1、第一章 概率的基本概念1.1 基本要求（1）理解排列与组合的概念，熟练掌握排列与组合的相关运算；（2）理解随机事件的基本概念，掌握事件间的基本关系和运算；（3）理解古典概型、几何概率和统计定义，熟练掌握相关的简单运算；（4）理解概率的公理化体系及概率的基本性质和加法定理；（5）理解事件相互独立性的概念和重复独立试验，熟练掌握相互独立事件和二项概率公式的有关运算。1.2 疑难注释（1）排列与组合的区别与联系是什么？排列是将考察对象排成一列，具有顺序性，顺序不同时所得的排列也不同。而组合是在考察对象中抽出部分个体，与顺序无关。设有 个不同的元素，从中取出 个，获得的所有排列nm其种数为 。mnP（
2、2）如何理解可数（列）集？如果一个集合的元素可以与自然数形成一一对应，则称该集合为可数集合。可数集合未必是有限集。例如： 等都是可数集。1,n（3）如何理解差集和余集？属于 而不属于 的元素形成的集合称为 与 的差集，记作 。设考察对象所在的ABABBA全集为 ，则 与 的差集 称为 的余集，记作 。从定义可以看出，余集可以在任UU意两个集合间进行，而差集仅是相对全集而言。（4）如何理解随机试验？所谓随机试验是指这样一类试验，可以重复进行，且所有可能的试验结果是已知的，但只有当试验完成时才能确定其试验结果。例如“抛币试验” 、 “摸球试验”等都是随机试验。（5）如何理解必然事件和不可能事件？随
3、机试验中有可能发生也有可能不发生的事件称为随机事件，简称事件。在概率论中更多情况下讨论的是随机事件，但为了使概率知识更具系统性，有时也讨论两个特殊事件。必然发生的事件称为必然事件，不可能发生的事件称为不可能事件。（6）互斥与互逆的关系怎样？设考察的全集为 ，U1） 若 ，则称 与 互斥；BAAB2） 若 且 ，则称 与 互逆.U从定义可以看出，两事件互逆必互斥，而互斥不一定互逆。（7） 与 是否相同？ 与 呢？事件间的关系其记法也较多， 与 相同均表示事件 与事件 的积事件；而ABAB与 不同，虽然均表示 与 的和事件，但当且仅当 与 互斥即 时，其BA 和事件方可记为 。（8）如何理解概率定
4、义，各有怎样的优缺点？概率的定义有三：1）古典概型；2）几何概率；3）统计定义。古典概型要求所有可能的试验结果个数有限，诸基本事件发生的可能性相等；几何概率只要求基本事件发生的可能性相等，对试验结果是否有限不作要求；统计定义表明当试验次数增多时，事件发生的可能性将趋近某一固定值，把这一固定值记为该事件发生的概率。它对基本事件发生的等可能性和试验结果是否有限不作要求，但却不能确定试验到底要做多少次？ （9）条件概率和积事件的概率有何区别和联系？概率是随机事件发生的可能性的大小，避开事件讨论概率是没有意义的。条件概率是指事件 发生的条件下事件 发生的概率，它附加了 发生这一条件进行考察事件)(BA
5、PAB；而 考察的对象是 与 的积事件 。B条件概率和积事件概率之间的联系是乘法定理，即 ，从该定理可以看出：)(PA条件概率一般大于积事件的概率。所以说，条件概率和积事件的概率其区别体现在意义和大小上。（10）两事件相互独立的定义和实质是什么？两事件的积事件的概率等于概率乘积时，称两事件相互独立，即 。两)()(BPA事件相互独立的实质是事件发生互不影响。（11）两两相互独立和总起来相互独立之间有怎样的联系？设 是事件集 中的 个随机事件，nA,21 n1） 对任意的 ，若 ，则称事件集 两两相互独立；ji )()(jiji APPA2） 对任意的 ，若 ，则称事件集 总起来相k )(212
6、1 kkP A互独立。总起来相互独立 两两相互独立，逆不成立。（12）应用二项概率公式时应注意哪些问题？二项概率公式 表示“进行 次重复独立试验事件 恰好发生 次”knknnpCP)1()( nAk这一事件发生的概率，其中 为事件 在每次试验中发生的概率。在应用该公式计算概率时，A需要注意以下两个问题：1） 所作的试验是否为重复独立试验；2） 确定公式中的 在实际问题中的意义。p（13）如何理解小概率事件的实际不可能原理？小概率事件一般来说发生的可能性较小，但未必就不会发生。在实际问题中，对于小概率事件一般不是解决问题的出发点而已。1.3 方法指导（1）如何证明两个集合相等？两个集合相等是指这
7、两个集合具有完全相同的元素，即： BAxBA（2）如何正确判断事件间的关系？集合与事件之间具有一定的对应性，集合间的关系可以借助韦恩图表示，事件间的关系与集合间的关系是对应的，因此事件间的关系也可借助韦恩图表示。1.4 例题选讲（1）随机地向 区间内投点，令 表示点的坐标，设 ，1,0 12,10BA求 。)(ABP（2）设 是任意三个随机事件，则以下命题中正确的是（ ） 。C,(A) ；(B) ；BA)(C) ；(D) 。)( A（3）已知 ，则16)(,81)()()(,41)( ABCPCPPBA恰有一个发生的概率为_。CB,（4）设两个相互独立的事件 和 都不发生的概率为 ， 发生 不
8、发生的概率与 发生9不发生的概率相等，则 _。A)(AP1.5 参考题目（更高要求）（1）已知 ，则 _。8.0)(,6.0)(,5.)( ABPAP )(BP（2）设 为三个事件，且 ，则这三个事件不全发生的321, 1,32pkpk概率是（ ） 。(A) ； (B) ； )(p)(p(C) ；(D)3)1()1(2（3）设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件事不合格品，求另一件也是不合格品的概率。（4）设随机事件 及和事件 的概率分别是 0.4，0.3 和 0.6。若 表示 对应的对立事BA,B件，那么积事件 的概率 _。)(P（5）甲、乙两人独立地对同一目标
9、射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为_。（6）现有两种报警系统 与 ，每种系统单独使用时，系统 有效的概率为 0.92，系统 为ABAB0.93，在 失灵的条件下， 有效的概率为 0.85，求：(a)在 失灵条件下， 有效的概率；B(b)这两个系统至少有一个有效的概率。（7）设 和 是任意两个概率不为零的不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是( )A(A) 与 不相容； (B) 与 相容； AB(C) ； (D) 。(PB)(P(8)设 为任意两个事件，且 ，则下列选项中必然成立的是 ( ), 0,(A) ； (B) ； )()A)(C) ； (D) 。)(BA(9)设 是三个相互独立的事件，且 ，则在下列给定的四对事件中不相互独CB, 1CP立的是( )(A) 与 ； (B) 与 ； (C) 与 ； (D) 与 。AA
