1、第 3 讲 圆的方程 知识梳理1. 圆的标准方程与一般方程圆的标准方程为 ，其中圆心为 ,半径为 r；22)()(rbyax)(ba圆的一般方程为 ，圆心坐标 ，半径为0DEF2DE。方程表示圆的充要条件是24FED240F2.以 为直径端点的圆方程为),(),(21yxBA、 0)()(2121 yx3. 若 圆 与 轴 相 切 ， 则 ;若 圆 与2rbaxrb| 2rba轴 相 切 ， 则yr|4. 若 圆 关于 轴 对 称 ， 则 ； 20xyDEFx0E若 圆 关于 轴 对 称 ， 则 ；yD若 圆 关于 轴 对 称 ， 则 ； 2xyx5、 点 与圆 的位置关系：),(0M02FE
2、yx在圆内 02Dy在圆上 0yxx在圆外 02FEy重难点突破重点: 掌握确定圆的几何要素, 掌握圆的标准方程和圆的一般方程, 难点:根据已知条件,求圆的方程重难点:围绕圆的几何性质进行合理转化,运用方程思想列出关于参数： (或rba、)得到方程组,进而求出圆的方程FED、1.充分利用圆的几何性质解题圆上的动点到已知直线（或点）的距离的最大值和最小值，转化为圆心到已知直线（或点）的距离来处理问题 1：已知圆 和点 ，点 P 在圆上，求 面1)3()4(:22yxC)0,1(,BAAB积的最小值点拔:圆心(4,3)到直线 的距离为 ,P 到直线 的距离的最小值为0:AB2A，求 面积的最小值为
3、12PAB2)1(212.运用转化的思想处理圆的对称问题问题 2:圆 关于直线 对称，则 22)()(rbyax07yxba点拨：圆 关于直线 对称的实质是圆心 在直线 上，因此可将圆心坐标代入直线方程ClCl解决解析： 27072问题 3:圆 关于直线 的对称圆的方程为 1yx01yx点拨：两圆 和 关于直线 对称，可以转化为点对称问题（即圆心 和 关于直线 对Cl Cl称且半径相等） ，也可以用相关点法来处理，后一种方法更有推广价值解析：方法 1：原点关于直线 的对称点为（1，1） ，所以圆 关于直0yx 12yx线 的对称圆的方程为0yx )()(22方法 2：设 是圆 上一动点，它关于
4、直线 的对称点为),(P2yx 0yx，),(yx则 1)(02xxy1在圆 ， ,yP2 1)()(22y圆 关于直线 的对称圆的方程为20yx 1)()(22yx热点考点题型探析考点 1 圆的方程 题型 1: 对圆的方程的认识例 1 设方程 x2+y22(m+3)x+2(14m 2)y+16m4+9=0。（1）当且仅当 m 在什么范围内，该方程表示一个圆。（2）当 m 在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程。（3）求圆心的轨迹方程解析（1）由 得： ，240DEF224(3)4(1)(169)0mm化简得： ，解得： 。76117所以当 时，该方程表示一个圆。17m（2）r= = ,当
5、时，24DEF2761m37max47r（3）设圆心 ，则 ，消去 得),(yxC32 1)(2y17m420所求的轨迹方程为 )1()3(2yx)470x【名师指引】 （1）已知圆的一般方程,要能熟练求出圆心坐标、半径及掌握方程表示圆的条件；（2）第 3 问求圆心的轨迹方程，使用了参数法，即把 x,y 都表示成 m 的函数，消去参数可得到方程，用此法要注意变量 x,y 的范围题型 2: 求圆的方程例 2（1）求经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x-y-3=0 上的圆的方程；（2）求以 O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形 OAB 外接圆的方程。【解题思路】根
6、据条件，列方程组求参数解析（1）设圆心 ,则有)(baC2222 )()3()()5(03bab54a，所求圆的方程为10r半 径 1054yx（2）采用一般式，设圆的方程为 ，将三个已知点的坐标代2DEF入得 ，解得：014FED04FE故所求圆的方程为 22yx【名师指引】(1)求圆的方程必须满足三个独立条件方可求解，选择方程的形式，合理列出方程组是关键，(2)当条件与圆心、半径有关时常选择标准方程，当条件是圆经过三个点时，常选用一般方程【新题导练】1.若 ，方程 表示的圆的个数为（ ）.43,102a 0122 ayaxA、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个解析:B得 ，满足条件
