1、山东财经大学本科毕业论文(设计)题目: 浅谈正态分布及其应用 学 院 数学与数量经济学院 专 业 数学与应用数学 班 级 数学二班 学 号 20100544218 姓 名 杨静 指导教师 山东财经大学教务处制二一四年五月山东财经大学学士学位论文山东财经大学学士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名： 年 月 日山东财经大学关于论文使用
2、授权的说明本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。指导教师签名： 论文作者签名： 年 月 日 年 月 日山东财经大学学士学位论文浅谈正态分布及其应用摘要正态分布是概率论中最重要的一种分布，也是自然界中最常见的一种分布。许多实际问题中的变量，如人的身高、体重，产品的长度、宽度、重量等，测量误差以及射击时弹着点与靶心间的距离等都近似服从正态分布。它尤其在医学中更是有着重要的应用，并随着技术的发展正态分布越来越受到重视。理论研究表明，许多分布都可以用正态分布来近
3、似，而且一些重要的统计分布可由正态分布导出，更重要的是，正态分布具有良好的性质。在理论研究中，正态分布十分重要。本文通过对正态分布的由来，以及定义和性质进行简单的描述，着重介绍了正态分布的应用，尤其是在医学中的应用，表明了正态分布与我们的生活息息相关，对经济发展、质量监控、医学诊断具有重要的作用。关键词：正态分布;均值;方差;极限定理On the normal distribution and its applicationAbstractNormal probability theory is the most important type of distribution, but also
4、 the nature of the most common form of distribution. Many practical problems in variables such as a persons height, weight, the product of length, width, weight, etc., measure the distance error and the point of impact with the bulls-eye when shooting between the approximate normal distribution so.
5、It is particularly in medicine but also has important applications, and with the development of a normal distribution technology more and more attention. Theoretical studies indicate that many of the distribution can be approximated by a normal distribution, and the statistical distribution may be i
6、mportant normal export, and more importantly, the normal distribution having good properties. In theory, the normal distribution is very important. Based on the normal distribution of the origin and nature of the definition and description of a simple, highlighting the normal distribution of applica
7、tions, especially in medical applications, indicating a normal distribution with our lives, to economic development, quality monitoring, medical diagnostics play an important role.Keywords: normal distribution; mean; variance; limit theorem山东财经大学学士学位论文目录一、引言 1二、正态分布的理论 1(一)正态分布的定义 1(二)正态分布的性质 2(三)一般
