1、第八章 8.4 讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 (1) )(xfqyp的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中 、 均为实数, 为已知的)(xf连续函数.如果 ,则方程式 (1)变成0)(xf(2) 0qyp我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1解的叠加性定理 1 如果函数 与 是式(2) 的两个解, 则 也是1y2 21yCy式(2)的解,其中 是任意常数.2,C证明 因为 与 是方程(2)的解,所以有1y011qyp22将 代入方程(2)的左边,得2
2、1yCy)()()( 2121 yCqyp= 0211 pCqy所以 是方程(2)的解.2yC定理 1 说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)21的通解. 2.线性相关、线性无关的概念设 为定义在区间 I 内的 n 个函数,若存在不全为零的常,21ny数 使得当在该区间内有 , 则称,k 021nykyk这 n 个函数在区间 I 内线性相关 ,否则称线性无关.例如 在实数范围内是线性相关的,因为x2sin,co,10sinco122x又如 在任何区间(a,b)内是线性无关的 ,因为在该区间内要使2,x2321xk必须 .0321k对两个
3、函数的情形,若 常数, 则 , 线性相关,若 常数, 则21y1y221y, 线性无关.1y23.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果 与 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则1y2为任意常数) 是方程式(2)的通解.211,(Cyy例如, 是二阶齐次线性方程, 是它的0 xycos,sin21两个解,且 常数,即 , 线性无关, 所以 xytan211y2xCCcossi211( 是任意常数)是方程 的通解.2, 0y由于指数函数 (r 为常数) 和它的各阶导数都只差一个常数因子, rxey根据指数函数的这个特点,我们用 来试着看能否选取适当的常数 ,rxeyr使 满足方程(2).r
4、xey将 求导,得r rxrxey2,把 代入方程(2),得y,0)(2rxeqpr因为 , 所以只有 (3) 0rxe只要 满足方程式(3), 就是方程式(2)的解.rxey我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中 的系数及常数项恰好依次是方程(2) 的系数.r2 y,特征方程(3)的两个根为 , 因此方程式(2)的通242,1qpr解有下列三种不同的情形.(1) 当 时， 是两个不相等的实根.042qp21,r,41qpr242qp是方程(2)的两个特解,并且 常数,即xrxrey21, xrey)(2121与 线性无关.根据定理 2,得方程(2)的通解为
5、 1y2 xrxrC21(2) 当 时, 是两个相等的实根.04qp21r,这时只能得到方程(2)的一个特解 ,还需求出另21r xrey1一个解 ,且 常数,设 , 即y1)(12xuy2exr.)2(),( 21212 11 urueyureyxrxr 将 代入方程(2), 得2,y0)()( 1211 qrprexr整理,得)()(1211 uuuxr由于 , 所以 01xre 02qpr因为 是特征方程(3)的二重根, 所以 ,0112rqpr从而有 u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取 ,可得到方程(2)的另一xu个解.xrey12那么,方程(2)的通解为 xrxrC112即 .r
6、ey1)(1(3) 当 时,特征方程(3) 有一对共轭复根042qp( )irir21,0于是 xixieyey)()(利用欧拉公式 把 改写为 iixsnco21,)sin(co)(1 xeeyxixi )(2ii 之间成共轭关系,取21y= ,1yxeycos)(22iin1_方程(2)的解具有叠加性,所以 , 还是方程(2)的解,并且y2常数,所以方程(2)的通解为xeyxtancosi12)sinco(21xCeyx综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程 02qpr(2)求特征方程的两个根 21,(3)根据 的不同情形,按下表写出方程(2)的通
7、解.21r特征方程 的0qp两个根 21,r 方程 的通0qyp解两个不相等的实根 21r xrxreCy21两个相等的实根 r1)(21一对共轭复根 ir2,1 )sinco(21xeyx例 1 求方程 的通解.05y解: 所给方程的特征方程为 2rii21,1所求通解为 .)2sinco(1xCeyx例 2 求方程 满足初始条件02Sdtt的特解.,400ttS解 所给方程的特征方程为 012r1通解为 teCS)(2将初始条件 代入,得 ,于是40tS41,对其求导得te)(2tCS将初始条件 代入上式,得20tS2所求特解为teS)4(例 3 求方程 的通解.032y解 所给方程的特征
8、方程为 32r其根为 1,1所以原方程的通解为 xxeCy23二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理 3 设 是方程(1) 的一个特解, 是式(1) 所对应的齐次方程式(2)yY的通解,则 是方程式(1)的通解.yY证明 把 代入方程(1)的左端:)()()( yYqypy= qY= )(0xff使方程(1)的两端恒等,所以 是方程 (1)的解.yYy定理 4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端 是几个函数之和 ,如)(xf(4) 21fqyp而 与 分别是方程 1y2 )(1xf与 2y的特解,那么 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程 (1)的特解有时可21y用上述定理来帮助求出.
