空间中的夹角和距离教案.doc

1、 空间中的夹角和距离1距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。（1）两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，

2、那么就转化成求公垂线段的长度（2）点到平面的距离平面外一点 P 在该平面上的射影为 P，则线段 PP的长度就是点到平面的距离；求法： “一找二证三求”，三步都必须要清楚 1地写出来。 等体积法。 2（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：找出或作出表示有关距离的线段；证明它符合定义；归到解某个三角形若表示距离的线段不容

3、易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线 a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线 AA的长度为 d ，在 a 上有线段 AE m ，b 上有线段 AF n ，那么 EF （“”符号由实际情况选定）cos22mnd2夹角空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为0，90 、0，90和0 ，180 。(（1）两条异面直线所成的角求法： 先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得； 通过两条异面直 1 2线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所

4、成角得范围是 ，向量所成的角范围是 ，如果求出的是钝角，要注意转2,0(,0化成相应的锐角（2）直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：（）定义法；（）利用三垂线定理或逆定理；（）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos ，其中 S 为斜面面积，S为射影面积， 为斜面与射影

5、面所成的二面角【典例解析】题型 1：直线间的距离问题例 1已知正方体 的棱长为 1，求直线 DA与 AC 的距离。ABCD解法 1：如图 1 连结 AC，则 AC面 ACD，连结 DA、DC、DO，过 O 作 OEDO于 E因为 AC面 BBDD，所以 ACOE。又 ODOE，所以 OE面 ACD。因此 OE 为直线 DA与 AC 的距离B C A D B C O A D 图 1 E O 在 RtOOD 中， ，可求得OEDO E3点评：此题是异面直线的距离问题：可作出异面直线的公垂线。解法 2：如图 2 连接 AC、DC、BC、ABA ，得到分别包含 DA和 AC 的两个平面ACD 和平面

6、ABC，又因为 ACAC，ADBC，所以面 ACD面 ABC。故 DA与 AC 的距离就是平面 ACD 和平面 ABC 的距离，连 BD分别交两平面于两点，易证 是两平行平面距离 不难算出 ，所以O12， O12 BODa123，所以异面直线 BD 与 之间的距离为 。a123C13a点评：若考虑到异面直线的公垂线不易做出，可分别过两异面直线作两平面互相平行，则异面直线的距离就是两平面的距离题型 3：点线距离例 1.已知 ABCD 是矩形，AB=a,AD=b, ,Q 是 PA 的中点，求 Q 到 BD 的距离。（金海洋 171）2PABDPAc平 面 ，例 2（2009 天津卷理）（本小题满分

7、 12 分）如图，在五面体 ABCDEF 中，FA 平面 ABCD, AD/BC/FE，AB AD，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE= 12AD (I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(II) 证明平面 AMD平面 CDE；（III ）求二面角 A-CD-E 的余弦值。 方法一：（）解：由题设知，BF/CE，所以CED（或其补角）为异面直线 BF 与 DE 所成的角。设 P 为 AD 的中点，连结 EP，PC。因为 FE /AP，所以 FA /EP，同理 AB /PC。又 FA平面ABCD，所以 EP平面 ABCD。而 PC，AD 都在平面 ABCD 内,故 EPPC

8、，EPAD。由AB AD，可得 PCAD 设 FA=a，则 EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= a2，故CED=60。所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60 （II ）证明：因为 .CEMP.CEDCEM ， 则连 结的 中 点 ， 所 以为且D .DA.A平 面， 所 以 平 面平 面而平 面， 故又 （III ）因 为， 所 以因 为，的 中 点 ， 连 结为解 ： 设 .QQPQP 的 平 面 角为 二 面 角， 故， 所 以 由（I）可得， .226Eaa， ，中 ，于 是 在 3cosPQRtQP方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，C B D A C O2 B

9、D A O1 图 2点 A为坐标原点。设 ，1B依题意得 ， 0， 1C ， 02D ， 1E ， 0F.21M，（I） ，解 ： 0F ，DE .2Bcos，于 是 F所以异面直线 B与 所成的角的大小为 06.（II ）证明： ，由 21AM ， 1CE 0AMCE02AD， 可 得， ， .DM0DCE 平 面， 故又，因 此 ， 平 面， 所 以 平 面平 面而 （III ） .0D)(EEuCzyxu， 则，的 法 向 量 为解 ： 设 平 面 .1(1.0）， 可 得令，于 是 uxzy又由题设，平面 ACD的一个法向量为 ).10(，v .31cosv，所 以 ， 题型 4：点面