8、正态分布与标准正态分布的关系 3三、正态分布的应用 3(一)正态分布的简单应用 31.估计频数分布 32. 统计方法的理论基础 .4(二)中心极限定理 4(三)正态分布在医学中的应用 6四、结论 7参考文献 9山东财经大学学士学位论文1一、引言正态分布概念是由德国的数学家和天文学家棣莫弗于 1733年在求二项分布的渐近公式时提出的，当时有一个赌徒向棣莫弗提出一个问题：A,B 两个人在赌场里赌博，A,B 各自获胜的概率是 ，赌 局，两人约定若 A赢的局数 ,则 A付给赌场,1pqnXnp元，否则，B 付给赌场 元。问赌场挣钱的期望值是多少？问题并不复杂，XnpX本质上是一个二项分布，若 为整数，
9、棣莫弗求出最后的理论结果是 2,nqbp其中 1,npiniqc但是对具体的 ，因为其中的二项公式中有组合数，为了把这个理论结果实际计算出数值n结果，棣莫弗运用了斯特林公式（ ）假设 无穷大，从而得!2ne1,2n出了二项分布的极限是正态分布；但由于德国数学家高斯率先将其应用于天文学研究，故正态分布又叫高斯分布;高斯与拉普拉斯研究了正态分布的性质。高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布不仅有了“高斯分布”的名称，而且后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举。在高斯刚做出这个发现之初也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其
10、全部影响还不能充分看出来。这要到 20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。但随着各种理论的深入研究，高斯理论的卓越贡献日显重要。正态分布也由此开始受到广泛的应用，在物理化学、产品质量检测，及在股票、证券中，尤其是近几年在医学诊断中有着重要的应用。对经济、科技、医学发展有着重要的应用。对于正态分布的发展过程，现有文献大多是谈论某一个人或某一阶段对正态分布的理论工作，并以记录和证明为主，正态分布从被人忽视，到得到广泛的应用过程并没有详细资料进行记载，而后者对数学研究则更具有理论价值和指导意义，这也是目前国内外研究的中点。本文也是在参考大量文献的基础上通过对正态分布的定义、性质进行了简单的介绍，着重
11、介绍了正态分布在实际中的一些具体应用，更加偏重于对正态分布应用的描述。二、正态分布的理论(一)正态分布的定义定义 2.1 定义在样本空间 上，取值于实数域的随机变量 ，若其分布函数为2,2yxFxpxedx山东财经大学学士学位论文2则称 是随机变量 的正态分布，常常简单地记作 ，相应的其密度函数Fx,N为 21,xpxe并称 为正态变量。这里的 和 分别指的是均值和标准差。关于 点对称，在 达到极大，当 固定时， 的值越小， 的图pxxpx像就愈尖， 值越大， 的图像就越平缓 。由概率密度函数的性质，我们可以知道，p如果 在 点附近愈尖、愈高，则随机变量在 点附近取值的概率也愈大，事实上，x对
12、任意服从 的随机变量 有20,N210.68xped22 .95x23130.7xped这说明，随机变量 的绝对值不超过 的概率略大于 ，不超过 的概率在 0.95 以上，而超过 的概率只有 0.003，即330.p因为 很小，在实际问题中常常认为它是不会发生的。也就是说，对服从p分布的随机变量 来说，基本上可以认为有 这种近似的说法被一些实20,N 3,际工作者称作是正态分布的“ 原则” 。3由以上的讨论可知， 反应了随机变量 取值的分散程度。(二)正态分布的性质正态分布也称为“常态分布” ，正态分布具有两个参数 和 ，第一个参数 是服从2正态分布的随机变量的均值，第二个参数 是此随机变量的
13、方差，所以正态分布记作2山东财经大学学士学位论文3。服从正态分布的随机变量的概率规律为取与 邻近的值的概率大，而取离2,N越远的值的概率越小； 越小，分布越集中在 附近， 越大，分布越分散；因此服从正态分布的变量的频数分布由 ， 完全决定。性质 1 集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均值所在的位置。性质 2 对称性：正态曲线以均值为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。性质 3 均匀变动性：正态曲线由均值所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。 (三)一般正态分布与标准正态分布的关系标准正态分布是一种特殊的正态分布，标准正态分布的 和 为 0和 1，通常用 表2Z示服从标准正态分布的变量
