1、第五 章 定积分及其应用习题详解 1 第五章 定积分及其应用 习 题 5-1 1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （ 1） xxd11 , （ 2） xxRRR d22 , （ 3） xxdcos02 , （ 4） xxd11 . 解：若 xxfxfbaxab d)(,0)(, 则时在 几 何 上 表 示 由 曲 线 )(xfy ，直线bxax , 及 x 轴所围成平面图形的面积 . 若 bax , 时， xxfxf ab d)(,0)( 则 在几何 上表示由曲线 )(xfy ，直线 bxax , 及 x 轴所围平面图形面积的负值 . （ 1）由下图（ 1）
2、所示， 0)(d 111 1 AAxx . （ 2）由上图（ 2）所示， 2d 2222 RAxxRR R . （ 3）由上图（ 3）所示， 0)()(dc o s 535354320 AAAAAAAxx . （ 4）由上图（ 4）所示， 1112122d61 1 Axx. 2. 设物体以速度 12 tv 作直线运动，用定积分表示时间 t 从 0 到 5 该物体移动的路程 S. R R O R x y 2 A ( 2 ) - 1 - 1 1 1 1 A 1 A O x y ( 1 ) O x y 1 - 1 3 A 4 A 5 A 2 ( 3 ) 1 1 1 1 O x y 6A 6A(4)
3、第五 章 定积分及其应用习题详解 2 解： s tt d)12(05 3. 用定积分的定义计算定积分 ba xcd,其中 c 为一定常数 . 解：任取分点 bxxxxa n 210 ,把 , ba 分成 n 个小区间 , 1 ii xx )2,1( ni ，小区间长度记为 x i = ix - 1ix )2,1( ni ,在每个小区间 ii xx ,1 上任取一点 i 作乘积 ii xf )( 的和式： nini iiii abcxxcxf1 1 1 )()()(, 记 max1 ini x , 则 )()(lim)(limd00 abcabcxfxcni iiba . 4. 利用定积分定义计
4、算 1 20 dxx. 解： 上在 1,0)( 2xxf 连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对 0,1 n 等分，分点ii ninix ;1,2,1, 取相应小区间的右端点，故 ni iini iini ii xxxxf 12121 )( = nini innni1232111)( =311 ( 1)(2 1)6 n n nn = )12)(1(61 nn 当 时0 （即 时n ），由定积分的定义得： 1 20 dxx=31 5. 利用定积分的估值公式，估计定积分 11 34 )524( xxxd 的值 . 解：先求 524)( 34 xxxf 在 1,1 上的最值，由 0616)(
5、23 xxxf , 得 0x 或 83x . 比较 3 5 0 9 3( 1 ) 1 1 , (0 ) 5 , ( ) , (1 ) 78 1 0 2 4f f f f 的大小，知 m in m ax5093 , 111024ff， 由定积分的估值公式，得 )1(1d)524()1(1m a x1 1 34m in fxxxf, 即 1 4315093 ( 4 2 5 )d 2 2512 x x x . 6. 利用定积分的性质说明 1 0 dxex与 1 0 d2 xex，哪个积分值较大？ 第五 章 定积分及其应用习题详解 3 解：在 0,1 区间内： 22 xxx x e e 由性质 定理
6、知道 ： 1 0 dxex 1 0 d2 xex7. 证明： 212121 2d2 2 xee x。 证 明 ：考虑 21,21上的函数 2xey ，则 22 xxey ，令 0y 得 0x 当 0,21x时， 0y ， 当 21,0x时， 0y 2xey 在 0x 处取最大值 1y ，且 2xey 在21x处取最小值 21e . 故 21212121212121 d1dd 2 xxexe x， 即 212121 2d2 2 xee x。 8. 求函数 21)( xxf 在闭区间 -1， 1上的平均值 . 解： 平均值 112242121d1)1(1 1 xx9. 设 )(xf 在 0， 1上
