1、第 十 一章 组 合 变 形一、教学目标和教学内容1教学目标掌握组合变形的概念。掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。正确区分斜弯曲和平面弯曲。了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。2教学内容讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。讲解弯曲和扭转组合变形内力计算、确定危险截面和危险点、强度计算。讲解拉伸（压缩）和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。讲解偏心拉
2、伸（压缩）组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度计算。简单介绍截面核心的概念和计算。二、重点难点重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。难点：1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形：斜弯曲分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲；弯曲和扭转组合变形分解为平面弯曲和扭转；拉伸（压缩）和弯曲组合变形分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计） ；偏心拉伸（压缩）组合变形单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯
3、曲。2、组合变形的强度计算，可归纳为两类：1） 、危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可；2） 、危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。三、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。四、建议学时7 学时五、讲课提纲1、概述实际工程中，许多杆件往往同时存在着几种基本变形，它们对应的应力或变形属同一量级，在杆件设计计算时均需要同时考虑。本章将讨论此种由两种或两种以上基本变形组合的情况，统称为组合变形。图 11.1 中， （a）图示烟
4、囱，自重引起轴向压缩变形，风荷载引起弯曲变形；（b）图示柱，偏心力引起轴向压缩和弯曲组合变形；（c）图示传动轴和（d）图示梁分别发生弯曲与扭转、斜弯曲组合变形。图 11.1对于组合变形的计算，首先按静力等效原理，将荷载进行简化、分解，使每一种（组）荷载产生一种基本变形；其次，分别计算各基本变形的解（内力、应力、变形） ，最后综合考虑各基本变形，确定危险截面和危险点，叠加其应力、变形，进行强度和刚度计算。2、斜弯曲平面弯曲：横向力作用平面通过梁横截面弯心连线，且与横截面形心主惯性轴所在纵面重合或平行，梁的挠曲线所在平面或者与横向力作用平面重合或者与之平行。斜弯曲：横向力通过梁横截面的弯心，不与形
5、心主惯性轴重合或平行，而是斜交，梁的挠曲线不再与荷载纵平面重合或平行。例：图 11.2 中给出几种常见截面，其中图（b） 、 （c） 、 （d） 、 （f）是斜弯曲；图（a）是平面弯曲；图（e）是斜弯曲与扭转的组合变形。图 11.2 现以图 11.3 示矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲时应力和变形的计算。设自由端作用一个垂直于轴线的集中力 ，其作用线通过截面形心（也是弯心） ，pF并与形心主惯性轴 y 轴夹角为 。图 11.32.1 内力计算首先将外力分解为沿截面形心主轴的两个分力： cospyFinz其中， 使梁在 xy 平面内发生平面弯曲，中性轴为 z 轴，内力弯矩用 Mz表示；pyF使梁在
6、 xz 平面内发生平面弯曲，中性轴为 y 轴，内力弯矩用 My表示。在应z力计算时，因为梁的强度主要由正应力控制，所以通常只考虑弯矩引起的正力，而不计切应力。任意横截面 mn 上的内力为 coss)()(xlFlMppyz sinsi)()(MxlFlMppzy 式中， 是横截面上的总弯矩。)(xlFp 2yz2.2 应力分析横截面 mn 上第一象限内任一点 k（y,z）处，对应于 、 引起的正应zMy力分别为 yIyIMzzcosIIyyin式中 、 分别为横截面对 y、z 轴的惯性矩。yIz因为 和 都垂直于横截面，所以 k 点的正应力为yzIIyMsinco（11.1）注意：求横截面上任
