1、 1进入虚拟课堂高三数学总复习教程（第 16 讲）一、本讲内容 平面向量的数量积及其应用本讲进度，向量的数量积，数量积的应用二、学习指导要深刻理解向量数量积的定义： 、 = cos 、 .它是数（可正、可负，也可以为零） ，abab但不是向量，因此， = ，（ ）= ， （ + ）ab c= = ， =0（而不是 ！）特别地， （ ） （ ） ，因为左边是与 共abco c线的向量，而右边是与 共线的向量，除特殊情况外，两者不相等。我们利用向量的数量积（又称为点积）可以解决向量的夹角问题，特别地，利用向量的数量可以很方便地解决垂直问题，： =0， （ ， 非零向量）ababcos 、 是 在
2、上的射影，值得注意的是它仍是一个数（可正，可负，可以为 0）而不a是向量。特别地， = 2cos = 2，由此，可把点积与模长（距离）挂上钩。三、典型的例题讲解例 1证明三角形中的射影定理：a=bcosC+ccosB 用向量证明一些三角问题，如正弦定理，余弦定理等很方便，但同学们却觉得不好掌握，这里我们再看一个例子。= + ，两边同等 ， 2= + = cosB+ cosCBCABCABCBAC两边约去 ，可得 = cosB+ cosC，即 a=ccosB+bcosCA例 2平面内有四点，O、 A、B、C ，记 = ， = ， = 若 + + =Oabcab且 = = = 1，试判断ABC 的
3、形状，并求其面积 .oabca千万不能由 = 约 得到 = ，一是过程差无根据，二是合得到 A、B、C 当同一点的荒bc谬结论。也不能由 = += =1 得到 = = =1，从而 = = =1，圆为 abcabcba ，前者 =| + cos | ，等号当且仅当 ， 共线且同面或 ， 中有当aba者B其他条件当然不是可有可无的，故应出现向量和，于是我们想到 = 和 = 相加，abcab得到了 2 = （ + ）= ( + )2，进而有 2= 2= 4 =0 如无 =1 的条件就做不下cbaab去了，故在此时引入有 2= 2= 4，因原来的条件都是 、 、 的轮换对称式，当然想到 2= 2= 4
4、c和 2= 2= 4，至此距解决问题已经不远了。ca例 3设 、 分别为方向与 x 轴，y 轴的正向相同的单位向量，A 、B 、C 为同一直线上的三点，Oij为坐标原点，已知 =2 tm ， =n + ， =5 ，又知 ，求 m、n 的值.OAijBijOCijA求 m、n 两个未知数，有 及 A、B 共线两个条件，代入计算即可.2例 4求证：三角形三角高线交于一点.设三顶点后，表示出三边向量 、 、 ，设 a、b 两边的高线交点为 H，表示 、 =0 和 ac hab=0 去证 =0，从而说明三高共点.hbch为减少计算量，当然应当选取合适的坐标系，以一边及其上的高所在直线上为两坐标轴较好。
5、例 5已知三不共线向量 、 、 两两所成角相等，b且 =1， =2， =3，求 + + 的模长及已知三向量间的夹角.aac要想把 、 、 两两所成角相等体现出来，我们以同一点 O 为始点作三有向线段 、 、bc OAB两两夹角相等，均为 .OC32于是要求 ，只要先求( + + )2 即可.aabc例 6已知 、 是两个非零向量，求证：当 ( +x )时，| +x |最小.bab要求 | +x |最小，等价于求何( +x )2 最小.( +x )2=x2 2+2x + 2 三项均为实数且平方项系数 2= 20，故当 x= 时原式aa 2ba有最小值，此处，向量竟与二次函数挂上了钩.例 7设 、
6、 为相互垂直的两个单位向量，问是滞存在整数 k，使得向量 =k + 与向量 =1l2 m1l2n+k 夹角为比？证明你的结论.1l2已知夹角应使用向量的数量积：cos60 0= 其中 = = =nm221)(lk(因 ， =0，因 、 为单位向量， 2=1， 2=1)，如求出 k 合整值或 k 无解或无整1l21l21l2l1l数解，问题均告解决.例 8已知 、 均为非零向量，且 = = 的夹角.abab根据公式 cos ， + = = 应先求 与 的值.)(2ba= = ，也归纳到 、 上了，且 、 应通过 = = ，故ba2)(ba2 ab2= 2=( )2= 2+ 22 求出.ab例 9