10、距离求点到面的距离一般有三种办法：直接法过“点”作“面”的垂线（尽可能找到过这一点的一个与“面”垂直的平面，然后过“点”作它们交线的垂线）；等积转换；法向量: 若平面 的法向量为n，直线 AB 与平面 交于点 A，则点 B到平面 的距离 h= |nAB。例 1.正三棱柱 的底面边长为 ，点 M 在 BC 边上， 是以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形，1Ca1AC（1）求证：点 M 为 BC 边的中点；（2）求点 C 到平面 的距离；（金海洋 172）1例 2（2009 重庆卷理）（本小题满分 12 分，（）问 5 分，（）问 7 分）如题（19）图，在四棱锥 SABCD中， A且 DC；平面

11、 S平面 ABCD，,2CSD； E为 的中点， 2,3EAS求：（）点 A到平面 S的距离；（）二面角 C的大小 . （19）（本小题 12 分）解法一：（）因为 AD/BC,且 ,BCS平 面 所以 /,ADBCS平 面 从而 A 点到平面 BCS的距离等于 D 点到平面 BCS的距离。因为平面 SDA平 面 ， 故 平 面 ,从而 D，由 AD/BC，得 ,又由C知 平 面 ，从而 为点 A 到平面 的距离，因此在 Rt中2312S()如答（19）图 1，过 E 电作 ,GCD交 于点 G，又过 G 点作 HCD,交 AB 于 H，故EGH为二面角 A的平面角，记为 ，过 E 点作 EF

12、/BC,交 S于点 F,连结 GF,因平面,ABCDSHF平 面 易 知,故 2F.由于 E 为 BS 边中点，故 12F,在 Rt中，2F,因 ECSD平 面 ，又 EG故由三垂线定理的逆定理得 G,从而又可得 ,F:因此 GCDS而在 RtSD中，2426,13F故. 在 RtEG中， tanEFG可得 3F，故所求二面角的大小为 6解法二：（）如答（19）图 2，以 S(O)为坐标原点，射线 OD,OC 分别为 x 轴，y 轴正向，建立空间坐标系，设 (,)Axyz，因平面,CODABCDACOD平 面 故 平 面即点 A 在 xoz 平面上，因此01Ayzuv，又223,01AxSxu

13、v从 而 （ ， ， ）因 AD/BC，故 BC平面 CSD，即 BCS 与平面 yOx 重合，从而点 A 到平面 BCS 的距离为2Ax.()易知 C(0,2,0)，D(,0,0). 因 E 为 BS 的中点.BCS 为直角三角形 ,知 2BSCEuv设 B(0,2, BZ)， 0，则AZ2，故 B（0，2，2） ，所以 E（0，1，1） .在 CD 上取点 G，设 G（ 1,0xy） ，使 GECD . . 由 1(2,0)(,)0CDGExyCDGEuvuvuv故12()xy 又点 G 在直线 CD 上，即 /，由 =（ 1,20） ，则有 12xy 联立、，解得 G 24(,0)3 ,

14、故 Euv= 2(,1)3.又由 ADCD，所以二面角 ECDA 的平面角为向量 Euv与向量DAuv所成的角，记此角为 .因为 E= 23， (0,1),1ADGAuvuv,所以. 3cos2GDEAuv，故所求的二面角的大小为 6.点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力举例 1 已知线段 AD平面 ，且与平面 的距离为 4，点 B 是平面 内的动点，且满足 AB=5，AD=10，则 B、D 两点之间的距离 （ ）A有最大值 5，无最小值； B有最小值 65，无最大值；C有最大值 ，最小值 6； D有最

15、大值 18，最小值 65；解析：记 A、D 在面 内的射影分别为 A1、D 1，AB=5，AA 1=4，A 1B=3，即 B 在面 内以 A1为圆心、3 为半径的圆周上，又 A1D1=10，故 D1B 最大为 13，最小为 7，而 DD1=4，于是：由勾股定理得 BD 最大 8，最小 ，选 D。举例 2 在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 是正方形 A1B1C1D1 的中心，点 P 在棱 CC1 上，且 CC1=4CP.求点 P 到平面 ABD1的距离；来源:学.科.网 Z.X.X.K解析：方法一：“等积转换”。如果直接研究三棱锥 P-ABD1的体积，无论怎样“转换”都

