1、知识点 1:三次函数的性质以及在高考中的应用三次函数 已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考yaxbcxda320()和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。2004 年高考，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是湖北卷以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视。单调性和对称性最能反映这个函数的特性。下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。函数 的导函数为 。我们不妨把方yaxbcxda320() yaxbc32程 称为原函数的导方程，其判别式 。若 ，设其02 4()0两根为 ，则可得到以下性质：bc1222、性质 1：函数 ，yaxcx
2、da30()若 ，当 时，yf(x) 是增函数；当 时，其单调递增区间是a0，单调递减区间是 ；()， ，x12 12，若 ，当 时， 是减函数；当 时，其单调递减区间是fx()， ，单调递增区间是 。， 21， x21，（证明略）推论：函数 ，当 时，不存在极大值和极小值；yaxbcxda320() 当 时，有极大值 、极小值 。0f()1f2根据 a 和 的不同情况，其图象特征分别为：图 1性质 2：函数 若 ，且fxabxcdaxmn()()320 ， ， ， xn0，则：fx()0；ma 0()fffn， ，。f x()ini ， ，（证明略）性质 3：函数 是中心对称图形，其对称中心
3、是（yabcda320()） 。baf， ()证明：设函数 的对称中心为（m ，n） 。fxabxcda()()320按向量 将函数的图象平移，则所得函数 是奇函数，amn， yfx()所以fxfx()()20化简得： 3032babcmdn上式对 恒成立，故R，得0ma，b3。nacdfba23()所以，函数 的对称中心是（ ） 。yxx320 baf3， ()可见，yf(x)图象的对称中心在导函数 y 的对称轴上，且又是两个极值点的中fx()点。下面仅选一些 2004 年高考中出现的部分试题，让我们来体会一下如何应用这些性质快速、准确地解答问题。例 1. （浙江）设 是函数 f(x)的导函
4、数， 的图象如图 2 所示，则fx()yfx()yf(x)的图象最有可能是（ ）图 2图 3解：根据图象特征，不妨设 f(x)是三次函数。则 的图象给出了如下信息：yfx() ；a0导方程两根是 0，2， （f(x)对称中心的横坐标是 1） ；在（0，2）上 ；在（ ，0）或（2， ）上 。fx()fx()0由和性质 1 可排除 B、 D；由和性质 1 确定选 C。例 2. （江苏）函数 在闭区间3 ，0 上的最大值、最小值分别是（ fx()3）A. 1，1 B. 1，17C. 3，17 D. 9，19解：函数的导方程是 ，两根为 1 和1，由性质 2 得：302x，fxfff()ma()()
5、3， ， ，。ini 7， ， ，故选 C。例 3（2012 四川文） 设函数 ， 是公差不为 0 的等差数列，3()1fxxna，则127()()14faffa 127a（A）0 （B） 7 （C）14 （D）21解析：函数 关于点（3,2）对称，即当 时，3()1fxx126x， 是公差不为 0 的等差数列， ，猜12()4fxfna 763542aaa想：当 时， 满足 ，故此时 43a127()()14ffaf1271例 4. （湖北）已知 ，函数 的图象与函数bc0， fxb()的图象相切。gxbc()2（I）求 b 与 c 的关系式（用 c 表示 b） ；（II）设函数 在（ ）内
6、有极值点，求 c 的取值范围。Fxfgx()()，解：（I）依题意， ，得，xbfb1212， 又 ()()所以 ()c4因为 b10，所以 2（II）因为 Fxfgxbxcxb()()()32所以 F（x）的导方程为：34022bc依性质 1 的推论得：2()所以 ，bc3或所以 或1123c解之得 07474或故所求 c 的范围是（0， ） （ ） 。，例 4. （天津）已知函数 在 x1 处取得极值。fxab()32（I）讨论 f(1)和 f(1) 是函数 f(x)的极大值还是极小值；（II）过点 A（0，16）作曲线 yf(x) 的切线，求此切线方程。解：（I）因为 ，所以导方程 。f