14、，记为 ，其密度函数记为 ，分布函数为0,1ZN:x，所以x21yxxyded标准正态分布以纵坐标为对称轴对称分布，人们编制了标准正态分布的分布表，由于对不同的 ，就有一个不同的正态分布，那当然不可能对所有的 编制正态分2, 2,布表。事实上，人们只编制了一张 的标准正态分布表，我们可以通过变量变换，0,1把一般的正态随机变量 ，变换成标准正态变量 ，将正态分布换为标准正态分布，便于查表，得出结果。三、正态分布的应用(一)正态分布的简单应用正态分布有极其广泛的应用，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度
15、等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质 ，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、 分布、 分布等。其主要应用有以下几个方面。tF山东财经大学学士学位论文41.估计频数分布一 个 服 从 正 态 分 布 的 变 量 只 要 知 道 其 均 数 与 标 准 差 就 可 根 据 公 式 即
16、可 估 计 任 意 取 值范 围 内 频 数 比 例 。例 某 地 区 初 中 化 学 竞 赛 5000 人 参 加 ， 成 绩 呈 正 态 分 布 ， 且 平 均 分 ， 标53.7准 差 ， 预 选 100 人 参 加 省 级 竞 赛 ， 应 如 何 确 定 分 数 线 ？ 并 估 计 60 分 以 上 的2.3人 数 。解 要 录 取 100 人 ， 占 总 人 数 的 0.02， 在 分 数 线 以 下 的 人 数 占 全 地 区 考 生 的0.98， 查 正 态 分 布 表 得 的 值 为 2.05， 所 以 录 取 分 数 线 为Z。5.78.9x对 于 高 于 60 分 以 上
17、的 人 数 ， 先 求 60 分 以 下 的 人 数 所 占 概 率 为 ，6053.7.6912Z所 以 60 分 以 上 的 人 数 为 。51.9522. 统计方法的理论基础如 分布、 分布都是在正态分布的基础上推导出来的， 检验也是以正态分布为基tF础的。此外， 分布、二项分布、 Poisson分布的极限为正态分布，在一定条件下，可以按正态分布原理来处理。个相互独立地 变量的平方和是一个参数为 的 分布随机变量，因为人们n0,1Nn2习惯于把独立变量的个数称作“自由度”，所以也就把它称作自由度为 的 变量。n2相应的 分布是如果 与 相互独立，分别是自由度为 与 的 分布的随机变量，F
18、m则随机变量 是参数为 的 分布，记作 。nm,F,n对于 检验，常常假设原假设 ： 为真，那么子样均值 应当在 周围随机地摆0H00动，而不会偏离 太大。为了便于查表，我们将 改变为0 00n在 为真时，服从标准正态分布。对于给定的显著性水平 ，如果 ，则0H0H012Hp山东财经大学学士学位论文5如果 （ 可由标准正态分布表查得）则原假设错误，否则原假设成立。12(二)中心极限定理中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近与正态分布的定理，这个定理是数理统计和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量积累分布函数逐点收敛到正态分布的积累分布函数的条件。它是概率论中最重要的一类定理，有
19、广泛的实际应用背景。在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立地随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响很小，总的影响就可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。定理 3.1 在 重伯努利试验中，事件 在每次试验中出现的概率为 ，nA(01)p为 次试验中事件 出现的次数，则nA21limtxnnpedq定理 3.2若 是一列独立同分布的随机变量，且123,.2,0,12,.kkEDk则有 21limn tkxnped例 某单位内部有 260部电话分机，每个分机有 4%的时间要用外线通话，可以认为各个电话分机用不用外线是相互独立地，问总计要备有多少条外线才能以 95%的
20、把握保证各个分机在用外线时不用等候。解 令 11,2.600iii， 第 个 分 机 要 用 外 线， 第 个 分 机 不 用 外 线则 .4,.4.9ippq如果 260架分机中同时要求使用外线的分机数为 ，显然有2602601i根据题意是要确定最小的整数 ，使得x山东财经大学学士学位论文6260.95px成立，因为 较大，所以可以用正态分布代替，相应的 ， ，260n 260pq所以有 260260 260pxpxpq2601xpted查 分布表知 ，故取 ，于是0,1N1.650.9.51.6520pq.6x以 代入，即可求得0.4,.96pq15.取最接近的整数 16，因此总机至少配备
