1、北师大版必修 4，第二章，平面向量，教案 第 1 页，共 19 页 第二章 平面向量2.1 从位移、速度、力到向量（1 课时）一、教学目标：1.知识与技能（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力2.过程与方法通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观通过本节的学习
2、，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点 重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想 【创设情境】实例：老鼠由 A 向西北逃窜，猫在 B 处向东追去，问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.【探究新知】1学生阅读教材思考
3、如下问题展示投影（学生先讲，教师提示或适当补充）1. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等注意：数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 从 19 世纪末到 20 世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。2.向量的表示方法有哪些？几何表示法：有向线段A BA(起点 )B（终点）a北师大版必修 4，第二章，平面向量，教案 第 2 页，共 19 页 有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。记作： AB注意：起点一定写在终点的前面。有向线段的长度：
4、线段 AB 的长度也叫做有向线段 的长度有向线段的三要素：起点、方向、长度字母表示法：也可用字母 a、 b、 c（黑体字）来表示，即 可表示为 AB（印刷时用黑体字）a3. 向量的模的概念是如何定义的？ 向量 的大小长度称为向量的模。 AB记作：| | 模是可以比较大小的4.两个特殊的向量：零向量长度（模）为 0 的向量，记作 。 的方向是任意的.0注意 与 0 的区别单位向量长度（模）为 1 个单位长度的向量叫做单位向量。思考：温度有零上零下之分， “温度”是否向量？答：不是。因为零上零下也只是大小之分。 与 是否同一向量？ AB答：不是同一向量。有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位
5、向量是否都相等？答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。5.向量间的关系：1平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。记作： abc规定： 与任一向量平行02 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。记作： =ab规定： =0任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。3 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，所以平行向量也叫共线向量。abc北师大版必修 4，第二章，平面向量，教案 第 3 页，共 19 页 = = = OAa Bb OCc展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例题：如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的
6、中心，分别写出图中与向量 、 OA、 相等的向量；分别写出图中与向量 、 、 共线的向量. B C D E学习小结（学生总结，其它学生补充）向量及其表示方法.向量的模.零向量与单位向量（零向量的方向任意；单位向量不一定相等）相等向量与平行向量.五.作业：P 86 习题 21六. 课后反思2.2 从位移的合成到向量的加法（2 课时）一、教学目标：1.知识与技能（1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算.（2）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量（3）通过实例，掌握向量加、减
7、法的运算，并理解其几何意义.（4）初步体会数形结合在向量解题中的应用.2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用 “相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度价值观C O B AD EOABC F北师大版必修 4，第二章，平面向量，教案 第 4 页，共 19 页 通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向
8、量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点 重点: 向量加法的概念和向量加法的法则及运算律.难点: 向量的减法转化为加法的运算.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想 【创设情境】一、 提出课题：向量是否能进行运算？1某人从 A 到 B，再从 B 按原方向到 C，则两次的位移和： + = A2若上题改为从 A 到 B，再从 B 按反方向到 C，则两次的位移和： + = 3某车从 A 到 B，再从 B
9、 改变方向到 C，则两次的位移和： + = A4船速为 ，水速为 ，则两速度和： + =AB C提出课题：向量的加法【探究新知】1定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）2三角形法则：强调： “向量平移” （自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点可以推广到 n 个向量连加 aa0A B CC A BA BCA BCa+bAA ABB BCC Ca+ba+ba abb baa北师大版必修 4，第二章，平面向量，教案 第 5 页，共 19 页 不共线向量都可以采用这种法则三角形法则展示投影例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）例 1、
