连续体结构的拓扑优化设计.pdf

1、第 卷 第 期年 月 日力 学 进 展,连 续 体 结 构 的 拓 扑 优 化 设 计 罗 震 陈 立 平 黄 玉 盈 张 云 清华 中 科 技 大 学 国 家 工 程 技 术 研 究 中 心 , 武 汉华 中 科 技 大 学 土 木 工 程 与 力 学 学 院 , 武 汉摘 要 对 基 于 有 限 元 数 值 求 解 技 术 的 连 续 体 结 构 的 拓 扑 优 化 设 计 技 术 进 行 了 综 述 利 用 密 度 一 刚 度 插 值 格 式 和 优化 准 则 方 法 , 以 结 构 的 柔 度 最 小 化 作 为 优 化 的 目 标 函 数 , 论 述 并 建 立 线 弹 性 结 构

2、的 静 力 学 拓 扑 优 化 设 计 的 数 学 模 型和 设 计 变 量 显 示 的 迭 代 格 式 基 于 数 学 规 划 方 法 中 的 一 种 凸 规 划 方 法 移 动 渐 近 线 方 法 和 密 度 方 法 , 以 结 构 的频 率 最 大 化 作 为 优 化 的 目 标 函 数 , 论 述 并 建 立 了 特 征 值 问 题 拓 扑 优 化 设 计 的 数 学 模 型 和 设 计 变 量 隐 式 的 更 新 方 法对 多 目 标 拓 扑 优 化 问 题 、 柔 性 机 构 的 拓 扑 优 化 问 题 以 及 多 物 理 场 拓 扑 优 化 设 计 问 题 进 行 了 讨 论 对

3、 优 化 结 构 中 出 现的 棋 盘 格 式 和 网 格 依 赖 性 等 数 值 计 算 问 题 进 行 剖 析 和 讨 论 , 介 绍 和 分 析 了 目 前 解 决 数 值 计 算 问 题 常 见 的 方 法 , 在 此基 础 上 对 边 界 扩 散 现 象 进 行 了 讨 论 给 出 了 连 续 体 结 构 拓 扑 优 化 设 计 的 程 序 流 程 , 并 用 五 工 程 序 实 现 了 算 法 ,通 过 几 个 典 型 的 算 例 证 明 所 综 述 方 法 的 有 效 性关 键 词 结 构 拓 扑 仇 么 有 限 元 , 密 度 一 刚 度 插 值 模 型 , 优 化 准 则 方

4、 法 , 移 动 渐 近 线 方 法 , 数 值 稳 定性引 言连 续 体 结 构 的 拓 扑 优 化 设 计 是 继 结 构 的 尺 寸 优化 设 计 和 形 状 优 化 设 计 以 后 , 在 结 构 优 化 领 域 出 现的 一 种 富 有 挑 战 性 的 研 究 方 向 , 拓 扑 优 化 的 目 的是 寻 求 结 构 的 刚 度 在 设 计 空 间 最 佳 的 分 布 形 式 , 或 在设 计 域 空 间 寻 求 结 构 最 佳 的 传 力 路 线 形 式 , 以 优 化 结构 的 某 些 性 能 或 减 轻 结 构 的 重 量 形 状 优 化 过 程 中 ,设 计 域 的 形 状

5、可 以 发 生 变 化 , 但 初 始 拓 扑 形 式 一 般 固定 不 变 形 状 优 化 时 , 在 设 计 的 初 始 阶 段 需 大 致 确 定出 结 构 的 最 优 拓 扑 形 式 , 这 在 结 构 的 最 优 拓 扑 未 知 的情 况 下 具 有 一 定 的 盲 目 性 拓 扑 优 化 在 结 构 的 初 始 拓扑 形 式 未 知 的 情 况 下 , 以 寻 求 结 构 最 优 的 拓 扑 关 系 ,这 点 在 整 个 产 品 的 初 始 设 计 阶 段 具 有 重 要 的 意 义完 整 的 产 品 设 计 过 程 包 括 尺 寸 优 化 、 形 状 优 化 和拓 扑 优 化 个

6、 过 程 , 分 别 对 应 产 品 的 概 念 设 计 、 基 本设 计 和 详 细 设 计 阶 段 拓 扑 优 化 的 结 果 主 要 作 为 概念 设 计 阶 段 的 参 考 , 而 局 部 应 力 约 束 和 稳 定 性 约 束等 一 般 可 通 过 后 续 的 基 本 设 计 和 详 细 设 计 来 考 虑 ,因 为 结 构 的 拓 扑 最 优 并 不 能 保 证 优 化 结 构 中 各 部 件的 尺 寸 或 形 状 一 定 最 优 从 而 结 构 优 化 设 计 过 程 是一 个 集 成 的 包 括 过 程 的 动 态 设 计 过 程由 于 拓 扑 优 化 只 能 形 成 结 构

