1、本科毕业论文(设计)题目： 定积分思想的理论延拓及应用学 院 专 业 班 级 学 号 姓 名 指导教师 山东财政学院教务处制二一一年 五月统计与数理学院本科毕业论文1定积分思想的理论延拓及应用xxx内容摘要： 一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是研究生入学考试重点考察的内容之一，所以本文对定积分的起源、发展以及它在数学、几何学、物理学、经济学等学科的应用做了重点研究。幷利用一些例题对这些问题做除了详细解析。关键词： 定积分 柯西 微分 方程 物理 几何 经济 变量一、定积分的概念1.1 定积分的定义一般地，设函数 在区间 上连续，用分点()fx,ab0121iinax 将区间 等分成
2、 个小区间，每个小区间长度为 （ ） ，在每个小区间,ab xban上取一点 ，作和式：1,iix1,2in 11()()ni ii iSff如果 无限接近于 （亦即 ）时，上述和式 无限趋近于常数 ，那么称该0nS常数 为函数 在区间 上的定积分记为： S()fx,ab()baSfxd其中 成为被积函数， 叫做积分变量， 为积分区间， 积分上限， 积分下x, a限说明：（1）定积分 是一个常数，即 无限趋近的常数 （ 时）称为()bafdnSSn，而不是 ()bafxdnS（2）用定义求定积分的一般方法是：分割： 等分区间 ；,ab近似代替：取点 ；1iiix求和： ；1()niif统计与数
3、理学院本科毕业论文2取极限： 1()limnbia bafxdf（3）曲边图形面积： ；变速运动路程 ；baSfxd 21()tSvd变力做功 ()baWFrd1.2 定积分的几何意义 如果在区间 上函数连续且恒有 ，那么定积分,b()0fx表示由直线 （ ） ， 和曲线()bafxd,xaby所围成的曲边梯形的面积y说明：一般情况下，定积分 的几何意义是介于 轴、函数 的图形以及直()bafxdx()fx线 之间各部分面积的代数和，在 轴上方的面积取正号，在 轴下方的面积去,xab负号 分析：一般的，设被积函数 ，若 在 上可取负值()yfx()yfx,ab考察和式 12i nfxf 不妨设
4、 (),()0iinx于是和式即为 121()()i i nfffxfxfx 阴影 的面积阴影 的面积（即 轴上方面积减 轴下方的面积）()bafxdAB1.3 定积分的性质性质 1 abxa性质 2 （其中 k 是不为 0 的常数） （定积分的线性性质）adxfkdf)()(性质 3 （定积分的线性性质）1212()bbba axfxd性质 4 （其中 a 0,b 0)2. 二次需求函数 Q = a bP (a 0,b 0,c 0)2cP3. 指数需求函数 (a 0,b 0)be有时也把 Q = f (P)的反函数 P = f 1 (Q)也称为需求函数.3.1.2供给函数供给量是指在特定时间
5、内，厂商愿意并能够出售的某种商品的数量，用S 表示，假设除了商品的价格P 外影响供给的其它因素均不变，则S 是P 的函数S = g(P)它通常是一个单调增函数.常见的供给函数有以下几种类型：1. 线性供给函数 S = a + bP (a 0,b 0)2. 指数供给函数 S = (a 0,b 0)bP当 Q=S 时，市场的供需处于平衡状态，此时的价格称为均衡价格，需求（或供给）量称为均衡数量.当商品由某厂商独家生产时，厂商是价格的制定者，它自然会考虑消费者对价格的反应并依需求规律组织生产，其产量即需求量，价格与产量（需求量）的关系由需求函数确定，称该商品市场为完全垄断市场；当商品由众多互不占优势
6、的厂商共同生产时，各厂商之间、消费者之间展开竞争并最终使市场处于均衡状态，此时商品价格即为均衡价格,单一厂商或消费者的行为（改变产量或需求量）不再影响市场均衡，称该商品市场为完全竞争市场.3.1.3总成本函数、收入函数和利润函数在生产和经营活动中，如果投入的各要素价格不变，则成本C 是产量开销售量Q 的函数 C = C(Q)，称为总成本函数.一般地总成本函数由两部分组成C(Q)= 01()统计与数理学院本科毕业论文10其中 为固定成本，它与产量无关，如厂房、设备的折旧费、企业管理费等; 0C 1()CQ为可变成本，它随产量的增加而增加，如原材料、动力、工人的工资等.常见的成本函数是线性函数.C
7、(Q)= +aQ (a.0)0以总成本除以产量，得平均成本函数 01()()CQ其中 与 分别称为平均固定成本与平均可变成本.0()1()厂商销售Q 单位的商品所提收入为 R = R(Q)，称为总收入（益）函数.设商品的价格为P，则总收入函数为R(Q)=PQ总利润L 等于总收入与总成本的差，于是总利润函数为L(Q) = R(Q) C(Q)3.1.4生产函数生产函数是指指产量Q 与各种投入要素之间的函数关系其中 为n 种要素的投入量 .12(,.)nfx12,.x如果只考虑两种投入要素：资本K 和劳动L,则生产函数为Q = f (K, L)常见的生产函数有1. 线性生产函数Q = aK + bL
