1、 Abaqus拓扑优化 分析 手册 13.优化技术 13.1 结构优化：概述 13.1.1 概述 Abaqus 结构优化是一个帮助用户精细化设计的迭代模块。结构优化设计能够使得结构组件轻量化，并满足刚度和耐久性要求。 Abaqus 提供了两种优化方法 拓扑优化 和 形貌优化 。 拓扑优化 （ Topology optimization） 通过分析过程中不断修改最初模型中指定优化区域的单元材料性质，有效地从分析的模型中移走单元而获得最优的设计目标。 形貌优化 （ Shape optimization） 则是在分析中对指定的优化区域不断移动 其 表面节点从而达到减小局部应力集中的优化目标。拓扑优化
2、和 形貌优化 均遵从一系列优化目标和约束。 最优化方法 （ Optimization） 是一个通过自动化程序增加设计者的 经验和直觉 ， 从而缩短研发过程的工具 。 想要优化模型，必须知道如何去优化，仅仅说要减小应力或者增大特征值是不够 的 ，做优化必须有更 具体 的描述。 比方说，想要降低在两种不同载荷工况下 （ Load Step） 的最大节点力 ， 类似的还有，想要最大化前五阶特征值之和。 这种最优化的目标称之为 目标函数 （ Object Function）。另外，在优化过程中可以同时强制限定某些状态参量。例如，可以指定某节点的位移不超过一定的数值。这些强制性的指定措施叫做 约束 （
3、Constraint）。 可以使用 Abaqus/CAE 创建 待优化的 模型 ， 然后定义、配置和执行结构优化。更多信息请参考 Abaqus/CAE Users Guide 的 第十八章 “ The Optimization module” 。 13.1.1.1 术语（ Terminology） 结构优化拥有它自己的一套术语 。以下术语适用于整个 Abaqus 帮助文档以及Abaqus/CAE 用户界面 。 设计 区域（ Design area） : 设计 区域即模型需要优化的区域。这个区域可以是整个模型，也可以是模型的一部分。 一定的边界条件、载荷及人为约束下 ： 拓扑优化通过增加 /删除
4、区域中的材料达到最优化设计 形貌优化 通过移动区域内 的 节点来达到优化的目的。 设计变量 （ Design variables） ：设计变量即优化设计中需要改变的参数。 拓扑优化中，设计区域中 的 单元密度是设计变量， Abaqus/CAE 优化分析模块在其优化迭代过程中改变单元密度并将其耦合到刚度矩阵之中。实际上，拓扑优化将模型中单元移除的方法是 ， 将单元的质量和刚度充分变小从而使其不再参与整体结构响应。 然后 Abaqus 会重新计算移除材料后的模型的响应。 对于 形貌优化 而言，设计变量是指设计区域内表面节点 的 位移。优化时， Abaqus 或者将 曲面 节点位置向外移动 （ gr
5、owth） 或者向内移动 （ shrinkage） ，抑或不移动 （ neutral） 。在此过程中，约束会影响表面节点移动的多少及其方 向。 优化仅仅直接修改边缘处的节点（ Corner nodes） ，而边缘内侧的节点位移通过边缘处节点插值得到。 设计循环（ Design cycle） : 优化分析是一种不断更新设计变量的迭代过程，执行 Abaqus进行模型修改、查看结果以及确定是否达到优化目的。 其中每次迭代叫做一个设计循环。 优化任务（ Optimization task） ： 一次优化任务包含优化的定义，比如设计响应、目标、限制条件和几何约束。 设计响应（ Design respon
6、ses） : 优化分析的输入量称之为设计响应。设计响应可以直接从 Abaqus 的结果输出文件 .odb 中读取，比如刚度、应力、特征频率及位移等。或者 Abaqus从结果文件中计算得到模型的设计响应，例如质心、重量、相对位移等。 一个设计响应与模型紧密相关，然而，设计响应 必须是一个标量 ，例如区域内的最大应力或者模型体积。 另外，设计响应也与 特定 的分析步和载荷状况有关。 目标函数（ Objective functions） : 目标函数决定了优化的目标。一个目标函数是从设计响应中 提取的一个标量 ，如最大位移和最大应力。一个目标函数可以用 一个包含多个设计响应的 公式 来 表示。如果设
