1、第七章 Fourier变换,Fourier变换是一种对连续时间函数的 积分变换,通过特定形式的积分建立函数之 间的对应关系. 它既能简化计算(如解微分 方程或化卷积为乘积等)，又具有明确的物 理意义(从频谱的角度来描述函数的特征), 因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速 Fourier变换在计算机时代更是特别重要,1 Fourier变换的定义,2 Fourier变换的性质,7.1 Fourier变换的概念与性质,3 d函数的Fourier变换,7.1.1 Fourier变换的定义,Fourier积分定理 设f (x)在 满足下列,条件:,(1) f (x)在任何有限区间上满足展开为Fouri
2、er,级数的条件, 即只存在有限个第一类间断点和有限,个极值点；,(2) f (x)在 上绝对可积, 即,收敛.,则在 f (x)的连续点处,而在 f (x)的间断点处,定义7.1 设f (t)和F(w)都是在 上绝对,可积函数，称,为f (t)的Fourier变换，称,为F(w)的Fourier逆变换, 记为 和,如果f (t)满足Fourier积分定理条件, 那么在f (t),的连续点处成立Fourier变换的反演公式,例7.1 设 求,根据定义，有,因为 在全平面,处处解析, 所以取图中的,路径ABCDA时，根据,下面计算,同理可证,当R+时，,因此, 当R+时，,于是,例7.2 求,的
3、Fourier变换.,根据Fourier变换的定义,例7.3 求 的Fourier变换，,并证明,根据Fourier变换的定义,因为f (t)在 上连续, 且只有一个极大值,点t=0, 而,存在, 所以根据Fourier变换的反演公式,于是,在无线电技术、声学、振动理论中, Fourier,变换和频谱概念有密切联系. 时间变量的函数 f (t),的Fourier变换F(w)称为 f (t)的频谱函数, 频谱函数,的模 称为振幅频谱(简称为频谱).,例7.4 求矩形脉冲函数(E0),的频谱.,由频谱函数的定义,故频谱为,(如图所示),7.1.2 Fourier变换的性质,以下假定所讨论的函数满足
4、Fourier积分定理,的条件.,(1) 线性性质,设a, b 是常数，,则,(2) 对称性质,证明 由Fourier逆变换有,所以,特别地, 若f (t)是偶函数, 则,例7.5 求 的频谱函数.,函数 的频谱函数为,当t =2时, 根据Fourier,变换的线性性质,由 知, 单位幅度 (即E=1) 的矩形脉冲,其中 是宽度为2, 幅度为的 矩形脉冲函数,它是偶函数. 由Fourier变换的 ,宽度为2 幅度为p 的矩形脉冲函数,(3) 相似性质,(其中 为常数).,证明 由Fourier变换的定义,令 则 于是当a0时,当a0时,综上所证, 即得,(4) 翻转性质,由相似性质可直接得到,
5、(5) 时移性质,(其中t0为常数).,证明 由Fourier变换的定义,令 代入上式得,利用 和 , 易见,其中a, b为常数, 并且 事实上，,例7.6 计算,于是根据 得,(6) 频移性质,(其中w0为常数).,证明 由Fourier变换的定义,由 知,例7.7 计算 和,根据,于是由线性性质、 以及 知,(7) 微分性质,上存在(n为正整数). 如果当 时,则,只证明n=1的情形, 类推可得高阶情形.,上面是关于时域的微分性质. 类似地也有关于,频域的微分性质:,上存在(n为正整数). 如果当 时,则,从而可知,例7.8 设 求,令 于是由 可知,所以,(8) 积分性质,如果 则,证明
