1、第四讲 二项分布及其应用、正态分布,理科数学】第十二章：概 率,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 二项分布及其应用 考点2 正态分布,考法1 条件概率的计算 考法2 相互独立事件概率的求法 考法3 独立重复试验与二项分布 考法4 正态分布及其应用,B考法帮题型全突破,C.方法帮素养大提升,易错 混淆独立事件、互斥事件、n次独立重复试验致误,理科数学 第十二章：概率,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,理科数学 第十二章：概率,命题规律,1.命题分析预测 本讲是高考的热点,主要命题点有:(1)相互独立事件的概率,条件概率,常以选择题、填空题的
2、形式出现;(2)二项分布的概念、特征和相关计算,常以解答题的形式出现;(3)正态分布的应用,如随机变量在某一区间取值的概率,一般以解答题的形式出现.解题时注意对相关概念的理解和相关公式的应用. 2.学科核心素养 本讲通过实际问题中二项分布、正态分布的应用考查考生的数据分析、数学运算、数学建模素养.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 二项分布及其应用 考点2 正态分布,理科数学 第十二章：概率,考点1 二项分布及其应用（重点）,1.条件概率及其性质 (1)条件概率的定义:对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫作条件概率,用符号P(B|A)来表示,其公式为P(
3、B|A)= (P(A)0). (2)条件概率的性质: 非负性:0P(B|A)1. 可加性:如果B和C是两个互斥事件,则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A).,理科数学 第十二章：概率,2.事件的相互独立性 (1)对于事件A,B,若事件A的发生与事件B的发生互不影响,则称事件A,B是相互独立事件. (2)若事件A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立. (3)若事件A1,A2,An(n2,nN*)相互独立,则这n个事件同时发生的概率P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An). (4)若事件A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B
4、)(P(A)0).,理科数学 第十二章：概率,辨析比较 互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点,理科数学 第十二章：概率,3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验:一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.,(2)二项分布:一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,n,此时称随机变量X服从二项分布,记作XB(n,p),并称p为成功的概率.,理科数学 第十二章：概率,思维拓展 1.判断一个随机变量是否服从二项分布,要看两点: (1)是否为n次独立重
5、复试验; (2)随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数. 2.“恰好发生k次”与“有指定的k次发生”不同:恰好发生k次的概率Pn(k)= pk(1-p)n-k,有指定的k次发生的概率P=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n). 3.二项分布的期望与方差:若随机变量X服从二项分布,即XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).,考点2 正态分布（重点）,1.正态曲线及其特点 我们把函数,(x)= 1 2 e ( ) 2 2 2 ,x(-,+)(其中是样本均值,是样本标准差)的图象称为正态分布密度曲线,简称正态曲线. 正态曲线的性质: (1)曲线位于x轴上方,与x
6、轴不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线x=对称; (3)曲线在x=处达到峰值(最大值) 1 2 ;,(4)曲线与x轴之间的面积为1; (5)当一定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变化而沿x轴平移,如图12-4-4(1)所示; (6)当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图12-4-4(2)所示.,图13-4-1,理科数学 第十二章：概率,2.正态分布 (1)正态分布的定义及表示,理科数学 第十二章：概率,名师提醒 (1)在N(,2)中,第二个数是2,而不是; (2)若XN(,2),则随机变量X在的附近取值的概率
7、很大,在离很远处取值的概率很小.,理科数学 第十二章：概率,B考法帮题型全突破,考法1 条件概率的计算 考法2 相互独立事件概率的求法 考法3 独立重复试验与二项分布 考法4 正态分布及其应用,理科数学 第十二章：概率,考法1 条件概率的计算,示例1 在100件产品中有95件合格品,5件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一件,则在第一次取到不合格品后,第二次取到不合格品的概率为 . 思维导引 根据条件概率的定义求解或用缩小样本空间的方法求解.,解析 解法一 (应用条件概率公式求解)设事件A为“第一次取到不合格品”,事件B为“第二次取到不合格品”,则所求的概率为P(B|A), (明确所求概
