1、- 143 -5-3 矩形截面偏心受压构件正截面承载力计算（一）正截面承载力计算基本方程式 es0Nd sAbAsfsdh/2asxh0-/2oacs shooxs图 5.3-1 矩形截面偏心受压构件正截面承载能力计算图式图 5.3-1 是根据5-2 给出的计算基本假设绘制的矩形截面偏心受压构件正截面承载力计算图式。承载力计算的基本公式，可通过构件破坏时的内力平衡条件求得：由轴向力平衡条件，即 得0N（5.3-1）ssdcdAfbxf由所有的力对受拉边（或受压较小边）钢筋合力作用点取矩的平衡条件，即得0sAM（5.3-2）)()2(sosdocdso ahAfxhbfeN由所有的力对受压较大边
2、钢筋合力作用点取矩的平衡条件，即 得0sAM（5.3-3）)()2(00 ssscdsd ahaxbfe由所有的力对轴向力作用点取矩的平衡条件，即 得N（5.3-4）sdsscd eAfxhebf )2(0在公式（5.3-1）（5.3-4）中，除图中标明的常用符号外，应着重说明的有：受拉边（或受压较小边）钢筋的应力，其取值与受压区高度 x 有关：当s- 144 -时，取 =fsd；当 x bh0 时， 按公式（5.2 -3）计算；0hxbss轴向力作用点至受拉边（或受压较小边）钢筋合力作用点的距离；se 20es轴向力作用点至受压较大边钢筋合力作用点的距离；se ssahe0轴向力作用点至混凝
3、土截面重心轴的距离，即初始偏心距， ；oe doNMe偏心矩增大系数，按公式（5.2-2）计算应用上述基本方程式计算大偏心受压构件承载力时，为了保证受压钢筋的应力达到其抗压强度设计值，混凝土受压区高度应满足下列条件：（5.3-5）sax2若不符合公式（5.3-5）的条件，说明受压钢筋离中性轴太近，构件破坏时，受压钢筋的应力达不到抗压强度设计值。这时，构件的正截面承载力可按下列近似公式求得：（5.3-6）)(00ssdsahAfeN应用上述基本方程式计算小偏心受压构件，当轴向力作用在纵向钢筋 As 和 之间时，为了防止离轴向力较远一侧混凝土先压坏，尚应满足下列条件：（5.3-7）sosdocds
4、o ahfhbfe)2(式中 轴向力作用点至受压较大边钢筋合力作用点的距离，其数值应以正值代入上式，se即改为按下式计算， ；sosaeh2受压较大边钢筋合力作用点至截面受压较小边的距离， 。oh soah（二）实用计算方法在实际设计工作中，偏心受压构件正截面承载力计算通常遇到截面设计和承载力复核两类问题。- 145 -1、截面设计偏心受压构件的截面尺寸，通常是根据构造要求预先确定好的。因此，截面设计的内容是根据己知的内力组合设计值选择钢筋。利用上述基本方程式进行配筋设计时，对于非对称配筋情况，存在三个未知数（A s、和 x） 。但是在基本方程式（5.3-1）（5.3-4 ）中，只有两个独立方
5、程式，因而问题的s解答有无穷多个。为了求得合理的解答，必须根据不同的设计要求，预先确定其中一个未知数。当偏心距较大时（ ） ，一般是先按大偏心受压构件计算，通常是先假设 x0.3eh值。按着充分利用混凝土抗压强度的设计原则，假设 。0hxbx 确定后，只剩下两个求知数（A s 和 ） ，问题是可解的。对大偏心受压构件，取A， ，分别代入公式（5.3-2）和（5.3-3 ） ，求得受压钢筋截面面积 和受sdf0hb sA拉钢筋截面面积 As：（5.3-8）ssdcsahfxbeNA002（5.3-9）ssdcsf00若按公式（5.3-8）求得的受压钢筋配筋率小于每侧受压钢筋的最小配筋率（） ，则
6、应按构造要求取 。这时，应按受压钢筋截面面积 已知的%2.0min bhAs2. sA情况，重新求解 x 和 As。对于这种情况，应首先由 的条件（公式 5.3-2） ，求得混凝土受压区高度 x。0sAM若 ，属于大偏心受压构件，则取 ；若 ，属于小偏心受压构件,应按0hxb sdf0hxb公式（5.2-3）计算 值。然后，将所得 x 和相应的 值代入公式（ 5.3-1） ，由 的ss 0N平衡条件，或代入公式（5.3-3 ） ，由 的平衡条件，求得受拉边（或受压较小边）0sA的钢筋截面面积 As。若按此步骤求得的 As 值仍小于最小配筋率限值，则应按构造要求配筋, 取 As=0.0036h。