7、一点的正力时，只需将此点的坐标（含符号）代入上式即可。2.3 中性轴的确定设中性轴上各点的坐标为（ ， ） ，因为中性轴上各点的正应力等于零，0yz于是有0sinco00yzIIM即0sinco00yzIIy（11.2）此即为中性轴方程，可见中性轴是一条通过截面形心的直线。设中性轴与 z 轴夹角为 ，如图 11.4 示，则tantan0yzI上式表明：中性轴的位置只与 和截面的形状、大小有关，而与外力的大小无关；一般情况下， ，则 ，即中性轴不与外力作用平面垂直；zyI对于圆形、正方形和正多边形，通过形心的轴都是形心主轴， ，则 =zyI，此时梁不会发生斜弯曲。2.4 强度计算危险点发生在弯矩
8、最大截面上距中性轴最远的地方，对于图 11.3 示梁，两个方向的弯矩 、 在固定端截面上最大，所以危险截面为固定端截面。zMy产生的最大拉应力发生在 AB 边上， 产生的最大拉应力发生在 BD 边上，z yM所以梁的最大拉应力发生在 B 点。同理最大压应力发生在 C 点，因为此两点处于单向拉伸或单向压缩应力状态，可得强度条件为maxaxmaxyzW（11.3）若截面形状无明显的棱角时，如图 11.4（b）示，则作中性轴的平行线并与截面相切于 、 两点，此两点的正应力即为最大正应力。1D2五、变形计算现用叠加原理计算图 11.3 示梁自由端挠度 、 分别引起梁在 xy、xz 平面内的自由端挠度为
9、pyFzcos3EIzlFlpzpysinypyzIll则自由端的总挠度为(矢量和） （11-2zy4）设总挠度 与 y 轴的夹角为 ，则tanttanyzI可见：一般情况下， ， ，即挠曲线平面与荷载作用平面不重合；yzI ，即 方向与中性轴垂直。3、弯扭组合变形一般机械传动轴，大多同时受到扭转力偶和横向力的作用，发生扭转与弯曲组合变形。现以圆截面的钢制摇臂轴（如图 11.5 所示）为例说明弯扭组合变形时的强度计算方法。图 11.5AB 轴的直径为 d，A 端为固定端，在手柄的 C 端作用有铅垂向下的集中力 。pF3.1 外力简化和内力计算将外力 向截面 B 形心简化，得 AB 轴的计算简图
10、，如图 11.5（b）所示。pF横向力 使轴发生平面弯曲，而力偶矩 使轴发生扭转。作 AB 轴的弯矩aFTp图和扭矩图，如图 11.5（c） ， （d）所示，可见，固定端截面为危险截面，其上的内力（弯矩 和扭转 ）分别为zMTlpz(a) aFTMp3.2 应力计算画出固定端截面上的弯曲正应力和扭转切应力的分布图，如图 11.5（e）所示，固定端截面上的 和 点为危险点，其应力为1K2zZW(a)pTM式中， ， ，它们分别为圆轴的抗弯和抗扭截面模量。因为圆32dWz163dp轴的任一直径都是惯性主轴，抗弯截面模量都相同（ ） ，故均用 W 表yzW示。 点的单元体如图 11.5（f）所示。1
11、K3.3 强度条件危险点 （或 ）处于二向应力状态，其主应力为2K(b)23120AB 轴为钢材（塑性材料） ，在复杂应力状态下可按第三或第四强度理论建立强度条件。若采用第三强度理论，则轴的强度条件为313r将式（b）代入上式，得到用危险点 （或 ）的正应力和剪应力表示的强度K2条件234r将式（a）中的 和 代入上式，并注意到圆截面的 ，可得到用危险截 Wp2面上的弯矩和扭矩表示的强度条件：231TzrMW（11.5）若采用第四强度理论，则轴的强度条件为243r或 75.01TzrMW（11.6）上面式（11.5）和式（11.6）中 应理解为是危险截面处的组合弯矩 M，z若同时存在 和 ，则
12、组合弯矩为： 。zMy 2yz4、拉伸（压缩）与弯曲拉弯、压弯组合变形，是工程中经常遇到的情况，图 11.1（a） （b）示都是压弯组合变形的实际例子，现以图 11.6（a）示矩形截面杆为例分析拉弯、压弯组合变形的强度计算。图 11.6力 作用在纵向对称性平面 xy 内，引起杆件发生平面弯曲变形，中性轴是 z1pF轴； 引起杆件发生轴向拉伸变形。2内力： 常数； ， 。所以此杆的2pNF)(1xlFMzplFMpAzz1max危险截面为固定端截面。应力：轴向拉伸正应力为，横截面上均匀分布ApN2弯曲正应力为，横截面上呈线性分布yIxlFyIMzpz)(2叠加可得任一横截面上任一点的正应力为（1