10、已知向量 、 ，求作向量 +abab作法：在平面内取一点，作 OA B则 ba【探究新知】3加法的交换律和平行四边形法则思考：上题中 + 的结果与 + 是否相同 验证结果相同从而得到：1 向量加法的平行四边形法则2向量加法的交换律： + = +ab4向量加法的结合律：( + ) + = + ( + )（可请学生先上来做，不足cc之处学生更正）证：如图：使 , , aAB bC D则( + ) + =abc A+ ( + ) =( + ) + = + ( + )cabc从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。展示投影例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）例 2如图，
11、一艘船从 A 点出发以 的速度向垂hkm/32 直于对岸的方向行驶，同时水的流速为 ，求船实际航行 的速度的大小与方向。【探究新知】思考：已知 ， ，怎样求作 ？ abba这个问题涉及到两个向量相减，到底如何运算呢？首先引入“相反向量”这个概念.5.用“相反向量”定义向量的减法“相反向量”的定义：与 a 长度相同、方向相反的向量；记作 a规定：零向量的相反向量仍是零向量。( a) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量。 a + (a) = 0如果 a、 b 互为相反向量，则 a = b, b = a, a + b = 0向量减法的定义：向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与 b 的差
12、。O ABaaabb bABCDaca+b+cba+bb+c北师大版必修 4，第二章，平面向量，教案 第 6 页，共 19 页 即： a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。6.用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若 b + x = a，则 x 叫做 a 与 b 的差，记作 a b7.请同学们自己解决思考题：的作法：a展示投影思考与讨论：思考：从向量 的终点指向向量 的终点的向量是什么？（ ）ab ab讨论：如右图， 时，怎样作出 呢？a展示投影例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）例 3.已知向量 a、 b、 c、 d，求作向量 ab、
13、cd。例 4.平行四边形中， = ， = ，用 、 表示向量 ， . AB D ACDB例 5.试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。学习小结（学生总结，其它学生补充）向量加法的三角形法则与平行四边形法则.向量加法运算律.相反向量及向量减法的运算法则.2.3 从速度的倍数到数乘向量（2 课时）一、教学目标：1.知识与技能（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。（3）要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。（4）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的
14、A B D C北师大版必修 4，第二章，平面向量，教案 第 7 页，共 19 页 基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1 “模”与“方向”两点) 2三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律） ） ，在此基础上得到数乘运算的几何意义；通过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质） 。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的认识
15、，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.二.教学重、难点 重点: 1. 实数与向量积的定义及几何意义.2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示难点: 1. 实数与向量积的几何意义的理解.2. 平面向量基本定理的理解.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想 【探究新知】1思考: （引入新课）已知非零向量 作出 + + 和( )+( )aaa+( )a= = + + =
16、3 OC BAa= =( )+( )+( )=3PN MNQa讨论： 3 与 方向相同且|3 |=3| | 3 与 方向相反且|3 |=3| |a2从而提出课题：实数与向量的积；实数 与向量 的积，记作：aa定义：实数 与向量 的积是一个向量，记作：| |=| |aO A B CN M Q P北师大版必修 4，第二章，平面向量，教案 第 8 页，共 19 页 0 时 与 方向相同；0 时 与 方向相反；=0 时 =aaa（请学生自己解释其几何意义）0展示投影例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充）例 1.（见 P96例 1）略展示投影思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是
17、否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）结合律：( )=() a第一分配律：(+) = + a第二分配律：( + )= + b结合律证明：如果 =0，=0， = 至少有一个成立，则式成立a0如果 0，0， 有：|( )|=| |=| |aaa|() |=| |=| |( )|=|() | a如果 、 同号，则式两端向量的方向都与 同向；a如果 、 异号，则式两端向量的方向都与 反向。从而 ( )=()a【探究新知】 （师生共同分析向量共线的充要条件）若有向量 ( )、 ，实数 ，使 = 则由实数与向量积的定a0bba义知： 与 为共线向量b若 与 共线( )且| |：| |=，
18、则当 与 同向时 = ；当ba与 反向时 =aa从而得：向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数ba，使 = .b展示投影例题讲评（师生共同分析，学生动手做）例 2. （见 P97例 2）略例 3.（P 97例 3 改编）如图： ， 不共线，P 点在 AB 上，求证：存在实数 OA BPBAO北师大版必修 4，第二章，平面向量，教案 第 9 页，共 19 页 1.且使 OBAP（证明过程与 P97例 3 完全类似；略）思考：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线）【巩固深化，加强基础】1.见 P98练习 1、2、3、4 题.2.如例 3 图， ， 不共线， =t (tR)用