7、定目标函数 为 最小化或者最大化设计响应， Abaqus 拓扑优化模块则将 每个设计响应值代入目标函数进行计算。另外，如果有多个目标函数，可以用权重因子定义每个目标函数的影响程度。 约束（ Constraints） : 约束亦是从 设计响应 中 提取的一个标量值 。然而，一个约束不能由设计响应 的组合 来 表达 。约束限定 了设计响应 ，比如可以指定体积必须降低 45%或者某个区域的位移不能超过 1mm。 也可以指定跟优化无关的 加工约束 或者几何约束，比如 ，一个零件必须保证能够浇铸或者冲压，又比如 轴承面的直径不能改变。 停止条件（ Stop conditions） : 全局停止条件决定了
8、优化的最大迭代次数。 局部停止条件在局部最大 /最小达成之后指定优化应该停止。 13.1.1.2 Abaqus/CAE 结构优化 步骤 下面的步骤需要合并到 Abaqus/CAE 结构优化设计 模块 中： 1） 创建需要优化的 Abaqus 模型。 例如，设计区域必须只能包含优化设计模块支持的单元类型和材料类型。参考 13.2.3 节 “创建 Abaqus 优化模型” 。 2） 创建一个优化任务。 参考 Abaqus/CAE Users Guide 的 18.6 节 “ 创建 并配置优化设计任务 ” 。 3） 创建设计响应。 参考 13.2.1 节“设计响应”。 4） 利用设计响应创建目标函数
9、和约束。 参考 13.2.2 节“目标函数和约束”。 5） 创建优化进程，提交分析。 参考 Abaqus/CAE Users Guide 的 19.5.1 节“ 什么是 优化设计的流程 ？ ” 。 基于优化任务的定义及优化 流程 ， Abaqus/CAE 拓扑优化模块进行迭代运算： 1） 准备设计变量（单元密度或者表面节点位置） ，并更新 Abaqus 有限元模型 。 2） 执行 Abaqus/Standard 分析。 这些迭代或者设计循环不会停止，除非： 1） 最大迭代 次 数达到 2） 指定的停止条件达到。 Figure 1 描述了 Abaqus 优化分析的过程： Figure 1 在优化
10、流程中的用户行为以及 Abaqus/CAE的自动行为 13.1.1.3 拓扑优化 拓扑优化开始于包含指定条件（例如边界条件和载荷）的初始设计 （原始设计区域） 。优化分析过程在符合优化约束（比如最小体积或者最大 某区域的 位移）的前提下改变初始设计区域的单元密度和刚度从而确定结构新的材料分布方式。 Figure 2 展示了汽车控制臂在 17 次设计循环中拓扑优化的过程，其中优化的目标函数是试图 最小化控制臂的最大应变能， 最大化控制臂的刚度。约束为降低 57%的产品体积。优化过程中，控制臂中部的部分单元 的质量和刚度逐渐减小，最终这些单元 不断被移除。 但是，这些单元 仍然存在着，随着优化迭代
11、的不断进行，如果这些单元的质量和刚度逐渐变大了，它们又可以在分析中发挥作用。 同时，一个几何上的限制强制要求优化所得到的模型必须能够被浇铸并且能够从 铸模中取出 限制了 Abaqus 不能生成空腔和切口 。 Figure 2 一个拓扑优化的基本流程 Abaqus 可以应用如下目标到拓扑优化过程中： 1） 应变能（结构刚度的度量值） 2） 特征频率 3） 内力和支反力 4） 重量和体积 5） 重心 6） 惯性矩。 同样地，在拓扑优化流程中，上面这些变量也可以作为 约束变量。另外，拓扑优化同样可以考虑 加工的约束，使得产品可以使用 标准制造过程 来生产， 例如铸造和冲压。 还可以冻结指定区域， 应
12、用数量尺寸、对称性及耦合约束。拓扑优化的例子在 Abaqus Example Problems Manual 的 Section11.1.1 中。 13.1.1.4 通用拓扑优化法 VS 条件拓扑优化法 拓扑优化支持两种算法 一般算法比较灵活，可以应用到大多数问题中；基于刚度的算法，更为有效， 但是 应用能力有限。 Abaqus 默认采用一般算法，但是当创建优化任务的时候可以进行优化算法的选择。每种优化算法 达到优化目标的过程是不同的。 算法 通用拓扑优化 算法在满足目标函数和约束前提下 调整设计区域的单元密度和刚度 ，可参考 Bendse and Sigmund (2003)，文献中有一般算
