函数，分别称为一阶节、二阶
28、节。,其函数形式分别为,一阶和二阶子系统的信号流图和相应的框图如图所示,解:（1）级联实现首先将H(s)的分子、分母多项式分解为一次因式与二次因式的乘积。于是,例7.4-3 某连续系统的系统函数,分别用级联和并联形式模拟系统。,将上式分解为一阶节与二阶节的极联，令,上式中一阶节和二阶节的信号流图如下图所示,（2）并联实现将系统函数展开为部分分式,（a)、(b)分别表示一阶节和二阶节，二者级联后，如图（c)所示，其相应的方框图如下图所示。,式中,于是系统函数可写为,令,画出H1(s)和H2(s)的信号流图，将二者并联即得H(s)的信号流图如图（a)所示，相应框图如图（b)所示,求系统函数？,例7
29、.4-4 描述离散的差分方程为,分别用级联和并联形式模拟系统,(1)级联实现,将H(z)的分子和分母分解为因式，得,解：,按上式，可得到子系统的信号流图如下图所示，将二者级联后，就得到系统的信号流图。,系统框图如下图所示,本章小结,一、系统函数与系统特性（零，极点） 二、系统的因果性与稳定性（系统函数极点） 三、信号流图、系统函数、梅森公式 四、系统模拟，由系统函数得到框图或信号流图，即求出系统结构。,作业评讲,1.10 计算下列各式,解：,1.23设系统的初始状态为x(0),激励为f(.)，各系统的全响应为y(.)与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。,解：,不满足可分解性，故系统是非线性的。,解：,满足可分解性,系统不满足零输入线性，所以系统是非线性的；,因为,
