1、1,第七章 系统函数,7.1 系统函数与系统特性 一、系统函数的零、极点分布图 二、系统函数与时域响应 三、系统函数收敛域与极点的关系 四、系统函数与频率响应 7.2 系统的稳定性 7.3 信号流图 7.4 系统模拟 一、直接实现 二、级联实现 三、并联实现,2,第七章 系统函数,系统函数在系统分析中具有重要的地位。 （1）可描述系统的微（差）分方程 （2）与冲激（单位序列）响应构成直接变换关系。 （3）反映时域特性频域特性 （4）与框图、信号流图有对应关系 （5）完成系统综合,3,7.1 系统函数与系统特性,7.1 系统函数与系统特性,一、系统函数的零、极点分布图,LTI系统的系统函数是复变
2、量s或z的有理分式，即,A(.)=0的根p1，p2，pn称为系统函数H(.)的极点；B(.)=0的根1，2，m称为系统函数H(.)的零点。,4,7.1 系统函数与系统特性,极点pi和零点i的值可能是实数、虚数或复数。 由于A()和 B()的系数都是实数，所以零、极点若为虚数或复数，则必共轭成对。,将零极点画在复平面上 得零、极点分布图。,例,5,例：已知H(s)的零、极点分布图如如示，并且h(0+)=2。求H(s)的表达式。,解：由分布图可得,根据终值定理，有,7.1 系统函数与系统特性,6,7.1 系统函数与系统特性,二、系统函数H()与时域响应h(),冲激响应或单位序列响应的函数形式由H(
3、.)的极点确定。,下面讨论H(.)极点的位置与其时域响应的函数形式。,所讨论系统均为因果系统。,1连续因果系统,H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。,（1）在左半平面,若系统函数有负实单极点p= (0)，则A(s)中有因子(s+)，其所对应的响应函数为Ke-t(t),7,7.1 系统函数与系统特性,(b) 若有一对共轭复极点p12=-j，则A(s)中有因子(s+)2+2-K e-tcos(t+)(t),(c) 若有r重极点， 则A(s)中有因子(s+)r或(s+)2+2r，其响应为 Kiti e-t(t)或Kiti e-tcos(t+)(t) (i=0,
4、1,2,r-1),以上三种情况：当t时，响应均趋于0。暂态分量。,（2）在虚轴上,(a)单极点p=0或p12=j， 则响应为K(t)或Kcos(t+)(t)-稳态分量,(b) r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+2)r，其响应函数为Kiti(t)或Kiticos(t+)(t)(i=0,1,2,r-1)递增函数,8,7.1 系统函数与系统特性,（3）在右半开平面 ：均为递增函数。,综合结论： LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。,H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当t时，响应均趋于0。极点全部在左半平面的系统是稳定的系统 。,H(s)在虚轴上的一阶极
5、点所对应的响应函数为稳态分量。,H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。即当t时，响应均趋于。,9,0,10,7.1 系统函数与系统特性,2离散因果系统,H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外三类。 根据z与s的对应关系，有结论：,H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当k时，响应均趋于0。极点全部在单位圆内的系统是稳定的系统。,H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。,H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应序列都是递增的。即当k时，响应均趋于。,11,12,7.1 系统
6、函数与系统特性,三、系统函数收敛域与其极点之间的关系,根据收敛域的定义，H()收敛域不能含H()的极点。,例：某离散系统的系统函数,(1) 若系统为因果系统，求单位序列响应h(k);,(2) 若系统为反因果系统，求单位序列响应h(k);,(3) 若系统存在频率响应，求单位序列响应h(k);,解 (1) |z|3，h(k) =(-0.5)k + (3)k(k),(2) |z|0.5，h(k) =-(-0.5)k - (3)k(-k-1),(3) 0.5|z|3，h(k) = (-0.5)k (k) - (3)k(-k-1),13,7.1 系统函数与系统特性,四、系统函数与频率响应,1、连续因果系