7、非 光 滑 的 近 似 边 界 , 一般 须 通 过 边 界 光 滑 技 术 参 数 化 处 理 后 才 能 变 成系 统 可 以 识 别 的 模 型 , 系 统 对 边 界 光 滑 处 理 以后 的 模 型 进 行 重 构 , 接 着 转 入 形 状 优 化 和 尺 寸 优 化 阶段 目 前 , 连 续 体 结 构 的 拓 扑 优 化 设 计 具 有 两 个 不 同的 求 解 体 系 国 内 学 者 主 要 研 究 局 部 应 力 约 束 下 的 强度 拓 扑 优 化 设 计 , 而 国 外 学 者 主 要 研 究 全 局 体 积 约 束下 的 刚 度 拓 扑 优 化 设 计程 耿 东 等

8、主 要 基 于 变 厚 度 法 对 离 散 体 和 连续 体 在 局 部 应 力 约 束 下 的 强 度 拓 扑 优 化 设 计 进 行 研究 , 取 得 了 显 著 的 成 绩 隋 允 康 、 杨 德 庆 和 孙 焕 等 提出 了 基 于 独 立 、 连 续 映 射 变 量 方 法 的 优 化 模型 风 , 建 立 离 散 变 量 和 连 续 变 量 拓 扑 优 化 的 统 一 模型 , 并 试 图 将 刚 度 拓 扑 优 化 和 强 度 拓 扑 优 化 统 一 起来 隋 允 康 和 于 新 等 , 刘 研 究 了 基 于 有 无 复 合 体 模型 的 应 力 约 束 下 平 面 连 续 体

9、 的 拓 扑 优 化 吴 长 春 和袁 振 等 人 , 研 究 了 非 协 调 元 和 杂 交 元 方 法 在 结 构强 度 拓 扑 优 化 中 的 应 用 在 一 般 的 线 弹 性 小 变 形 情 况收 稿 日 期 一 一 , 修 回 日 期 牛 一国 家 “ , , 高 技 术 研 究 发 展 计 划 及 国 家 “ , , 基 础 研 究 发 展 计 划 资 助 项 目下,强 度 拓 扑 优 化 和 刚 度 拓 扑 优 化 能 获 得 很 相 似 的 设 变 密 度 方 法 以 连 续 变 量 的 密 度 函 数 形 式 显 式 地计 结 果 但 事 实 上 强 度 拓 扑 优 化 有

10、 应 力 不 连 续 和 奇 异 表 达 单 元 相 对 密 度 与 材 料 弹 性 模 量 之 间 的 对 应 关最 优 解 的 问 题 程 耿 东 和 郭 旭 阵 一,因 而 强 度 拓 扑 系,这 种 方 法 基 于 各 向 同 性 材 料,不 需 引 入 微 结 构优 化 要 比 刚 度 拓 扑 优 化 更 困 难 一 些 就 结 构 设 计 而 和 附 加 的 均 匀 化 过 程,它 以 每 个 单 元 的 相 对 密 度 作言,强 度 拓 扑 优 化 似 乎 更 符 合 实 际 更 合 理 一 些 但 对 为 设 计 变 量,人 为 假 定 相 对 密 度 和 材 料 弹 性 模

11、量 之于 柔 性 机 构、微 机 电 系 统 和 多 物 理 场 问 题 的 拓 扑 优 间 的 某 种 对 应 关 系,程 序 实 现 简 单,计 算 效 率 高 变化 设 计 问 题,强 度 拓 扑 优 化 具 有 刚 度 拓 扑 优 化 问 题 密 度 法 中 所 指 的 密 度 是 反 映 材 料 密 度 和 材 料 特 性 之无 法 比 拟 的 优 越 性 刚 度 拓 扑 优 化 可 进 一 步 通 过 后 间 对 应 关 系 的 一 种 伪 密 度 变 密 度 法 中 常 见 的 插 值续 的 基 本 设 计 和 详 细 设 计 来 考 虑 应 力 和 稳 定 性 等 约 模 型

12、固 体 各 向 同 性 惩 罚 微 结 构 模 型束 条 件因 而 本 文 仍 然 主 要 研 究 刚 度 形 式 的 优 化 一, ,、材 料拓 扑 设 计 属 性 的 合 理 近 似 模 型连 续 体 结 构 的 拓 扑 优 化 问 题,本 质 上 是 一 种 。一,或 通 过离 散 变 量 的 组 合 优 化 问 题 ,由 于 数 学 模 型 中 目 引 入 惩 罚 因 子 对 中 间 密 度 值 进 行 惩 罚,使 中 间 密 度 值标 函 数 与 约 束 函 数 的 不 连 续 性,使 得 优 化 问 题 成 为 向 两 端 聚 集,使 连 续 变 量 的 拓 扑 优 化 模 型 能