7、连续且单调递减，试证对任何 )1,0(a 有 a xxfaxxf0 10 d)(d)(. 证明 ： a xxfaxxf0 10 d)(d)(= a a xxfaxxf0 0 d)(d)( 1 d)a xxfa 10 d)(d)()1( aa xxfaxxfa= )()1()()1( afaafa )()()1( ffaa ， 其中 1,0 aa 又 )(xf 单调减，则 )()( ff ，故原式得证 . 习 题 5.2 1. 计算下列定积分 （ 1） 40 d2 xx; （ 2） 12 2 d| xxx; （ 3） 20 d|sin| xx; (4) xxx d1,max10 .解：（ 1）
8、xxxxxx d)2(d)2(d2 422040 4)221()212(422202 xxxx （ 2） 12 2 d| xxx= 02 3 d)( xx+10 3dxx= 10402444 xx =4+ 41741 . 第五 章 定积分及其应用习题详解 4 （ 3） 20 d|sin| xx=0 dsin xx+ 2 d)sin( xx= 20 co s)co s( xx =2+2=4. (4) xxx d1,max10 = 1 1210 2 3(1 )d d 4x x x x . 2. 计算下列各题： （ 1） 10 100dxx， （ 2） 41 dxx， （ 3） 10 de xx,
9、（ 4） xxd10010 , （ 5） xxdsin20 , （ 6） xx x de 210 , （ 7） xx d)2sin(20 , （ 8） xxx d)1(10 ,（ 9） xxxd2lne1, （ 10） 10 2100d xx, （ 11） 40 2 dcostan xxx 解：（ 1） 10 100dxx=101110110101 x . （ 2） 41 dxx=314324123 x . （ 3） 1eede 1010 xx x . （ 4） xxd10010 =100ln99100ln10010x . （ 5） 1c o sds in 2020 xxx . （ 6）2 1
10、e2e)(de21de1021010222 xxx xxx . （ 7） xx d)2sin(20 = )2(d)2s in (21 20 xx= 20)2cos(21 x = 1 . (8) xxxd2lne1= )d(lnln21 e1 xx=41ln41e12 x . (10) 10 2100d xx= 10 2)10(1d1001 xx = 1010arctan101 x = 101arctan101 . （ 10） 40 2 dcostan xxx = 40 )tand(tan xx= 4022 )(tanx=21 . 3. 求下列极限 （ 1） xttxx cos1dsinlim
11、11 . （ 2） 202arctan dlim1xxttx . 解：（ 1）此极限是 “ 00 ”型未定型，由洛必达法则，得 第五 章 定积分及其应用习题详解 5 xttxx cos1dsinlim 11 =)cos1()dsin(lim 11 xttxx=1)1(lims in s inlim 11 xx xx（ 2） 2 2012 22a r c ta n d a r c ta nl im l im11 122xxxtt xx xx 型 22 1 a rc ta nlimxxxx 2211 a rc ta nlimxxxxx 2221lim 1 a r c ta n 4x xx 4. 设
12、 x tty0 d)1(，求 y 的极小值 解： 当 10yx ，得驻点 1x ， 1 0. 1yx 为极小值点， 极小值 10 21 -dx)1()1( xy5. 设 1,211,12 xxxxxf ，求 20 dxxf 。 解： 21 21020 d21d1d xxxxxxf 38621 213102 xxx 6. 设 其它,00,s in21 xxxf ，求 x ttfx0 d。 解：当 0x 时， 0d0d00 xx tttfx当 x0 时， 2c o s1ds in210 xttxx 当 x 时， 1d0ds i n21ddd000 xxx tttttfttfttfx ， 故 0 ,
13、 01 1 c o s , 021,xx x xx 7. 设 xf 是连续函数，且 10 d2 ttfxxf，求 xf 。 解：令 Attf 10 d，则 Axxf 2 ，从而 AxAxxxf 221d2d 1010 即 AA 221 ， 21A ， 1xxf 第五 章 定积分及其应用习题详解 6 8 22 21lim nnnnn 。 解：原式 1 1 2limnnn n n n L10112lim d 3nn ii xxnn 9求由 0dco sd00 xy t ttte所决定的隐函数 y 对 x 的导数 xydd 。 解：将两边对 x 求导 得 ye xydd 0cos x ， xyddy