7、求证：菱形的两条对角线互相垂直.菱形是边长都相等的平行四边形“边长相等”怎么用？对菱形 ABCD，记 = = ，则ABD= + ， = ， =( + )( )= 2 2，到此，可看出边长相等的作用了.ACBDACBDabba例 10单位向量 、 夹角为 1200，求向量 =2 +3 和向量 = 2 的夹角.1l2m1ln1l求 ， ， 时，都需用到 、 应先行计算出来.mn1l2四、巩固练习31已知向量 =( 1)， =（ ， ）a3b213（1）求证： ；（2）若存在不同时为零的实数 k 和 t，使 = +(t23) ， =k +t ，且 ，写出函数关xabyabxy系式 k=f(t)；（3
8、）在（2）中，确定函数 k=f(t)的单调区间.2已知向量 =(cos，sin)， =(cos，sin ) 又知 = 其中 k0（1）用 k 表ab3示 、 .b（2） 、 的最小值，并求此时 与 的夹角。a3已知 O 是ABC 所在平面内一点，且满足 2+ 2= 2+ 2= 2+ 2，求证：OOABCACB是ABC 的垂足.4已知 、 为两个非零向量，且 +3 与 7 5 互相垂直， 4 与 7 2 互相垂直，abbab求 与 的夹角.5 （1）已知 =2， =1， 与 夹角为 ，求 + 与 2 的夹角a3a（2）已知 =4， =3，且（3 ）( 2 )为最小.abb7A、B、C 、 D 为
9、平面内任意四点，证明 2+ 2+ 2+ 2 2+ 2ACBDCABD8a 1、a 2、b 1、b 2R，求证： .又等号何时成立？21a1b1ba9ABC 中，AB=AC，D 为 AB 中点，E 为ADC 的重心，O 为ABC 的外心，求证：OE CD10在平面四边形 ABCD 中，记 = ， = ， = ， = ，cd若 = = = 试判断此四边形形状，并说明理由。abcda五、参考答案1 （1） =（ ，1） ， （ ， ）= =0， ab32323ab（2） ， +(t23) k +t =0xybak 2+t(t23) 2+tk(t 23) =04k+t(t 23)=0. k= t(t2
10、3) 4（3）令 k/= t2 0，t 1 或 t1.43故 f(t)的单调递增区间为 和 单调递减区间为1，1,2 （1）由已知(k + )2=3( k )2，即(k 23) 2+(13k 2) 2+(2k+bk) =0，整理解得abababk23+13k 2+8k =0 =bk44（2）k0，故 = ，此时. cos= = =abk421ba1233记 = ， ， = ，则 = ， = ， = ，则已知条件可表OABOCcBCAcBba为 2+( )2= 2+( )2= 2+( )2，从而 = = c ( )=0，即 ( ) baba同理， , O 为ABC 的垂心.4( +3 )(7 5
11、 ) ( +3 )(7 5 )=0 ab即 7 215 2+16 =0 ( 3 )(7 2 ) ( 4 )(7 2 )=0ab即 7 2+8 230 2 =0 23 =46 =46 cos ab把 = 代入，知 2= 2， = ，代回ab223 2=46 2cos ， cos( 2， )= 1 与 夹角为 35(1)（ + 2）( 2 )= 22 2 =4221cos =1abab3= = ， = =23cos7cos4bacos + ， 2 ab1夹角为 arccos 47（2）由已知 0=3 2+2 7 =667 abcos ， = = = .ab3614夹角为 arccos 146记 =