13、 很不 可 微 和 非 凸 的 优 化 模 型 常 用 的 基 于 连 续 变 量 的 好 地 逼 近 住 离 散 变 量 的 优 化 模 型,这 时 中 间 密 度 单优 化 算 法 很 难 应 用 分 支 定 界 法、相 对 差 商 法、进 化 元 对 应 一 个 很 小 的 弹 性 模 量,对 结 构 刚 度 矩 阵 的 影 响结 构 法、模 拟 退 火 法 和 基 因 遗 传 等 传 统 的 离 散 变 量 的 将 变 得 很 小组 合 优 化 方 法 具 有 全 局 寻 优 能 力,但 在 求 解 具 有 大 量 其 它 的 结 构 拓 扑 优 化 方 法 主 要 有 以 下 一 些

14、 进设 计 变 量 的 结 构 拓 扑 优 化 问 题 时 易 出 现“组 合 爆 炸”化 结 构 法 阵 基 于 进 化 策 略,在 优 化 过 程 中 逐问 题 为 了 克 服 离 散 变 量 优 化 模 型 的 求 解 困 难,将 基 渐 移 去 结 构 中 的 材 料 来 获 得 优 化 结 果,但 优 化 效 率 较于 连 续 变 量 的 导 数 优 化 算 法 应 用 于 优 化 中,常 将 离 散 低 泡 泡 法 实 际 上 是 连 续 体 形 状变 量 的 优 化 问 题 松 弛 为 一 个 连 续 变 量 的 优 化 问 题,用 优 化 中 边 界 变 分 法 的 推 广,同

15、 时 考 虑 了 拓 扑 形 式,它连 续 设 计 变 量 的 优 化 模 型 代 替 原 来 离 散 变 量 的 设 计 在 设 计 域 中 不 断 插 入 新 的 孔 洞 并 由 形 状 优模 型 这 样 连 续 设 计 变 量 可 以 取 和 之 间 的 中 间 化 来 获 得 孔 洞 的 最 优 形 状 和 孔 洞 的 边 界 形 式,通 过密 度 值,优 化 结 构 中 将 会 出 现 一 种 中 间 密 度 材 料,这 一 些 特 征 函 数 来 决 定 已 知 形 状 的 孔 洞 在 结 构 中 的 最种 现 象 在 工 程 中 是 应 当 避 免 的 刚 度 拓 扑 优 化 中

16、,常 优 位 置 水 平 集 方 法 咚 中,优 化采 取 各 种 惩 罚 措 施 来 压 缩 中 间 密 度 材 料,主 要 有 显 问 题 通 过 一 个 嵌 入 到 高 维 尺 度 函 数 水 平 集 函 数 中式 和 隐 式 两 类 惩 罚 方 法,显 式 方 法 直 接 惩 罚 单 元 的 的 隐 式 移 动 边 界 来 表 示,即 结 构 的 边 界 用 嵌中 间 密 度,如 直 接 在 优 化 的 目 标 函 数 中 增 加 对 中 间 入 到 高 维 尺 度 函 数 中 的 水 平 集 模 型 来 表 示,该 模 型密 度 的 惩 罚 项 或 将 惩 罚 项 作 为 一 个 单

17、 独 的 约 束 函 数 在 描 述 复 杂 结 构 的 拓 扑 及 边 界 变 化 方 面 具 有 较 好 的 ,隐 式 方 法 主 要 有 均 匀 化 方 法一和 变 密 度 灵 活 性 基 结 构 法 更方 法 呻 , 适 合 于 析 架 和 框 架 结 构 的 拓 扑 优 化 其 它 的 方 法 主均 匀 化 方 法一假 定 连 续 体 结 构 可 以 用 均 质 要 有 软 杀 法 和 硬 杀 法的 宏 观 材 料 和 非 均 质 的 具 有 周 期 性 分 布 的 细 观 结 构 】,可 作 为 均 匀 化 方 法 的 替 代 方 法描 述,细 观 结 构 是 由 单 胞 结 构

18、在 细 观 尺 度 上 周 期 性 拓 扑 优 化 的 数 值 方 法 主 要 包 括 有 限 元 法重 复 而 形 成 的,这 种 周 期 性 的 重 复 导 致 了 材 料 的 高 和 无 网 格 法, 一【 一 无 网 格 法度 异 质 性 均 匀 化 方 法 用 细 观 和 宏 观 两 种 尺 度 之 比 是 近 年 发 展 的 一 种 新 型 的 数 值 求 解 技 术,它 用 移 动 的作 为 小 参 数,用 数 学 中 基 于 渐 进 展 开 的 奇 异 摄 动 技 最 小 二 乘 法 构 造 插 值 形 函 数,离 散 模 型 仅 用术 将 原 问 题 的 力 学 量 化 为

19、互 不 祸 合 的 细 观 问 题 和 宏 一 系 列 节 点 和 对 模 型 边 界 的 描 述 来 表 示,不 需 要 节 点观 问 题,它 不 用 详 尽 表 示 域 中 各 点 的 材 料 属 性 而 以 间 的 连 接 信 息,摆 脱 了 有 限 元 中 繁 琐 的 单 元 网 格 生 成一 种 近 似 的 方 法 求 解 材 料 的 弹 性 模 量 程 耿 东 与 刘 过 程 理 论 上,无 网 格 法 涉 及 的 应 用 领 域 要 远 比 有 限书 田 研 究 了 复 合 材 料 应 力 分 析 的 均 匀 化 方 法 吴 元 广 阔,它 会 解 决 一 些 现 今 数 值 计