6、 因为 并且,所以根据 可知,(9) 卷积性质,设,则,证明 由卷积和Fourier变换的定义, 可得,7.1.3 d 函数的Fourier变换,因为d 函数是广义函数, 所以其Fourier变换不,是通常意义下的Fourier 变换. 根据Fourier 变换的,定义, 以及d 函数的性质, 可 得,通常, 没有意义. 然而由,在广义函数意义下,因为d (x)是d 逼近函数 的弱极限, 所以由, 也可以理解为,(1) d 函数Fourier变换的时移和频移性质,根据Fourier变换的定义以及d 函数的性质,即,例7.9 计算 和,根据d 函数Fourier变换的 , 可得,例7.10 计算
7、,利用 , 可得,(2) d 函数Fourier变换的微分性质,其中n为正整数.,根据Fourier变换的定义, 以及d 函数的性质,又因为,所以,7.2 离散Fourier变换,1 离散Fourier变换及其性质,2 快速Fourier变换,7.2.1 离散Fourier变换及其性质,定义7.2 设 是长度为N,的序列，称序列,为f (n)的离散Fourier变换, 记做 即,称序列,为F(k)的离散Fourier逆变换, 记做,离散Fourier变换的反演公式,记 则离散Fourier变换及逆变换分别,简化为,离散Fourier变换的矩阵形式,变换矩阵,离散Fourier逆变换的矩阵形式,
8、逆变换矩阵,例7.11 求序列,的离散Fourier变换.,由N=4得 于是,离散Fourier变换具有如下一些基本性质.,(1) 线性性质 设,分别是长度为N1和N2的有限序列.,记 将 和 补零延拓,为长度均为N, 即当 时,则,如果 是常数, 并且,线性性质可由离散Fourier变换的定义直接证明.,(2) 卷积定理,设 和,是长度为N 的有限序列, 将序列 和 补零,延拓为 的长度2N-1, 仍记 和,如果,则,证明 对 根据离散Fourier变换,和有限序列卷积的定义, 取 于是,由于 和 的实际长度为N, 所以,例7.12 设,求,延拓为 和 容易求出,于是根据 可得,取N=2,
9、将序列 和 按长度为3补零,7.2.2 快速Fourier变换,快速Fourier变换(FFT)是DFT的快速算法, 其,运算次数比按DFT的定义直接计算显著减少. 考虑,DFT定义中变换矩阵,矩阵中的元素 具有周期性, 即,并且当N为偶数时,下面设 (b 为正整数),是长度为N的序列. 为表示方便, 相应于序列的长度,下面记矩阵中的元素为 于是在DFT中按 n为偶,数或奇数分解成两部分之和, 即,由于 所以,记,于是,因为 具有周期性, 所以,因此只需在 时计算,这表明求长度为N的序列DFT可分解为求两个,长度为N /2的序列DFT.,对 又可以按r为偶数或奇数, 分解,为求四个长度为N /
10、4的序列DFT, 并且在计算时可以,应用周期性. 最终分解为求 个长度为1的序列,DFT.,下面以N=8的DFT为例, 如果直接进行DFT, 为,求 F(k)的每一个值, 需要做8次复数乘法和7次复数,加法运算. 计算F(k)的8个值, 就需要做64次复数乘法,和56次复数加法运算. 因此, 计算N个点的DFT, 需要,N2次复数乘法和N(N-1)次复数加法运算.,随着N的增加, 直接进行DFT的计算量急剧增加.,如果利用FFT, 则有,其中 都是长度为4的DFT, 并且,再考虑到 所以可简化运算.,不变,简化,其运算量为复数乘法 次, 复数加,法 次. 随着N的增加, FFT计算量的增,加要
11、比直接进行DFT计算量的增加要少得很多.,7.3 Fourier变换的应用,前面已经通过一些例子介绍了Fourier 变换在,频谱分析中的应用. 下面再给出一个讨论在信息传,输中不失真问题的例子.,例7.13 任何信息的传输, 不论电话、电视或无,线电通信, 一个基本问题是要求不失真地传输信号,所谓信号不失真是指输出信号与输入信号相比, 只,是大小和出现时间不同，而没有波形上的变化.,设输入信号为f (t), 输出信号为g(t), 信号不失,真的条件就是,其中K为常数，t0是滞后时间. 从频率响应来看, 为,了使信号不失真. 应该对电路的传输函数H(w)提出,一定的条件.,传输函数 H(w),