12、 ， = , = ，则 = ， = ABbCcAPpBbCPpcPA2+PB2+PC2= 2+ 2= 2p=3 22 ( + )+ 2+ 2当 = 时,上式有最小值,此时 P 点恰为重心.3c7记 = ， = ， = 则 = ， = ， = ，原式中 2+( ABbCADdBbCcbDdcd)2+ 2+ ( )2 2+ 2( )2 ( )+ 20. 亦即( )20 . dcd20. 显然成立.c5原命题成立.8 =1 = 等号当且仅当 共线时成立.ba 1,cosbaabab记 =（a 1，a 2） =（b 1 ，b 2）则左 ， 右= ,左右.9以 O 为原点，底 BC 上的高为 y 轴建立
13、直角坐标系，记 A：（O，R） ，B ：（Rcos，R）C：（Rcso，Rsin ）则 D（ cos，2(1+sin) E：（ cos， (1+sin)） 26=( cos， (1+sin) =( Rcos， (1+sin )CD32R = cos2+ (1sin)=0 OECDOE410ABCD 为四边形 + + + = .abcdo记 = = = =k，则 + = + =2k，即 （ + ）abcdbcdabac= （ + ）移项，有( )( + )=0，( )( + )=0， 2= 2= = ，同理可证d d= ，ABCD 为平形四边形，从而 k= cos ， = cos ， = cos
14、ab， = cos ， ，四外角相同，故 ABCD 为矩形.cbad六、附录， = + ，两边同乘以 ，有 2= + =| | | BCABCABCBACcosB+| | |cosC 即 =| | cosB+| | cosC，亦即 a=ccosB+bcosC.例 2 = ， = ，两式相加得abcabc2 = ( + ) 又 + + = . 故有o( + )2=2 =0， 2+ 2+4 =0由已知 =1 | |2+| |2=4同理| |2=| |2=4，| |2+| |2=4，| |2=| |2=| |2=2bcabc| |2=| |2=| |2= ，ABC 为正三角形aS = ( )2= .
15、43例 3 ，2 +m (n + )=2n+m=0 OABijij又 =7 +(m+1) ， =(n5) +22 ， = CijC57n21m由、解得 或36nm2xEyOA6例 4以 AB 边所在直线为 x 轴，AB 边上的高所在直线为 y 轴建立直角坐标系.记 A：（a，0） ，B （b，0） ，C （0，c）并记 BC 边上的高与 y 轴交点为 H（0，h） ，则 =（b，h） ，ABC=（b，c） =（a，c） =（b，h） （a，c）=ab+ch=0 三高 AH，CH，BH 交于一点.例 5在平面内取定一点 O，作有向线较 = ， = ， = ，则 ， ， 两两夹AaOBbCcOAB
16、C角相等，均 ，32( + + )2= 2+ 2+ 2+2 +2 +2 abccabc=12+22+32+212cos +223cos +213cos =3 332| + + |= 3例 6要使 最小，即要使( +x )2最小.( +x )2= 2+x2 2+2x ，三项均为实数，bxaababab且 2= 20，可看作关于 x 的二次函数，当 x= 亦即 +x 2=0, (a+x )=0，b 2 b也就是 (a+x )时有最小值.例 7 Cos60 0=cos ， = = = ，mn 2211)()(kllk2k24k+1=0，k=2 ， Z3所求整数 k 不存在.例 8 = = 2= 2=( )2= 2+ 22 ababab故 = 21 = = =)(23cos ， + = = = =aba)(ab)213 与 + 的夹角为 300例 9对菱形 ABCD，记 = ， = ，则 = + . = 其中 = .ABDACbBDab =（ + ）（ ）= 2 2= 2 2=0.ACDababa 即对角钱互相垂直.例 10 =cos1200=1l221 =2（2 +3 ）( 2 )=26 =mnl1l1l27= = =1)3(l6947xH7cos ， = = .故 与 夹角为 .mn721mn32