14、e xcos习 题 5.3 1. 下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果： （ 1） xxx dco sco s223 = xxx dsin)(cos2221 = )co sd()(co s2221 xx = 0cos32 2223 x. （ 2） 11 11 22 )s i nd()( s i n1d1 ttxx= 11 dcoscos ttt=11 2d)(cos tt=210 2d)(cos tt=2 2s i n211)2s i n21(d2 2c o s1 1010 tttt. 答：（ 1）不正确，应该为： xxxxxx ds i n)( c o s2dc o sc o s 2
15、122203 =343c o s4)c o s)(c o s2 20232021 d( xxx （ 2）不正确，应该为： 11 22 22 222 d)( c o s)s i nd()( s i n1d1 ttttxx =2 2020 202 )2s i n21(d2 2c o s12d)( c o s tttttt 2 . 2. 计算下列定积分 : (1) xx d1640 2 , (2) 10 2 d4 1 xx. （ 3） 20 3cossin xdxx ； （ 4） xxxdlne12 ； （ 5） xex d12ln0 ； （ 6） 11 45d xxx ； 第五 章 定积分及其应用
16、习题详解 7 （ 7） 41 1dxx； （ 8） xxdsin20 3 ； （ 9） 21 ln1de xx x； (10) 02 2 22d xx x； (11) xxd2cos10 ；（ 12） 10 22 d1 xxx。 解：（ 1）令 x = tsin4 ,则 ttxtx dc o s4d,c o s416 2 ,当 x = 0 时 ， t = 0； 当 x = 4 时，2t ，于是 xx d1640 2 = 4)2s i n48(d)2c o s1(8dc o s4c o s4 202020 ttttttt （ 2） 10 2 d4 1 xx= 10 2 )2d()2(1121 x
17、x = 21a r c t a n212a r c t a n21 10x . (3) 20 3cossin xdxx41c o s41d c o sc o s204203 xxx (4) )d ( lnlndln e1 2e12 xxxx x 31)1( l n)e ( l n31)( n31 33e13 x (5)令 tex 1 ， 1ln 2 tx ， tt tx d12d2 ， 0x 时 0t ； 2lnx 时， 1t . 于是 tttt txe x d1 112d12d1 10 210 2 22ln0 102 arctan 2 1 4tt (6) 令 ux 45 ，则 445 2ux
18、 ， uux dd 2 .当 1x 时， 3u ，当 1x 时 ， 1u . 原式 61d58113 2 uu. (7) 令 tx ， ttx d2d .当 1x 时， 1t ；当 4x 时， 2t . 原式 212121 1 dd21 d2 tttttt 32ln221ln2 2121 tt(8) 因为 xxdsin20 3 = xxxxxxxx ds i nc o sds i nds i nc o s1 20 22020 2 1c o sds in 2020 xxx第五 章 定积分及其应用习题详解 8 31c o s31d c o sc o sds i nc o s203202202 xx
19、xxxx 从而 xxdsin20 3 =32 . (9) 原式 22 11 ln1dln1 1lndln1 1 ee xxxx 232ln1221 ex (10) 原式 020 22 111 d xa r c tgx x 24411 a r c tga r c tg (11) 原式 00 2 dc o s2dc o s2 xxxx 220 dc o s2dc o s2 xxx 22s ins in2220 xx （ 12）设 20(,sin ttx ， ttx dcosd ， 于是 10 22 d1 xxx = ttttt d2s in41dc o ss in 20 2220 2 16)4s