16、不易求；在 DD1上取一点 Q，使 DD1=4DQ，则PQ面 ABD1，如图 5-1；故 1ABDPV= 1Q，记 P 到面 ABD1 的距离为 h，则 Q 到面 ABD1 的距离为 h， 由 1ABDQV= 1得：h= 23；方法二：以 D 为原点建系，如图 5-2，A（4，0，0），B（4，4，0），D 1（0，0，4），P（0 ，4 ，1），不难求出面 ABD1的法向量 n=(1,0,1), P=(4,0,-1), h= = ；方法 3：“补齐”截面 ABD1 即正方体的对角面 ABC1D1，过 P 作 PEBC 1于 E，如图 5-3，B1PACDA1C1D1BOH图 5-2zB1PA

17、CDA1C1D1BOH图 5-1E图 5-3B1PACDA1C1D1BOHxyQPEAB，PE面 ABD1，PE 的长度即为点 P 到平面 ABD1 的距离，易求 PE= 23。巩固 1已知平面 平面 ，直线 l，点 l，平面 、 之间的距离为 8，则在 内到 P 点的距离为 9 的点的轨迹是： （ ）A一个圆 B两条直线 C四个点 D两个点巩固 2（1） 正三棱锥 PAB的高为 2，侧棱与底面 ABC成 45角，则点 A到侧面 BC的距离为_（07 高考江苏卷 14）。（2）正三棱柱 1的所有棱长都为 ， D为 1中点，则点 到平面 1D的距离为 （07 高考福建理 18）答案来源: 学科网

18、 ZXXK2、巩固 1 1、2、3、4，巩固 2900，3、巩固 10 或无数、30 0，巩固 2方法一：“悬空射影”，方法二：“建系”，方法三：取 PC中点 D，PAOD，去求直线 OD 与平面 PBC 所成的角，过 O 作面 PBC 的垂面，找射影；arcsin 302；4、 巩固方法一：延长DE、BA 交于 P，CP 是二面角的棱，DCB 是二面角的平面角，DCB=45 0；方法二：“平移“平面。取 CD 中点 F，BD 中点 G，二面角 D-EF-G 为所求；方法三：以 AB 中点为原点“建系“；方法四：用公式：cos = S/。5、巩固 1C，巩固 2 65， 2。题型 5：线面距离

19、例 1.已知正三棱柱 的底面边长为 8，对角线 ,AC 的中点为 D,1ABC10BC(1) 求证： 平面1;D(2) 求直线 到平面 的距离 （金海洋 172）1例 2（2009 重庆卷）（本小题满分 13 分，（）问 7 分，（）问 6 分）如题（18）图，在五面体 ABCDEF中， C， 2BAD，CDA，四边形 为平行四边形， 平面 ，3,7FE求：（）直线 到平面 的距离；（）二面角 E的平面角的正切值解法一:（） ,ABDC平面 FD, AB 到面 EFC的距离等于点 A 到面EF的距离，过点 A 作 G于 G，因 2BA D，故C；又 平面 ，由三垂线定理可知， ，故 FD面 ，

20、知 CAG，所以 AG 为所求直线 AB 到面 的距离ABC DEFxyzG在 RtABC 中， 2945FDC由 平面 ，得 AAD，从而在 Rt FAD中， 2541AD25G。即直线 B到平面 EC的距离为 。（）由己知， F平面 C，得 AD，又由 2，知 B，故 平面 ABFEDAE，所以， A为二面角 FD的平面角，记为 .在 Rt 中, 2743,由 AC得, EA,从而 2在 中, 12 ,故 tan2所以二面角 FAE的平面角的正切值为 .解法二: （）如图以 A 点为坐标原点, ,BDAF的方向为,xyz的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0) C(2,2,0) D