20、 算 方 法 如 有 限 单长 春 与 袁 振 睁 研 究 了 复 合 材 料 周 期 性 线 弹 性 微 结 元 法、边 界 元 法 等 难 以 解 决 的 问 题 但 无 网 格 技 术 目构 拓 扑 优 化 设 计 问 题 但 目 前 均 匀 化 方 法 可 求 解 的 前 处 在 发 展 和 完 善 之 中,它 对 边 界 条 件 的 处 理 效 率 很问 题 类 型 有 限,设 计 变 量 多,敏 度 计 算 复 杂,优 化 后 低 基 于 有 限 元 法 求 解 拓 扑 优 化 问 题,在 优 化 结 构 中的 结 构 常 常 含 有 多 孔 质 材 料 常 出 现 中 间 密 度

21、 材 料、棋 盘 格 现 象 和 网 格 依 赖 性 等 数平 面 悬 臂 梁 设 计 域刚 度 拓 扑 优 化 的 数 学 模 型 和 迭 代 格 式本 文 以 柔 度 的 最 小 化 刚 度 最 大 化 或 应 变 能 最小 作 为 优 化 的 目 标 函 数 , 以 结 构 整 体 的 体 积 约 束 作为 优 化 的 约 束 条 件 , 在 给 定 的 载 荷 和 位 移 边 界 条 件下 , 基 于 密 度 函 数 模 型 建 立 了 线 弹 性 结 构 拓 扑 优 化设 计 的 在 静 力 状 态 下 的 数 学 模 型拓 扑 优 化 的 数 学 模 型 为而 劝安拭兀巧 二 ,

22、一 三 。劣 三 劣 三模 型 ,模 型 , 二图考 虑 设 计 变 量 的 上 下 限 约 束 和 体 积 约 束 因 子在 一 次 迭 代 中 , 一 般 不 希 望 单 元 的 密 度 有 很 大 的 变化 如 直 接 从 斗 , 在 优 化 过 程 中 对 设 计 变 量 的变 化 量 适 当 加 以 限 制 , 可 以 使 迭 代 过 程 稳 定 , 为 此 引入 移 动 极 限 常 数 、 为 了 避 免 初 始 迭 代 时 删 除 单 元 过多 而 影 响 其 后 最 优 拓 扑 的 搜 索 , 、 的 初 始 经 验 值 通常 在 之 间 选 取 基 于 法 可 得 两 种 设

23、 计 变量 的 启 发 式 迭 代 格 式第 种 迭 代 格 式结 构 拓 扑 优 化 的 基 本 理 论对 于 结 构 拓 扑 优 化 问 题 , 一 般 有 两 类 优 化 算 法 用来 求 解 带 约 束 的 非 线 性 优 化 问 题 一 类 常 见 的 优 化 算法 是 优 化 准 则 法 , 另 一 类 是 基 于 数 学 规 划 的优 化 算 法 优 化 准 则 法 主 要 基 于 一 种 启 发 式 的 显 式 的变 量 更 新 方 案 来 更 新 设 计 变 量 , 它 对 大 量 设 计 变 量 和少 量 约 束 的 问 题 具 有 较 高 的 优 化 效 率 , 但 对

24、于 多 约 束问 题 , 由 于 要 依 次 引 入 相 应 约 束 的 乘 子 ,每 个 乘 子 要 采 用 不 同 的 准 则 , 此 时 优 化 的求 解 效 率 将 大 大 降 低 方 法 是 不 像 数 学 规 划 类方 法 那 样 直 接 优 化 目 标 函 数 , 而 是 基 于 所 谓 的条 件 构 造 一 系 列 优 化 结 构 应 满 足 的 准 则 基 于 数 学 规划 的 优 化 算 法 , 主 要 有 序 列 线 性 规 划 法 、 序列 二 次 规 划 法 、 序 列 凸 规 划 法 和 序 列增 广 拉 格 朗 日 法 等 移 动 渐 近 线 法, , 属 于 方

25、 法 中的 一 种 , 它 是 求 解 数 学 规 划 类 问 题 时 常 见 的 方 法 , 目前 方 法 已 大 量 用 于 结 构 拓 扑 优 化 中 , 对 复 杂的 拓 扑 优 化 问 题 , 方 法 具 有 更 好 的 适 定 性 ,因 而 方 法 更 适 于 处 理 具 有 多 约 束 和 复 杂 目 标函 数 的 优 化 问 题 方 法 没 有 显 式 的 设 计 变 量迭 代 格 式 , 而 是 通 过 求 解 一 系 列 凸 的 子 优 化 问 题 来 获得 新 的 设 计 变 量 、 儿 , , 、 二 无 , , 无 , “ 儿 ,介 , “ , 一 、 无 , , ,