13、法的部分描述。 作为对比 ，刚度拓扑优化作为一种更为有效的算法，使用了应变能和节点 应 力作为输入量而且并不需要计算设计变量的局部刚度。基于刚度的优化算法是德国卡尔斯鲁厄大学（ U.Karlsruhe）的 Bakhtiary (1996)提出的。 中间密度单元 一般算法导致了设计结果有 中间单元（相对密度处于 01 之间的单元）。相反地，基于刚度的优化算法 所得结果中的单元 不是空材料 （密度非常接近 0）就是 实体（ 密度非常接近1）。 优化设计循环 次数 通用算法 需要的循环步在优化计算开始的时候是并不知晓的，但是一般来说，这个步数处于 3045 之间。基于刚度的优化算法能够更快地达到优化
14、算法的解（默认 15 步）。 分析类型 一般优化算法支持线性静力、非线性静力及线性模态分析。两种算法均支持几何非线性和接触，以及很多非线性材料。 此外，静力拓扑优化中可以指定位移 约束， 而模态分析不可指定位移 约束。拓扑优化支持复合 材料分析， 但每层材料的修改在拓扑优化中 是不支持的，如不能指定复合材料纤维走向等。 目标函数和约束 一般优化算法可以使用一个目标函数和数个约束，这些约束可以全部是不等式。多种设计响应可以被定义为目标和约束，例如应变能、位移和旋转、支反力及内力、特征频率和材料的体积及重量。 基于条件的拓扑优化 算法更为有效，然而 适用性比较差，仅支持应变能（一种刚度的 度量 ）
15、作为目标函数，材料体积作为约束方程。 13.1.1.5 形貌优化 形貌优化 采用了跟 基于条件的拓扑优化 算法类似的算法。 形貌优化 一般是对表面节点进行较小的调整以减小局部应力集中。 形貌优化 用于产品外形需要微调的情况 ，一般在设计流程的最后进行 。 形貌优化开始于一个仅需要少量修改的有限元模型或者一个已经经过拓扑优化的有限元模型 。 形貌优化的目标是在应力分析的结果基础上通过调整表面几何形貌来最小化局部应力集中， 形貌优化 试图重置既定区域的表面节点位置直到此区域的应力成为常数（应力均匀）。Figure 3 是连杆 形貌优化 以 减小局部应力集中的例子： Figure 3 形貌优化的结果
16、 形貌优化 支持 以下 目标： 1） 应力和接触应力 2） 自然频率 3） 弹性、塑性、全应变和应变能密度 形貌优化 只能应用体积约束，另外，可以使用一定数量的 加工 几何限制条件使提出的设计能够继续铸造或者冲压。也可以冻结某特定区域、应用数量尺寸、对称性及耦合限制等。 Abaqus 案例手册的第 11.2.1 节提供了一个形貌优化的例子“连杆结构的形貌优化”。 形貌优化 的网格光顺 形貌优化 过程中， Abaqus/CAE 拓扑优化模块修改模型表面。如果拓扑优化模块只对表面节点进行位置调整而不对表层内节点进行调整，单元将会发生扭曲。这样， Abaqus 的优化结果将变得不可信 ，优化的质量也
17、值得怀疑 。 为了提高表面单元的质量， Abaqus 的优化模块可以对指定区域的网格进行光顺，对与该区域表面节点相关联的 内部节点位置进行调整。在进行形貌优化之前，一定要保证网格质量足够好，尤其是将要进行形貌优化的区域。 Abaqus/CAE 拓扑优化模块可以 光顺标准连续单元，比如 三角形单元、四边形单元和四面体单元。其他单元类型将不会被光顺化 。可以指定光顺单 元的单元质量 ，倾斜角（对于三角形和四边形单元），边长比（对于四面体单元） 。 这些指标能够衡量单元质量是否足够好。被认为是网格质量较差的单元会给出一个质量评测，质量越差的单元，在改善单元质量时越会被重点关注。 网格光顺化是一个比较
18、耗费计算量的过程。光顺算法是基于单元的， 在单元数量很多而自由度有限的区域（比如包含很小四面体单元的区域），其计算时间会大增 。因此，可以只对优化区域内的单元指定网格光顺化。网格光顺化的区域节点必须是自由的，不能应用于有约束的节点或者区域 ，也不能应用于冻结区域 。 可以对网格光顺进行限制 ， 指定给定区域的最小增量和最大增量限制 。 参考Abaqus/CAE 用户手册的 18.10.3 节以获得更多信息。 网格光顺化可以应用到优化区域也可以应用到非优化区域， 尤其是可以用于在优化区域和剩余区域之间来防止网格扭曲，但是 优化区域必须包含于网格光顺化指定区域。 自由曲面的节点被定义为设计区域之外
