1、天一大联考2017-2018 学年高中毕业班阶段性测试(二)数学（文科）第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ， ，则集合 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】集合 ， ，则 。故答案为 D。2. 在平面直角坐标系 中，角 的终边经过点 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】角 的终边经过点 , . .选 B。3. 已知 是公差为 2 的等差数列， 为 的前 项和，若 ，则 （ ）A. 24 B. 22 C. 20 D. 18【答案】C【解析】已知 是公差为 2 的等差
2、数列， ，即 故答案为：C。4. 已知点 在幂函数 的图象上，设 ， ， ，则 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 为幂函数， ,解得 . ,由条件得点 在函数 的图象上， ，解得 . ，函数 在 R 上单调递增。 , , ,即 。选 A。5. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则 （ ）A. -1 B. -2 C. 1 D. 2【答案】B【解析】函数 为奇函数， ,又 ，即 ， ， ，即函数 的周期为 4. 。选 B。6. 函数 的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意，f（x）= = sin（cosx）=f（x） ，f（x
3、）为奇函数，排除 A，f（0）=0，排除 D，f（ ）=0，排除 C，故选 B7. 已知实数 满足 ，且 的最大值为 6，则实数 的值为（ ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=x+y 得 y=x+z，平移直线 y=x+z，由图象可知当直线 y=x+z 经过点 A 时，直线 y=x+z 的截距最大，此时 z 最大为 6，即x+y=6 即 A（3，3） ，同时 A 也在直线 y=k 上，k=3，故答案为 D。8. 已知在等边三角形 中， ， ，则 （ ）A. 4 B. C. 5 D. 【答案】D【解析】由条件知 M，N 是
4、 BC 的三等分点，故 展开得到 ，等边三角形 中，任意两边夹角为六十度，所有边长为 3 ， ， ， 代入表达式得到 。故答案为 D。9. 张丘建算经中载有如下叙述:“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何.”其大意为:“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走 7 天，共走了 700 里，问最后一天行走的距离是多少?”根据以上叙述，则问题的答案大约为( )里(四舍五入，只取整数).A. 10 B. 8 C. 6 D. 4【答案】C【解析】由题意，设该匹马首日路程（即首项）为 a1，公比 S7=700，解得： ， 故结果为 C。10. 已知 是定义在
5、上的单调函数，满足 ，则 在 处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得 为一固定的数，设 ，则有 .由 可得 ，当 时，有 ,解得 . ， 。 ，又 。曲线 在 处的切线方程为 ,即 。选 A。11. 已知“整数对”按如下规律排一列: ，则第 2017 个整数对为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设“整数对”为（m，n） （m，nN*） ，由已知可知点列的排列规律是 m+n 的和从 2开始，依次是 3，4，其中 m 依次增大当 m+n=2 时只有一个（1，1） ；当 m+n=3 时有两个（1，2） ， （2，1） ；当 m+n=4 时有 3 个（1
6、，3） ， （2，2） ， （3，1） ；当 m+n=64 时有 63 个（1，63） ， （2，62） ， （63，1） ；其上面共有 个数对。所以第 2017 个整数对为 。选 C。12. 已知函数 ，若方程 有 3 个不同的实根，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 得 。在同一坐标系内画出函数 和函数 的图象（如图所示） ，当函数 的图象位于图中的虚线位置时，直线 与函数 的图象切于点 P，设点P 坐标为 ，由 得 ，所以 ，又 ， ，整理得 ，解得 。 。又当 时，函数 和函数 的图象只有一个公共点。当函数 和函数 的图象有三个公共点时应满足 。即实
7、数 的取值范围为 。选 A。点睛：对于函数零点个数的问题，可转化为两函数图象公共点个数问题去处理，在解题中画出函数的图象是解题的关键，本题中在画出函数图象的基础上经过对图象相对位置的观察，得到直线 的临界位置，利用导数的几何意义求得临界时的斜率，进而得到所求的范围。第卷二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ， ，若 ，则 _【答案】-1 或 2 .【解析】向量 ，且 ， ，整理得 ，解得 或 。答案：-1 或 214. 已知函数 的图象如图所示，则 _【答案】 .【解析】根据函数图像知道：函数周期为 ， ，再代入特值化简得到 又因为 ，故 .故答案为：
8、 。点睛：根据函数图像求解析式，一般是先求 w，和 ，由图像中的最值点可以求出周期，进而得到 w 值，由图像中的零点，或者最值点，代入原式子求 值，振幅也可以由图像中的最高点求出。15. 已知函数 ，若 ，且 ，则 的最小值为_【答案】9.【解析】由条件知函数 ， ，则两者是轴对称的关系，故得到， 等号成立的条件为： 故答案为：9.16. 已知数列 的前 项和为 ， ， ，则满足 的最小项数 为_【答案】7.【解析】 ， ， . ， ，由，得 。数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列；数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列。又 ,满足 的最小项数 .答案：7三、解答题 （本大题共 6 小题