8、率为在事件A发生的条件下事件B发生的概率) 因为P(AB)= C 5 2 C 100 2 ,P(A)= C 5 1 C 100 1 , 所以P(B|A)= () () = 54 10099 5 100 = 4 99 . (条件概率公式需记清) 解法二 (缩小样本空间求解)第一次取到不合格品后,也就是在第二次取之前,还有99件产品,其中有4件不合格的,因此第二次取到不合格品的概率为 4 99 .,理科数学 第十二章：概率,理科数学 第十二章：概率,感悟升华 条件概率的计算方法 (1)利用定义计算,先分别计算概率P(AB)和P(A),然后代入公式P(B|A)=. (2)利用缩小样本空间法计算(局限
9、在古典概型内),即将原来的样本空间缩小为已知的事件A,原来的事件B缩小为AB,利用古典概型计算概率:P(B|A)= .,理科数学 第十二章：概率,拓展变式1 2018石家庄二模如图所示,已知四边形ABCD为正方形,其内切圆圆I与正方形的各边分别切于点E,F,G,H,连接EF,FG,GH,HE.现向正方形ABCD内随机抛掷一粒豆子,记事件A:豆子落在圆I内,事件B:豆子落在四边形EFGH外,则P(B|A)=( ),理科数学 第十二章：概率,答案 C 解析 依题意知四边形EFGH为正方形,设正方形ABCD的边长为2a,则其内切圆的半径为a,正方形EFGH的边长为 a,所以P(A)= = ,P(AB
10、)= = ,所以P(B|A)= =1- ,故选C.,考法2 相互独立事件概率的计算,示例2 2019湖南两市联考某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛,本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.若一个运动员出线记1分,未出线记0分.假设甲、乙、丙出线的概率分别为 , , ,他们出线与未出线是相互独立的. (1)求在这次选拔赛中,这三名运动员至少有一名出线的概率; (2)记在这次选拔赛中,甲、乙、丙三名运动员所得分之和为随机变量,求随机变量的分布列和数学期望E().,理科数学 第十二章：概率,思维导引,理科数学 第十二章：概率,解析,理科数学 第十二章：概率,所以的分布列
11、为,理科数学 第十二章：概率,感悟升华 相互独立事件的概率的求法 (1)直接法:利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)间接法:正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算. 与相互独立事件A,B有关的概率的计算公式如下表:,理科数学 第十二章：概率,理科数学 第十二章：概率,拓展变式2 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各次投篮互不影响. (1)求甲获胜的概率; (2)求投篮结束时甲的投球次数的分布列与期望.,理科数学
12、第十二章：概率,解析,理科数学 第十二章：概率,考法3 独立重复试验与二项分布,示例3 2018福建福州质检在某“猜羊”游戏中,一只羊随机躲在两扇门背后,参赛选手选择其中一个门并打开,若这只羊就在该门后,则为猜对;否则,为猜错.已知一位选手获得了4次“猜羊”机会,若至少猜对2次才能获奖,则该选手获奖的概率为 A.0.25 B.0.312 5 C.0.5 D.0.687 5 思维导引 该选手获奖可分三种情形:一是猜对2次;二是猜对3次;三是猜对4次.利用独立重复试验的概率公式,即可得结果.也可以利用其对立事件的概率公式去求解.,理科数学 第十二章：概率,解析 解法一 该选手获奖的概率P= ( )
13、4+ ( )4+ ( )4 = =0.687 5. 解法二 该选手获奖的对立事件为“该选手只猜对一次和一次都没有猜对”,故所求概率P=1-( )4+( )4=1- = =0.687 5. 答案 D,理科数学 第十二章：概率,感悟升华 求解n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率问题的基本思路n次独立重复试验中事件A恰好发生k次可看作 个互斥事件的和,其中每一个事件都可看作k个A事件与(n-k)个事件同时发生,只是发生的次序不同,其发生的概率都是pk(1-p)n-k(其中p为在一次试验中事件A发生的概率).因此,n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为 kp(1-p)n-k.,示例4 20
14、19河北承德市第一中学模拟某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况,从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试,成绩在 6.9米以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示),已知成绩在9.9,11.4)的频数是4.,理科数学 第十二章：概率,(1)求这次铅球测试成绩合格的人数; (2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名,记表示两人中成绩不合格的人数,利用样本估计总体,求的分布列、均值与方差.,思维导引,理科数学 第十二章：概率,读频率分布直方图 求出抽取的总人数 不合格的频率乘以总人数得到不合格的人数 得到合
15、格的人数 (2) 求出的所有可能取值对应的概率 列出分布列 可求出均值与方差,(1),理科数学 第十二章：概率,解析 (1)由频率分布直方图,知成绩在9.9,11.4)的频率为1-(0.05+0.22+0.30+0.03)1.5=0.1. 因为成绩在9.9,11.4)的频数是4,故抽取的总人数为 4 0.1 =40. 又成绩在6.9米以上的为合格,所以这次铅球测试成绩合格的人数为40-0.051.540=37. (2)解法一 的所有可能取值为0,1,2,利用样本估计总体,从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为 37 40 ,成绩不合格的概率为1- 37 40 = 3 40 ,可,