19、的节点，不会被包含在几何限制之内。Abaqus/CAE 在网格光顺化中会自动将所有 自由表面节点 进行约束， 在网格光顺中也不会被调整 。 或者，可以选择让自由曲面节点随着与设计区域节点相邻的几层节点一起移动。（仅在角点处生成每层节点 ，中间节点不会参与移动。） 可以选择设计区域附近的表层节点进行光顺化移动，从而使得优化区域和非优化设计区域能够更加连续。 然而，在某些情形下，可能需要自由曲面节点保持固定，例如，一个不参与优化的平面仍然需要保持平面。 默认的网格光顺化采用强制拉普拉斯网格光顺化算法。但是，如果模型比较小，比如小于 1000 个节点，可以采用局部梯度化网格光顺算法。在每次运算中，局
20、部梯度化网格光顺算法进行质量不好的单元的辨别，然后通过移动节点对其进行光顺。局部梯度化光顺通常产生具有最佳外形的单元 ，这种最佳是按照单元体积（对壳单元则是面积）相对于单元直径的关系来定义的 。对于较大模型，局部梯度化网格光顺算法一般会在最佳网格质量形成之前停止，这样只有最坏的单元质量得到了光顺。 13.2 优化模型 13.2.1 设计响应 13.2.1.1 概述 一个设计响应： 1) 是一个 标量 值，例如结构的体积 2) ATOM 通过 Abaqus/CAE 读取 odb 文件的结果和模型文件来计算 3) 与目标函数和约束相关联（比如，可以创建一个目标函数 来 最小化节点位移或者强制 约束
21、 降低结构重量 50%以上） 4) 必须在一定的分析过程基础上（比如， 如果指定最大化某 区域最小特征频率 为设计响应， 则需要进行提取特征频率的分析） 13.2.1.2 响应变量的运算 尽管已有一些限制应用到了响应上，还必须在 ATOM 中通过操作来 获得 设计响应的 标量值 。例如，一个体积设计响应可以只用于设计区域的体积之和，计算 von Mise 应力的设计响应必须是模型中一定区域的应力最大值。如下 设计响应操作 为 Abaqus/CAE 拓扑优化模块（以后简称 ATOM）所提供： 最小化 或者 最大化： 既定区域的最小值或者最大值。 对于 应力，接触应力和应变设计响应 ， ATOM
22、仅 允许 进行 最大值操作 。 求和： 既定区域所有值求和值。 对 体积、重量、惯性矩和重力设计响应的 ， ATOM仅允许求和操作 。 13.2.1.3 基于条件的拓扑优化 设计响应 ATOM 提供 基于条件的拓扑优化 方法以应变能和体积设计响应。 应变能 结构的柔度是结构柔性及刚性的度量，定义为所有单元的应变能之和，在线性模型中表达为 tuku ， 其中 u 为位移向量， k 为整体刚度矩阵。柔度与刚度互为倒数，因此最小化柔度等价于最大化 整体 刚度。 如果载荷是集中力或者面力，则必须选择最小化应变能 来 最大化整体刚度；而如果载荷是热应力场，优化就会在使得结构变软的同时，应变能不断减小，因
23、为降低应变能会导致硬化，所以应该一直选择最大化应变能。另外，如果模型指定了位移 约束 ，则须最大化应变能。 拓扑优化考虑 所有单元的总应变能，因此，如果选择应变能作为目标函数，则须将目标应用于整个模型。优化过程中不能使用应变能作为约束。 Abaqus/CAE Usage: Optimization module: Task condition-based topology task, Design Response Create: Single-term, Variable Strain energy 体积 体积是设计区域内所有单元体积之和 eV ， 其中 eV 为单元的体积 。 在拓扑优化过
24、程中，所有单元都根据当前 Abaqus 模型的相对密度进行了放缩。 对于大多数优化问题，需要给定一个 体积约束 。 例如， 如果 试图 最小化应变能（最大化刚度） ，并且没有施加体积约束，则Abaqus 会简单地在整个设计区域填充材料 。 Abaqus/CAE Usage: Optimization module: Task condition-based topology task , Design Response Create: Single-term, Variable: Volume 13.2.1.4 通用拓扑优化的 设计响应 ATOM 通用拓扑优化 算法支持重心、平动、旋转、特征频
25、率、惯性矩、内力、反力、力矩、应变能、体积和重量 等作为 设计响应。 重心 在优化分析中将指定区域的重心作为一个设计变量，并且可以选择三个主分量： 当 ATOM 计算重心时，单元会以当前相对密度为计算依据。 举例说明，当需要约束 Y 方向的重心在某个范围内的时候，这即为一个重心优化问题。设计响应会考虑整个模型或者指定区域的重心位置。 可以将整个模型的重心或者局部区域的重心作为设计响应。 如果使用了局部坐标系， ATOM 会根据坐标轴和原点重新计算重心。如果不选择使用局部坐标系， ATOM 将使用整体坐标系。 壳体及膜区域的重心在 ATOM 中 是在 考虑其厚度后作为三维区域处理的。 ATOM