7、xabx()32320axb因为 在 x1 处取得极值，所以， 是导方程的两根，f() 1所以 320ab解得 a1，b0所以 fx()3由推论得 是 f(x)的极大值；f(1)2 是 f(x)的极小值。（II）曲线方程为 ，点 A（0，16）不在曲线上。yx3设切点为 M ()x0，因为 ，故切线方程为f)21y003()点 A（0，16）在切线上，所以16130020()()xx解得 ，切点为 M（2，2）故所求切线方程为 96y纵观以上事例，只要我们掌握了函数的三条性质，在高考中无论是容易题、中档题还是难题，都能找到明确的解题思路，解题过程也简明扼要。尽管如此，我们还要进一步加强对三次函
8、数的单调性、极值、对称性、图象变化规律、切线方程等性质的研究，这也有助于提高对知识系统性的理解水平，拓宽解题思路。知识点 2：三次函数切线问题一、过三次函数上一点的切线问题。设点 P 为三次函数 图象上任一点，则过点 P 一定有)0()(23adcxbaxf直线与 的图象相切。若点 P 为三次函数图象的对称中心，则过点 P 有且只有一)(fy条切线；若点 P 不是三次函数图象的对称中心，则过点 P 有两条不同的切线。证明 设 过点 P 的切线可以分为两类。),(1x1、 P 为切点 ，cbxaxfk1211/3)(切线方程为： )(1xyP 不是切点，过 P 点作 图象的切线，切于另一点 Q（
9、 ）)xf 2,y121231212 cxbaxykcxba12又 （1）xfk22/23)(cx11 cbxa223即 代入（1）式0)2)(abxx2得 ck4143222讨论：当 时， ，得 ，21 bxa121 cabxa421432abx31当 时，两切线重合，所以过点 P 有且只有一条切线。bx31当 时， ，所以过点 P 有两条不同的切线。a121k其切线方程为： )(23(1111 xcbaxy4412111a由上可得下面结论：过三次函数 上异于对称中心的任一点 作)0()(23dcxbaxf ),(1yxP图象的切线，切于另一点 ，过 作 图象的切线切y ,2yP),(2yx
10、f于 ，如此继续，得到点列 - -，则 ，),(3xP),(4x),(n abxnn21且当 时，点趋近三次函数图象的对称中心。n证明：设过 与 图象切于点 的切线为 ， ),(ny)(f),(11nnyP1nPcbxaxaxxyk nnnnn 121211又 cbf nnn1211/3)(=xaxax2 cbxann1213即 0)(11nn ann1设 则)(21nnxxab3数列 是公比为 的等比数列， 3abn1 11)2(3(nnabxx即 。 xnlim（2）过三次函数外一点的切线问题。设点 为三次函数 图象外，则过点 一定),(0yP )0()(23adcxbaxf P有直线与
11、图象相切。xf（1）若 则过点 恰有一条切线；,30abP（2） 若 且 ，则过点 恰有一条切线；,30abx)3(0abgxP（3） 若 且 =0，则过点 有两条不同的切线；,0 )(0（4）若 且 ，则过点 有三条不同的切线。,30abx)3(0abgxP其中 00()().gyf证明 设过点 作直线与 图象相切于点P)(xfy),(1yxQ则切线方程为 ,231111cba把点 代入得：),(0yx，02012131 cxdyxba设 .)3()(20baxg 206,x,)3(48)(420axb令 则(),gx.,bx因为 恰有一个实根的充要条件是曲线 与 轴只相交一次，即0 )(x
12、gyX在 上为单调函数或两极值同号，所以 或 且)(xgyR,30ab,30ab时，过点 恰有一条切线。30abP有两个不同实根的充要条件是曲线 与 轴有两个公共点且其中之一为)( )(xgyX切点，所以 且 =0 时，过点 有两条不同的切线。,30abx)3(0abgxP有三个不同实根的充要条件是曲线 与 轴有三个公共点，即)(g )(xgy有一个极大值，一个极小值，且两极值异号。所以 且xy,30ab)3(0abgx时，过点 有三条不同的切线。0P例题讲解：例 1、已知函数 ，求过点 的切线方程。3yx1,0A例 2、 （2010 湖北文数）设函数 ，其中 a0，曲线32axbcf（ ）