16、理科数学 第十二章：概率,判断B(2, 3 40 ). P(=0)= C 2 0 ( 37 40 )2= 1 369 1 600 , P(=1)= C 2 1 3 40 37 40 = 111 800 , P(=2)= C 2 2 ( 3 40 )2= 9 1 600 , 故所求分布列为(检验分布列中的概率之和是否等于1),理科数学 第十二章：概率,的均值为E()=0 1 369 1 600 +1 111 800 +2 9 1 600 = 3 20 , 的方差为D()=(0- 3 20 )2 1 369 1 600 +(1- 3 20 )2 111 800 +(2- 3 20 )2 9 1 6
17、00 = 111 800 . 解法二 求的分布列同解法一. 的均值为E()=2 3 40 = 3 20 , 的方差为D()=2 3 40 (1- 3 40 )= 111 800 (利用二项分布的期望、方差公式,更简捷),理科数学 第十二章：概率,方法总结 1.求解二项分布问题的“四关” 一是“判断关”,即判断离散型随机变量X是否服从二项分布B(n,p); 二是“公式关”,即利用P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n),求出X取各个值时的概率; 三是“分布列关”,列出表格,得离散型随机变量的分布列; 四是“结论关”,利用公式E(X)=np求期望,D(X)=np(1-p)求方差.
18、 熟记二项分布的概率、期望与方差公式,可以避免烦琐的运算过程. 2.有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以应用均值与方差的性质E(ax+b)=aE(x)+b,D(ax+b)=a2D(x)求解.,理科数学 第十二章：概率,拓展变式3 2018河南洛阳三模某次数学知识比赛中共有6个不同的题目,每位同学从中随机抽取3个题目进行作答,已知这6个题目中,甲只能答对其中的4个,而乙能答对每个题目的概率均为 ,且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立的. (1)求甲、乙两位同学总共答对3题的概率; (2)若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m,n,由于甲所在
19、班级少一名学生参赛,故甲答对一题得15分,乙答对一题得10分,求甲、乙两人得分之和X的期望.,理科数学 第十二章：概率,解析,理科数学 第十二章：概率,考法4 正态分布及其应用,示例5 2018四川德阳二诊为弘扬我国优秀的传统文化,市教育局对全市所有中小学生进行了成语听写测试,经过大数据分析,发现本次听写测试成绩服从正态分布N(78,16).试根据正态分布的相关知识估计测试成绩大于90分的学生所占的百分比为 A.0.135% B.1.35% C.3% D.3.3% (附:若XN(,2),则P(- 90,即为X +3.然后根据正态曲线的对称性建立已知条件和所求问题之间的关系式进行求解.,理科数学
20、 第十二章：概率,解析 解法一 由题意可知,测试成绩XN(78,16),所以= =4.(定参数) 而90=78+12=+3,故所求的百分比的实质就是求P(X+3).(转化所求) 由正态曲线的对称性可得P(X)=P(X)=0.5, 又P(-3+3)=P(X)-P(X+3)-P(X=)=0.5-0.498 65=0.001 35=0.135%.故选A.,理科数学 第十二章：概率,解法二 由题意可知,测试成绩XN(78,16),所以=4.(定参数) 而90=78+12=+3,故所求百分比实质就是求P(X+3).(转化所求) 由已知P(-3+3)=1-P(-3+3)=P(X-3)+P(X+3)=0.0
21、02 7=0.001 35=0.135%.故选A.(利用图象的对称性求其概率) 答案 A,理科数学 第十二章：概率,示例6 2018广西三市联考某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的1 000人的得分(满分:100分)数据,统计结果如下表所示.,(1)已知此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(,210),近似为这1 000人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),请利用正态分布的知识求P(36Z79.5).,理科数学 第十二章：概率,(2)在(1)的条件下,环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖
22、励方案. (i)得分不低于的可以获赠2次随机话费,得分低于的可以获赠1次随机话费; (ii)每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.,现市民甲要参加此次问卷调查,记X为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X的分布列及数学期望. 附: 14.5, 若XN(,2),则P(-X+)=0.682 7,P(-2X+2)=0.954 5,P(-3X+3)=0.997 3.,理科数学 第十二章：概率,解析 (1)由题易得E(Z)=350.025+450.15+550.2+650.25+750.225+850.1+950.05=65,所以=65,所以得分Z服从正态分布N(65,210),又=14.5,所以P(50.