26、只能对拓扑优化支持的单元类型计算重心。因此， ATOM 计算得到的重心跟 Abaqus/Stardard 和Abaqus/Explicit 不同，例如， ATOM 不会考虑线区域。 Abaqus/CAE Usage: Optimization module: Task general topology task, Design Response Create: Single-term, Variable: Center of gravity 平动和转动 在大多数优化问题中需要使用位移或者转动去定义目标函数 或者约束 。 例如，一个顶点的最大位移既可以作为设计响应，也可以作为约束。 如果仅仅应用
27、位移或者转动 约束 到某些顶点 或者小区域，则优化性能会得到改善。另外，如果指定 具有 位移 约束的区域为冻结 区域，同样会加快优化的进程。 下表提供了可用的位移和转动变量： Table 1 拓扑优化中的平动变量和转动变量 Displacement Rotation i-direction iu i Absolute 2221 2 3uuu 2221 2 3 Absolute in i-direction 2iu 2i Abaqus/CAE Usage Optimization module: Task general topology task, Design Response Create
28、: Single-term, Variable: Displacement 模态特征频率分析 模态特征值是结构分析中最简单的动力响应。特征频率数据在拓扑优化过程中通常的用途包括如下几种： 最大化最低阶特征频率， 最大化选定的特征频率， 限定某特征频率高于或低于一给定值， 最大化或最小化某模态下的特征频率， 采用带隙（ bandgap）优化迫使模态远离某频率。 ATOM 支持两种方式来评估特征频率： 模态分析中得到的单一特征频率， Kreisselmaier-Steinhauser 方程。 Kreisselmaier-Steinhauser 方程是两种方法中最有效的，并且应该优先使用 。评估单一
29、特征频率的唯一好 处就是可以将特征频率的总和作为约束条件， Kreisselmaier-Steinhauser 公式则不能。 当尝试最大化最低 阶固有频率时，在此推荐除了考虑第一阶特征频率，还至少要考虑之后两阶模态 的固有频率。在优化过程中，很多固有频率根据它们到最低阶频率的距离进行加权 越接近第一阶固有频率，权重越大。如果是尝试最大化最小特征频率或者最大化最小的几阶 特征频率时，应该使用 Kreisselmaier-Steinhauser 特征值方程。如果使用了Kreisselmaier-Steinhauser 方程来最大化最小特 征频率，则不需追踪最小模态，但是 对于高阶模态则 应当 进行
30、 模态 追踪 ，因为模态 顺序 可能已经发生转换。举例来说，当模型正在被优化时，第一阶频率被最大化，可能第二个特征模态变成了最小特征频率的模态。 Abaqus/CAE Usage: Optimization module: Task general topology task, Design Response Create: Single-term, Variable: Eigenfrequency from modal analysis or Eigenfrequency calculated with Kreisselmaier-Steinhauser formula 惯性矩 在优化过程中
31、可使用惯性矩作为设计响应，以最小化关于一选定轴的转动惯量。在 通用拓扑优化 中，可使用整个模型或者某一区域的惯性矩作为目标函数或者约束条件。 惯性矩可以选择在三个坐标轴上或者三个坐标平面内的惯性矩： 如果选择了局部坐标系， Abaqus/CAE 拓扑优化模块将采用局部坐标系坐标轴方向重新计算重心。没有指定局部坐标系时，将缺省采用全局坐标系。 当 Abaqus/CAE 拓扑优化模块计算惯性矩时，将把 板壳 和膜区域的厚度赋上并做为三维区域考虑。并且 Abaqus/CAE 拓扑优化模块只计算那些支持拓扑优化的单元的惯性矩。所以，Abaqus/CAE 拓扑优化模块计算出的惯性矩可能与 Standar