20、i n41(81d2c o s 4 t141 202020 ttt 3. 计算下列定积分： （ 1） xx xde)15(40 5 ； （ 2） xx d)1ln(1e0 ； （ 3） xxx dcose10 ； （ 4） xxx xx d)e3(10 33 ； (5)34 2dsin xxx ； (6)41 dln xxx ； (7) 10 arctan dx x x； (8) 20 2de xxx ； （ 9） ee1 dln xx； （ 10） 20 dsin xxx。 解：（ 1） xx xde)15(40 5 = 5ed)15( 540xx = 455400ee( 5 1 ) d (
21、 5 1 )xxxx = 420 5 20021e 1 e 4e55x . (2) xx xxxxx d1)1l n (d)1l n ( 1e01e01e0 = xx d)111(1e 1e0 第五 章 定积分及其应用习题详解 9 = 1e0)1ln (1e xx eln =1 (3) xxx dcose10 = sinde10 xx xx xx des ins ine11010 xxx dsine0 10 = )cosd(e10 xx xx xx de c o sc o se1 1010 )1e(1 xxx dcose10 移项合并得 xxx dcose10 )1e(21 . （ 4） xx
22、x xx d)e3(10 33 )e313ln34(d 3104 xxxx 10 341034 d)e313ln34()e313ln34( xxxx xxxx 4514e923ln 23ln3)e913ln 320(e313ln 341 32103253 xxx （ 5） 34 2dsin xxx 34 dcotxx 3344co t co t dx x x x 34s inln9341 x 22ln23ln9341 23ln219341 （ 6） 41 dln xxx 41 dln2 xx 4141 lndln2 xxxx 41 d12ln42 xxx 41 21 d22ln8 xx 42l
23、n8 （ 7） 10 arctan dx x x 1 201 arctan d2 xx 211220 01 a r c t a n d21 xx x xx 10 210 1 d21d218 xxx 110011a rc ta n8 2 2xx 214 （ 8） 44e4e4e4e4de2e2de 20220 220220 2 xxxx xxxx （ 9） e11e1ee1 dlndlndln xxxxxx第五 章 定积分及其应用习题详解 10 而 1e11e11e1 dlndln xxxxxxx 1e2e11e1 11eedlndln e1e1e1 xxxxx , 故 e221e21dlndl
24、ndln e11e1ee1 xxxxxx. （ 10） 1s i ndc o sc o sds i n 20202020 xxxxxxxx 4. 利用函数的奇偶性计算下列积分： （ 1） xxx d)1(11 22 ; (2) xxdcos4224； (3) 55 2423 d12sin xxx xx ; （ 4） aa xxxx d)2s in5c o s(. 解： (1) xxx d)1(11 22 = 202d12d111 21 1 xxxx(2) 原式 202220 4 dc o s22dc o s42 xxxx 20 220 2 d2c o s2c o s212d2c o s12 x
25、xxxx 202020 d4c o s1d2c o s22 xxxxx 2020 4d4c o s4122s i n2 xxx 234s in4123 20 x (3) 12sin2423 xx xx 为奇函数 ， 0d12s in55 2423 xxxxx （ 4） 利用定积分的线性性质可得原式 aa aaaa xxxxxx d2ds i n5dc o s， 而前两个积分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为 0， 原式 aaaa axlx 4d2d2第五 章 定积分及其应用习题详解 11 5. 如果 0b ，且 b xx1 ,1dln求 b 解： bb xxxxxdx b 11 d1ln
26、ln 1 1ln)1(ln bbbbbb由已知条件得 11ln bbb 0ln bbb ，即 bbb ln 0b ， 1lnb ， 即得 eb 。 6.若 )(xf 在区间 1,0 上连续 ,证明 (1)20 d)(sin xxf =20 d)(cos xxf (2)0 d)(sin xxxf= 0 d)(sin2 xxf,由此计算 0 2 dcos1 sin xxxx证明：（ 1）设 txtx dd,2 则 .且当 0x 时， 2t ；当 .0,2 tx 时 故 20 d)(sin xxf ttf 02 d2s in 02 dcos ttf 20 d)(cos xxf （ 2）设 tx ，