8、 (a,b 0)2. Cobb-Douglas 生产函数(A, , 0)KL上两个生产函数都满足f (K,L) = f (K, L) ,这称为规模报酬不变.3.2定积分在边际函数中的应用积分是微分的逆运算，因此，用积分的方法可以由边际函数求出总函数.设总量函数 P(x)在区间I 上可导，其边际函数为 P( x)， a, x I ，则总有函数()()(xaPud当 x 从a 变到b 时， P(x)的改变量为统计与数理学院本科毕业论文11()()xaPxPud将 x 改为产量Q，且a=0 时，将P(x)代之以总成本C(Q)、总收入R(Q)、总利润L(Q)，可得 0()()(0)QCxdC其中即为
9、固定成本， 为可变成本(0)C0Qxd（ 因为 ）()()R()R00QLxdC例 7 已知某公司独家生产某产品，销售Q 单位商品时，边际收入函数为（元/单位）（a0,b0,c0）2()abRc求：(1)公司的总收入函数；(2)该产品的需求函数.解 ：(1)总收入函数为= = =0()()QRxd20Qabcdx0Qababc(2)设产品的价格为P，则 ，得需求函数为P()abacQQb例 8 某企业想购买一台设备，该设备成本为5000 元T 年后该设备的报废价值为S(t)=5000-400t 元，使用该设备在t 年时可使企业增加收入850-40t（元）若年利率为5%，计算连续复利，企业应在什
10、么时候报废这台设备？此时，总利润的现值是多少？解： T 年后总收入的现值为 0.50(84)tedT 年后总利润的现值为0.50.50()84)4Tt TLede.0.5 0.55 4TT Te 统计与数理学院本科毕业论文120.5(2)Te令 L( T) = 0，得T=10当T 0，当T10 时， L( T) 0，则T=10 是惟一的极大值点即T=10 时，总利润的现值最大，故应在使用10 年后报废这台机器此时企业所得的利润的现值为100.5()(2)TLed1.04(元)85.3.3定积分在消费者剩余或生产者剩余中的应用在市场经济中，生产并销售某一商品的数量可由这一商品的供给曲线与需求曲线
11、莱描述（下图）需求量与供给量都是价格的函数，用横坐标表示价格，纵坐标表示需求量或供给量在市场经济下，价格和数量在不断调整，最后趋向平衡价格和平衡数量，分别用和 表示，也即供给曲线与需求曲线的交点E0PQ在图中， 是供给曲线在价格坐标轴上的截距，也就是当价格为 时，供给量是零，0 0P中有价格高于 时，才有供给量而 是需求曲线的截距，当价格为 时，需求量是零，1P1只有价格低于 时，才有需求 则表示当商品免费赠送是的最大需求1Q在市场经济中，有时一些消费者愿意对某种商品付出比市场价格 P0 更高的价格，由此他们所得到的好处称为消费者剩余(CS).由图 7-16 可以看出：(1)10()PCSfp
12、d同理，对生产者来说，有时也有一些生产者愿意以比市场价格 P0 低的价格出售他们的商品，由此他们所得到的好处称为生产者剩余(PS)，如图 7-16 所示，有统计与数理学院本科毕业论文13(2)0()PSfpd例 9 设需求函数 Q8- ，供给函数 Q ，求消费者剩余和生产者剩余.392p解: 首先求出均衡价格与供需量.8392p得 15， 3.0p0Q令 8- 0，得 P124，令 0，得 9，代入(3)、(4)式得392p0pCS ，2415 47(8)()156dpPS .299()()243.4 定积分在实际问题中的应用3.4.1 定积分在国民收入中的应用现在，我们讨论国民收入分配不平等
13、的问题.观察如下图中的劳伦茨(MOLorenz)曲线.横轴 OH 表示人口(按收入由低到高分组)的累计百分比，纵轴 OM 表示收入的累计百分比.当收入完全平等时，人口累计百分比等于收入累计百分比，劳伦茨曲线为通过原点、倾角为 45的直线；当收入完全不平等时，极少部分(例如 1%)的人口却占有几乎全部(100%)的收入，劳伦茨曲线为折线 OHL.实际上，一般国家的收入分配，既不会是完全平等，也不会是完全不平等，而是在两者之间，即劳伦茨曲线是图中的凹曲线 ODL.易见劳伦茨曲线与完全平等线的偏离程度的大小(即图示阴影面积)，决定了该国国民收入分配不平等的程度.为方便计算，取横轴 OH 为 x 轴，
14、纵轴 OM 为 y 轴， 再假定该国某一时期国民收入分配的劳伦茨曲线可近似表示为 yf(x)，则统计与数理学院本科毕业论文141 1120 00()()()2Axfdxfdxfxd即 不平等面积 A最大不平等面积(A+B)-B12- f(x)dx10系数 表示一个国家国民收入在国民之间分配的不平等程度，经济学上，B称为基尼(Gini)系数，记作 G. 10()/(22AGfxB 102()fx显然，G0 时，是完全平等情形；G1 时，是完全不平等情形.例 10 某国某年国民收入在国民之间分配的劳伦茨曲线可近似地由yx2，x0，1表示，试求该国的基尼系数.解: 如图 7-15 所示，有 1120
