1、第九节 二阶变系数线性微分方程的一些解法常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的。本节介绍处理这类方程的二种方法9.1 降阶法在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方程的求解。考虑二阶线性齐次方程p(x) q(x)y0 (9.1)2dxy设已知其一个非零特解 y ，作变量替换，令yuy 1 (9.2)其中 uu(x)为未知函数，求导数有y 1 u dxdx1求二阶导数有 y 1 2 u 2dxy121代入(9.1)式得y1 （2 p(x)y 1） ( p(x)
2、dxuy1dxu21yq(x)y 1)u0 (9.3)这是一个关于 u 的二阶线性齐次方程，各项系数是 x 的已知函数，因为 y1是(9.1)的解，所以其中p(x) q(x)y 1021dydx故(9.3)式化为y1 (2 p(x)y 1) 02u1u再作变量替换，令 z 得dxyy1 (2 p(x)y 1)z0dxz1分离变量 dz p(x)dx1y2两边积分，得其通解z ep(x)dx 其中 C2为任意常数21yC积分得 uC 2 ep(x)dx dxC 1代回原变量得1(9.1)的通解yy 1C C 2 ep(x)dx dx1y此式称为二阶线性方程的刘维尔(Liouville)公式。综上
3、所述，对于二阶线性齐次方程，若已知其一个非零特解，作二次变换，即作变换y y 1zdx 可将其降为一阶线性齐次方程，从而求得通解。对于二阶线性非齐次方程，若已知其对应的齐次方程的一个特解，用同样的变换，因为这种变换并不影响方程的右端，所以也能使非齐次方程降低一阶。例 1. 已知 y 是方程 y0xsin2dx的一个解，试求方程的通解解 作变换 yy 1zdx则有 y 1z zdxdxy 1 2 z zdx2 21代入原方程，并注意到 y1是原方程的解，有y1 (2 )z0dxz1dx即 ctanxz积分得 z sinC21于是 y y 1zdx dxC 2xsinsi21 (C 1ctanxC
4、 2)xsin (C2sinxC 1cosx)这就是原方程的通解。9.2 常数变易法在第三节求一阶线性非齐方程通解时，我们曾对其对应的齐次方程的通解，利用常数变易法求得非齐次方程的通解。对于二阶线性非齐次方程p(x) p(x)yf(x) (9.4)2dxy其中 p(x),q(x)，f(x)在某区间上连续，如果其对应的齐次方程p(x) q(x)y02dxy的通解 yC 1y C y2已经求得。那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解。设非齐次方程(9.4)具有形式u 1y1u y2 (9.5)的特解，其中 u1u 1(x)，u 2u(x)是两个待定函数，对 求导数得y u 1y 1u 2
5、y 2y 1u y 2u 2由于用(9.5)代入(9.4)，可确定 u1，u 2的一个方程，为了同时确定这两个函数，还须添加一个条件，为计算方便，我们补充一个条件：y u y 2u 20这样 u 1y 1u 2y 2 u 1y 1u 2y 2u 1y 1u 2y 2“代入方程(9.3)，并注意到 y1，y 2是齐次方程的解，整理得u y 1u y f(x)与补充条件联列得方程组 )x(fuy0212因为 y1，y 2线性无关，即常数，所以( ) 0121221设 w(x)y 1y 2y 2y 1，则有 w(x)0 所以上述方程组有唯一解。解得)x(wfyy)(fu)( 1212221积分并取其
6、一个原函数得u1 dx)x(fy2u dxw1则所求特解为 y 1 dxy 2)x(f2dx)x(fy1所求方程的通解 yY C 1y1C 2y2y 1dxy 2 dx)x(wf2)x(f1上述求特解的方法也适用于常系数非齐次方程情形。例 1. 求方程 x 的通解2dy1解 先求对应的齐次方程 02dxy1的通解，由 2dxy1d( ) dxdxy1得 ln ln xln C即 Cx 得通解 yC 1x2C 2dy所以对应齐次方程的两个线性无关的特解是 x2和1。为求非齐次方程的一个解 将 C1，C 2换成待定函数yu1，u 2，且 u1，u 2满足下列方程x0x21解上述方程得 u 1 u
