1、1幻方与数阵图扩展内容概述本讲有两部分主要内容：1、 幻方的概念和性质，简单幻方的编制；2、 把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵图。大致分为三类：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛
2、书 ”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书” 。 “洛书 ”所画的图中共有黑、白圆圈 45 个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到 1 至 9 这九个数，恰组成一个三阶幻方。幻方问题主要方法：一、 累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。二、 求
3、出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。三、 比较法：利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。四、 掌握好 3 阶幻方中的规律。本讲还有一部分内容是数阵图拓展，也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题的解题方法。数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。其实这些方法和幻方是一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。思考题我们先来一起解决三道难度相差很大的题目，目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。1. 如下图，将 19
4、填入 33 的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？分析首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和” ，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。它是多少呢？哦，如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是 3 倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知第 1 题2道，由于 1 到 9 这九个数字都只各用了一次，所以 3 倍的的“幻和”就等于 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（请复习学过的等差数列知识） 。于是最后，我们终于得到这个至关重要的“幻和”就是 453
5、=15。接下来第二步，我们来关心一下中间一格应该填哪个数字。同学们可能会说，中间一定填 5，因为 1 到 9 的中间数字就是 5，而幻方又是上下左右对称的。没错，同学们有这样的数学直观很好，但是为了确定我们的判断，还是需要严格地说明一下。A B CD E FG H I看上面的表格，由于我们还没有填入任何一个数字，所以就用了九个大写字母来表示。下面就需要技巧了，我们现在只考虑包含 E 的四条直线：因为 A+E+I=15, B+E+H=15, C+E+G=15, D+E+F=15, 所以如果我们把这四个式子的左右两边分别相加，就可以得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I ）+3E=60, 而 A
6、+B+C+D+E+F+G+H+I 不就是所填数的总和吗？不论填法如何，这个数是不变的，它就是45，于是那么我们就得到 E=5 了。详解根据上面的分析，我们知道“幻和”=15，而 E=5。从而我们知道 A+I=B+H=C+G=D+F=10，也意味着在所有经过中心的直线上，两端的数字奇偶性相同。然后我们可以通过枚举的方法确定每个位置上数字的奇偶性：（大家自己完成）偶 奇 偶奇 5 奇偶 奇 偶我们可以看到，如果 4 个角上的偶数被确定下来，那么其余 4 个奇数也就被确定了，所以我们可以只考虑这 4 个偶数的填法。利用一点简单的乘法原理，大家就可以知道本题共有 8 种填法。具体填法如下：2 9 4
