1、数学分支概览 数学基础 * 逻辑主义，形式主义，直觉主义 。 数理逻辑 * 逻辑演算：命题、一阶、高阶、无穷、多值 -模糊、模态、构造逻辑等。 * 模型论：模态模型论，非标准模型等。 * 公理集合论：集合论公理系统，力迫方法，选择公理，连续统假设等。 * 递 归论：算法，递归函数，递归可枚举集，不可解度，广义递归论，判断问题， 分层理论等。 * 证明论：数学无矛盾性，哥德尔不完备性定理，构造性数学，希尔伯 特 计划等。 集 合论 * 集合，映射，序数，基数，超限归纳法，悖论，数系，组合，图论 、算术等。 代数学 * 多项式：代数方程等。 * 线性代数：行列式，线性方程组，矩阵，自向量空间，欧几
2、里得空间，线性变 换，线性型，二次性，多重线性代数等。 * 群：有限群、多面群体、置换群、群表示论、有限单群等。 * 无限群：交换群，典型群，线性代数群，拓扑群，李群，变换群，算术群，半群等。 * 环：交换环，交换代数，结合代数，非结合代数 ， 李代数，模，格 ，布尔代数等 。 * 泛 代数 * 范畴 * 同调代数 代数理论 * 域：代数扩张，超越扩张，伽罗瓦理论 ， 代数基本定理，序域，赋值，代数函数域，有限域， p进数域等。 数论 * 初等数论：整除，同余，二次剩余，连分数，完全数，费马数，梅森数，伯努利数，数论函数，抽屉原理等。 * 不定方程：费马大定理等。 * 解析数论：筛法，素分布法
3、，黎曼 函数，狄利克雷特征，狄利克雷 L 函数，堆垒数论 -整数分拆，格点问题，欧拉常数等。 * 代数数论：库默尔扩张，分圆域，类域论等。 * 数的几何 * 丢番图逼近 * 一致分布 * 超越数论 * 概率数论 * 模形 式论 * 二次型的算术理论 * 代数几何 几何学 * 欧几里得几何学 希尔伯特公理系统：欧里几得空间，坐标系，圆周率，多边形，多面体等。 * 解析几何学：直线，平面，二次曲线，二次曲面，二次曲线束，二次曲面束，初等几何变换，几何度量等。 * 三角学 * 综合几何学：尺规作图 希腊几何三大问题等。 * 仿射几何学：仿射变换等。 * 射影几何学：对偶原理，射影坐标，射影测度，绝对
4、形，交比 -圆点，直线几何等。 * 埃尔朗根纲领 * 非 欧几里得几何学 * 微分几何学：曲线，曲面 直纹面 可展曲面 极小曲面等。 * 微分流形：张量，张量分析，外微分形式，流形上的偏微分算子，复流形，辛流形，黎曼几何学，常曲率黎曼空间 齐性空间 黎曼流形的变换群 闵科夫斯基空间，广义相对论，联络论，杨 米尔斯理论，射影微分几何学，仿射微分几何学，一般空间微分几何学，线汇论，积分几何学等。 拓扑学 * 一般拓扑学（拓扑空间，度量空间，维数，多值映射 ） * 代数拓扑学（同调论，同伦论 CW 复形，纤维丛 复叠空间，不动点理论 闭曲面的分类 庞加莱猜想 ） * 微分拓扑学（流形 -横截性 ）
5、* 纽结理论 * 可微映射的奇点理论 * 突变理论 * 莫尔斯理论 分析学 * 函数：初等函数，隐函数等。 * 极限：函数的连续性等。 * 级数 * 微分学：导数，微分，中值定理，极值等。 * 积分学：积分，原函数，积分法，广义积分，含参变量积分等。 * 多元微积分学：偏导数，全微分，方向导数，雅可比矩阵，雅可比行列式，向量，向量分析，场论等。 * 复变函数论：复变函数（解析函数，柯西积分定理，解析函数项级数，幂级数，泰勒级数，洛朗级数，留数，调和函数，最大模原理，共形映射，特殊函数，整函数，亚纯函数，解析开拓，椭圆函数，代数函数，模函数，函数值分布论，黎曼曲线，单叶函数，正规族，拟共形映射，
6、解析函数边值问题，狄利克雷级数，解析函数边 界性质，拉普拉斯变换，积分变换，泰希米勒空间，广义解析几何等） * 多复变函数论 * 实变函数论：勒贝格积分，有界变差函数，测度论，黎曼 斯蒂尔杰斯积分，赫尔德不等式，施瓦兹不等式，闵科夫斯基不等式，延森不等式等。 * 泛 函分析：泛函数，函数空间，索伯列夫空间，拓扑线性空间，巴拿赫空间，半序线性空间，希尔伯特空间，谱论，向量值积分，线性算子，全连续算子，谱算子，线性算子扰动理论，赋范代数，广义函数，非线性算子（泛函积分，算子半群，遍历理论，不变子空间问题）等。 * 变分法：变分法，大范围变分法等。 * 函数逼近论：函数构造论，复变函数逼近（魏 尔斯