9、，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 的对边分别为 ，且 .()求 ；()若 ， 的面积为 ，求 的周长.【答案】(1) ;(2 ).(1)由 ，得 .由正弦定理可得 .因为 ，所以 .因为 ，所以 . (2)因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 或 ，则 的周长为 . 18. 设等差数列 的前 项和为 ，首项 ，且 .()求 ；()求数列 的前 项和 .【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）先由等差数列的概念得到 为一个等差数列，根据等差数列的通项公式得到 ，所以 ；（2）由第一问知 ，裂项求和即可。(1)设 的公差为 ，因为 ，所以 为
10、一个等差数列，所以，所以 ，故 ，所以 .(2)因为 ，所以 19. 已知向量 ， ，其中 .函数 图象的相邻两对称轴之间的距离是 ，且过点 .()求函数 的解析式；()若 对任意 恒成立，求 的取值范围.【答案】(1) ;(2) 的取值范围是 .【解析】试题分析：（1）根据三角函数中两角和差公式得到 ，根据题意得到周期，进而解出未知量 w；又函数 的图象过点 ，代到曲线中，得到A。 （2）恒成立求参的问题，直接变量分离， 对任意 恒成立，求函数 在上的最小值即可。(1) 由题意得 ， ， ，又函数 的图象过点 ，即 时， ，即，解得 ，即 (2) 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立，即求 在
11、 上的最小值， ， ， ， ， ， ，即 的取值范围是 20. 已知函数 为偶函数()求 的最小值；()若不等式 恒成立，求实数 的最小值.【答案】(1) 当 时， 取得最小值 2;(2) 实数 的最小值为 .【解析】试题分析：()由 可得( )( =0 在 R 上恒成立，解得 。然后根据单调性的定义可证明函数 在 上为增函数，且为偶函数，从而可得 在上是减函数。所以当 时， 取得最小值 2。()由题意 ，故可得 恒成立，令，结合 可得到 取得最大值 0，因此 ，实数 的最小值为 试题解析：() 由题意得 ，即 在 R 上恒成立，整理得( )( =0 在 R 上恒成立,解得 ， 设 ，则 ，
12、， , , ， 在 上是增函数又 为偶函数， 在 上是减函数当 时， 取得最小值 2.()由条件知 恒成立， 恒成立令由()知 ， 时， 取得最大值 0， ,实数 的最小值为 21. 近几年，电商行业的蓬勃发展也带动了快递业的高速发展.某快递配送站每天至少要完成 1800 件包裹的配送任务，该配送站有 8 名新手快递员和 4 名老快递员，但每天最多安排10 人进行配送.已知每个新手快递员每天可配送 240 件包裹，日工资 320 元；每个老快递员每天可配送 300 件包裹，日工资 520 元.()求该配送站每天需支付快递员的总工资最小值；()该配送站规定:新手快递员某个月被评为“优秀” ，则其
13、下个月的日工资比这个月提高 12%.那么新手快递员至少连续几个月被评为“优秀” ，日工资会超过老快递员?(参考数据: ， ， .)【答案】(1) 该配送站每天需支付快递员的总工资最小值为 2560 元;(2) 新手快递员至少连续 5 个月被评为“优秀” ，日工资会超过老快递员.【解析】试题分析：()本题属于线性规划问题，设安排新手快递员 人，老快递员 人，可得约束条件和目标函数，画出可行域，经过平移直线 可得最优解为 ，求得元。() 设新手快递员连续 个月被评为“优秀” ，日工资会超过老员工，则由题意可得 .整理得 ，两边取对数可解得 ，所以 的最小值为 5.试题解析：()设安排新手快递员 人
14、，老快递员 人，由题意得 ，即 ，该配送站每天需支付快递员总工资为 .作出不等式组表示的可行域如图所示.作直线 ，平移直线 可得到一组与之平行的直线 .由题设 是可行域内的整点的横、纵坐标.在可行域内的整点中，点 使 取得最小值，即当 过点 时， 取得最小值，且 (元).即该配送站每天需支付快递员的总工资最小值为 2560 元()设新手快递员连续 个月被评为“优秀” ，日工资会超过老员工.则由题意可得 .整理得 ，两边取对数可得 ，所以 ，又因为 ，所以 的最小值为 5.即新手快递员至少连续 5 个月被评为“优秀” ，日工资会超过老快递员.点睛：（1）解线性规划应用问题的一般步骤：分析题意，设
15、出未知量；列出线性约束条件和目标函数；作出可行域并利用数形结合求解；作答（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系22. 已知函数 的最大值为 ， 的图象关于 轴对称()求实数 的值；()设 ，是否存在区间 ，使得函数 在区间 上的值域为？若存在，求实数 的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】(1) , ;(2) 不存在区间 使得函数 在区间 上的值域是.【解析】试题分析：() 由题意得 ，可得 在 上单调递增，在 上单调递减，可得 的最大值为 ，可得 。由 的图象关于 轴对称，可得 。 ()由题知 ，则 ，从而可得 在 上递增。假设存在区
16、间 ，使得函数 在 上的值域是 ，则，将问题转化为关于 的方程 在区间上是否存在两个不相等实根的问题，即 在区间 上是否存在两个不相等实根，令 ， ，可得 在区间 上单调递增，不存在两个不等实根。试题解析：() 由题意得 ，令 ，得 ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，当 有极大值，也是最大值，且为 ， ，解得 又 的图象关于 轴对称函数 为偶函数， ， ()由()知 ， ，则 ， ，令 ，则 ， ， 在 上递增假设存在区间 ，使得函数 在 上的值域是 ，则 ，问题转化为关于 的方程 在区间 上是否存在两个不相等实根，即方程 在区间 上是否存在两个不相等实根，令 ， ，则 ,设 ,则 ， ，故 在 上递增，故 ，所以 ，故 在区间 上单调递增，故方程 在区间 上不存在两个不相等实根，综上，不存在区间 使得函数 在区间 上的值域是 点睛：（1）解决导数综合题时，函数的单调性、极值是解题的基础，在得到单调性的基础上经过分析可使得问题得以解决。（2）对于探索性问题，在求解的过程中可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，则说明假设不成立；若无矛盾出现，则说明假设成立，从而说明所证明题成立。