26、。 , “ 二 , 、 儿 , , 一 、 , ,“ 无 , 儿 ,一 、 无 , ,第 种 迭 代 格 式工 之 一 二 二 、 人 , , “ 儿 , , 三二 无 , 一 无 , 左 , 无 ,无 , 一 儿 ,可 无 , 二 无 ,“ 一 、 , , 二无 , 一 , 无 , , 、 无 , , 一 、 二 , , 二 。“ 儿 , 一 “ 心 无 ,叫 无 , 二 无 , 三卜 、 , , ,其 中,对 密 度 刚 度 插 值 格 式 对 于 模 型 系 统,刚 度 矩 阵 和 质 量 矩 阵 为、 一 癸 梁 架 一 , 一 黝 志 万 一 舒 不 洽 萄 如对 耀 骂 暮 槛 一

27、 篡 毓 蕊 一 , 一 黝 志 式 的 默 聂 翼 瑟 糯 嘿 糯 氛 黯耀 器 里 蕊 默 飞 惫 黔 薰 掣 燃 淤 蒸 蕙频 率 最 大 化 的 数 学 模 型 新 的 设 计 变 量 值 方 法 的 求 解 流 程 如 图 所蕊示二入 一 鲜 万 叭 鲜 叭 气 结 束 少敏 度 为 图 求 解 流 程 图舞 一 鲜 黔 “刽 攀 黑 的 优对 于 攫 贡 笠 黔 咒 七 冬 几,一, ,对 一 壑 一 沁 , 时 蹂 默 霖 篇 霎 默 默 黑择 不 当 , 常 常 会 使 子 优 化 问 题 的 求 解 变 得 很 困 难 , 真正 用 程 序 实 现 算 法 时 , 引 入 人

28、 工 变 量 , 和 用 展 开 式 近 似 优 化 问 题 , 形 成 一 系 列 凸 的线 性 的 可 分 离 的 子 优 化 问 题 刃 “ , , 子 优 化 问 题 的形 式 为在 目 前 迭 代 点 刀 “ , “ , 人 儿 , , 从 而 “ , 可表 示 为, 人 儿 , 无从 了 名 不 了几 ” 、 尽 冬 下、 一 一 止 止 鱼 一 一 一 牛 一 二 卫 一 一 “ 、 二 人 无 人 , 、 万 一 芯 工 正 一 山 二一 占 一 “ “ , ,一 鑫 一 去 “ 落 ,刃 “ , 一 一 。 大“ 尹 “ 三 勺 三 罗全 , 从 全, , , , , ,了,

29、 、奋其 中 , 二 , , 为 约 束 的 个 数 , 二 , , 为设 计 变 量 的 个 数 , , 几 和 吸 为 给 定 的 大 于 等 于 零的 人 工 变 量 、 原 优 化 模 型 中 目 标 函 数 的 近 似 展 开 式 为由 设 计 点 “ 开 始 , 基 于 对 偶 法 解 子 优 化 问 题, 通 过 共 扼 梯 度 类 算 法 解 一系 列 线 性 方 程 来 求 得 子 优 化 问 题 的 设 计 变 量 衫 “ , 令衫 旬 分 二 奸 , , 接 着 开 始 下 一 步 迭 代 , 反 复 迭 代 到 原优 化 问 题 收 敛例 图 所 示 为 平 面 简 支

30、 梁 , 均 匀 分 布 个 圆形 孔 洞 材 料 的 弹 性 模 量 , 泊 松 比。 , 体 积 比 了 , 载 荷 凡抓 间 、吸 苏, 、 ,无。 了令 厂 理 立 一 、名 舀 “ 、 二 无 一 工考原 优 化 模 型 中 约 束 方 程 的 近 似 展 开 式 为氛 , 、人 戈 工 少从艺 万 产 不 了了 口 一 芯。 无 、性 云 、 , 凡 。 。 、号 号 气 一 于 丁 , 卜 二 “ ,吸 凡 【 人二 一 为其 中 叱 句 和 可 “ , 为 移 动 渐 近 线 方 程 , 主 要 用 来 调 节才郎恤优 化 问 题 的 凸 性 , 在 方 法 中 移 动 渐 近

31、 线和 可 无 , 的 迭 代 格 式 分 别 表 示 如 下才 , 一 秒 一 一砂妙 , 一 护, 一妙 ”写 表 示 第 次 迭 代 步 中 第 个 设 计 变 量, 一 般 应满 足 尹 “中 尹 和 可 哟, 无 , 三 儿 , 而 二 尹 , 可 , 其表 示 “ 移 动 极 限 ” , 应 满 足 要 求 耳 无 、 、尹、 、尸召 ,曰、了、。 少 , , 心 , 可 无 , , 比 如无 , 一 尹 , , 儿 ,可 , 一 尹 , 可 无 , 无 ,砂 和 。 华 为 原 优 化 模 型 中 , 目 标 函 数 和 约 束 方 程在 设 计 点 弓 哟 处 关 于 设 计