7、- 146 -当偏心距较小时（ ） ，受拉边（或受压较小边）钢筋应力很小，对截面承3.0ohe载能力影响不大，通常按构造要求取 。这时，应按受拉边（或受压较小边）bhAs2.钢筋截面面积 As 已知的情况，求解 x 和 。s对于这种情况，先按小偏心受压构件计算，将 的计算表达式（5.2-3）代入公式S（5.3-3 ） ，由 的平衡条件，求得混凝土受压高度 x。0SAM若所得 x 满足 ，则将其代入公式（5.2-3）计算 值。然后，将所得 x 和bhxs值代入公式（ 5.3-1）或代入公式（ 5.3-2） ，求得受压较大边钢筋截面面积 。若按上述s sA步骤求得的 仍小于最小配筋率限值，则应按构
8、造要求取 。sA bhAs02.若由公式（5.3-3）求得的 xh，即相当于全截面受压的情况。这时，公式 (5.3-3)中的混凝土应力项中应取 x=h，而钢筋应力 仍以包含未知数 x 的公式(5.2-3)代入，并由此式s重新确定 x 值和 值。然后，再将 值代入公式(5.3-1)，求得钢筋截面面积 。ss sA（2）对称配筋在桥梁结构中，常由于荷载作用位置不同，在截面中产生方向相反的弯矩，当其绝对值相差不大时，可采用对称配筋方案。装配式柱为了保证安装不出差错，有时也采用对称配筋。运用基本方程式（5.3-1）（ 5.3-4） ，解决对称配筋设计问题，只存在两个未知数（和 x） ，问题是可解的。s
9、A若 为小偏心受压构件,将 的计算表达式公式（5.2-3 ） ，代入公式0dNcfb0hs（5.3-3 ） ，联立解公式（5.3-3）和（5.3-2） ，并令 ，求得 x 和 。若sAsA，则所得 即为所求。hxb0sA2、承载能力复核对已初步设计好偏心受压构件进行承载能力复核可分为两种情况：第一类问题是在保持偏心距不变的情况下，计算构件所能承受的轴向力设计值 Ndu，若，说明构件的承载力是足够的。dduN0第二类问题在保持轴向力设计值不变的情况下，计算构件所能承受的弯矩设计值Mdu（或偏心距 ） ，若 （或 ） ，说明构件的承载力是足够的。ue0dduM00ue运用基本方程式（5.3-1）（
10、 5.3-4） ，解决第一类偏心受压构件的承载能力复核问题，只存在两个未知数（x 和 ） ，问题是可解的。duN对于这种情况，应首先由公式（5.3-4） ，M N=0 的平衡条件，确定混凝土受压区高度x。当偏心距较大时，可先按大偏心受构件计算，取 代入公式（5.3-4）：sdf(5.3-12)sdsdscd eAffxhebf 20展开整理后为一以 x 为未知数的二次方程，解二次方程求得 x。若 ，则所得 x0hb即为所求。当偏心距较小或按公式（5.3-12）求得的 时，则应按小偏心受压构件计算，将0hxb公式（5.2-3）代入公式（5.3-4） 。经展开整理后为一以 x 为未知数的三次方程，
11、解三次方程求得 x 值。若 ，则所得 x 即为所求。并代入公式（5.2-3 ）计算 值。hxb0 s若按小偏心受压构件计算，由公式（5.3-4）求得 x h， 即相当于混凝土全截面均匀受压的情况，计算混凝土合力及其作用点位置时，应取 x=h；计算钢筋应力 时，仍以包含s- 148 -未知数 x 的公式（5.2-3 ）代入，并由公式（5.3-4 ）重新确定 x 值和计算相应的 值。s求得混凝土受压区高度后，将 x 及与其相对应的 值，代入公式（5.3-1） ，求得构件s所能承受的轴向力设计值(5.3-13)ssdcduAfbfN式中：当 时，取 ；0hxbsdf当 时， 按公式（5.2-3 ）计
12、算；s当 xh 时，计算混凝土合力项时取 x=h。若 ，说明构件的承载力是足够的。dduN0运用基本方程式（5.3-1）(5.3-4) 解决第二类偏心受压构件承载力复核问题，存在两个未知数 es（或 es）和 x， 问题是可解的。这时，可先按大偏心受压构件，令 代入公sdf式(5.2-1) ，由 N=0 的平衡条件，确定混凝土受压区高度 x。若所得 ，则将所得0hbx 值代入公式(5.3-2)或(5.3-3)，求得允许偏心距 esu（或 esu） 。若 （或 esu es）说sue明构件的承载力是足够的。若按 由公式(5.3-1)求得的 ，则应改为按小偏心受压构件计算，将 计sdf0hxb s
13、算表达式(5.2-3)代入公式(5.3-1)。求得混凝土受压区高度 x，若 ，则将其代入公hxb0式(5.3-2) 或(5.3-3)，计算允许的偏心距 esu（或 esu） 。若 esu es（或 esu es）说明构件的承载力是足够的。- 149 -例题 5.3-1有一钢筋混凝土偏心受压构件，计算长度 L0=10m，截面尺寸为 300600mm，承受的轴向力组合设计值 Nd=315kN，弯矩组合设计值 ，结构重要性系数 ，mkN21dM1o拟采用 C30 混凝土， ；HRB335 钢筋， ， ，pa8.13cf Pa80sf MPa280sdf， 。试选择钢筋，并复核承载力。MPa1025s