21、(0,2,0) 设 0(,)()z可得 0(2,)FCz,由|3FC.即 2203z,解得 ,1) ，D面 E,所以直线 AB 到面 EFCD的距离等于点 A 到面 EF的距离。设 A 点在平面 E上的射影点为1(,)Gxyz,则 1(,)Axy 因 0AG且 0,而 (,21)2,0,此即 120z解得 1x ,知 G 点在 yoz面上,故 G 点在 FD 上.FDA, 11(,)xy故有 12yz 联立,解得, 24(0,)5 . |G为直线 AB 到面 EFCD的距离. 而 4(0,)5A 所以 |A（）因四边形 AB为平行四边形,则可设 00,1Ex, 0(2,1)EDx .由|7ED

22、得 2017x,解得 2.即 ().故由 (,), ()F因 AD, AF,故 为二面角 FADE的平面角，又 2,0F,|2,|1,所以 |tan2E 点评：线面距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得，体积法不用得到垂线。题型 6：面面距离例 1在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB =4，BC=3，CC 1=2，如图：（1）求证：平面 A1BC1平面 ACD1；D1 C1B1A1D CBA（2）求(1)中两个平行平面间的距离；（3）求点 B1 到平面 A1BC1 的距离。（1）证明：由于 BC1AD 1，则 BC1平面 ACD1，同理，A 1B平面 ACD1

23、，则平面 A1BC1平面 ACD1。（2）解：设两平行平面 A1BC1 与 ACD1 间的距离为 d，则 d 等于 D1 到平面 A1BC1 的距离。易求 A1C1=5，A 1B=2 ，BC 1= ，则53cosA1BC1= ，则 sinA1BC1= ，则 S = 。65651CBA6由于 ，则 S d= BB1，代入求得 d= ，即两平行平面间的距离为 。11DCBDV31 )2(31 612612（3）解：由于线段 B1D1 被平面 A1BC1 所平分，则 B1、D 1 到平面 A1BC1 的距离相等，则由（2）知点 B1 到平面 A1BC1 的距离等于。612点评：立体几何图形必须借助面

24、的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来。在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面。这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解题型 7：线线夹角例 1如图 1，在三棱锥 SABC 中， ， ， ， ，求异面ABSCB90AC2B13S29直线 SC 与 AB 所成角的余弦值。图 1解法 1：用公式当直线 平面 ，AB 与 所成的角为 ，l 是 内的一条直线，l 与 AB 在 内的射影 所成的角为 ，则异面AB1AB2直线 l 与 AB 所成的角 满足 。以此为据求解coscos12由题意，知 平面 ABC， ，由

25、三垂线定理，知 ，所以 平面 SAC。SACBSCB因为 ，由勾股定理，得 。CS239， ， ASC17234， ，在 中， ，在 中， 。Rtcos12Rtcos设 SC 与 AB 所成角为 ，则，scoSCB17解法 2：平移过点 C 作 CD/BA，过点 A 作 BC 的平行线交 CD 于 D，连结 SD，则 是异面直线 SC 与 AB 所成的角，如图 2。又四边形SCABCD 是平行四边形。由勾股定理，得： 。AD17235， ，QBCPADO N图 1-2xyzSABCD图 2在 中，由余弦定理，得： 。SCDcosSCS17点评：若不垂直，可经过如下几个步骤求解：（1）恰当选点，

26、作两条异面直线的平行线，构造平面角 ；（2）证明这个角 （或其补角）就是异面直线所成角；（3）解三角形（常用余弦定理），求出所构造角 的度数例 2. 已知两个正四棱锥 ABDQP与 的高分别为 1 和 2, 4AB，() 证明: CQ平 面 ; () 求异面直线 AQ 与 PB 所成的角;解析：()记 AC、BD 交于 O，连 PO、QO，则 PO面 ABCD，QO面 ABCD，P、Q、O 共线，PQ面 ABCD；来源:Zxxk.Com()方法一：“平移”：注意到 AC、PQ 交于 O，取 OC 的中点 N，连结 PN，BN， 11,22POQAC， PNQA，故 AQP . BP 是异面直线

27、 AQ 与 PB所成的角（或其补角）. 22()13BO 2()(0BN29cos 3PNB故异面直线 AQ 与 P B 所成的角是 arcos9方法二：“建系”：由题设知，ABCD 是正方形， ACD由（I）， Q平面 ABCD，故可以分别以直线 CA、DB、QP 为 x轴， y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图 1-2），由题设，相关各点的坐标分别是 (0,1)P， (,02)， (,0)， )2,0(A，(0,2)PB,于是 3cos, .9QPBA注：在“平移”时常用到一些平面图形的性质，如：三角形的中位线、梯形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理的逆定理甚至三角形相似等。题型 8