32、变 量 的 一 阶 展 开 式 全 ,一 , 可 “ , 一 “ ,。 。 ,一 , “ , 一 “ , 髦 , , 。图、 、沪门 了矛、 、产、 飞声无尹泞、工矛献一妈。 , 。 表 示 敏 度 过 滤 技 术 中 的 最 小 过 滤 半径 , 为 材 料 模 型 中 的 惩 罚 因 子 , 采 用密 度 一 刚 度 形 式 的 材 料 插 值 模 型 , 用 优 化 准 则 法法 求 解假 定 设 计 域 的 初 始 有 限 单 元 个 数 为个 由 图 知 , 当 惩 罚 因 子 时 ,模 型 对 设 计 变 量 的 中 间 密 度 值 没 有 惩 罚 作 用 , 优 化 结构 中 出

33、 现 大 量 的 中 间 密 度 材 料 当 、 。 兰 时 ,在 惩 罚 因 子 尹 逐 渐 增 大 的 过 程 中 , 优 化 结 构 的 中 间密 度 材 料 逐 渐 减 少 直 至 完 全 消 失 , 但 优 化 结 构 中 出 现了 棋 盘 格 现 象 , 如 图 所 示 这 说 明 在 过 滤 半 径。 三 的 情 况 下 , 增 加 值 可 以 消 除 中 间 密 度 材料 但 不 能 消 除 优 化 结 构 中 的 棋 盘 格 现 象 由 图和 知 , 在 惩 罚 因 子 二 , 采 用 敏 度 过 滤 技 术且 控 制 半 径 分 别 为 、 。 和 。 的 情 况下 , 优

34、 化 结 构 中 没 有 棋 盘 格 现 象 , 并 且 对 不 同 的 初 始单 元 数 目 , 如 初 始 单 元 数 目 分 别 为 二个 和 个 时 , 优 化 结 构 的 拓 扑 形 式 很形 似 , 既 优 化 结 构 体 现 出 了 较 好 的 初 始 网 格 无 关 性例 对 于 四 边 形 板 , 在 板 的 中 心 有 的非 结 构 质 量 , 体 积 约 束 为 。 二 , 只, 密 度 为 , 板 的 长 度 ,高 度 为 , 厚 度 为 , 。 优 化 的 目标 为 板 的 一 阶 频 率 最 大 化 用 法 求 解 图 给出 最 优 化 拓 扑 图 从 优 化 的

35、结 果 可 以 看 出 , 四 边 固 定的 板 见 图 的 优 化 基 频 要 高 于 四 边 简支 的 板 见 图 这 主 要 是 后 者 考 虑 转 动效 果 的 原 因多 目 标 拓 扑 优 化 设 计目 前 对 拓 扑 优 化 问 题 的 研 究 主 要 集 中 在 单 目 标函 数 问 题 方 面 可 是 在 实 际 的 工 程 应 用 中 , 常 常 要 同时 考 虑 多 个 目 标 函 数 和 多 个 约 束 的 情 况 典 型 的 情况 是 将 静 态 柔 度 最 小 化 和 动 态 频 率 最 大 化 同 时 作 为优 化 的 目 标 函 数 、 例 , 这 两 个 目 标

36、 函 数 同 时 作 为 优化 的 目 标 函 数 时 , 两 者 之 间 常 常 难 以 同 时 达 到 最 优化 , 因 为 柔 度 最 小 化 会 导 致 结 构 频 率 的 降 低 , 而 频 率最 大 化 会 导 致 结 构 柔 度 的 升 高多 目 标 优 化 中 , 由 于 各 目 标 之 间 很 难 同 时 达 到 最优 化 , 因 而 要 求 一 个 全 局 最 优 解 是 很 困 难 的 , 常 常 寻求 其 有 效 解 , 也 叫 做 帕 累 托 解例 图 所 示 的 设 计 域 结 构 柔 度 最 小 化 的 优 化多 目 标 拓 扑 优 化 设 计 域四 边 固 定

37、的 板 的 最 优 化 拓 扑 , 基 频 。 二柔 度 最 小 化 的 优 化 结 果四 边 简 支 的 板 的 最 优 化 拓 扑 , 基 频 。 二特 征 值 最 大 化 的 优 化 结 果图图特 征 值 和 刚 度 多 目 标 拓 扑 优 化 结 果图 续拓 扑 图 如 图 所 示 , 特 征 值 最 大 化 的 优 化 拓 扑 图如 图 所 示 特 征 值 和 刚 度 的 多 目 标 拓 扑 优 化 结果 如 图 所 示结 合 在 一 起 的 对 拓 扑 优 化 问 题 的 建 模 过 程实 际 上 涉 及 到 柔 性 机 构 在 多 物 理 祸 合 场 中 的 模 拟 和优 化 设