19、， 表示 . OA B AP B OA B P【探究新知、展示投影】1思考：是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？对于平面上两个不共线向量 ， 是不是平面上的所有向量都可以用它1e2们来表示？2教师引导学生分析设 ， 是不共线向量， 是平面内任一向量1ea= = 1 = = + = 1 + 2OA1eOMeOCaMNe= = 2B2N得平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于1e这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 1， 2使 = 1 + 2 .a ae注意几个问题： 、 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底.1e2 这个定理也叫共面
20、向量定理. 1， 2是被 ， ， 唯一确定的数量.a1e2同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.展示投影例题讲评（教师可从中选择几个例题让学生先做，学生评讲，教师提示或适当补充；）例 41kg 的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图） ，已知两细绳与水平线分别成 30, 60角，问两细绳各受到多大的力？2ON BMMCM北师大版必修 4，第二章，平面向量，教案 第 10 页，共 19 页 即两根细绳上承受的拉力分别为 0.5 kg 和 0.87 kg例 5.如图 ABCD 的两条对角线交于点 M，且 = ， = ， ABa Db用 ， 表示 ， ， 和ab MA B C
21、 D例 6. 如图，在ABC 中， = , = ，AD 为边 BC 的中线，G 为ABC 的 a b重心，求向量 AG【巩固深化，发展思维】1在 ABCD 中，设对角线 = ， = 试用 , 表示 ， CaBDbaABC2.已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E，O 是任意一点，求证： + + + =4 . OA B 3.见 P100练习 1、2 题.学习小结（学生总结，其它学生补充）数乘向量的几何意义理解.向量 与非零向量 共线的条件是：有且只有一个非零实数 ，使 = .ba ba平面向量基本定理的理解及注意的问题.五、评价设计1作业：习题 2.3 A 组第 4、5、6、7
22、题2.（备选题）如图，已知梯形 ABCD 中，ABCD 且 AB=2CD，M, N 分别是 DC, AB中点，设 = , = ，试以 , 为基底表示 , , Da Bbab DCBM解： = = 连 ND 则 DCND C21A = = = BN a21b又 = =DM21 C4 = = = N BD C M=( + ) = a21ba3.体会向量在平面几何中的应用DMA BMCMabDABMCMabODA MMCMBMNM北师大版必修 4，第二章，平面向量，教案 第 11 页，共 19 页 2.4 平面向量的坐标（2 课时）一、教学目标：1.知识与技能（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示.
23、（2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.过程与方法教材利用正交分解引出向量的坐标，在此基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，培养学生应用能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们对认识到在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系（即点或向量都可以看作有序实数对的直观形象） ；让学生领悟到数形结合的思想；培养学生勇于创新的精神.二.教学重、难点 重点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.难点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.三.学法
24、与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想 【创设情境】（回忆）平面向量的基本定理（基底） = 1 + 2ae其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.【探究新知】（一） 、平面向量的坐标表示1在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示思考：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？取 轴、 轴上两个单位向量 , 作基底，则平面内作一向量xyij jyixa记作： =(x, y) 称作向量 的坐标aa如： = = =(2, 2) = = =(2
25、, 1) OAji2b OBji2= = =(1, 5) =(1, 0) =(0, 1) =(0, c C5i 00)O BCAxy bc北师大版必修 4，第二章，平面向量，教案 第 12 页，共 19 页 由以上例子让学生讨论：向量的坐标与什么点的坐标有关？每一平面向量的坐标表示是否唯一的？两个向量相等的条件是？（两个向量坐标相等）展示投影思考与交流：直接由学生讨论回答：思考 1 （1）已知 (x1, y1) (x2, y2) 求 + ， 的坐标abab(2)已知 (x, y)和实数 , 求 的坐标结论：.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.实数与向量的积的坐标，等于用这
26、个实数乘原来的向量相应的坐标。思考 2.已知 你觉得 的坐标与 A、B 点的坐标有什么关系？),(),(21yxBA = =( x2, y2) (x1,y1) O= (x2 x1, y2 y1)结论：.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例 1.（教材 P104例 2）例 2. （教材 P104例 3）例 3.已知三个力 (3, 4), (2, 5), (x, y)的合力 + + =1F23F1F230求 的坐标.3例 4.已知平面上三点的坐标分别为 A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点 D