7、2 7 6 8 3 4 8 1 67 5 3 9 5 1 1 5 9 3 5 76 1 84 3 8 6 7 2 4 9 24 9 2 4 3 8 6 7 2 6 1 83 5 7 9 5 1 1 5 9 7 5 38 1 62 7 6 8 3 4 2 9 4评议这里要强调一点：奇偶性分析并不是解决幻方题的典型方法，只在某些特殊的题目中会被用到。在上面这个解题过程中，我们用到了一点技巧，希望同学们加以领会。本题中，我们看到所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于中间这个 E。那么我们来问一个深入一点的问题：你认为这是在这道题中才产生的特殊性质，还是所有的三阶幻方都应该具有类似的性质？ 还有
8、，就是上面我们曾经得出的那个“幻和”的 3 倍就等于这九个数之和的这条性质，它能不能推广到所有的三阶幻方？好，那就让我们来看例 2：2. 下图是一个三阶幻方，请说明幻和等于 3 倍的 E 且 D+F=2E。3分析有了第 1 题的基础，大家应该对本题感到不是那么陌生了，只要把第 1 题的一部分解题过程搬过来就行。这道题也是让大家看一看如何把一个特殊的解题过程变成一条普遍的规律或性质。详解首先把题目中的空白格子标上不同的字母，以便表述。A B CD E FG H I首先，只考虑包含 E 的四条直线，得到 A+E+I=“幻和” ，B+E+H=“幻和” ， C+E+G=“幻和” ， D+E+F=“幻和
9、 ”。然后，把这四个式子的左右两边分别相加，得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3E=4 倍的“幻和”, 而另一方面，如果我们只考虑幻方的三行，则有 A+B+C=D+E+F=G+H+I=“幻和” ，因此A+B+C+D+E+F+G+H+I=3 倍的 “幻和” 。所以，3E=“幻和” ，而“幻和”=D+E+F，于是 D+F=2E。说明完毕。评议同样的分析办法，还可以得到 A+I=B+H=C+G=D+F=2E(请大家自己说明)。本题回答了第 1 题评议中提出的两个问题，从而我们得到三阶幻方的两条重要性质。性质 1：“幻和”的 3 倍等于这九个数之和；性质 2：所有经过中心的直线上，两端数字的
10、平均数就等于正中间的数字。请大家牢记。那么，三阶幻方还有什么别的更奇妙更有趣的性质吗？3. 下图是一个三阶幻方，请说明 A+B=2C。分析这是一道难题，它之所以难，就在于条件太少，只有三阶幻方的概念可以用。于是我们就想到利用性质 1 和 2，看看能不能解决问题。当然，只利用题目中的 A、B、C 三个位置上的数字是不可能做出来的，至少还要利用一个其它位置上的数字作为过渡，比如我们可以选择左上角的数字，并用 x 来表示它：x BA *C下面我们要用到比较法，其实也就是性质 1。详解现在考虑*处的数字。如果我们只看上面第一行和右边第一列，可以知道*+C=B+x，也就是*=B+x-C；而如果我们只看中
11、间第二行和左上到右下的对角线，可以知道 x+C=A+*，也就是*=x+C-A。所以 B+x-C=x+C-A，两边可以都去掉 x，就得到 A+B=2C。说明完毕。评议这就是幻方的性质 3，也被形象的称为“T”字型性质。当然，类似本题中这样 A+B=2C 的性D E F第 2 题BAC第 3 题4质还有另外 3 种不同方向的表达形式，大家应该自己可以总结出来。 “T”字型性质是非常重要，而且神奇的性质，它神奇就神奇在三阶幻方有无穷多个，看起来好像数字怎么填都可以。但是这条性质却告诉我们在离得这么远的三个位置上的数字之间却有着这样简单的关系，三阶幻方中的数字不是随便怎么填都可以的，中间还潜藏着一些更
12、深层次的特殊性质。这正是数学的魅力所在。那么究竟我们总结出来的 3 条性质有什么用呢，请看例 4：4. 请完成下面的三阶幻方：分析本题需要综合利用上面的 3 条性质以及比较法来解决，目的主要是求出“幻和” ，一旦“幻和”求出来了，一切就都没问题了。但是不同人的解题顺序和利用性质的方式可能很不一样，所以下面我只是提供一种可行的解题顺序和方法，大家应该有自己的解题顺序和方法。这类题是简单的。详解（1）根据性质 2，A=1002 -19=181，B=1002-95=105；“幻和”=1003=300 。下面就只要根据幻方的概念填就可以了。答案如下：24 171 105181 100 1995 29