32、d 和 Explicit 的值不同。例如， 当模型中包括线域 时。 如果对于两个正交的轴，选择其中任何一个作为对称轴的话，对这两个 轴的惯性 积 为 0. Abaqus/CAE Usage Optimization module: Task general topology task, Design Response Create: Single-term, Variable: Moment of inertia 内力和 弯矩 在 通用拓扑优化 中，可使用整个模型或某一区域的节点内力和内弯矩，作为优化目标和约束条件。 Table 2 列出了可用的节点内力和内弯矩变量 。 Table 2 通用拓
33、扑优化中可用的节点力和力矩变量 Nodal internal force Nodal internal moment i-direction eiKu eiKu Absolute eiKu eiKu Absolute in i-direction 2iu 2iu 在此不能使用只有节点力和弯矩绝对值的参考坐标系。在 优化中，结构必须在 所定义 的力的方向上有刚度，否则，在此方向的内力将变为 0. Abaqus/CAE Usage Optimization module: Task general topology task, Design Response Create: Single-term
34、, Variable: Internal force or Internal moment 支 反力和力矩 节点反力和力矩只能用于一般算法的拓扑优化设计。下表列出了可供 优化的设计响应。 Table 3 用于通用拓扑优化的节点支反力和力矩 Nodal reaction force Nodal reaction moment i-direction eiKu eiKu Absolute eiKu eiKu Absolute in i-direction 2iu 2iu 节点反力和力矩不能使用局部坐标系。结构在 所定义的力的方向上必须有刚度，否则反力 为零。 Abaqus/CAE Usage: O
35、ptimization module: Task general topology task, Design Response Create: Single-term, Variable: Reaction force or Reaction moment 应变能 结构的柔度是结构柔性及刚性的度量，定义为所有单元的应变能之和，在线性模型中表达为 tuku ， 其中 u 为位移向量， k 为整体刚度矩阵。柔度与刚度互为倒数，因此最小化柔度等价于最大化整体刚度。 如果载荷是热应力场，优化就会在使得结构变软的同时，应变能不断减小，因为降低应变能会导致硬化 。另外，如果模型中定义了位移约束，则总是应该
36、选择最大化应变能作为目标函数。 拓扑优化考虑整个模型的应变能 ， 因此 ， 如果选择应变能作为目标函数 ， 则应该将目标函数适用于整个模型 。 Abaqus/CAE Usage: Optimization module: Task general topology task, Design Response Create: Single-term, Variable: Strain energy 体积 体积是设计区域内所有单元体积之和 eV ， 其中 eV 为单元的体积 。在拓扑优化过程中，所有单元都根据当前 Abaqus 模型的相对密度进行了放缩。对于大多数优化问题，需要给定一个体积约束。例
37、如，如果试图最小化应变能（最大化刚度），并且没有施加体积约束，则Abaqus 会简单地在整个设计区域填充材料。 Abaqus/CAE Usage: Optimization module: Task general topology task , Design Response Create: Single-term, Variable: Volume 重量 重量是设计区域内所有单元重量之和 eW ， 其中 eW 为单元的 重量 。 ATOM 计算中会不断采用当前密度。对于多数优化问题，如果不采用体积约束则须采用重量约束。 采用重量约束而不是体积约束可以使得优化结果达到指定的物理重量。 ATO