38、 计 过 程 多 物 理 场 的 拓 扑 优 化 问 题 是 目 前 拓扑 优 化 领 域 最 具 前 途 和 挑 战 性 的 研 究 方 向 ,多 物 理 场 的 拓 扑 优 化 问 题 主 要 在 于 建 立 涉 及 多个 不 同 物 理 场 的 优 化 模 型 , 由 于 各 物 理 场 之 间 的 祸合 影 响 , 使 得 优 化 设 计 的 数 学 模 型 变 得 比 较 复 杂 ,目 标 函 数 和 敏 度 的 计 算 也 变 得 复 杂 这 里 主 要 研 究中 微 机 构 在 电 一 热 一 机 械 多 物 理 场 中 的 拓 扑优 化 设 计 我 们 首 先 介 绍 微 机

39、构 的 拓 扑 优 化 设 计 , 其次 研 究 多 物 理 拓 扑 优 化 问 题多 物 理 拓 扑 优 化 设 计对 于 拓 扑 优 化 问 题 , 目 前 的 研 究 主 要 限 于 空 间析 架 结 构 和 弹 性 体 结 构 的 静 力 学 和 动 力 学 性 质 的 优化 研 究 , 对 于 多 物 理 场 问 题 的 拓 扑 优 化 目 前 的 研 究还 比 较 少 多 物 理 场 问 题 主 要 涉 及 热 场 、 电 磁 场 、 流体 场 和 弹 性 场 等 多 场 的 弱 祸 合 问 题 柔 性 机 构 。血 【 一 闺 的 拓 扑 优 化 问 题 与 多 物 理 场拓 扑

40、 优 化 问 题 坤 , 是 紧 密中 做 柔 性 机 构 的 拓 扑 优 化 问 题柔 性 机 构 主 要 通 过 自 身 部 件 的 柔 性 来 实 现 位 移或 力 的 输 出 , 不 是 通 过 铰 接 和 连 接 实 现 运 动 柔 性 机构 的 主 要 优 点 是 它 们 的 装 配 部 件 很 少 , 运 动 不 需 要 润滑 这 种 机 构 在 中 是 比 较 常 见 的例 图 所 示 为 微 型 柔 性 镊 子 的 设 计 域 , 为中 常 见 的 微 机 构 设 计 问 题 输 入 促 动 器 通 过一 个 具 有 一 定 刚 度 的 弹 簧 和 触 发 力 来 表 示 ,

41、 优 化 的目 标 是 使 输 出 位 移 最 大 化 扬 氏 模 量 为 , 泊松 比 为 不 同 输 入 和 输 出 刚 度 下 的 优 化 结 果 拓 扑图 , 分 别 如 图 和 图 所 示设 计 域 示 意 图优 化 结 果 拓 扑 图输 入 刚 度 凡 二 , 输 出 刚 度 。 二 。 ,输 出 位 移 。 。 。 “ 拼、 、 一 勺 牛 目 为 屯 ” 恤 刀输 入 刚 度 凡 , 二 , 输 出 刚 度 。 、 ,输 出 位 移 、 、 二 “图电 一 热 一 弹 物 理 场 的 拓 扑 优 化 问 题对 于 电 一 热 一 弹 三 个 不 同 物 理 场 的 拓 扑 优

42、化 问题 假 定 弹 性 问 题 、 热 场 问 题 和 电 场 问 题为 单 向 弱 祸 合 , 即 电 场 影 响 到 热 应 变 , 热 应 变 又影 响 到 弹 性 位 移 场各 系 统 的 有 限 元 方 程 分 别 表 示 为二 。 一 万 。, 二 。 , 二 一 万, 二 , 二 一 万其 中 , 表 示 设 计 变 量 下 标 , , 表 示 与 电 场 相 关的 量 , “ 表 示 与 热 场 相 关 的 量 , , 表 示 弹 性 场万 。 , 万 和 万 分 别 表 示 全 局 的 电 导 率 矩 阵 、 热 传导 和 对 流 矩 阵 以 及 结 构 的 弹 性 矩 阵

43、 尸 。 , 尸 和分 别 表 示 电 载 荷 向 量 、 热 载 荷 向 量 和 结 构 载 荷 向 量。 , 和 分 别 表 示 电 压 、 温 度 和 位 移 向 量多 输 入 和 多 输 出 拓 扑 优 化 问 题 的 数 学 模 型。 。 。 , 二 。 ,例 对 于 如 图 和 图 所 示 的 设 计 域 网 , 这种 机 构 在 应 用 中 也 是 常 见 的 考 虑 电 一 热弹 个 不 同 物 理 场 的 祸 合 作 用对 自 由 度 的 夹 紧 机 构 , 优 化 的 目 标 是 第 个输 入 电 流 使 夹 子 沿 水 平 方 向 运 动 , 第 个 输 入 电 流使 夹