27、0 d)(sin xxxf 0 )(d) s in ()( ttft 0 d)(sin ttf 0 d)(sin tttf 0 d)(sin xtxf = 0 d)(sin2 ttf利用此公式 可得：20 sin d1 cosxxxx =20 sin d2 1 cosx xx =20 1 d co s2 1 co s xx = 0arctan(cos )2 x = 42 . 7. 设 xf 在 a2,0 上连续，证明 aa xxafxfxxf020 d2d。 证明 aaaa xxfxxfxxf 2020 ddd.令 uax 2 ， ux dd ，则 aaaa xxafuuafxxf 002 d
28、2d2d 故 aa xxafxfxxf020 d2d. 8. 设 xf 是以 为周期的连续函数，证明： 020 d2ds i n xxfxxxfxx 。 第五 章 定积分及其应用习题详解 12 证明 xxfxx dsin20 20 ds i nds i n xxfxxxxfxx. 令 ux ，则 02 ds i nds i n uufuuxxfxx 0 s in duufuu( xf 以 为周期 ) 故 020 d2ds i n xxfxxxfxx9. 设 )(xf 在 , ba 上连续，证明： )()()()(d)( afafabfbfbxxfxba 证明 利用分部积分法， baba bab
29、a xxfxfxxfxxxfx d)()()(dd)( = baxfafabf )()()( )()()()( afafabfbfb 习 题 5.4 1. 下列解法是否正确？为什么？ 2ln1ln2ln|lnd1 2 121 xxx . 答：不正确 .因为 x1 在 1 ， 2 上存在无穷间断点 0x ， 21 d1 xx不能直接应用LeibnizN ew ton 公式计算，事实上， 21 d1 xx 01 d1 xx + 20 d1 xx 11 10 d1lim xx + 20 22 d1lim xx 11 10 )ln(lim x + 20 22 lnlim x 10 lnlim1 + 2
30、ln 202lim 不存在 , 故 21 d1 xx发散 . 2. 下列广义积分是否收敛？若收敛，则求出其值 . （ 1） 0 2 d1 xx； （ 2） xxde1 100 ； （ 3） 20 edxxx ； （ 4） xx d)1( 11 3 （ 5） 0 2100d xx； （ 6） 0 dln1 xxx； 解：（ 1） 0 2 d1 xx= xxx xx1lim1lim)1(00, 0 2 d1 xx发散 . （ 2） xxde1 100 = 1001001100 e1001)100e(0100e x 第五 章 定积分及其应用习题详解 13 （ 3） 2 2 200 011e d (
31、e e d )24x x xx x x x （ 4）81)1(21d)1( 1 121 3 xxx（ 5） 0 2100d xx=2010arct an101 0 x . （ 6） exxxxxx )l n ( l n)d ( l nln1dln1 ee，发散 3.下列广义积分是否收敛？若收敛，则求出其值 . （ 1） xx d)4(60 32 （ 2） 10 d1arcsin xxx x（ 3） 10 2 d1arcsin xxx解：（ 1） xx d)4(60 32 = xx d)4(64 32 + xx d)4(40 32 = )42(3430023)4(3)4(3 3333403164
32、31 xx (2) 令 tx arcsin ，xxxdt 2d11 于是 21 22 2000a r c s i n d 2 d 41 x x t t txx (3) xxxd1arcsin10 2 10010 20 )( a r c s i nda r c s i nlimd1a r c s i nlim xxxx x0120 )(arcs in21lim x 8)1 a r c s in (21lim220 。 4.证明广义积分 ba qax x)( d当 1q 时收敛；当 1q 时发散 。 证明：当 ,1时q baba axax x )ln (d，发散； 当 ,1时q ba qax x)
