1、12.3 角的平分线的性质1角的平分线的性质(1)内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等(2)书写格式如图所示，点 P 在 AOB 的角平分线上， PD OA， PE OB， PD PE.谈重点 角平分线的性质的理解和应用(1)使用角的平分线的性质有两个条件：点在角的平分线上；过这一点作角的两边的 垂线段结论是：这点到角的两边的距离相等，即两条垂线段相等(2)角的平分线的性质是证明两线段相等的方法之一，而且不用再证明两个三角形全等(3)如果已知一个点在角的平分线上，常作出该点到角两边的垂线段，运用性质得到两线段相等【例 1】 如图，在 ABC 中， C90， ABC 的平分线 BD 交 AC
2、 于点 D.若 CD2 cm，则点 D 到直线 AB 的距离是_ cm.解析：因为点 D 在 ABC 的角平分线上，所以点 D 到直线 AB 的距离等于点 D 到直线 BC的距离，即点 D 到直线 AB 的距离等于 CD 的长答案：22角的平分线的判定(1)内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上(2)书写格式如图所示， PD OA， PE OB， PD PE，点 P 在 AOB 的角平分线上(3)作用运用角的平分线的判定，可以证明两个角相等和一条射线是角的平分线警误区 角的平分线的性质和判定适用的条件 在运用角的平分线的性质和判定时，往往错误地将一线段当作“距离” ，主要原因是不能
3、正确理解角平分线的性质和判定，因此在运用角的平分线的性质和判定时，一定要注意“距离”必须有垂直的条件【例 2】 如图所示， BE CF， BF AC 于点 F， CE AB 于点 E， BF 和 CE 交于点 D，求证： AD 平分 BAC.证明： BF AC， AB CE， DEB DFC90.在 BDE和 CDF 中，Error! BDE CDF(AAS) DE DF.又 BF AC， AB CE， AD 平分 BAC(角的内部到角的两边距离 相等的点在角的平分线上)3运用角的平分线的性质解决 实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离在运用角的
4、平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角 的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法4运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为 数学问题，即建立数学模型(角的平分线)然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题解技巧 巧用角的平分线的性质和判定解决问题 能根据已
5、知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点5综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下：对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论， “性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据析规律 构造角的平分线的模型证明线段相等 当有角平分线 时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可【例
6、 3】 如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是 3 000 m根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试(比例尺为 1100 000)解：如图作法：(1)以点 C 为圆 心，以任意长为半径画弧，交两河岸于 A， B 两点，分别以A， B 为圆心，以大于 AB 长为半径画弧，两弧交于点 O，过 C， O 作射线 CO.12(2)按比例尺计算得古塔与 P 的图上距离为 3 cm，以古塔为圆心，以 3 cm 长为半径画弧交 CO 于点 P，则点 P 即为所求【例 4】
7、 如图所示，有一名民警在值班，他位于到平行的大街两侧以及过街天桥 AB的距离相等的点 P 处此时，这位民警发现有一可疑分子从天桥 A 处走向 B 处，请问民警在注视可疑分子从 A 处走到 B 处时，他的视线转过了多大角度？解：连接 PA， PB.点 P 到 BE， AF， AB 的距离相等， PA， PB 分别是 FAB， EBA 的角平分线，即 PBA EBA， PAB FAB.12 12 BE AF， EBA FAB180. PBA PAB ( EBA FAB)90.12 APB180( PBA PAB)1809090，即民警的视线转过的角度为90.【例 5】 如图， AP， CP 分别是
8、 ABC 的外角 MAC 与 NCA 的平分线，它 们相交于点P， PD BM 于点 D， PF BN 于点 F，求证： BP 为 MBN 的平分线分析：要证 BP 为 MBN 的平分线，只需证 PD PF，而 AP， CP 为外角平分线，故可过点 P 作 PE AC 于点 E，根据角平分线的性质有 PD PE， PF PE，所以 PF PD.因此 BP 为 MBN 的平分线证明：过点 P 作 PE AC 于点 E. AP， CP 分别是 MAC 与 NCA 的平分线， PD BM 于点 D， PF BN 于点 F， PD PE， PF PE(角平分线上的点到角两边的距离相等) PD PF.又
9、 PD BM 于点 D， PF BN 于点 F，点 P 在 MBN 的平分线上(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上) BP 为 MBN 的平分线6运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定 位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题，常常用到角的平分线的性质来解决尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到 角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条 角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点三角形两个外角的平分线也交于一点，
10、这点到该三角形三边所在的直线距离相等三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有 4 个 【例 6】 如下图所示，三条公路 l1， l2， l3两两相交于 A， B， C 三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等； ACB， ABC 的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在 CAB 的平分线上，且到公路 l1， l2， l3的距离相等；同理还有 BAC， BCA 的外角平分线的交点； BAC， CBA 的外角平分线的交点，因此满足条件的点共有 4 个作法：(1)如右图所示，作出ABC 两内角BAC，ABC 的平分线的交点 O1.(2)分别作出ACB，ABC 的外角平分线的交点 O2，BAC，BCA 的外角平分线的交点 O3，BAC，CBA 的外角平分线的交点 O4；故满足条件的修建点有四处，即点O1，O2，O3，O4 处