7、特拉斯 斯通定理，拉格朗日插值多项式逼近，埃尔米特插值多项式逼近，三角多项式，连续模，强迫逼近，有理函数逼近，正交多项式，帕德逼近，沃外 尔什逼近，联合逼近，抽象逼近，宽度，熵，线性正 算子逼近，傅里叶和 ）等 。 * 傅里叶分析：三角函数，傅里叶级数，傅里叶变换 -积分（傅里叶积分算子，乘子，共轭函数，卢津问题，李特尔伍德 -佩利理论，正交系，极大函数，面积积分，奇异积分，算子内插， BMO 空间， Hp 空间，奇异积分的变换子，佩利 -维纳定理，卷积， Ap 权），概周期函数，群上调和分析（哈尔测度，正定函数，谱综合）等。 * 流形上的分析：霍奇理论，几何测度论，位势论等。 * 凸分析 *
8、 非标准分析 微分方程 * 常微分方程（初等常数微分方程 ,线性常微分方程 ,常微分方程初值问题 ,常微分方程边值问题 ,常 微分方程解析理论 ,常微分方程变换群理论 ,常微分方程定性理论 ,常微分方程运动稳定性理论 ,哈密顿系统 ,概周期微分方程 ,抽象空间微分方程 ,泛函数分方程 微分差分方程 ,常微分方程摄动方法 ,常微分方程近似解似解 ,动力系统 拓扑动力系统 微分动力系统 ） * 偏微分方程（数学物理方程 ,一阶偏微分方程 ,哈密顿 -雅可比理论 ,偏微分方程特征理论 ,椭圆型偏微分方程 -拉普拉斯方程 ,双曲型偏微分方程 -波动方程 ,双曲守恒律的间断解 ,抛物型偏微分方程 热传导
9、方程 ,混合型偏微分方程 ,孤立子 ,索伯列夫空间 ,偏微分方程的基本解 ,局部可解性 ,偏 微分算子的特征值与特征函数 ,数学物理中的反问题 ,自由边界问题 ,分歧理论 ,发展方程 ,不适定问题 ） * 积分方程：弗雷德霍姆积分方程 ,沃尔泰拉积分方程 ,对称核积分方程 ,奇异积分方程 ,维纳 -霍普夫方程 ,维纳 -霍普夫方法等。 计算数学 * 数值分析：数值微分等。 * 数值逼近：插值，曲线拟合等。 * 计算几何：样条函数值积分 -数论网格求积分法，有限差演算，有限差方程等。 * 常微分方程初值问题数值解法：单步法，多步法，龙格 -库塔法，亚当斯法等。 * 常微分方程边值问题数值解法：打
10、靶法等。 * 高次代数方程求根 * 超越方程数值解法 * 非线性方程组数值解法：迭代法，牛顿法等。 * 最优化 * 线性规划：单纯形方法等。 * 无约束优化方法 * 约束优化方法 * 概率统计计算 * 蒙特卡罗达：伪随机数等。 * 代数特征值问题数值解法：广义特征值问题数值解法等。 * 线性代数方程组数值解法：稀疏矩阵，广义逆矩阵，对角优势矩阵，病态矩阵，消元法 高斯消去法，松驰法，共轭梯度法等。 * 偏微分方程初值问题差分方法：计算流体力学，特片线法，守恒格式，分步法（局部一维方法、交替方向隐式法、显式差分方法、隐式差分方法），有限差分方法，有限元方法，里茨 加廖金方法 ，玻耳兹曼方程数值解
11、法，算图 诺模图等。 * 数值软件：并行算法，误差，最小二乘法，外推极限法，快速傅里叶变换 快速数论变换，数值稳定性，区间分析，计算复杂性等。 概率论 * 概率分布（数学期望，方差，矩，正态分布，二项分布，泊松分布 ） * 随机过程（马尔可夫过程，平稳过程，鞅，独立增量过程，点过程，布朗运动，泊松过程，分支过程，随机积分，随机微分方程，随机过程的极限定理，随机过程统计，滤波，无穷粒子随机系统） * 概率 * 随机变量 * 概率论中的收敛 * 大数律 * 中心极限定理 * 条件期望 数理统计学 * 参数估计：点估计，区间估计等。 * 假设检验：列联表等。 * 线性统计模型：回归分析，方差分析等。
12、 * 多元统计分析：相关分析等。 * 统计质量管理：控制图，抽样检验，寿命数据统计分析，概率纸等。 * 总体 * 样本 * 统计量 * 实验设计法 * 抽样调查 * 统计推断 * 大样本统计 * 统计决策理论 * 序贯分析 * 非参数统计 * 稳健统计 * 贝叶斯统计 * 时间序列分析 * 随机逼近 * 数据分析 运筹学 * 数学规则：线性规划，非线性规划， 无约束优化方法，约束优化方法，几何规划，整数规划，多目标规划，动态规划 -策略迭代法，不动点算法，组合最优化 -网络流，投入产出分析等。 * 军事运筹学：彻斯特方程，对抗模拟，对策论，最优化等。 * 马尔可夫决策过程 * 搜索论 * 排队论 * 库存论 * 决策分析 * 可靠性数学理论 * 计算机模拟 * 统筹学 * 优选学 数学物理 控制理论 信息论 理论计算机科学 模糊性数学