21、 16 根外线才能以 95%以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候。(三)正态分布在医学中的应用不少医学现象服从正态分布或近似正态分布，如：同年龄儿童的身高、同性别健康成人的红细胞数等，很多医学资料成偏态分布，如疾病的潜伏期等，经对数变换后服从对数正态分布，因此在医学中常常用到正态分布，来检测儿童发育是否正常、疾病的发病率等；正态分布因而也受到广泛的关注和应用。制定医学参考值范围：亦称医学正常值范围。它是指所谓“正常人”的解剖、生理、生化等指标的波动范围。制定正常值范围时，首先要确定一批样本含量足够大的“正常人”，所谓“正常人”不是指“健康人”，而是指排除了影响所研究指标的疾病和有关因素的
22、同质人群；其次需根据研究目的和使用要求选定适当的百分界值，如 80%，90%，95%和99%，常用 95%；根据指标的实际用途确定单侧或双侧界值，如白细胞计数过高过低皆属不正常须确定双侧界值，又如肝功中转氨酶过高属不正常须确定单侧上界，肺活量过低属不正常须确定单侧下界。另外，还要根据资料的分布特点，选用恰当的计算方法。常用的方法有：（1）正态分布法：适用于正态或近似正态分布的资料。（2）对数正态分布法：适用于对数正态分布资料。（3）百分位数法：常用于偏态分布资料以及资料中一端或两端无确切数值的资料。表 31常用 值参考值范围(%) 单侧 双侧山东财经大学学士学位论文780 0.842 1.28
23、290 1.282 1.64595 1.645 1.96099 2.326 2.576例 某年某地测得 100名正常成人的血铅含量(ug/dl)如表 32，试确定该地正常成人血铅含量的 95%参考值范围。表 3-24 4 5 5 6 6 7 7 7 77 8 8 8 8 8 8 8 9 910 10 10 10 10 10 10 10 11 1111 12 13 13 13 13 13 13 13 1313 13 14 14 14 15 15 16 16 1616 16 16 16 16 17 17 17 17 1718 18 18 18 19 20 20 20 20 2121 22 22 2
24、2 23 24 24 25 25 2626 26 27 27 28 28 29 30 30 3131 32 32 32 33 35 41 44 50 51表 3-3对数组段 频数 累计频数0.6 4 40.7 2 60.8 5 110.9 9 201.0 12 321.1 15 471.2 18 651.3 14 791.4 12 911.5 5 961.6 3 991.71.8 1 100合计 100 根据经验已知正常成人的血铅含量近似对数正态分布，因此，首先对原始数据作对数变换，进行正态性检 ，并编制对数值频数表 3-3，再利用正态分布法求 95%参0.5p考值范围。解 按照上边表（3-1
25、）所给出的数据，我们由此可以设 为对数数组段的组中值,x,则对数的均数和标准差为：210,()18.64,145.39nfxfx山东财经大学学士学位论文81.827fxn0.43S因为血铅含量仅过高为异常，参考值范围应为单侧 95%上限值：（ug/dl）1lg.65.x即该地正常成人血铅含量 95%参考值范围小于 38.28ug/dl。也就是血铅含量大于38.28ug/dl的为不正常人，即血铅含量过高，需要相应的医学治疗。四、结论在 联 系 自 然 、 社 会 和 思 维 的 实 践 背 景 下 ， 我 们 以 正 态 分 布 的 本 质 为 基 础 ， 以 正 态 分布 曲 线 及 面 积
26、分 布 图 为 表 征 （ 以 后 谈 及 正 态 分 布 及 正 态 分 布 论 就 要 浮 现 此 图 ） ， 进 行 抽象 与 提 升 ， 抓 住 其 中 的 主 要 哲 学 内 涵 ， 归 纳 正 态 分 布 论 （ 正 态 哲 学 ） 的 主 要 意 义 如 下 ： (1)整 体 论正 态 分 布 启 示 我 们 ， 要 用 整 体 的 观 点 来 看 事 物 。 “系 统 的 整 体 观 念 或 总 体 观 念 是 系统 概 念 的 精 髓 。 ” 正 态 分 布 曲 线 及 面 积 分 布 图 由 基 区 、 负 区 、 正 区 三 个 区 组 成 ， 各 区比 重 不 一 样
27、。 用 整 体 来 看 事 物 才 能 看 清 楚 事 物 的 本 来 面 貌 ， 才 能 得 出 事 物 的 根 本 特 性 。不 能 只 见 树 木 不 见 森 林 ， 也 不 能 以 偏 概 全 。 此 外 整 体 大 于 部 分 之 和 ， 在 分 析 各 部 分 、 各层 次 的 基 础 上 ， 还 要 从 整 体 看 事 物 ， 这 是 因 为 整 体 有 不 同 于 各 部 分 的 特 点 。 用 整 体 观 来看 世 界 ， 就 是 要 立 足 在 基 区 ， 放 眼 负 区 和 正 区 。 要 看 到 主 要 方 面 ， 还 要 看 到 次 要 方 面 ，既 要 看 到 积
