1、12016 年适应性考试文科数学 2016 年 3 月本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项:1答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目2选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效4请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.第卷(选择题 共 60 分)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四
2、个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合 ， ，则 （ ）260Ax21xBABA B C D,3(,)(,)3,)(0,23,)2设复数 ， ，则 （ ）12iz1iz12zA B C D3453甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为（ ）A B C D121264设 是两个题，若 是真命题，那么（ ）,pqpqA 是真命题且 是假命题 B 是真命题且 是真命题 pqC 是假命题且 是真命题 D 是假命题且 是假命题5已知等比数列 满足： ， ，na130a465a则 的通项公式 （ ）nA B C D41232n32n216n6 执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的
3、 （ ）10NxA B 0.50.8C D9n=+ 1x=+1n(1)x侧侧nNn=1,x0侧侧侧N27三角函数 的振幅和最小正周期分别为（ ）()sin2)cos6fxxA B C D3,23,2,2,8已知过球面上有三点 的截面到球心的距离是球半径的一半，且 ，A 2ABC则此球的半径是（ ）A B C D3414329在等腰三角形 中， ， ，则 （ ）C50A1ABA B C D31232231210已知椭圆 的离心率为 ，椭圆上一点 到两焦点的距离之和为 ，2(0)xyab5P2则 （ ）bA B C D865411某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 的正方形，2两条虚
4、线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A B 203163C D86812已知 是第二象限的角，其终边上的一点为 ，且 ，则 （ ）(,5)Px2cos4xtanA B C D151531153 侧 侧侧3第卷(非选择题 共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分.第 1321 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 2224 为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.13 已知实数 满足约束条件 ，若目标函数 仅在点 取得最小值，则 的,xy21xy2zxay(3,4)a取值范围是_14已知双曲线 的左焦点在抛物线 的准线上，则 _216
5、3xyp2ypxp15已知 是定义域为 的单调递减的奇函数，若 ，则 的取值范围是()fR(31)(0ffx_16顶点在单位圆上的 中，角 所对的边分别为 若 ， ，ABC, ,abc3sin2A24bc则 _ABCS三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分)数列 的各项均为正数， 为其前 项和，且对任意的 ，均有 ， ， 成等差数nanS*nN2naS2n列（1）求 的值；1（2）求数列 的通项公式na418 （本小题满分 12 分）某学校的篮球兴趣小组为调查该校男女学生对篮球的喜好情况，用简单随机抽样方法调查了
6、该校名学生，调查结果如下：10（1）该校共有 名学生，估计有多少学生喜好篮球？50（2）能否有 %的把握认为该校的学生是否喜欢篮球9与 性别有关？说明原因；（3）已知在喜欢篮球的 名女生中， 名女生126（分别记为 同时喜欢乒乓球，345,)P名女生(分别记为 ）同时喜欢羽毛球，212B名女生(分别记为 同时喜欢排球， 现从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各取 人，434,)V 1求 不全被选中的概率12,P附： ， 2()(nadbcKnabcd参考数据： )(02kP1.0.501.5768436378919 （本小题满分 12 分）如图所示，在直三棱柱 中，底面 的棱 ，ABCDEFAB
7、C且 点 、 在侧棱 上，且 .2ABGH1HGF（1）证明： 平面 ；E（2）求点 到平面 的距离HAC BDEFG28122535侧侧侧 侧侧侧520 （本小题满分 12 分）已知点 及直线 为平面上的动点，过 作直线 的垂线，垂足为点 ，1(,0)2F1:2lxPPlQ且 QP（1）求动点 的轨迹 的方程；C（2）设圆 过点 且圆心 在 的轨迹 上， 是圆 在 轴上截得的弦，M(1,0)AC12EMy证明弦长 是一个常数2E21 （本小题满分 12 分）设函数 ()log(1)0,)afxa（1）当 时，证明： ，有 ；1212,(,xx1212()(xfxff（2）若曲线 有经过点 的