27、 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。【巩固深化，发展思维】1若 M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求 P 点的坐标；21 MP N2若 A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则 2 =(-3,-3)AB C3已知：四点 A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形ABCD 是梯形。【探究新知】O xyB(x2, y2)A(x1, y1)北师大版必修 4，第二章，平面向量，教案 第 13 页，共 19 页 展示投影思考与交流：思考：共线向量的条件是有且只有一个实数 使得 = ，那么这个条件如ba何用坐标来表示呢？设 其中),(
28、),(21yxbya0b由 得 ),(,2121yx消去 ： 中至少有一个不为 00121yxb,结论： ( )用坐标表示为ab0121yx注意：消去 时不能两式相除 y 1, y2有可能为 0. 这个条件不能写成 有可能为 0.21xy21,x向量共线的两种判定方法： ( )ab00121yxba展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例 5.如果向量 轴 正 方 向 上 的 单 位轴分 别 是其 中 jimjiBCjiA,2向量，试确定实数 m 的值使 A、B、C 三点共线例 6.若向量 =(-1,x)与 =(-x, 2)共线且方向相同，求 xab学习小结（学生总结，其它学
29、生补充）【巩固深化，发展思维】1.教材 P105练习 1-52.已知 的 值求且） ， yxcbaycxba ,/),3(),2(1,2(3已知点 A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1) 求证：ABCD4证明下列各组点共线： A (1,2)，B(-3,4)， C(2,3.5) P (-1,2)， Q(0.5,0)， R(5,-6)5已知向量 =(-1,3) =(x,-1)且 求 x . abab学习小结 （学生总结，其它学生补充）向量加法运算的坐标表示.向量减法运算的坐标表示.实数与向量的积的坐标表示.向量共线的条件.北师大版必修 4，第二章，平面向量，教案 第 14 页，共
30、19 页 五、评价设计1作业：习题 2-4 A 组第 1，2，3，7，8 题 2 （备选题）：已知 A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量 与 平行 ABCD吗？直线 AB 与平行于直线 CD 吗？解： =(1-(-1), 3-(-1)=(2, 4) =(2-1,7-5)=(1,2) B CD又22-4-1=0 AB又 =(1-(-1), 5-(-1)=(2,6) =(2, 4)ACAB24-260 与 不平行 CA，B，C 不共线 AB 与 CD 不重合 ABCD六、课后反思：2.5 从力做的功到向量的数量积（2 课时）一、教学目标：1.知识与技能（1）通过物理中
31、“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系. （3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功” ）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了 4 个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量
32、积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.二.教学重、难点 重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.难点: 运算律的理解三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.北师大版必修 4，第二章，平面向量，教案 第 15 页，共 19 页 教学用具:电脑、投影机.四.教学设想 【探究新知】 （学生阅读教材 P107108，师生共同讨论）思考：请同学们回忆物理学中做功的含义，问对一般的向量 a 和 b，如何定义这种运算？1.力做的功：W = | F|s|cos是 F 与 s 的夹角
33、2.定义：平面向量数量积（内积）的定义， ab = |a|b|cos，并规定 0 与任何向量的数量积为 0。3.向量夹角的概念：范围 0180展示投影由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；因此强调注意的几个问题：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定。两个向量的数量积称为内积，写成 ab；今后要学到两个向量的外积ab，而 ab 是两个数量的积，书写时要严格区分。在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，若 a0，且ab=0，不能推出 b=0。因为其中 cos有可能为 0.这就得性质 2.已知实数 a、 b、 c(b0)，则 ab=bc a=
34、c.但是 ab = bc a = c 如右图： ab = |a|b|cos = |b|OA|bc = |b|c|cos = |b|OA|ab=bc 但 a c在实数中，有( ab)c = a(bc)，但是( ab)c a(bc)显然，这是因为左端是与 c 共线的向量，而右端是与 a 共线的向量，而一般 a 与 c 不共线.展示投影思考与交流：思考与交流 1.射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.定义：| b|cos叫做向量 b 在 a 方向上的射影。注意：射影也是一个数量，不是向量。当为锐角时射影为正值；当为钝角时射影为负值；当为直角时射影为 0；当 = 0 时射影
35、为 | b|；C = 0 = 180 OOOOO OAAAA A A BBBBBBCOaAcb AOOBOB1Oab AOOBOB1OabAOOBO(B1)OabsF北师大版必修 4，第二章，平面向量，教案 第 16 页，共 19 页 当 = 180 时射影为 | b|.思考与交流 2.如何定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质（学生讨论完成，教师作必要的补充）.几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影| b|cos的乘积。性质：设 a、 b 为两个非零向量， e 是与 b 同向的单位向量。 ea = ae =|a|cos