28、极 的 方 面 还 要 看 到 事 物 消 极 的 一 面 ， 看 到 事 物 前 进 的 一 面 还 要 看 到 落 后 的 一面 。 片 面 看 事 物 必 然 看 到 的 是 偏 态 或 者 是 变 态 的 事 物 ， 不 是 真 实 的 事 物 本 身 。 (2)重 点 论正 态 分 布 曲 线 及 面 积 分 布 图 非 常 清 晰 的 展 示 了 重 点 ， 那 就 是 基 区 占 68.27%， 是 主体 ， 要 重 点 抓 ， 此 外 95%， 99%则 展 示 了 正 态 的 全 面 性 。 认 识 世 界 和 改 造 世 界 一 定 要 住住 重 点 ， 因 为 重 点 就
29、 是 事 物 的 主 要 矛 盾 ， 它 对 事 物 的 发 展 起 主 要 的 、 支 配 性 的 作 用 。 抓住 了 重 点 才 能 一 举 其 纲 ， 万 目 皆 张 。 事 物 和 现 象 纷 繁 复 杂 ， 在 千 头 万 绪 中 不 抓 住 主 要 矛盾 ， 就 会 陷 入 无 限 琐 碎 之 中 。 由 于 我 们 时 间 和 精 力 的 相 对 有 限 性 ， 出 于 效 率 的 追 求 ， 我们 更 应 该 抓 住 重 点 。 在 正 态 分 布 中 ， 基 区 占 了 主 体 和 重 点 。 如 果 我 们 结 合 20/80 法 则 ，我 们 更 可 以 大 胆 的 把
30、 正 区 也 可 以 看 作 是 重 点 。 （ 3） 发 展 论联 系 和 发 展 是 事 物 发 展 变 化 的 基 本 规 律 。 任 何 事 物 都 有 其 产 生 、 发 展 和 灭 亡 的 历史 ， 如 果 我 们 把 正 态 分 布 看 作 是 任 何 一 个 系 统 或 者 事 物 的 发 展 过 程 的 话 ， 我 们 明 显 的 看到 这 个 过 程 经 历 着 从 负 区 到 基 区 再 到 正 区 的 过 程 。 无 论 是 自 然 、 社 会 还 是 人 类 的 思 维 都明 显 的 遵 循 着 这 样 一 个 过 程 。 准 确 的 把 握 事 物 或 者 事 件
31、所 处 的 历 史 过 程 和 阶 段 极 大 的 有助 于 掌 握 我 们 对 事 物 、 事 件 的 特 征 和 性 质 ， 是 我 们 分 析 问 题 ， 采 取 对 策 和 解 决 问 题 的 重要 基 础 和 依 据 。 发 展 的 阶 段 不 同 ， 性 质 和 特 征 也 不 同 ， 分 析 和 解 决 问 题 的 办 法 要 与 此 相适 应 ， 这 就 是 具 体 问 题 具 体 分 析 ， 也 是 解 放 思 想 、 实 事 求 是 、 与 时 俱 乐 进 的 精 髓 。 正 态山东财经大学学士学位论文9发 展 的 特 点 还 启 示 我 们 ， 事 物 发 展 大 都 是
32、 渐 进 的 和 累 积 的 ， 走 渐 进 发 展 的 道 路 是 事 物 发展 的 常 态 。 例 如 ， 遗 传 是 常 态 ， 变 异 是 非 常 态 。通 过 本 文 的 叙 述 ， 我 们 可 以 看 出 正 态 分 布 不 仅 与 科 学 实 验 、 经 济 发 展 有 关 它 更 是应 用 于 我 们 的 实 际 生 活 中 ， 与 我 们 的 生 活 息 息 相 关 ， 对 我 们 的 饮 食 、 健 康 有 很 大 的影 响 。 在 实 际 生 活 中 的 应 用 越 来 越 受 到 重 视 ， 越 来 越 受 到 广 泛 应 用 。参考文献1魏宗舒.概率论与数理统计教程（
33、第二版）M.北京：高等教育出版社,2008：114-118.2吕杰.中国乡镇企业会计J 辽宁：辽宁医学院,2013：33-36.3王梓坤.概率论基础及其应用M.北京：科学出版社,1976：156-157.4王筑娟.中心极限定理介绍J上海:上海应用技术学院理学院, 2013:36-37.5王强，韩叶飞.正态分布 标准方差的两个渐近正态分布J.江苏：淮阴师范2,N学院数学系,2005:29-31.6沈恒范.概率论与数理统计教程M.北京：高等教育出版社, 2011:132-133.7贾振声.关于正态分布，偏态分布的等距分组J.重庆：重庆三峡学院经管学院,2010:23-24.8陈文倩，刘晓.对数正态分布在肾移植患者环孢素 A谷浓度检测方法比较中的应用J.北京：中国药学会, 2014:22-23.9胡晓洁.正态分布及其扩展综述J.内蒙古：内蒙古科技大学矿业工程学院, 2014:34-35.10吴焕云.正态分布及其在教学研究中的应用J.湖北：湖北教育学院化学系, 1995:33-36.