14、E560b解：因 ，故应考虑偏心矩增大系数 的影响， 值按7.hL公式（5.2-2）计算 21014hLe式中： ；0em7.6031523dNM；)45(46ss aah假 设L0=10000mm；h=600mm ；，取 ；1.37.6.207.21 e 。98.01.5.52 hl代入上式则得 16.980657.1402计算偏心距为 m4.1028520hes 671sosa（1）钢筋选择- 150 -因 ，显然为大偏心受压构件，取 。39.157.61.0he Mpa280sdf首先，以 代入公式（5.3-8） ，求得受压钢筋截面面0.8m0xb积 )(200ssdcsahfxbeNA
15、 )45(28)28.310(.30.113532m.出现负值，则应改为按构造要求取 ，外经sA 2m36002 bhAs16.2mm 选 314，供给的 ，仍取 。246s 45sa这时，应由公式（5.3-2）计算混凝土受压高度 xssdcds hAfxhbfeN000)2( 456280538.141353 x展开整理后得x2 - 1110x + 124624.35 = 0解之得 x=126.75mm2as=245=90mm将所得 x 值代入公式（5.3-1 ） ，求得受拉钢筋截面面积为 230 m1280514675.1638. sddcdsfNAf选 420，外经 22.7mm 供给的
16、 As=1256mm2，布置成一排，所需截面最小宽度 bmin = 230 + 330 + 422.7= 241mm 2 =245=90mmsa将所得 x 值，代入（公式 5.3-1） kN315k9.32N109.322680468dosdscduAffbxf 计算结果表明，结构的承载力是足够的。例题 5.3-2有一现浇的钢筋混凝土偏心受压构件，计算长度 Lo=2.5m，截面尺寸 250500 mm，承受的轴向力组合设计值 Nd=1200kN，弯矩组合设计值 Md=120kNm，结构重要性系数=1。拟采用 C25 混凝土，f cd=11.5Mpa，f td=1.23Mpa；纵向钢筋拟采用 H
17、RB335 钢筋，0=280MPa， ，f sd=280MPa， b=0.56。试选择钢筋，并复核承载能sdf MPa10.25sE力。解：因 L0/h=2500/500=5，故可不考虑附加偏心增大系数 的影响。假设， 。计算偏心距为m37sa m463750sah30012461325017m2dssseNhea（一）配筋设计，偏心距较小，先按小偏心受压构件设计。6.0430h首先按构造要求，确定受拉边（或受压较小边）钢筋截面面积， As 0.002bh=0.002250500=250 mm2，选取 312， （外经 13.9mm）供给 As =339 mm2 ，=30+ mm=37mma1
18、.92然后，由 的条件（公式 5.3-3） ，求混凝土受压区高度 x。式中， 按公式0sAMs（5.2-3 ）计算，对 C50 及以下混凝土， cu=0.0033， =0.8；HRB335 钢筋Es=2105MPa；h 0=463mm，代入后得- 153 -)14.370(6)148.0(203.)1(5 xxhxEoscus将上式和有关数据代入公式（5.3-3） 3 .120.570394672x展开整理后得x3 - 74x2 28025.6 - 24559321=采用 Podolsky 逐次渐近法求解三次方程得x= 351.9mm bh0=0.56463=240.76mm，说明按小偏心受压
19、构件计算是正确的。注：Podolsky 逐次渐近法求解三次方程设 f(x)=Ax3+Bx2+Cx+D令 x=x1+x 1，其中 x1 为第一次假定值，x 1 为校正值，由台劳公式可得：0!2!1xffff略去 x 1 的高次项得：f(x1)= - 1xf所以， 1xf则 CBxADx 12311将上式求得的 x 值，做为第二次假定值，继续试算，一般通过 23 次试算，即可达到要求。受拉边或受压较小边的钢筋应力为： 370.4()6(1)370.461.MPa95scusoExhx拉 应 力由 N=0 的条件（公式 5.3-1） ，求得受压较大边钢筋截面面积为：03211.5031.947387