36、ab ab = 0当 a 与 b 同向时， ab = |a|b|；当 a 与 b 反向时， ab = |a|b|。特别的 aa = |a|2或 |cos = （| a|b|0）| | ab| a|b|【巩固深化，发展思维】判断下列各题正确与否：若 a = 0，则对任一向量 b，有 ab = 0. ( )若 a 0，则对任一非零向量 b，有 ab 0. ( )若 a 0， ab = 0，则 b = 0. ( )若 ab = 0，则 a 、 b 至少有一个为零. ( ) 若 a 0， ab = ac，则 b = c. ( )若 ab = ac，则 b = c 当且仅当 a 0 时成立. ( )对任
37、意向量 a、 b、 c，有( ab) c a (bc). ( )对任意向量 a，有 a2 = |a|2. ( )展示投影思考与交流：思考：根据向量数量积的定义、物理意义及几何意义，你能否验证下列向量的数量积是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）1.交换律： ab = ba2.数乘结合律：( a) b = (ab) = a ( b)3.分配律：( a + b) c = ac + bc展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例 1.已知： .)2.()1(,20,32 ba求的 夹 角 为与例 2.已知 都是非零向量，且 垂直，ba、 ba573与垂直，求 的夹
38、角。27与 、 1 2a bA BO A1 B1 Cc北师大版必修 4，第二章，平面向量，教案 第 17 页，共 19 页 例 3.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。【巩固深化，发展思维】1.教材 P109练习 1、2 题2. 教材 P111练习 1、2、3、4、5 题学习小结 （学生总结，其它学生补充）有关概念：向量的夹角、射影、向量的数量积.向量数量积的几何意义和物理意义.向量数量积的五条性质.向量数量积的运算律.五、评价设计1作业：习题 2.5 A 组第 3、4、5、6、7 题 2 （备选题）：在 ABC 中，设边 BC，CA，AB 的长度分别为 a，b，c，用向量方法证明：Abcao
39、s22求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。六、课后反思：2.6 平面向量数量积的坐标表示（1 课时）一.教学目标：1.知识与技能（1）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（2）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（3）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识.2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手段，通过应用帮助学生掌握几个公式的等价形式，然后和同学一起总结方法，最后巩固强化.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一个崭新的认识；提高学生迁移知识
40、的能力.二.教学重、难点 重点: 平面向量数量积的坐标表示以及推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示.难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想 北师大版必修 4，第二章，平面向量，教案 第 18 页，共 19 页 【创设情境】展示投影引入：请同学们回忆一下实数与向量的乘积的坐标表示以及两向量共线的坐标表示：【探究新知】平面两向量数量积的坐标又如何表示呢？1. 推导坐标公式：设 a = (x1, y1)， b = (x2, y2
41、)， x 轴上单位向量 i， y 轴上单位向量 j，则： ii = 1， jj = 1， ij = ji = 0. a = x1i + y1j, b = x2i + y2j ab = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1ij + x2y1ij + y1y2j2= x1x2 + y1y2从而获得公式： ab = x1x2 + y1y22.长度、角度、垂直的坐标表示a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| = 2yx若 A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则 = 2121)()( ABco s = 21y|baab ab
42、= 0 即 x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）【巩固深化，发展思维】1.设 a = (5, 7)， b = (6, 4)，求 ab2.已知 A(1, 2)， B(2, 3)， C(2, 5)，求证： ABC 是直角三角形.3.教材 P114练习 1、2 题.4.已知 a = (3, 1)，b = (1, 2)，求满足 xa = 9 与 xb = 4 的向量 x.展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例 1. 教材 P113例 1.例 2. 教材 P113例 2.展示投影思考：1.什么是方向向量？2.怎样把一个已知向量转化为单位向量？展示投影例题讲评（学
43、生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例 3. 教材 P114例 3.【巩固深化，发展思维】教材 P115习题 A 第 1、2、3、4、5、6 题.学习小结a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| = 2yx若 A = (x1, y1)，B = (x 2, y2)，则| |= 2121)()(y ABcos = 21y|ba北师大版必修 4，第二章，平面向量，教案 第 19 页，共 19 页 ab ab = 0 即 x1x2 + y1y2 = 0五、评价设计1作业：习题 2.6 B 组第 1,2,3，4 题 2 （备选题）： 如图，以原点和 A(5, 2)为顶点作等腰直角OAB，使 B = 90，求点 B 和向量 的坐标。六、课后反思：AOB