15、0()2Afxdx 31026x故所求基尼系数 /.31AB3.4.2 定积分在投资问题中的应用对于一个正常运营的企业而言，其资金的收入与支出往往是分散地在一定时期发生的，比如购买一批原料后支出费用，售出产品后得到货款等等.但这种资金的流转在企业经营过程中经常发生，特别对大型企业，其收入和支出更是频繁的进行着.在实际分析过程中为了计算的方便，我们将它近似地看做是连续地发生的，并称之为收入流(或支出流).若已知在 t 时刻收入流的变化率为 f(t)(单位：元/年、元/月等)，那么如何计算收入流的终值和现值呢?企业在0，T这一段时间内的收入流的变化率为 f(t)，连续复利的年利率为 r.为了能够利
16、用计算单笔款项现值的方法计算收入流的现值，将收入流分成许多小收入段，相应地将区间0，T平均分割成长度为 t 的小区间.当 t 很小时，f(t)在每一子区间内的变化很小，可看做常数，在 t 与 t+t 之间收入的近似值为 f(t)t，相应收入的现值为 f(t)e-rtt，再将各小时间段内收入的现值相加并取极限，可求总收入的现值为现值 ， (1)0Trtdf()e类似地可求得总收入的终值为终值 . (2)()0TTtdfe例 11 某企业将投资 800 万元生产一种 产品，假设在投资的前 20 年该企业以统计与数理学院本科毕业论文15200 万元/年的速度均匀地收回资金，且按年利率 5%的连续复利
17、计算，试计算该项投资收入的现值及投资回收期.解: 依题知 f(t)200，由公式(1)知投资总收入的现值为现值 20.050.52t tede4000(1- )2528.4.1假设回收期为 T 年，则由公式(1)知 ，0.58Tted由此可解出 T-20ln0.84.46(年)，所以回收期约为 4.46 年.若有一笔收益流的收入率为f ( t) , 假设连续收益流以连续复利率r 计息, 从而总现值 0y)TtPed例12 现对某企业给予一笔投资A, 经测算,该企业在T 年中可以按每年a 元的均匀收入率获得收入, 若年利润为r, 试求：( 1) 该投资的纯收入贴现值;( 2) 收回该笔投资的时间
18、为多少?解: ( 1) 求投资纯收入的贴现值： 因收入率为a, 年利润为r, 故投资后的T 年中获总收入的现值为01rt rTayede从而投资所获得的纯收入的贴现值为rTRAA( 2) 求收回投资的时间： 收回投资, 即为总收入的现值等于投资由 得1rTaAe1lnar即收回投资的时间为 Ar结束：定积分与实际应用联系较近，牛顿曾利用积分从万有引力导出行星三定律定积分在物理，化学，经济，工程中也有重要的应用，我也相信，随着人类认识的不断发展，定积分将越来越起着重要的作用参考文献 ： 1 华东师大数学系编 数学分析上册 高等教育出版社2 数学分析上册 陈传璋 复旦大学数学系 3 微积分及其应用
19、 李公国（译） 徐氏基金会出版社4 普通物理简明教程 戴启润 西北大学出版社 统计与数理学院本科毕业论文165 竞赛数学教程 陈传理 张同君 高等教育出版社 6 积分（经管类） 吴赣昌 中国人民大学出版社7 济数学-微积分 吴传生 高等教育出版社8 等数学 聂洪珍 中国对外经济贸易出版社9 济数学 雷伊 利弗诺等 中国人民大学出版社10 经济学原理 曼昆 北京大学出版社Theory, extension and application ofdefinite integral thoughtKong ShanshanContent summary ： Definite integral prob
20、lem is that the University has always been focused on learning mathematics, is one of the graduate entrance examination focused on investigation of content, so this article on the origins, development, and its definite integral in mathematics, geometry, physics, economics and other disciplines do focus on the application of. Bing with some examples in addition to the detailed analysis to these issues. Keywords: Definite integral Cauchy differential equations of physical geometry economic variables