7、统,若系统函数H(s)的极点均在左半平面，则它在虚轴上(s=j)也收敛，频率响应H(j)=H(s)|s= j ，,幅频特性,相频特性（相移特性）,14,7.1 系统函数与系统特性,在s平面上，任意复数（常数或变数）都可以用有向线段表示,15,7.1 系统函数与系统特性,对于任意极点 pi和零点j 令,式中Ai、Bj分别是差矢量（ j-pi)和（ j- j ） 的模， i、 j 是它们的辐角。于是，系统函数可以写为：,16,相频响应：,式中幅频响应：,提示：把频率从0（或-）变化到+ ,根据各矢量模和幅角的变化，就可大致画出幅频响应和相频响应曲线。,7.1 系统函数与系统特性,17,例1、某线性
8、系统的系统函数的零、极点如图所示,已知H(0)=1。 (1)求该系统的冲激响应和阶跃响应 (2)若该系统的零状态响应为,求其激励,(3)大致画出系统的幅频特性和相频特性,18,解:(1) 根据零极点图，得,因为H(0)=1,K=6,（2）,19,(3)因为极点均在左半开平面，所以,根据上式可分别画出其幅频曲线和相频曲线,A1,A2,2,1,20,幅频曲线,相频曲线,21,7.1 系统函数与系统特性,（1）全通函数,若系统的幅频响应| H(j)|为常数，则称为全通系统，其相应的H(s)称为全通函数。对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，并且
9、所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数即为全通函数。,（2）最小相移函数,右半开平面没有零点的系统函数称为最小相移函数。 解释见p333,22,7.1 系统函数与系统特性,2、离散因果系统,若系统函数H(z)的极点均在单位圆内，则它在单位圆上(|z|=1)也收敛，频率响应为H(ej)=H(z)|z= ej ， 式中=Ts，为角频率，Ts为取样周期。,23,例 某离散因果系统的系统函数,求其频率响应。,解：由H(z)的表达式可知，其极点在p=1/3处，故收敛域包括单位圆，系统的频率响应（= Ts）,24,其幅频响应为,相频响应为,响应曲线？,25,7.2 系统的稳定性,7.2 系统的稳定
10、性,一、因果系统,因果系统是指，系统的零状态响应yf(.)不会出现于f(.)之前的系统。即对于任意的f(.)=0,t(或k)0,如果系统的零状态响应都有yf(.)=0,t(或k)0，就称该系统为因果系统。,连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应 h(t)=0,t0,或者，系统函数H(s)的收敛域为：Res0,离散因果系统的充分必要条件是：单位响应 h(k)=0, k0,或者，系统函数H(z)的收敛域为：|z|0,26,7.2 系统的稳定性,二、系统的稳定性,1、稳定系统的定义,一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(BIBO)稳定的系统，简称为稳定系
11、统。,即，若系统对所有的激励 |f(.)|Mf ，其零状态响应 |yf(.)|My，则称该系统稳定。,（1）连续系统稳定的充分必要条件是,若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。,27,7.2 系统的稳定性,（2）离散系统稳定的充分必要条件是,若H(z)的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定的系统。,例1 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1)(1) 若为因果系统，求h(k)，并判断是否稳定。(2) 若为稳定系统，求h(k).,解,(1)为因果系统，故收敛域为|z|2，所以h(k)=0.40.5k-(-2)k(k)，不稳定。,(2)若为稳定系统，故收敛域为0.5|z
12、|2，所以h(k)=0.4(0.5)k(k)+0.4(-2)k(-k-1),28,7.2 系统的稳定性,因果系统稳定性的充分必要条件可简化为,（3）连续因果系统,因为因果系统左半开平面的极点对应的响应为衰减函数。故，若H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定的因果系统。,（4）离散因果系统,因为因果系统单位圆内的极点对应的响应为衰减函数。故，若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳定的因果系统。,29,7.2 系统的稳定性,例1：如图反馈因果系统，问当K满足什么条件时，系统是稳定的？其中子系统的系统函数G(s)=1/(s+1)(s+2),解：设加法器的输出信号X(s),X(s),X(