28、：线面夹角直线与平面所成的角要“抓住”直线在平面内的射影，然后在直角三角形内求得；直线与平面所成的角是直线与平面内任意直线所成角的最小值。线面角的范围：0 0，90 0。B CA DPNM图 3-1例 1. 在如图所示的几何体中， EA平面 BC，DB平面 AC， ，且 2DAE， M是 B的中点求 C与平面E所成的角解析：方法一：“找射影”。过 M 作 MFED 于 F，连 CF，由 CMAB ，CMAE 得 CM面 ABDE，故 CMED，ED面 CMF，于是有面 CED面 CMF 于 CF，过 M 作 MHCF于 H，则 MH面 CED，MCH 为 与平面 C所成的角；来源:Zxxk.C

29、om设 Aa， 2BDCAa，在直角梯形 E中， ， 是 AB的中点，来源:Zxxk.Com所以 3， 3M， 6，得 是直角三角形，其中 90D ，MF= a2在 RtCF 中，CM=MF ， 45FC ，故 M与平面 CDE所成的角是 45注：“作垂面”是求作点 M 在面 内的射影的最重要、最常用的方法，其过程是： 过 M 点作平面 于 l，则 M 在面 内的射影M/ l。方法二：“建系”。如图，以点 为坐标原点，以 A， B分别为 x轴和 y轴，过点 C作与平面 B垂直的直线为z轴，建立直角坐标系 xyz，设 Ea，则 (2)， ， ，(02)Ba， ， (0)Ea， ， (2)D， ，

30、 ， 0M， ， 设向量 1yz， ，n=与平面 C垂直，则 C，即 n E=0 , n =0, (20)CEa， ， ， (02)CDa， ， ，得： 02y， 0x，即 (12)， ， ，由向量夹角公式得：cos= ,直线 M与平面 DE所成的角 是 与 M夹角的余角，所以 45，故直线 与平面 E所成的角是 45注：线与面的法向量所成的角与线面角互余；注意到线面角不为钝角，故：AB 与面 所成的角为：arcsin |nAB（ 为面 的法向量）。用法向量求线面角，以计算代替说理（找射影），最大限度地实现了“去逻辑化”，为疏于逻辑思维的同学求线面角提供了一条相对方便的路径；但是，并非所有的空

31、间形体都可以建立适当的坐标系。例 2. 如图 3-1，在四棱锥 P-ABCD 中，底面为直角梯形,ADBC,BAD=90,PA 底面 ABCD，且 PAAD=AB=2BC,M、N 分别为PC、PB 的中点. 求 CD 与平面 ADMN 所成的角。来源:学科网 ZXXKEDCABF HEDCAByzxB CA DPN M图 3-2QB CA DPN M图 3-3E来源:学科网解析：确定 C 点在面 ADMN 上的射影 Q 的位置很困难。方法一：“射影悬空”。先不管 Q 点的位置，CDQ 为 CD 与平面 ADMN 所成的角，入图 3-2；记 BC=a,在 RtCQD 中，CD=5a,只需求出 C

32、Q（C 到面 ADMN 的距离）即可，记为 h；注意到 ACDMACV，不难知道 来源:学科网 ZXXKAMD 中 AD 边上的高为 AN，AN= 2a, AMDS= 2a2； DS=2a2，M 到面 ACD 的距离为 a，h= 2a,故在 RtCQD 中， CDQ= arcsin 510。注：射影“悬空”求线面角的“革命”性意义在于绕开了求线面角中最困难的一步确定射影的位置，把问题化归为求点到面的距离；而求点到面的距离可以通过“等积转换”实现，并不需要知道射影的确切位置。方法二：“平移”线段。取 AD 中点 E，连 BE，如图 3-3，易见： BECD，CD 与平面 ADMN 所成的角即 B