7、的 只有一个，方程0)2()(2 aa3aa表示的圆的个数为 1.12yx2. ( 广州六中 2008-2009 学年度高三期中考试) 若圆 的圆心到直0422yx线 的距离为 ,则 a 的值为（ ）0ayx2A-2 或 2 B C2 或 0 D-2 或 031或解析: C 圆 的圆心为（ 1，2） ， 或 242yx 02|1| aa3.与两坐标轴都相切，且过点（2，1）的圆的方程为 解析 或)1()(22 5)()5(22yx4.动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍，那么点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 32yx62y16)(16)(22yx解析
8、B设 ，则 ，化简得),(P)(42x2)8(yx2考点 2 圆的几何性质 题型 1：运用圆的几何性质解题例 3 一圆与 y 轴相切，圆心在直线 x3 y=0 上，且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 ，求7此圆的方程.【解题思路】因题目条件与圆心、半径关系密切，选择圆的标准方程，与弦长有关的问题，一般要利用弦心距、半径、半弦长构成的“特征三角形”解析：因圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x3 y=0 上，故设圆方程为（ x3 b） 2+（ y b） 2=9b2.又因为直线 y=x 截圆得弦长为 2 ，7则有（ ） 2+（ ） 2=9b2，|解得 b=1.故所求圆方程为（ x3） 2+（ y1）
9、2=9 或（ x+3） 2+（ y+1） 2=9.【名师指引】在求圆的方程时，应当注意以下几点：（1）确定用圆的标准方程还是一般方程；（2）运用圆的几何性质（如本例的相切、弦长等）建立方程求得 a、 b、 r 或 D、 E、 F；（3）在待定系数法的应用上，列式要尽量减少未知量的个数.例 4 已知 O 的半径为 3，直线 l 与 O 相切，一动圆与 l 相切，并与 O 相交的公共弦恰为 O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程.【解题思路】问 题 中 的 几 何 性 质 十 分 突 出 ， 如 何 利 用 切 线 、 直 径 、 垂 直 、 圆 心 这 些 几 何性 质 是 关 键 ， 动 圆 圆 心
10、 满 足 的 条 件 是 关 注 的 焦 点解析取过 O 点且与 l 平行的直线为 x 轴，过 O 点且垂直于 l 的直线为 y 轴，建立直角坐标系.设动圆圆心为 M（ x， y） ， O 与 M 的公共弦为 AB， M 与 l 切于点 C，则| MA|=|MC|.A BCMO xyl AB 为 O 的直径， MO 垂直平分 AB 于 O.由勾股定理得| MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而| MC|=|y+3|， =|y+3|.92x化简得 x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程.【名师指引】求轨迹的步骤是“建系，设点，列式，化简” ，建系的原则是特殊化（把图形放在最特殊的位置
11、上） ，这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系。【新题导练】5.已知圆的方程为 . 是该圆过点（3，5）的 11 条弦的0862yx121,a长，若数列 是等差数列,则 数列 的公差的最大值为 121,a 解析 04圆心坐标为 （3，4） ，半径为 5，圆的弦长的最小值和最大值分别是 和 10，C 64数列 的公差的最大值为121,a 1064考点: 与圆有关的最值题型：求与圆有关的最值例 4 已知圆 ，求（1） 的最大值（2） 的最大值与最小值)2(yxyxxy（3） 的最小值yx【解题思路】根据所求式子的几何意义求解或转化为函数的最值解析（1） 表示圆上的
12、点 到原点的距离的平方2),(yxP因圆心到点 的距离为 2， 的最大值为 3，从而 的最大值为 9),(yxP|O2yx方法 2：设 ，则sin,coyx 9cos45sin)co2(22 yx（2） 表示圆上的点 与原点连线的斜率，所以 的最大值与最小值是直线 与y)(xPxPO圆相切时的斜率，设直线 的方程为 ，Oky由 得 ， 的最大值与最小值分别为 和1|2k3x3（3）设 ，sin,coyx则 52)cos(522 y解法 2：设 ，则 ，txtyx代入圆的方程并化简得： 034)(422 t，解得：03(0)(162tt 52t【名师指引】 （1）与圆有关的最值的求法有：几何法、