38、M 仅对支持的单元类型进行重量优化。 Abaqus/CAE Usage: Optimization module: Task general topology task , Design Response Create: Single-term, Variable: Weight 13.2.1.5 形貌优化 的设计响应 ATOM 形貌优化 提供了特征频率、应力、接触应力、应变、节点应变能密度及体积 等变量作为 设计响应。 形貌优化 仅仅支持体积 作为 约束，其他响应仅能作为目标函数 。 Kreisselmaier-Stenhauser 方程的特征频率 如果想在 ATOM 形貌优化 中 最大化
39、第一阶特征频率或者最大化 某几阶 特征频率，必须使用 Kreisselmaier-Stenhauser 方程。 在使用 K-S 特征值方程时，不需要使用模态追踪。 Abaqus/CAE Usage: Optimization module: Task shape task, Design Response Create: Single-term, Variable: Eigenfrequency calculated with Kreisselmaier-Steinhauser formula 应力和接触应力 等效应力是 形貌优化 中应用最广泛的目标函数。 ATOM 会将所有应力（节点力或者高
40、斯积分点 应力）插值到节点上进行优化。比如，可以对应力集中区域采用最小化 最大 von Mises应力的方法进行优化，也可以对接触区域进行最小化接触压力 的优化 。 ATOM 仅仅对区域内等效应力中的最大值进行优化。对于没有合适应力值的区域进行优化， ATOM会发出 Warning。比如，当你选择 没有发生接触的区域 接触应力作为目标响应的时候， ATOM 会警告没有接触。 如果 Abaqus 模型包含了多个工况，设计响应则会 对每个工况的应力值进行求和 。 可以应用以下等效应力： von Mises 最大主应力或者最大主应力的绝对值 最小主应力或者最小主应力的绝对值 第二主应力 Beltra
41、mi 应力 Drucker Prager 应力（ P 相关屈服应力） Galilei 应力 Kuhn 应力 Mariotte 应力 Sandel 应力 Tresca 应力 等效 接触应力支持如下： 法向 接触压力 接触剪切力 局部 1 方向 接触剪切力 局部 2 方向接触剪切力 总的 接触应力 应力和接触应力只能作为目标函数。 Abaqus/CAE Usage: Optimization module: Task shape task, Design Response Create: Single-term, Variable: Stress or Contact stress 应变 如果你的
42、模型有大变形，则应力不会是个模型响应的很好的指标。例如，结构有了塑性变形，在理想塑性变形阶段，等效应力将不再发生改变。在这种情况下，应变响应成为更为可靠的指标。可以选用如下等效应变： 弹性 应变 塑性 应变 全应变 （前两者的和） 应变也仅能作为目标函数。 Abaqus/CAE Usage: Optimization module: Task shape task, Design Response Create: Single-term, Variable: Strain 节点应变能密度 节点应变能密度ij iju ， 是非线性材料中失效的更好的 度量 参量。 Abaqus/CAE Usage
43、: Optimization module: Task shape task, Design Response Create: Single-term, Variable: Strain energy density 体积 体积是唯一的 形貌优化 约束。体积被定义为既定区域内所有单元的体积之和 ： eV 。大多数优化问题中，体积是一种约束。 Abaqus/CAE Usage: Optimization module: Task shape task, Design Response Create: Single-term, Variable: Volume 13.2.1.6 设计响应的操作 可