33、E 与平面 ADMN 所成的角；不难证明：BNAN，BNAC，BN面 ADMN，即点 B 在面 ADMN 上的射影为 N，BEN 为 BE 与平面 ADMN 所成的角；记BC=a，BN= 2a，BE= 5a，在 RtBNE 中，BEN=arcsin 510。本题也可以“建系”求，略。巩固 1.太阳光线斜照地面，地面上与太阳光线成 600角的直线有_条？若太阳光线与地面成 60角时，要使一根长 2 米的竹竿影子最长，则竹竿与地面所成的角为 。巩固 2. 在三棱锥 PABC 中，ABBC，AB BC，PA=2BC，点 O 是 AC 的中点，OP底面 ABC求直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小

34、例 32009 湖南卷）（本小题满分 12 分）如图 3，在正三棱柱 1ABC中，AB=4, 17A,点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AC 上，且 DE1AE.（）证明：平面 1DE平面 ; （）求直线 AD 和平面 所成角的正弦值解:（）如图所示，由正三棱柱 1ABC的性质知 1A平面 BC.又 DE平面 ABC，所以 DE 1A.而 DE 1E， 1A,所以 DE平面 1C.又 DE 平面 D，故平面 1ADE平面 .（）解法 1: 过点 A 作 AF 垂直 1于点 F,连接 DF.由（）知，平面 平面 1CA，所以 AF平面 1DE,故 是直线 AD 和平面 1A所成的角。 因为

35、DE1，所以 DE AC.而 ABC 是边长为 4 的正三角形，于是 AD= 23，AE=4-CE =4- 12CD=3.又因为 17，所以 1AE= 21AE(7)= 4, 134AF, sin8FD.即直线 AD 和平面 1AE所成角的正弦值为 218 .解法 2 : 如图所示，设 O 是 AC 的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是 A(2,0,0,), 1A(2,0, 7), D(-1, 3,0), E(-1,0,0).易知 1AD=（-3， 3，- 7）， DE=（0，- ，0）， AD=（-3， 3，0）.设 (,)nxyzr是平面 1的一个法向量，则10

36、,37.EAzuvr解得 7,xzy.故可取 (,03)nr.于是 cos,ADnrur= 721843 . 由此即知，直线 AD 和平面 1E所成角的正弦值为 .点评：本题主要考查几何体的概念、线面夹角、两平面垂直等。能力方面主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力题型 8：二面角求二面角的方法很多，概括起来有两类，一 类是作平面角，一类是不作平面角。作平面角又有直接作和 间接作两种，形形色色的方法都是在做一件事：作二面角的棱的垂面；而不作平面角，要么建系用法向量求，要么用公式 cos= S/（其中 S 表示平面 内 的封闭图 形C 的面积，S /表示 C 在平面 内的射影 C/的面积，

37、 表示 与 所成的锐二面角的大小）。二面角 的范围（0 0，1800)。如 cos=- 31，则= arccos（- 31）=- arccos 。例 1如图，在长方体 中， 分别是 的中点， 分别是 的中点，1ABD,EP1,BCAD,MN1,AECD。,2ADa（）求证： 面 ；/MN1（）求二面角 的大小。PAE（）求三棱锥 的体积。解析：（）证明：取 的中点 ，连结CDK,MN 分别为 的中点，,NK1, ， 面 ， 面/MA/1A/1AD面 面 面1DN（）设 为 的中点F 为 的中点 面P11/PFBC作 ，交 于 ，连结 ，则由三垂线定理得 。HAEHAEPH从而 为二面角 的平面

38、角在 中， ，从而 。RtF7,2,aAEa217aF在 中， ，故二面角 的正切值为 。tPH1tan2DPFHPAED2（） ，1 2215424NEPECDPSBaa矩 形作 ，交 于 ，由 面 得 ，1DQQA1CAQ 面 ，B在 中， ，1RtC125Da 。3PDENPNEPVSQ234316a点评：求角和距离的基本步骤是作、证、算。此外还要特别注意融合在运算中的推理过程，推理是运算的基础，运算只是推理过程的延续。如求二面角，只有根据推理过程找到二面角后，进行简单的运算，才能求出。因此，求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系的论证。A BED CPMA BEDPxyCzA BED