13、函数法、判别式法（2）用几何法时，要见“数”想“形” ，即所求式子的几何意义（3）用函数法时，常用三角换元【新题导练】6已知 满足 ,则 的最小值为 yx,12xy解析 4表示圆上的点 与点 连线的斜率，所以 的最小值是直线 与圆12x),(yP)2,(Q12xyPQ相切时的斜率，设直线 的方程为 ，即O)1(xk0kk由 得 ， 的最大值与最小值分别为 1|2|k432y43抢分频道基础巩固训练1、点( )在圆 的内部，则 的取值范围是 （ ）1,2a5)1(22yxaA1 1 B 0 1 C1 D 1a5151a解析: 由 得 1)2()52、 （2009 天河区）直线 平分圆 的周长，则
14、yxb280xybA3 B5 C3 D5解析：直线 经过圆心（4，-1） ，yx3、方程 表示的圆与 轴相切于原点，则20DEyFxA B ,0 0,EFC D ,0解析：圆心 在 轴上， ，又圆经过原点，(,)2Ey 4、直线 截圆 所得弦 的中点是 ，则 = l0xAB)23,1(C|AB解析：圆心 ，半径 ， ，又)1,0(Mr2 22MCr5、关于方程 表示的圆,下列叙述中:关于直线 x+y=0 对称;其022ayxyx圆心在 x 轴上;过原点半径为 .其中叙述正确的是（要求写出所有正确命题的序号）解析: 圆心为 ,半径为 ,故正确)(a|2a6、已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ，以
15、原点为圆心的ABC )1,6(,2()3,CBA圆与三角形有唯一的公共点，求圆的方程解析：原点到三角形三边的最近距离是 1，原点到三角形三个顶点的最远距离是 ，37故所求圆的方程为 或2yx72yx综合提高训练 3-47、 （2007 惠州）若直线 经过圆20(,)axbyab的圆心，则 的最小值是 2410xyba1（ ）A B C4 D2解：圆心为 ， ，)2,1(C1ba 42)1(ababa8、已知 mR，直线 l： 和圆 C： 。2()mxy2860xy（1）求直线 l 斜率的取值范围；（2）直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，若 的面积为 ，求直线 的方程5l解：（）直线 的
16、方程可化为 ，l2241myx直线 的斜率 ， 2 分l21km因为 ，()所以 ，当且仅当 时等号成立2k 1所以，斜率 的取值范围是 5 分2，（）由（）知 的方程为 ，其中 l(4)ykx12k圆 的圆心为 ，半径 C(4)， r圆心 到直线 的距离 9 分l21dk， ， ，解得21|kAB 58124kSABC 581|42k21k所求的直线方程为 或0yx0yx9、 （惠州市 2009 届高三第一次调研考试）已知平面区域 恰好被面积最小的240xy圆 及其内部所覆盖22:()()Cxaybr()试求圆 的方程()若斜率为 1 的直线 与圆 C 交于不同两点 满足 ,求直线 的方程l
17、 ,.ABCl解:()由题意知此平面区域表示的是以 构成的三角形及其内部,(0)4,(02)OPQ且 是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径OPQ是 ,所以圆 的方程是 522()15xy()设直线 的方程是: 因为 ,所以圆心 到直线 的距离是 ,即lbCABCl102解得: 2|1|0b所以直线 的方程是: l15yx10已知圆 C： ，是否存在斜率为 1 的直线 l，使 l 被圆 C 截得0422的弦 AB 为直径的圆过原点，若存在,求出直线 l 的方程;若不存在说明理由。解：圆 C 化成标准方程为 23)()(y假设存在以 AB 为直径的圆 M，圆
18、心 M 的坐标为（a，b）由于 CM l，k CMkl= -1 k CM= ， 即 a+b+1=0，得 b= -a-1 12ab直线 l 的方程为 y-b=x-a，即 x-y+b-a=0 CM= 23a以 AB 为直径的圆 M 过原点， OMBA，2)3(9222 abCBM22ba 2)3(9ab把代入得 ，032a123a或当 , 直线 l 的方程为 x-y-4=0；5,3ba时当 , 直线 l 的方程为 x-y+1=01时故这样的直线 l 是存在的，方程为 x-y-4=0 或 x-y+1=0参考例题：1、 过点 且与 轴相切的圆有且只有一个，求实数 的值和这个圆的方程),4(,0mBAxm解析:由题意，设所求圆的方程为 ， 点 在圆上22)()(bya),4(1,0BA，02)4(2bab将上式代入下式并整理得： 0168)1(22mam满足条件的圆有且只有 1 个， 方程有且只有 1 个根，或 即 或1m0)6)(462 0)17(或0当 时，所求圆的方程为 425)()(2yx当 时，所求圆的方程为 89174