44、以 将 多个设计响应 合并 为一个设计响应，比如， 一系列 设计响应的最大值 。也可以将一个设计响应的某种运算结果定义为另一个设计响应 ， 例如 不同节点的设计响应的 差 。 举例说明 ， 可以定义两个设计响应来表达两个顶点在 1 方向的位移。也可以定义一个设计响应为这两个顶点在 1 方向的位移之差。然后可以定义一个约束，要求这个设计响应为 0，这就间接约束了两个顶点在 1 方向必须具有相同的位移。 Abaqus/CAE Usage: Optimization module: Design Response Create: Combined-term 13.2.2 目标及约束 13.2.2.1
45、 概述 对于一个优化问题： 1） 一个目标函数定义了优化的目标 2） 一个约束提出了优化的限制条件并定义了优化的可行性 3） 几何限制给出了优化所遵从的结构形状特点 4） 停止条件 定义了 一次优化任务应该完成的标志。 13.2.2.2 目标函数 目标函数给出了优化的目标。一个目标函数是由一系列设计响应 得到的一个标量。比如，如果设计响应被定义成既定区域内节点的应变能，目标函数 就可以是 最小化设计响应之和 ：最小化应变能之和，也就是最大化这个区域的刚度 。 一个优化问题可以被描述为： min , xU x 其中 ， 是依赖于状态变量 U 的目标函数 , x 为设计变量。 最小化 N 个设计响
46、应的目标函数公式可以表示为： m in 1m inn refi iii W 其中 每个设计 响应 i 被 给定了权重 iW , 和参考值 refi . 同理 ， 最大化目标函数公式为 ： m a x 1m a x n refi iii W 默认的 权重系数 是 1.0， 默认的拓扑优化 参考值 是 0.0， 形貌优化 的默认 参考 值由 ATOM进行计算。 对大多数优化问题，不需要改变默认的权重因子和参考值 。然而在某些情况下，则必须改变权重因子以平衡 目标函数 对优化结果的决定性 作用。改变权重因子对最终设计有巨大影响。另外，优化开始的时候某些支配性的设计响应在 经过 ATOM 对模型的调整
47、之后可能会 变得不那么重要 。 最小化 某些 最大设计响应是一种重要的 目标函数的 优化公式。在每个设计循环 中，ATOM 寻找权重化的设计响应中 具有最大影响力的设计响应 ，然后试图最小 化 这些响应。在大多数问题中， 最小化最大设计响应提供了令人满意的结果 ，因为它使得一系列设计响应的最大值变小了 。比如，如果设计响应是模型中多个区域的应力，最小化 这个最大 设计响应 就试图去最小化区域内的最大应力。公式可以表示为： m i n m a x 1m i n m a x n r e fi iii i W 定义目标函数的目标 一个目标函数的目标可以是最大化，也可以是最小化 ，或者最小化最大值（此
48、时，设计响应是最大值，而目标函数是最小化这个最大值） 。在 所有 情况下，权重因子和参考值规定了多个设计响应的贡献。 Abaqus/CAE Usage: Optimization module: Objective Function Create: Target 13.2.2.3 约束 如前所述 ，一个优化问题可以描述为 : min , xU x 其中 ， 是依赖于状态变量 U 的目标函数 , x 为设计变量。 约束 可以应用到优化问题，约束 iK 可以用到设计变量中 : ,00ii xU xK x 其中 *,iixU x , i 是被 值 *i 约束 的设计响应。另外 , *iiKKx ,
49、其中 iK 是设计变量如何规划的表述 ,比如 可加工性 , *iK 是设计变量的约束。 ATOM 可以得到优化目标函数的一个解。然而，如果约束不当， 优化解可能并非合适的解。一个约束同一个设计响应类似， 是一个标量 。大多数优化利用 约束条件 来 阻止优化过程走向 一个并非 所需要 的解。例如，当试图最大化结构刚度时，如果不指定约束， ATOM 将简单 地 将整个区域 填满材料 。 然而，如果约束了重量为原先的 50%， ATOM 则强制 去 寻找一个能够同时 满足 刚度 优化 目标并且满足重量约束的优化解。拓扑优化和 形貌优化 的共同约束只有体积约束，不能将体积作为目标函数。不能对模型或者区域应用多个同样类型的约束 ，例如不能同