39、 CPFA BED CPFOA BED CPMN例 2. 如图在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，ADC= 2，ABCD，PC面 ABCD，来源:Z。xx。k.ComPC=AD=DC= 1AB，E 为线段 AB 的中点。（1）求证：平面 PAC平面 PDE；（2）求二面角 A-PE-D 的大小。解析：（1）在直角梯形 ABCD 中，容易知道四边形 AECF 是正方形， DEAC，又 DEPCDE面 PAC，面 PDE面 PAC；（2）记 PC=a，方法一：用三垂线定理作二面角的平面角。记 AC、DE 交于 O，连 PO，PO 是相互垂直的平面PDE 和 PAC 的交线，过

40、A 作 PO 的垂线交 PO（的延长线）于 F，则 AF面 PDE，即 F 是 A 在面 PDE内的射影，又容易证明 AE面 PEC，则 AEPE，于是 FEPE，AEF 是二面角 A-PE-D 的平面角；在PAO 中有面积相等不难算出 AF= 3a，而 AE=a，在 RtAFE 中，AEF=arcsin 3。注：用三垂线定理作二面角的平面角，是作二面角的平面角 的最常用、最重要的方法。其过程概括为：找一垂找（作）一个面内一点 P 在另一个面内的射影 P/，作二垂过 P（或 P/）作二面角棱 l 的垂线，垂足为 Q，连三垂连 P/Q，则 lP /Q，于是PQ P/为二面角的平面角；计算该角在直

41、角三角形内进行； 在上述过程中，“找一垂”是关键。方法二：射影“悬空”作二面角的平面角注意到 AEPE，记点 A 在面 PDE 内的射影为 F来源:学科网 ZXXK（无须知道点 F 的确切位置），连 EF，则 PEFE，于是AEF 是二面角 A-PE-D 的平面角 ；以下问题化归到求 AF 的长度（即 A 点到面PDE 的距离）上。以下用“等积转换”求 AF，计算略。方法三：利用平面图形的有关性质作二面角的平面角注意到 DP=DE= 2a，取 PE 的中点 M，则 PEDM，又容易知道 AEPE，取 PA 的中点 N，连 NM，则 NMAE， PEMN ，于是NMD 为二面角 A-PE-D的平

42、面角；以下在DMN 中，用余弦定理求NMD ，计算略。方法四：用割补法求。视二面角 A-PE-D 为二面角 A-PE-C 与二面角 D-PE-C 的差。对二面角 A-PE-C， AE面 PEC，面 AEP面 PEC，即二面角 A-PE-C 为 2；对二面角 D-PE-C，点 C 是点 D在面 PEC 内的射影，取 BE 的中点 M，CP=CE=a，PEMC，于是有： PEMD，则DMC 为二面角 D-PE-C 的平面角，在 RtDCM 中， DMC=arctan 2,二面角 A-PE-D 的大小为 - arctan 2。注：在求钝二面角时“割补法”往往很有效。方法五：用平面的“法向量”求CPC

43、E, C PCD, C ECD,故可以 C 为原点，来源:学|科|网 Z|X|X|KD、 E、 P分别为 x、y、 z 轴建立空间直角坐标系。A（a,a,0）、D(a,0,0)、E(0,a,0) 、P(0,0,a)，则 =(a,0,0), D=(a,-a,0), EP= (0,-a,a)来源:学.科.网由此不难求出平面 PAE 的法向量 1n=（0，1，1）， 平面 PAE 的法向量2n=（1，1，1）则有： cos= 36,二面角 A-PE-D 的大小为 arccos 36。注：用“法向量”求二面角有一处严重的不足：二面角两个面的法向量的夹角未必等于二面角，也可能与二面角互补，这取决于法向量

44、CA BDE的方向，而确定法向量的方向却是中学生力不能及的。巩固 如图，在多面体 ABCDE 中，AE 面 ABC，BDAE，且 AC=AB=BC=BD=2，AE=1，求面 CDE 与面 CAB 所成的锐二面角 五【思维总结】空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决1空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角 (0， )，直线与

45、平面所成的角 ，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，20,2其平面角 (0，)。对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力（1）求异面直线所成的角，一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角 ，构造一个含 的三角形，解三角形即可。方法二是补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角 。（2）求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影），最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角（3）求二面角，一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角，就是作出二面角的平面角来解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：根据定义作二面角的平面角；垂面法作二面角的平面角；利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角；无棱二面角先作出棱后同上进行。间接法主要是投影法：即在一个平面 上的图形面积为