1、9.3 二阶常系数线性微分方程,一、二阶常系数齐次线性方程,二、二阶常系数非齐次线性方程,称为二阶常系数齐次线性微分方程,一、二阶常系数齐次线性方程,称为二阶线性微分方程,称为二阶齐次线性微分方程,称为二阶非齐次线性微分方程,例如，,定义9.4,数.,则称,定理9.1,例如,它们是线性无关的,故方程的通解为,是方程 的通解,所以,特征方程的根为,特征根的三种不同情况讨论：,方程有两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,得齐次方程的通解为,通过直接验证可知，,得齐次方程的通解为,是方程的两个线性无关的特解,二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:,(1) 写出相应的特征方程,(2) 求出特征
2、方程的两个根,(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解,例1,解,特征方程为,所以,所给方程的通解为,例2,解,特征方程为,所以所给方程的通解为,例3,解,方程的特征方程为,于是容易得到:,方程的通解为,方程的通解为,方程的通解为,即得,以上通解均不是周期函数,形如,的方程,称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中,二、二阶常系数非齐次线性方程,通常称方程(9-25),对应的齐次方程 .,定理9.2,下面考察二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构,齐次方程通解,非齐次方程特解,齐次方程通解,非齐次方程特解,齐次方程通解,非齐次方程特解,例如, 方程,有特解,对应齐次方
3、程,有通解,因此该方程的通解为,定理9.3,是方程,的通解.,非齐次线性微分方程通解结构为,关键：如何求非齐次线性微分方程特解,特点：,待定系数法：先确定解的形式，再把形式解代入方程定出解中包含的常数的值，确定待定系数，从而求出方程 的特解.,例4,解,对应齐次方程的通解为,设所给方程的特解为,为待定常数,代入所给方程, 得,比较同幂次项系数, 得,于是,方程通解为,综上讨论，求非齐次线性微分方程特解时,例5,解,对应齐次方程的通解为,设所给方程的特解为,代入所给方程, 有,比较同幂次项系数, 得,于是得,方程的通解为,例6,解,对应齐次方程的通解为,设所给方程的特解为,代入所给方程, 有,于是 得,所给方程的通解是,例7,解,对应齐次方程的特征方程为,解得,于是对应齐次方程的通解为,设所给方程的特解为,于是, 得,所给方程的通解是,代入所给方程, 有,