8、切线，求 的取值范围()yf0,)a请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清楚题号.22.(本小题满分 10 分)选修 :几何证明选讲41如图所示， 是半圆 的直径， ，垂足为 ， ， 与 、 分别交于点 、BCOADBCABFADOEG()证明： ；F()证明： AE23.(本小题满分 10 分)选修 :坐标系与参数方程选讲4在直角坐标系 中，过点 的直线xOy(1,2)P EFG COADB6的倾斜角为 以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为l45 x C,直线 和曲线 的交点为 2sincoslC,AB(
9、)求直线 的参数方程；()求 PAB24.(本小题满分 10 分)选修 :不等式选讲45设函数 fxax()当 时，求不等式 的解集；1()3fx()若 时有 ，求 的取值范围x()0fxa2016 年适应性测试文科数学答案及评分参考评分说明:1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3. 解答右端所注分数
10、，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4. 只给整数分数. 选择题不给中间分.一选择题： （1）A （2）D （3）B （4）C （5）A （6）C（7）B （8）C （9）A （10）D （11）A （12）D二填空题（13） （14）4 （15） （16）（ -， ） 2,3-34三解答题（17）解：（）由假设，当 时，有 ，即1n2114Sa2114.a7故 由于 ，故1(2)0.a1a12.（）由题设，对于 ，有 n 4nnSa因此 2114,S由-得, 21.nnna即 112()()()na由于 和 均为正数，故 12,.n从而 是公差为 2，首项为 2 的等差数列.na因此，
11、,（18）解：（）在被调查的 100 名学生中，有（35+12）名学生喜欢篮球，因此全校 500 名学生中喜欢篮球的人数为： （人）.35120（） ，所以有 99%的把握认为该学校的学生是否喜635.74.4067)258(2 K欢篮球与性别有关.（）从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各选一名，一切可能的结果组成的基本事件有个，用 表示“ 不全被选中”这一事件，则对立事件 表示“ 全被选中”这4826NM21,BPM21,BP一事件，由于 包含 ， ， ， 4 个基本事件，所以),(21V)(),(321V),(21BP.48)(P由对立事件的概率公式得 .12)(P（19）解：（）因为 是
12、直三棱柱，所以 平面 ，而 AB 平面 ，ABCDEFFCABABC所以， . 又 ， . 平面 ，又 平面 ， HE.ABE由题设知 与 均为直角三角形，FBCG， ，22， .45H4512 分4 分4 分12 分8设 ，则 ，即 .BGEHP90EHBG又 ， 平面 .AA（） ， ， .2CB12BCS平面 ， .G433GACAV由（1）知 ， ， ，A222G.2BGS设点 到平面 的距离为 ，则Ch，124333ABABGABCVV.2h即点 到平面 的距离为 .C2（20）解：（）从题意知，设点 的坐标为 ，则 的坐标为 ，P,xyQ1,2y因此 1,0,2QxF.,FPyy因
13、 ，得 ，QF11,0,22xyxy即 ，故动点 的坐标满足方程21xy(,)P设 是 的任一点，过 作直线 的垂线，垂足为 ，则有 ,即0(,)Ny2xNlQFNQF上的任一点都具有所需的性质.2x综上，动点 的轨迹方程为 .P2yx（）设 为圆 的圆心，则 .,Mab2ba圆 过点 ， 圆 上的点 满足1,0AM(,)xy.222xya6 分12 分6 分9令 得 于是可得圆 与 轴的交点为 和 ，其中0,x210,ybaMy10,Ey2,y，1,2y故 是一个常数. 12Ey（21）解：（）由 得：()log()afx1212log(1)axx12l()ax12la，且 ，0,x1212
14、12() xx当 时， 单调递增，alogax当 时,.12 121212()l()log()()aafxf xxxf（） 的定义域为 ，若曲线 在点 处的切线经过点 ，则应有f,)yf, (0,1)，即 .()1()xflog()1()lnaxa（ ）, （*）有解.(ln1)0a设 （ ） ，)(log()1aFxx1x则 ,l1)lnllog(1)ln()lna aaxa 令 ，解得 .()0Fxx当 时， ，当 时， ，1a()01xa()0Fx是 的最小值.()F因此，当 ，即 时，方程（*）无解，所以曲线 没有经过点 的切线. ()yfx(0,1)当 时，由于 时，10ae1a,所
15、以方程（*）有解，故曲线 有经过点(e)ln(og)e10F()yfx的切线.,12 分4 分12 分10（22）解：（）连接 ， ， ，FCOA,BFO点 是 的中点， .GBG因为 是 的直径，所以 .A./，OFC，90,90DBFCB.A（）在 与 中，由（）知 ，Rt tOG DAOG又 ，所以， ，于是 .AD .GB在 与 中，由于 ， ，tE t FBC所以， ，因此， . E（23）解：（）由条件知，直线 的倾斜角 ， .l452cosin设点 是直线 上的任意一点，点 到点 的有向距离为 ，则(,)MxylPMt21.ty（）曲线 的直角坐标方程为 ,由此得 ,C2yx2()(1)tt即 . 2640tt设 为此方程的两个根，因为 和 的交点为 ，所以 分别是点 所对应的参数，由韦12, lC,AB12,t,AB达定理得 = .PAB12t（24）解：（） 可得 ，解得 .()|53fxx |1|3x 42x （） 在 上是单调递增的. 若 适合题设条件，则 的零点 必须满6,4af R()f ()fx足 .于是1x5 分10 分5 分10 分 4 分11（1）由 ，得 ；160ax 6a（2）由 ，得 .4xa 4从而 .,6,反之， ，易计算此时 满足题设条件.4()5fxax故满足题设条件的 的取值范围是a,64,10 分