13、176（2）17 A29 C19 B根据比较法，A=19+29 -17=31；根据性质 3，B=(17+29)2=23；根据性质 2，C=(19+31) 2=25， “幻和”=253=75。下面也就只要根据幻方的概念填就可以了。答案如下：27 17 3129 25 2119 33 23评议至此，本讲对于三阶幻方的深入研究告一段落，最后重申几点注意事项：I. 这些性质只适用于三阶幻方，对于四阶和四阶以上的幻方，有些性质可能就不成立了，而有些需要修改，请同学们慎重，具体问题具体处理。II. 这几条性质适合于所有的三阶幻方，并没有局限性。BA 100 1995100 1995第 4 题（1）1729
14、19第 4 题（2）55. 将 112 填入图中的 12 个区域内，使得每个圆圈内的 4 个数字之和都相等。分析原则上我们是可以通过分析每个数所属于的圆圈个数（“重数” ）来分析每个圆圈内 4 个数字之和的范围，确定其最小值和最大值，再一一筛选。具体方法大家可以参考三年级下学期的内容。但是这种方法在一些特殊的数阵图题目中显得非常不实用。当然，由于同学们做题时只需要找出一种可能的填法，所以上面说的这种方法在很多情况下也是可行的，只是繁琐些。不过，如果我们可以找到一种好的方法快速的解决问题，何乐而不为呢？详解如右图，首先，我们把注意力放在下面的和右面的圆圈中，可以得到：A+B+2+5=B+C+7+
15、8，则 A-C=8。因此要么 A=9，C=1 或者 A=11，C=3（因为 12 和 10 已经有了） 。如果 A=11，C=3，那么仿照以上的步骤，就可以知道 D=E-10（为什么？大家自己思考） ，所以不可能。因此 A=9，C=1，那还剩下 4 个数字需要填：3，6，11， 12。由于 10+D+A(9)=E+4+7，于是 D+8=E。所以就有 D=3 而 E=11。剩下的数就很简单了。答案如下：评议还是那句话，特殊而巧妙的方法是因题而异的，这需要经验和积累。也就是说，大家不能做完题就算了，而是需要牢牢记住这些好方法，久而久之才能融会贯通。6. 将 1、2、3、4、5、6、7、8、9 分别
16、填入图中的 9 个圆圈内，使图中每条直线上圆圈内所填数之和都相等，那么这个相等的和为_；（图中有 7 条直线，请填出）分析我们仔细看看上面这张图，就会发现有些圆圈处于三条直线上，而另一些圆圈处于两条直线上，还有一个圆圈只处于一条直线上。要想利用所谓“重数”的分析方法，有很大的困难。当然也不是说这种方法就失灵了，我们综合分析一下，就不难发现某些位置上的数字应该偏大，而另一些数字显然偏小。如果去猜一猜的话，也不难填出一种来。那么我们就可以去考虑一下是否有更好或更直接的方法来做本题。我们发现有一个圆圈很特殊，从它出发，就很容易找到答案。详解除去位置 A 处的数字，剩下的 8 个数字恰好组成三行，也就
17、是说1+2+3+4+5+6+7+8+9-A=3“每条直线上圆圈内所填数之和 ”。102 5478102 5478A BCDE102 547891311612A6因此，A 一定是 3 的倍数，也就是说 A=3，6 或 9，而相应的“每条直线上圆圈内所填数之和”就等于14，13 或 12。但是，如果 A=9 的话，那么右下角的圆圈内只能填 1 或者 2 了，此时就要求左下角的数字至少为 10，显然不可能。如果 A=6，则每条直线上圆圈内所填数之和等于 13，而在下图中我们知道 B=C+6（比较法） ，因此就要D+6+B=C+D+12=13，是不可能的。所以 A=3，而相应的“每条直线上圆圈内所填数
18、之和”就等于 14，且有 C+D=8。 （为什么？请大家自己思考）然后我们就可以找到一种填数的方法，使得每条直线上圆圈内所填数之和就等于 14。答案如下图：评议大家可以去思考一下，虽然每条直线上圆圈内所填数之和只可能等于 14，但是除了上面给出的填法，是否还有其它的填数方式？如果有，请找出来；如果没有，说明理由。幻方和数阵图是一种有着悠久历史的数学趣题，考验的是大家对于数字的敏感程度和对于一些特殊方法的灵活运用。它和上一讲“复杂竖式”一样，第一步需要我们仔细的审题，观察这个图形，希望从中最大程度的发现那些不常见的现象，以此作为突破口。这是一个需要积累的过程，从常见到不常见，从一般到特殊，甚至有的时候还需要刻意的去记忆一些不常见的特殊方法。第二步就是一点一点去推理出某些位置上的数字，或者给出某些位置上数字的范围，直至最终全部解完题目。但是，对于难题，不要指望经过以上的两步过程就可以达到解决题目的目的，还须不断的重复以上过程，不断的寻找突破口，不断的有新的位置上的数字被解出来，这样耐心的解题才能最后达到目的。这就是数阵图解题思路的显著特点。另外，在做数阵图题目的时候，我们还是需要偶尔去猜一猜的，光靠刻板的逻辑推理有时未免有些单调和没有必要。最后，希望大家在做幻方和数阵图问题时能够体会到数学游戏的快乐。32956 18 476DBC