13、s)=KY(s)+F(s),Y(s)= G(s)X(s)=K G(s)Y(s)+ G(s)F(s),H(s)=Y(s)/F(s)=G(s)/1-KG(s)=1/(s2+3s+2-k),H(s)的极点为,为使极点在左半平面，必须(3/2)2-2+k(3/2)2, k2，即当k2，系统稳定。,30,7.2 系统的稳定性,例2：如图离散因果系统框图 ，为使系统稳定，求常量a的取值范围,解：设加法器输出信号X(z),X(z),z-1X(z),X(z)=F(z)+z-1aX(z),Y(z)=(2+z-1)X(z)= (2+z-1)/(1-az-1)F(z),H(z)= (2+z-1)/(1-az-1)=
14、(2z+1)/(z-a),为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位圆内， 故|a|1,31,7.3 信号流图,7.3 信号流图,用方框图描述系统的功能比较直观。信号流图是用有向的线图描述方程变量之间因果关系的一种图，用它描述系统比方框图更加简便。信号流图首先由Mason于1953年提出的，应用非常广泛。,信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，与框图本质是一样的，但简便多了。,一、信号流图,1、定义：信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。,2、信号流图中常用术语,32,7.3 信号流图,(1)结点： 信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。,(2)
15、支路和支路增益： 连接两个结点之间的有向线段称为支路。 每条支路上的权值（支路增益）就是该两结点间的系统函数（转移函数）,即用一条有向线段表示一个子系统。,(3)源点与汇点，混合结点：仅有出支路的结点称为源点（或输入结点）。仅有入支路的结点称为汇点（或输出结点）。有入有出的结点为混合结点,33,7.3 信号流图,沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径称为通路。 如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路。 若通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不多于一次），则称为闭通路。 相互没有公共结点的回路，称为不接触回路。 只有一个结点和一条支路的回路称为自回路。,(5)前向通路：从源点到汇点的开
16、通路称为前向通路。,(6)前向通路增益，回路增益： 前向通路中各支路增益的乘积称为前向通路增益。 回路中各支路增益的乘积称为回路增益。,(4)通路、开通路、闭通路（回路、环）、不接触回路、自回路：,34,前向通路：x1x2 x3 x4 x5; x1x2 x3 x5,回路: x2 x3 x2; x2 x3 x4 x2; x4 x4,不接触回路： x2 x3 x2与x4 x4,自回路： x4 x4,通路(开通路或回路)中各支路增益的乘积称为通路增益（或回路增益）,35,7.3 信号流图,3、信号流图的基本性质,（1）信号只能沿支路箭头方向传输。 支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积。,（2）当
17、结点有多个输入时，该接点将所有输入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。,如：x4= ax1+bx2+cx3 x5= dx4 x6= ex4,36,7.3 信号流图,4、流图简化的基本规则：,（1）支路串联：支路增益相乘。,X2=H2X3=H2H1X1,（2）支路并联：支路增益相加。,X2=H1X1+H2X1 =(H1+H2) X1,37,7.3 信号流图,（3）混联：,X4=H3X3=H3(H1X1+ H2X2)= H1H3X1 + H2H3X2,38,7.3 信号流图,（4）自环的消除：,X3=H1X1+H2X2+ H3X3,所有来向支路除1 H3,39,7.3 信号
18、流图,例：化简下列流图。,注意化简具体过程可能不同，但最终结果一定相同。,解：消x3,消x2,消x4,消自环,40,解 根据串联支路合并规则，将图(a)中回路x1 x2 x1和x1 x2 x3 x1化简为自环，如图b所示，将x1到Y(s)之间各串联、并联支路合并，得图（c）。并利用并联支路合并规则，将x1处两个自环合并，然后消除自环，得图（d）。,例7.3-1,41,于是得到系统函数,这正是二阶微分方程,的系统函数。,42,7.3 信号流图,二、梅森公式,上述化简求H复杂。利用Mason公式方便。,系统函数H(.)记为H。梅森公式为：,称为信号流图的特征行列式,为所有不同回路的增益之和；,为所
