1、3.1.1 空间向量及其运算学习目标 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题学习过程 一、课前准备（预习教材 P84 P86，找出疑惑之处）复习 1：平面向量基本概念：具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度） ； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， 的a相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法. 复习 2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则. 2. 实数与向量的积：实数 与向
2、量 a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：(1)|a| .(2)当 0 时，a 与 A. ；当 0 时，a 与 A. ；当 0 时，a .3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：abba加法结合律：(ab)c a（ bc ）数乘分配律：(ab)ab二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的相关概念问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中， ，OBAB试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求 .,ab2
3、. 点 C 在线段 AB 上，且 ,则52ACB, .AB反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？加法交换律：A. + B. = B. + a；加法结合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c)；数乘分配律：( A. + b) =A. +b 典型例题例 1 已知平行六面体 （如图） ，化简下列向量表达式，并标出化简结果ABCD的向量： AB ； D ； 12ABDC1()2A 变式：在上图中，用 表示 和 .,ABD,ACBD小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首
4、尾相接的向量例 2 化简下列各式： ; ABC ;ABMO .DDC变式：化简下列各式： ;OACB ;D .NQPM小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化. 动手试试练 1. 已知平行六面体 , M 为 A C 与 B D 的交点 ， 化简下列表达式：ABCD11 ;1A ;12B 112 .ACA三、总结提升 学习小结1. 空间向量基本概念；2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上
5、所有点沿相同的方向移动相同的长度” ，空间的平移包含平面的平移. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 下列说法中正确的是（ ）A. 若 = ，则 ， 的长度相同，方向相反或相同;ababB. 若 与 是相反向量，则 = ;ababC. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形 ABCD 中，一定有 .ABDC2. 长方体 中，化简 = ABCDA3. 已知向量 ， 是两个非零向量， 是与 ， 同方向的单位向量，那么下列各式正ab0,ab确的是（ ）A. B. 或00C. D. = 104. 在四边形 ABCD 中，若 ,则四边形是（ ）ACBDA. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形5. 下列说法正确的是（ ）A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量课后作业 1. 在三棱柱 ABC-ABC中，M,N 分别为 BC,BC的中点，化简下列式子： + + AMBAMCB2. 如图，平行六面体 中，点 为 与的 的交点，1ABCDMACBD， ， ，ABab1c则下列向量中与 相等的是（ ）MA. 12B. abcC. D. 12c