13、1.7 ）yIxlAzp)( 12所以，杆件的最大、最小正应力发生在固定端截面（危险截面）的上、下边缘 a、b 处，其值为（0 ，为拉应力）zpWlFA12max（可能为拉应力，可能为压应力）zpWlFA12min所以固定端截面上的正应力分布如图 11.7（b）所示。因为危险点处于单向应力状态，故其强度条件为 max对于工程中常见的斜梁图 11.7（a），亦可按上述方法分析。图11.7（a）可看作图 11.7（b）和图 11.7（c）的组合，显然 AC 段的变形为压弯组合变形，BC 段的变形为拉弯组合变形。（a） 图 11.75、偏心拉伸（压缩）与截面核心当外力作用线与杆的轴线平行，但不重合时
14、，杆件的变形称为偏心拉压。它是拉伸（压缩）弯曲的组合。现在以矩形截面柱为例，讨论偏心拉压时的强度计算。取图 11.8 中柱的轴线为 x 轴，截面的形心主轴（即矩形截面的两根对称轴）为 y，z轴。设偏心压力 作用在柱顶面上的 E（ ， ）点， ， 分别为压力 至 z 轴和 ypFyezyezpF轴的偏心距。当 0， 时，称为双向偏心压缩；而当 ， 之一为零时，则称为yez z单向偏压缩。图 11.8将偏心压力 向顶面的形心 O 点简化，得到轴向压力 以及作用在 xy 平面内的附加力pF pF偶矩 和作用在 xz 平面内的附加力偶矩 ，如图 11.8（b）所示。柱的yzem zyem任一横截面 A
15、BCD 上的内力为：轴力： ；弯矩： ；弯矩： ，在截面 ABCDpNFypzeFMzpyeFM上任一点 K（y，z）处，由以上三个内力产生的正应力（均为压应力）分别为， ，APNFzIzyIzyK 点的总应力用叠加法（代数和）求得 yzNMFK即 yzPIA（11.8）或 yzpzyPKIeFIeFieiAyzzP21（11.9）其中，惯性半径 ， 。在计算时，式中的弯矩取绝对值代入。当偏心压力AIizIiy通过截面的某一形心主轴 y 或 z 轴时， 或 为零，此时即为单向偏心压缩。PF zey以图 11.8（b）可以看出，任一横截面（如截面 ABCD）上的角点 A 和 C 即为危险点，A
16、和 C 点的正应力分别是截面上的最大拉应力 和最大压应力 。将 A 和 C 点的maxtmaxc坐标代入式（11.8） ，得yzpyzPct WMAFIzMIyAFaxaxmax（11.10）因危险点 A，C 均处于单向应力状态，故强度条件为和maxt maxc当杆的横截面没有凸角时，危险点的位置就不易直接观察确定。这时，首先需要确定中性轴的位置。可令 ，由式（ 11.9）可得中性轴方程，即00120zieyiz（11.11）式中的（ ， ）为中性轴上任意点的坐标。由以上式可见，偏心拉压时，横截面上中0yz性轴为一条不通过截面形心的直线。设 和 分别为中性轴在坐标轴上的截距，则由式zy（11.
17、11）得zyzei2yi2（11.12）上式表明， 与 ， 与 总是符号相反，所以中性轴 n-n 与外力作用点 E 的投影点分yeze别位于截面形心的相对两边，在周边上作平行中性轴的切线，切点 和 是截面上距中1A2性轴最远的两点，故为危险点图 11.9（b） 。对于有凸角的对称截面，角点 A 和 C 就是危险点，如图 11.9（a）中的角点 A 和 C。将 A 和 C 的坐标代入式（11.8）即或求得横截面上数值最大的拉、压应力。图 11.9从图 11.9 中的正应力分布图可见，在一般情况下中性轴将截面分成拉伸和压缩两个区域。工程上常用的砖石、混凝土、铸铁等脆性材料的抗压性能好而抗拉能力差，
18、对于这些材料制成的偏心受压杆，应避免截面上出现拉应力。为此，要对偏心距（即偏心力作用点到截面形心的距离）的大小加以限制。从式（11.12）可知，中性轴在坐标轴上的截距与外力作用点坐标值成反比，因此，外力作用点离形心越近，中性轴离形心就越远。当偏心外力作用在截面形心周围一个小区域内，而对应的中性轴与截面周边相切或位于截面之外时，整个横截面上就只有压应力而无拉应力。这个围绕截面形心的特定小区域称为截面核心。图 11.10 中的阴影区域即为矩形和圆形的截面核心。由截面核心的定义可知，当偏心力的作用点位于截面核心边界的确定方法是：以截面周边上若干点的切线作为中性轴，算出其在坐标轴上的截距，然后利用式（11.12）求出各中性轴所对应的外力作用点的坐标，顺序连接所求得的各外力作用点，于是得到一条围绕截面形心的封闭曲线，它所包围的区域就是截面核心。图 11.10