9、2. 型的解法)()(xPefm,其中 为常数, 是关于 的一个 次多项式.x)(xPmm方程(1)的右端 是多项式 与指数函数 乘积的导数仍为)(xf xe同一类型函数,因此方程(1) 的特解可能为 ,其中 是某个Qy)()(多项式函数.把 xeQy)(x)(xeQy)(22代入方程(1)并消去 ,得xe(5) )()()2()2xPQqpxQpx m 以下分三种不同的情形,分别讨论函数 的确定方法:(1) 若 不是方程式(2) 的特征方程 的根, 即02r,要使式(5)的两端恒等,可令 为另一个 次多项式02qp)(xQ:)(xQm mmxbxbx210)(代入(5)式,并比较两端关于 同
10、次幂的系数,就得到关于未知数的 个方程.联立解方程组可以确定出 .b10 ),10(i从而得到所求方程的特解为 xmeQy)(2) 若 是特征方程 的单根, 即02qpr,要使式(5)成立, 则 必须要是 次多02,02 pqp )(xQm项式函数,于是令 )()(xQm用同样的方法来确定 的系数 .),10ib(3) 若 是特征方程 的重根,即 2qpr ,02qp.02p要使(5)式成立,则 必须是一个 次多项式，可令)(xQm)(2x用同样的方法来确定 的系数.)(xm综上所述,若方程式(1)中的 ,则式(1)的特解为xmePf)(xmkeQy)(其中 是与 同次多项式, 按 不是特征方
11、程的根,是特征方程)(xQm)(P的单根或是特征方程的重根依次取 0,1 或 2.例 4 求方程 的一个特解.xey23解 是 型, 且)(xfxmp)( 2,)(Pm对应齐次方程的特征方程为 ,特征根根为 .02r2,01r=-2 是特征方程的单根, 令,代入原方程解得xeby203故所求特解为 .xey2例 5 求方程 的通解.)1(2解 先求对应齐次方程 的通解.0y特征方程为 , 02r21r齐次方程的通解为 .xeCY)(再求所给方程的特解1)(,1Pm由于 是特征方程的二重根,所以1xebay)(2把它代入所给方程,并约去 得 xe16x比较系数,得a2b于是 xey)216(所给
12、方程的通解为 xeC)63213. 型的解法xBAxf sinco)(其中 、 、 均为常数.,AB此时,方程式(1)成为(7) xqypsinco这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解 也y应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sinco(xbaxyk其中 为待定常数. 为一个整数.ba,当 不是特征方程 的根, 取 0;i 02qprk当 不是特征方程 的根, 取 1;例 6 求方程 的一个特解.xysin432解 ， 不是特征方程为 的根， .1i 032rk因此原方程的特解形式为xbaysinco于是 xysic将 代入原方程，得y,420ba解得 54,
13、2ba原方程的特解为: xysinco例 7 求方程 的通解. ex32解 先求对应的齐次方程的通解 .对应的齐次方程的特征方程为Y02r3,12xxeCY再求非齐次方程的一个特解 .y由于 ,根据定理 4,分别求出方程对应的右端项为xexf2cos5)(的特解 、 ,则 是原方程的一,1efin21y221y个特解.由于 , 均不是特征方程的根,故特解为i)sinco(21 xbaeyx代入原方程,得 ebae xx ii)4(s)4( 比较系数,得 102c1cb解之得 .51,4于是所给方程的一个特解为 xeyxsinco0所以所求方程的通解为.xeCYxx sin51co041321