13、=在点 P（0， ）处的切线方程为 y=1xyf（ ） f（ ）（）确定 b、c 的值。（）设曲线 在点（ ）及（ ）处的切线都过点（0,2）证明：yf（ ） 1xf， （ ） 2xf， （ ）当 时，12x12()()x（）若过点（0,2）可作曲线 的三条不同切线，求 a 的取值范围。yf（ ）例 3、已知函数321()fxaxb,且 (1)0f (1) 试用含 a的代数式表示 b,并求 )f的单调区间；（2）令 1,设函数 ()fx在 12,(x处取得极值，记点 M ( 1x, )f)，N( 2x,()fx)，P( mf), ,请仔细观察曲线 ()fx在点 P 处的切线与线段 MP 的位置
14、变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的 m ( 1x, x 2)，线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点，试确定 t 的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点 Q(n ,f(n), x n m,使得线段 PQ 与曲线 f(x)有异于 P、Q 的公共点，请直接写出 m 的取值范围（不必给出求解过程） 三次函数切线作业1、曲线 在点 处的切线方程是 。3yx(2,14)P2、已知曲线 C： ，则经过点 的曲线 C 的切线方程是 3)fx(1,2)P。3、已知曲线 C： 的一条切线方程为 ，则实数 的值等于 32()fayxa。4、已知函数 在 处取得极值。32fxabx1（）
15、求函数 f(x)的解析式；（）求证：对于区间 1，1 上任意两个自变量的值 ，都有 ；12,x124fxf（）若过点 A（1，m） （m 2）可作曲线 y=f(x)的三条切线，求实数 m 的取值范围.5、已知函数 与 的图象都过点 P(2，0) ，且在点 P 处有3()fxa2()gxbc公共切线(1)求 f(x)和 g(x)的表达式及在点 P 处的公切线方程；(2)设 ，其中 ，求 F(x)的单调区间()()ln1)8mgxF0m三次函数问题一基本理论三次函数的导数为二次函数，能根据导函数的图像画出三次函数的图像，并研究其单调性、极值、最值、根的个数及含参问题。二典型问题1.（切线问题）曲线
16、 在点 处的切线方程为 _.321yx(,)变式 1.已知曲线 点 。(),f,M（1）求曲线在点 处的切线方程；(2) 求曲线过点 的切线方程。变式 2. 若曲线 上任意一点处切线的倾斜角都是锐角，则实数32:1Cyxax的取值范围是 _. a变式 3. 已知函数 ，若过点 可以作函数 图像三条321()fxxa(0,1)M()fx切线，求实数 的取值范围。a2 （单调性问题）已知函数 的图像过点 ，且在点32()fbcd(,2)P处的切线方程为 。(1,)Mf670xy（1）求函数 的解析式；()yf（2）求函数 的单调区间。x变式练习：已知函数 32()1.fxax（1）若 在实数集 上
17、单调递增，求实数 的取值范围；Ra（2）是否存在实数 ，使 在 内单调递减？若存在，求出 的取值范围；()fx2,) a若不存在，说明理由。3.（极值最值问题）已知函数 在 与 时取得极值。32()fabxc231x（1）求 的值及 的单调区间；,abx（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。变式练习：1,22()fxcc已知函数 有极大值和极小值，则实数 的取值范围是3()(6)fxaa_.4.（根的个数问题）1.方程 在区间 内根的个数是_.32670x(,2)2.直线 与函数 的图像有三个不同交点，则实数 的取值范围ya3()fxa_.3.函数 5)(,1)( 3 axfgf ，其中 )(xf是 f的导函数.对满足1 a1 的一切 的值，都有 0，求实数 的取值范围；设 2m，当实数 在什么范围内变化时，函数 y )(xf的图象与直线 y3只有一个公共点.