7、2 x21积分并取其一原函数得 u 1 x，u 2 63于是原方程的一个特解为u 1x2u 21 y363从而原方程的通解为yC 1x2C 2 3第十节 数学建模( 二) 微分方程在几何、物理中的应 用举例一、镭的衰变例 1. 镭、铀等放射性元素因不断地放出各种射线而逐渐减少其质量，称为放射性物的衰变。由实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻 t 的质量。解 用 x 表示该放射性物质在时刻 t 的现存物质，则 表示 x 在时刻 t 的衰变速度，于是“衰变速度dt与现存质量成正比”可表示为 kxt这是一个以 x 为未知函数的一阶方程，它就是放射性元素衰变的数学模型。其中 k
8、0 是比例常数，称为衰变常数，因元素的不同而异。方程右端的负号表示当时间 t 增加时，质量 x 减少，即 t0 时，0。dtx解这个方程得通解xCe kt 若已知当 tt 0时，xx 0，即 x x 0t代入方程可得 Cx 0e kt得特解 xx 0e )t(它反映了某种放射性元素衰变的规律。二、正交轨线已知曲线族方程 F(x,y,C)，其中包含了一个参数 C，当 C 固定时就得到一条曲线，当 C 改变就得整族曲线，称为单参数曲线族。例如 yCx 2为一抛物线族。图 6-3 如果存在另一族曲线 G(x,y,C)0，其每一条曲线都与曲线族 F(x,y,C)0 的每条曲线垂直相交，即不同族中的曲线
9、在交点处的切线互相垂直。则称G(x,y,C)0 为 F(x,y，C)0 的正交轨线。将曲线族方程 F(x,y,C)0 对 x 求导与 F(x,y,C)0 联列并消去常数 C，得曲线族上任一点的坐标(x,y)和曲线在该点的斜率 y所满足的微分方程f(x,y,y)0这就是曲线族 F(x,y,C)0 所满足的微分方程。因为正交轨线过点(x,y)，且在该点与曲线族中过该点的曲线垂直，故正交轨线在点(x,y)处的斜率k y1于是可知曲线族 F(x,y,C)0 的正交轨线满足方程f(x,y, )0y1这是正交轨线的数学模型，其积分曲线族(通解)，就是所要求的正交轨线。例 2 求抛物线族 yCx 2的正交轨
10、线。解 对 yCx 2关于 x 求导，得 y2Cx 与原方程联列消去 CCx2图 6-4 得微分方程 y xy2将 代入 y得所求抛物线的正交轨线微分方程y1 y1x2即 ydy dx积分得 C 242即抛物线族 yCx 2的正交轨线是一个椭圆族，如图 6-4。三、追迹问题例 3. 开始时，甲、乙水平距离为 1 单位，乙从 A 点沿垂直于 OA 的直线以等速 v0向正比行走；甲从乙的左侧O 点出发，始终对准乙以nv0(n1)的速度追赶，求追迹曲线方程，并问乙行多远时，被甲追到。 图 6-5解 如图 6-5 建立坐标系，设所求追迹曲线方程为yy(x)经过时刻 t，甲在追迹曲线上的点为 p(x,y
11、)，乙在点 B(1,v0t)。于是有tan y (10.1)x1ytv0由题设，曲线的弧长 OP 为 x0 dxnv 0t2解出 v0t 代入(10.1)得(1x)yy x0 dxn12y两边对 x 求导，整理得(1x)y 2这就是追迹问题的数学模型。这是一个不显含 y 的可降阶的方程，设yp，yp代入方程得(1x)p n12p或 2d)x(两边积分得 ln(p )2p1 ln1xlnC n即 p 2n1x将初始条件 y x0 p x0 0 代入上式，得C11，于是y (10.2)2y1nx两边同乘 y ，并化简得2y (10.3)2n(10.2)与(10.3)两式相加，得y ( )1nxn1