19、有两两不接触回路的增益乘积之和；,为所有三三不接触回路的增益乘积之和；,i 表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号,Pi 是由源点到汇点的第i条前向通路增益；,i 称为第i条前向通路特征行列式的余因子 。消去接触回路,43,7.3 信号流图,例 求下列信号流图的系统函数,解 (1)首先找出所有回路：,L1=H3G L2=2H1H2H3H5 L3=H1H4H5,(2)求特征行列式,=1-（H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5）+ H3G H1H4H5,(4)求各前向通路的余因子：1 =1 ， 2 =1-GH3,(3)然后找出所有的前向通路：,p1=2H1H2H3 p2=H1H4,44,例7
20、.3-2求右图信 号流图的 系统函数。,例 7.3-2,解 为了求出特征行列式，先求出有关参数。上图共有4个回路，各回路的增益为x1x2 x1回路，L1=G1H1x2 x3 x2回路，L2=G2H2x3 x4 x3回路，L3=G3H3x1 x4 x3 x2 x1回路，L4=G1G2G3H4 它只有一对两两互不接触的回路x1 x2 x1与x3 x4 x3，,45,其回路增益乘积为,没有三个以上的互不接触的回路。所以得,再求其它参数。图中有两条前向通路，对于前向通路 F x1 x2 x3 x4 Y ,其增益为,由于各回路都与该通路有接触，故1=1 对于前向通路F x1 x4 Y ，其增益为,46,
21、最后，按式（7.3-8）得,不与P2接触的回路有x2 x3 x2，所以,47,7.4 系统模拟,直接实现 级联实现 并联实现,为了对信号(连续或离散的信号)进行处理（如滤波），就必须构造出合适的实际结构（硬件实现结构或软件运算结构）。,48,对于同一系统函数，通过不同的运算，可以得到多种形式的实现方案，常用的有直接形式、级联和并联形式等。,一、直接实现,将上式分子、分母除以s2,上式可写为,设二阶系统的系统函数,49,根据梅森公式，上式的分母可看作是特征行列式，括号内表示有两个互相接触的回路，其增益分别为-a1s-1和-a0s-2。,H(s)的分子表示三条前向通路，其增益分别为b2、b1s-1
22、和b0s-2，并且与各前向通路不相接触的子图特征行列式i（i=1,2, 3)均等于1，也就是说，信号流图中的两个回路都与各前向回路相接触，这样就以得到(a) 信号流图，其对应的s域框图如图(b) 。,50,还可以得到如下的信号流图和框图。,以上的分析方法可以推广到高阶的情形。见书P348,例 7.4-1 某连续系统的系统函数,用直接形式模拟系统。,51,解 将H(s)改写为,根据梅森公式，可画出上式的信号流图如图（a),信号流图的转置,52,二、级联和并联实现,级联形式是将系统函数H(z)(或H(s)分解为几个简单的系统函数的乘积，即,其框图形式如下图所示 ，其中每一个子系统Hi(z)可以用直
23、接形式实现。,53,并联实现,并联形式是将H(z)或H(s)分解为几个较简单的子系统之和，即,其框图形式如图所示，其中各子系统可用直接形式实现。,通常各子系统选用一阶函数和二阶函数，分别称为一阶节、二阶节。,54,其函数形式分别为,一阶和二阶子系统的信号流图和相应的框图如图所示,55,解:（1）级联实现首先将H(s)的分子、分母多项式分解为一次因式与二次因式的乘积。于是,例7.4-3 某连续系统的系统函数,分别用级联和并联形式模拟系统。,56,将上式分解为一阶节与二阶节的极联，令,上式中一阶节和二阶节的信号流图如下图所示,57,（2）并联实现将系统函数展开为部分分式,（a)、(b)分别表示一阶
24、节和二阶节，二者级联后，如图（c)所示，其相应的方框图如下图所示。,58,式中,于是系统函数可写为,59,令,画出H1(s)和H2(s)的信号流图，将二者并联即得H(s)的信号流图如图（a)所示，相应框图如图（b)所示,60,例7.4-4 描述离散的差分方程为,分别用级联和并联形式模拟系统,(1)级联实现,将H(z)的分子和分母分解为因式，得,解：,61,按上式，可得到子系统的信号流图如下图所示，将二者级联后，就得到系统的信号流图。,62,系统框图如下图所示,63,本章小结 一、系统函数与系统特性（零，极点） 二、系统的因果性与稳定性（系统函数极点） 三、信号流图、系统函数、梅森公式 四、系统模拟，由系统函数得到框图或信号流图，即求出系统结构。,