12、设F(w)和G(w)分别是输入信号f (t)和输出信号,g(t)的Fourier变换.,传输函数 H(w),由Fourier变换的 可得,这说明, 如果要求信号通过线性电路时不产生任何失,真, 在信号的全部通频带内电路的频率响应必须具有,故要求传输函数,恒定的幅度特性和线性的位相特性.,最后介绍应用Fourier变换求解某些数学物理,方程 (偏微分方程)的方法. 在应用 Fourier 变换求,解偏微分方程时, 首先将未知函数看做某个自变量,的一元函数, 对方程两端取Fourier变换, 把偏微分,方程转化成未知函数为像函数的常微分方程, 再利,用所给的条件求常微分方程, 得到像函数后, 再求
13、,Fourier逆变换, 即得到偏微分方程的解.,像原函数 (偏微分方程的解),像函数,偏微分方程,像函数的 常微分方程,Fourier逆变换,Fourier变换,解常微分方程,例7.14 求解半平面y0上膜平衡Laplace方程,的Dirichlet问题,其中 时,解 设 即 是u(x, y),作为x的一元函数的Fourier变换. 再设,因为当 时, 所以根据,Fourier变换的 , 可知,又因为,故对Laplace方程两端取Fourier变换, 得,这是一个以w为参数的二阶常微分方程, 求其解为,由于 时 可知 所以,当w 0时,当w 0时,于是,对边值条件 两端取Fourier变换,
14、因此 再求Fourier逆变,换得到所求的Laplace方程Dirichlet问题的解为,其中 时,例7.15 求解沿无限长杆的热传导方程的初值,问题,解 设 对,方程和初值条件两端取Fourier变换得,求解这个一阶常微分方程初值问题得,由 可知 于是由,Fourier变换的 得到热传导方程初值问题,的解为,例7.16 求解无限长弦自由振动的初值问题,其中 时,解 设 对,方程和初值条件两端取Fourier变换,求解这个二阶常微分方程初值问题得,再求Fourier逆变换,根据Fourier逆变换的定义，,所以无限长弦自由振动的初值问题解为,这表明振动的波形是左行波和右行波的迭加,实际上它是D
15、Alembert公式的一个特殊情形.,求解数学物理方程,离散Fourier变换,本章主要内容,线性性质 对称性质 相似性质 翻转性质 时移性质 频移性质 时域微分 频域微分 积分性质 卷积性质,Fourier变换,时移性质 频移性质 微分性质,快速Fourier变换,本章的重点,3. Fourier变换在解偏微分方程中的应用,2. 离散Fourier变换,1. Fourier 变换的定义及其性质,第七章 完,Peter Gustav Lejeune-Dirichlet,(1805.2.13 -1859.5.5),德国数学家. 柏林大学的教授,创始人之一, 先后给出了n=5和n=14时, Fer
16、mat方,1855年Guass去世后, 哥廷根大学,聘任他接任Guass的位置. Dirichlet是解析数论的,程无整数解的证明. 他在分析学和数学物理方面也,有很多重大贡献. 1829年得到给定函数的Fourier,级数收敛的充分条件, 1837年证明了绝对收敛级数,Jean le Rond DAlembert,(1717.11.16-1783.10.29),法国数学家和物理学家, 被,一个贫穷家庭收养的弃婴.,他是18世纪的大数学家, 在,很多领域取得了成就, 特别在微分方程和力学等,方面的贡献尤为突出.,可以把它的项重新排列, 而不改变原级数的和, 并,举例说明了条件收敛级数没有这样的结论. 引入,了 Laplace 方程的 Dirichlet 条件.,