12、积分，得 y (1x) 2n1(1x) C 2n1代入初始条件 y x0 0 得 C2 ，所求追1n迹曲线方程为y 2n1)(n)(n12(n1)甲追到乙时，即曲线上点 P 的横坐标 x1，此时y 1n2即乙行走至离 A 点 个1n2单位距离时即被甲追到。四、弹簧振动下面我们讨论机械振动的简单模型弹簧振动问题，研究图 6-6 悬挂重物的弹簧的振动，并假定弹簧的质量与重物的质量相比较可以忽略不计。如图 6-6，一弹簧上端固定，下端与一质量为 m 的物体连接，弹簧对物体的作用力(恢复力)与弹簧的伸长度成正比(比例常数为 k);物体在运过程中所受的阻力与速度成正比(比例常数为 )。此外，物体还与一个
13、连杆连接，连杆对物体的作用力(强迫力)为F(t)。下面建立物体运动方程(数学模型)。如图 6-6，物体的平衡位置为原点，向下方向为Ox 轴的正向，以x x(t) 表示物体在时刻 t 的位置，因为物体共受到三个力的作用。(1)恢复力：一 kx (负号表示恢复力与位移 x方向相反)；(2)阻力： (负号表示阻力与速度 的方dtxdt向相反)；(3)强迫力：F(t)由牛顿第二定律 Fma得 m F(t)kx 2dtxdtx或 x tkm)(F这就是物体运动的数学模型振动方程。为方便起见，记 2 (0)， 2k(0)， f(t)，则上述方程可写成)t(F 2xf(t) (10.4)2dtxt1.自由振
14、动，当 f(t)0 时称为自由振动。分两种情况讨论(1)当 0 时称为无阻尼自由振动，其运动方程为 2x02dt图 6-7 其通解 xC 1costC 2sintAsin（t）(其中 A ，tan )2121这是简谐振动,如图 6-7，这里振幅 A 及初相角，可由物体的初始位置和初始速度决定。(2)当 0 时称为有阻尼自由振动，其运动方程为 2x02dtxt其特征方程为 r 2r 0下面就其根的三种情形分别讨论：()(大阻尼情形)，其根为 r特征方程有两个不相等的实根，由于它们都2是负数，可令r1 1，r 2，( 10， 20)所以方程的通解为xC 1e C 2e tt图 6-8 图 6-9这
15、里的位移 x 不是周期函数，因而物体不作任何振动，当 t时 x0，即随时间的无限增加而趋于平衡位置，如图 6-8(当C1C 20， 1C1 2C20 的情形)()(临界阻尼情形)，特征方程有二重根，r r 2，此时通解为x（C 1C t）e t 这是位移 x 也不是周期函数，物体也不作任何振动，当 t时 x0，即随时间无限增加而趋于平衡位置，如图 6-9(当 C10，C 2C 10 的情况)。()0(小阻尼情形)，特征方程有一对共轭复根 ri 2此时通解为 xAe t cos( t)2这里 A， 都是任意常数，可由振动的初始条件决定。由上式看到，振幅 Ae t 随时间的增加而减少，其减少的快慢
16、程度由系数 决定。当m2t时，振幅Ae t0 ，于是 x0，即随时间 t 无限增加而趋于平衡位置。这种情形称为有阻尼的衰减振动，如图 6-10所示图 6-10 2.强迫振动设外力 f(t)asin 0t我们只考虑无阻尼的强迫振动，其振动方程为 2xasin 0t2dt它的通解为 xAsin(t) sin t，当 0时20axAsin（t） cost，当 0时。2t由解的形式可以看出，振动由两种运动所合成，一种是自由振动也称固有振动；另一种是由外力所致的振动，称为强迫振动。前一种情况(当 0时)强迫振动的振幅为 ，当 与 0很接近时，20a振幅就很大；后一种情况(当 0时)强迫振幅为，当 t时，
17、振幅 ，这就是共振现2at at象。因此当外力 a0sint 同系统处于共振状态时，将会引起振幅无限增大的振动，这在机械和建筑中一般是必须严格避免的。五、R、L、C 电路中的电振荡如图 6-11 所示的简单串联电路，S在电路中，电阻为 R，电感为 L，电容为 C 及电动势E(t) 。由电学知识，在电阻 R 上的电压降为RI，在电感 L 上的电压降为 L ，在电容 C 上的电压dtI降为 Idt，根据克希霍夫第二定律，得到C1图 6-11 L RI IdtE(t)dtI将方程的两边关于 t 求导数得。L R 2tItC1I d)(E这就是 R、L、C 电路中的电振荡方程，它与四中所指述的弹簧振动的运动方程(10.4)形式上完全一样，类似于弹簧振动的情况，在电路中也会发生共振，但是与机械系动不同的是，在电路系统中共振现象大有用处，例如收音机中的调谐电路。