33、( d=1,1,1 )(1)(11qqqabqaxqbaq 。 5.已知 a xxx xexaxax d4lim 22，求常数 a 第五 章 定积分及其应用习题详解 14 解：左端 axx eaxa 221lim 右端 a xa x dexxdex 2222 222 a xax dxxeex 222 22 a xa xdeea 222 22 a xaxa dxexeea 2222 22 aeaa 22 122 aa eeaa 222 122 ， 解之 0a 或 1a 。 习 题 5.5 1、求由下列曲线围成的平面图形的面积： （ 1） xy 1 及直线 0,2, yxxy ； 解：如图，解方程
34、组xy xy 1 ，得交点 )1,1( ，所求面积为 2ln23ln2d)1( 21221 xxxxxA . （ 2） 22xy 与 822 yx （两部分均应计算）； 解：如图，解方程组82222yxxy ，得交点 )2,2( 、 )2,2( ， 所求上半部分面积为 342d)28(22 20 221 xxxAA 上 . 所求下半部分面积为 346)342(8 上圆下 ASA （ 3） xx eyey , 与直线 1x ； 解：如图，解方程组 xxey ey，得交点 )1,0( ，所求面积为 第五 章 定积分及其应用习题详解 15 2d)( 11010 eeeexeeA xxxx . （ 4
35、） yxy ,ln 轴与直线 )0(ln,ln abbyay . 解：选为 y 积分变量，如图，所求面积为 abeyeA bayba y lnlnlnln d 2.求二曲线 sinr 与 cos3r 所围公共部分的面积 解： 当 等于 0 和 3 时，两曲线相交，所围公共部分的 面积为 4 324 5d c o s321d s i n21 232302 A . 3、求由 0,2,3 yxxy 所围成的图形，绕 x 轴及 y 轴旋转所得的两个不同的旋转体的体积 . 解：如图，绕 x 轴旋转所得的旋转体的体积为 712871dd 20720 620 2 xxxxyV x 绕 y 轴旋转所得的旋转体
36、的体积为 . yyyxV y d32d82 20 3280 22 5645332 8035 x 4、有一立体，以长半轴 10a 、短半轴 5b 的椭圆为底， 而垂直于长轴的截面都是等边三角形，求该立体的体积 . 解：解： 取坐标系如图，底面椭圆方程为 1510 2222 yx 垂直于 x 轴的截面为等 边 三角形 ，对应于 x 的 截面 的面积为 )10(43)( 22 xxA 于是所求 立体体积为 310 10321010 22 103 33104 3d)10(4 3 xxxxV 5、计算曲线 xy ln 相对应于 3x 到 8x 的一段曲线弧长 . xyO3o xabyx 第五 章 定积分
37、及其应用习题详解 16 解：由弧长的公式得 : 23ln211d1d11d1 83283 283 2 xx xxxxys . 6、计算 1 相应于自 43 到 34 的一段弧长 . 解：由弧长的极坐标公式得 : d11d)1()1(d)()( 3443223443222344322 s 23ln125 . 7、求 星形线 33cossinx a ty a t 的 全长 . 解：由弧长的参数方程公式得 : 2 2 2 4 2 2 2 422004 ( ) ( ) d 4 9 c o s s i n 9 c o s s i n d 6s t t t a t t a t t a . 8、设把一金属杆
38、的长度由 a 拉长到 xa 时，所需的力等于 akx ，其中 k 为常数，试求将该金属杆由长度 a 拉长到 b 所作的功 . 解：由于金属杆拉长所需的力 f 与拉长的长度成正比 x ，且 akxf ，其中 k 为常数。选择金属杆拉长的长度 x 为积分变量，其取值范围为 ab,0 ，对于任意 abx ,0 ，在拉长的长度区间 xxx d, 上，功元素为 xakxxfW ddd ，于是 a abkxakxxakxakxWababab2 )(2dd20200 。 9.一个底半径为 mR ，高为 mH 的圆柱形水桶装满了水，要把桶内的水全部吸出，需要做多少功（水的密度为 233 m /s10,k g/m10 取g ）？ 解：建立如图坐标系 . 取 x 为积分变量 , ,0 Hx , 任取子区间 ,0d, Hxxx ， 相应一薄层水被抽到桶外需做的功近似为 xgxRW 水dd 2 , 于是，把桶内的水全部吸出，需做功 )J(5000212d 222202202 HRHRgxRgxxRgW HH 水水水 . 10、一矩形闸门垂直立于水中，宽为 m10 ，高为 m6 ，问闸门上边界在水面下多少米时？ 它所受的压力等于上边界与水面相齐时所受压力的两倍 . O x y x xx d ),( RH 第五 章 定积分及其应用习题详解 17 y ( h , 0 ) x xd (5,6 )