23、5Z79.5)=0.682 7,P(36Z94)=0.954 5,所以P(36Z50.5)=(0.954 5-0.682 7)=0.135 9, 所以P(36Z79.5)=P(36Z50.5)+P(50.5Z79.5)=0.135 9+0.682 7=0.818 6.,理科数学 第十二章：概率,点评 题目以频数分布表为背景,巧妙将正态分布与离散型随机变量的分布列交汇在一起,在命题上可谓独具匠心.本题第(1)问求解的关键是根据正态曲线的特征计算出P(36Z50.5),第(2)问容易忽略P(Z)=P(Z)= 在后面计算概率中的应用.,理科数学 第十二章：概率,方法总结 服从N(,2)的随机变量X在
24、某个区间内取值的概率的求法 (1)利用P(-+a); (3)P(Xx0)=1-P(X x0); (4)P(aXb)=P(Xb)-P(Xa). 若变量X服从正态分布N(,2),其中为样本的均值,正态分布曲线的对称轴为x=;为样本数据的标准差,体现了数据的稳定性.,拓展变式4 (1) 如果随机变量XN(,2),且E(X)=3,D(X)=1,则P(0X1)等于 （ ） A.0.210 B.0.003 C.0.681 D.0.021 5,理科数学 第十二章：概率,(2)若随机变量服从正态分布N(0,1),已知P(-1.96)=0.025,则P(|1.96)= ( ) A.0.025 B.0.050 C
25、.0.950 D.0.975,解析 C 由随机变量服从正态分布N(0,1),得P(|1.96)=P(-1.961.96)=P(1.96)-P( -1.96)=1-2 P(-1.96)=1-2P(-1.96)=1-20.025=0.950.,C方法帮素养大提升,易错 混淆独立事件、互斥事件、n次独立重复试验致误,易错1 混淆独立事件、互斥事件、n次独立重复试验致误,示例7,(1)中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率是 3 7 ,乙夺得冠军的概率是 1 4 ,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 . (2)某射手每次射击击中目标的概率都是 2 3 ,这名射手
26、射击5次,有3次连续击中目标,另外两次未击中目标的概率是 .,解析 (1)设“甲夺得冠军”为事件A,“乙夺得冠军”为事件B,则P(A)= 3 7 ,P(B)= 1 4 . A,B是互斥事件, P(AB)=P(A)+P(B)= 3 7 + 1 4 = 19 28 .(注意A,B是互斥事件,而不是相互独立事件) (2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i=1,2,3,4,5),“射手在5次射击中,有3次连续击中目标,另外2次未击中目标”为事件C,则 P(C)=P(A1A2A3 4 5 )+P( 1 A2A3A4 5 )+P( 1 2 A3A4A5) =( 2 3 )3( 1 3 )2+ 1 3 ( 2 3 )3 1 3 +( 1 3 )2( 2 3 )3= 8 81 . (注意事件C是独立事件而不是n次独立重复试验),理科数学 第十二章：概率,理科数学 第十二章：概率,素养提升 本题主要考查数学学科核心素养中的“数学抽象”和“数学运算”,学生要能够从情境中理解和构建相关数学知识求解,注意独立事件、互斥事件和n次独立重复试验的区别.,