44、 子 沿 垂 直 方 向 运 动 , 第 个 电 流 使 夹 子 张 开 ,共 个 约 束 输 入 电 流 几 几 二 , 输无 填 充 材 料 的 地 方设 计 问 题 示 意 图艺 , 巧 一 三几 二 全 , 乞 ,黯 渭 井 一 一 ,粉 殊 探 默 黯 扩。,一一一一一一一一一一一一鱼一一亘一一一一巨设 计 域 示 意 图三 三 劣 三其 中 , 云 七 , 、 为 垂 直 于 输 出 方 向 位 移 。 、 , 的相 应 位 移 , 为 额 定 电 流 , 为 一 个 很 小 正 参 数 ,常 取 扩输 出 点 的 位 移 场 表 示 为。 。 。 石 久入 了 、 , 。 入 歹

45、 ,洲 除球其 中 , 石 为 一 向 量 , 对 应 输 出 点 的 自 由 度 方 向在 位 置 处 的 自 由 度 为 以 外 , 其 余 各 点 为 。入 了 和 入 歹 分 别 为 维 和 二 维 的 伴 随 向 量输 出 点 位 移 场 的 敏 度 为。 , 甲 。 兀 。 甲共 二 竺 入 片 卜 于 止 一 共 二 上 十 入 才 干 二一 ” 、 , 一 ” ” 一 工 又 二 ,一 竺 生 、 十 孑 坐 丝 红 。 、二 一 一 、 二 一 优 化 结 果 示 意 图图优 化 结 果 示 意 图优 化 结 果 示 意 图图 续入 电 压 巧 姚 , 输 入 的 弹 簧 刚

46、 度 均为 , 个 电 流 对 应 的 位 移 输 出 分 别 为 户 ,拜 和 并 温 度 均 匀 变 化 对 应 的 优 化 拓扑 图 分 别 如 图 、 图 所 示常 见 数 值 问 题 与 解 决 方 法不 是 我 们 需 要 的 最 优 解 这 种 现 象 的 出 现 与 优 化 问 题解 的 存 在 性 以 及 有 限 元 近 似 的 收 敛 性 密 切 相 关 的 , 是连 续 问 题 的 解 以 “ 弱 收 敛 ” 方 式 逼 近 原 离 散 问 题 的 真实 解 时 出 现 的 一 种 现 象网 格 依 赖 性 如 图 是 指 用 不 同 数 目 的 初始 单 元 离 散 化

47、 设 计 域 会 产 生 不 同 的 优 化 结 果 , 随 着网 格 剖 分 初 始 密 度 的 增 加 , 优 化 结 构 的 几 何 复 杂 性 增加 , 部 件 尺 寸 逐 渐 减 小 , 优 化 结 构 中 类 似 杆 状 部 件 的数 量 变 多 变 长 , 不 便 于 制 造 , 在 受 压 时 容 易 失 稳 , 如图 所 示 理 论 上 讲 , 同 样 的 优 化 结 构 , 网 格 细 化 应当 形 成 更 好 的 有 限 元 模 型 和 更 详 细 的 边 界 描 述 , 不 应该 出 现 几 何 关 系 更 复 杂 的 不 同 的 优 化 结 构 这 一 方 面是 由

48、于 在 优 化 过 程 中 , 结 构 的 目 标 体 积 没 有 变 化 , 网格 的 细 化 将 会 导 致 对 内 部 结 构 在 更 精 细 尺 度 上 的 描述 , 相 当 于 引 入 了 更 多 的 孔 洞 , 造 成 数 值 求 解 的 不 稳定 原 设 计 域 中 的 各 向 同 性 材 料 仅 仅 由 原 各 向 异 性 的材 料 描 述 可 能 会 造 成 设 计 域 的 解 集 缺 乏 闭 环 另 一 方面 , 网 格 细 化 时 , 可 能 会 形 成 不 同 的 局 部 最 优 结 构 ,设 计 域 空 间 的 最 优 解 将 是 唯 一 的 所 以 优 化 解 的

49、不 存在 或 不 唯 一 容 易 造 成 网 格 依 赖 性 现 象对 棋 盘 格 现 象 常 常 采 取 增 加 几 何 约 束 的 办 法 来限 制 数 值 解 空 间 , 保 证 有 限 元 求 解 的 光 滑 性 和 稳 定性 对 网 格 依 赖 性 常 采 取 一 些 对 密 度 变 量 的 全 局 和局 部 约 束 , 以 防 止 精 细 尺 度 结 构 的 形 成 , 具 体 的 方 法包 括 对 优 化 问 题 增 加 约 束 以 减 少 设 计 的 参 数 空 间 , 或采 取 过 滤 措 施 , , 坤 认 为 棋 盘 格现 象 是 网 格 依 赖 性 的 一 种 表 现 形 式 , 一 般 能 消 除 网 格依 赖 性 的 方 法 也 能 有 效 消 除 结 构 中 的 棋 盘 格 现 象表 现 形 式 和 产 生 原 因对 结 构 拓 扑 优 化 问 题 , 用 隐 式 的 密 度