20、4.5mdcsssNfbxAA- 154 -选取 416 , (外经 18.4mm)供给 As =804 mm2，a s =30+18.4=39.2mm，取 mm。sa钢筋按一排布置，所需截面最小宽度 bmin=230+418.4+330=223.6mmb=250mm。受压较小边钢筋已选取 312，A s =339 mm2， as=37mm， h0=463mm。实际的计算偏心距为e0=100mmes=313mm=eoh/2 + =100500/2+40=108mmsaes=3102537NdK41ho=6 103 2s54 28图 5.3-4 偏心受压构件计算简图及配筋（图中尺寸单位为 mm）
21、（二）稳定验算对垂直于弯矩作用平面进行稳定验算，由公式（5.1-1）得 ssdcdu AfbhfN9.0由 L0/b=2500/250=10，查得 =0.98，代入上式，30.81.52839040K12Ndu d 计算结果表明，垂直于弯矩作用平面的稳定性满足要求。（三）承载力复核由 M N=0 的平衡条件（公式 5.3-4） ，确定受压区高度 x sdsscd eAfxhebf 20- 155 -将 和有关数据代入上式：14.370610xhxEscus .1.52343912804182展开整理后得x3300x 2 +31803.6x18044759.4=0解三次方程得 ，属于小偏心受压构
22、件。54.1m0.56439.28mboxh受压较小边钢筋应力为 07.10.4MPascusEx 拉 应 力将所得 x 和 值代入公式(5.3-1)得s31.5204.1803.499N29K120NducsdsodfbxfA计算结果表明，承载力是足够的。此外，对于轴向力作用于 和 之间的小偏心受压构件为了防止离纵向力较远一侧sA混凝土先压坏，尚应满足公式（5.3-7）的限制条件 000()()2dscsdshNefbfa式中 代入上式后得546m,18s shae3 501.02108.504628394607满足要求。669.N942例题 5.3-3有一装配式钢筋混凝土柱，计算长度 L0
23、=2.5m，截面尺寸为 250500。承受的轴向力组合设计值 Nd=1328kN，双向变号弯矩组合设计值 Md=121.9kNm，结构重要性系数。拟采用 C25 混凝土， fcd=11.5Mpa，f td=1.23Mpa；R235 钢筋 ，0.1 MPa195sdf- 156 -， 。试按对称配筋原则选择钢筋，并复核承载力。62.0bMPa10.5sE解：因 ，故可不考虑附加偏心增大系数的影响，即 。假设0Lh 1，则 h0=h as=50037=463mm.m37sa计算偏心距为： m2.1372508.9128.4469129.1030 sssdaheNMe（1）配筋设计因相对偏心距较小，
24、可先按小偏心受压构件计算，将 )14.370(69)148.0(1.03.)1( 5 xxhxEoscus代入公式（5.3-1） ，并取 ，sA ssdcd AxfbxfN14.370690 .30fbfAsdss= 2.568710324.706915528xxx将上式代入公式（5.3-2） ssdcds ahAfhbfeN0002 37462.56871319546325.1830412 xxx展开整理后得：- 157 -081394752.4697.1023 xxx解三次方程得： mm7obh说明按小偏心受压构件计算是正确的。受拉边或受压较小边的钢筋应力为 0370.416913.Mpa
25、2scusExh 压 应 力所需钢筋截面面积 sdcsfbxNA023 m6.130519572.28选取 422，供给的 ，钢筋布置成一排，所需截面最小宽度2m0sAbmin=230+422+330=238mmb=250mm。 ，h 0=50041=45923041samm。 0Nd=1328Ke09.h0=4595s41s 250s 84 2图 5.3-5 偏心受压构件计算简图及配筋（2）稳定验算对垂直于弯矩作用平面进行稳定验算，由公式 5.1-1 得：sdcdduAfbhfN29.0- 158 -由 ，查得 ，代入上式02510Lb.98.98.5201520duN377.kN38kd（3）承载力复核由 M N=0 的条件（公式 5.3-4）确定混凝土受压区高度 sdsscd eAfxhebf 20将 和有关数据代入上式，14.3706910xhxEscus 2.150198.304152.32458.325.1 x展开整理后得： 76.98.023 x解三次方程得： m.245.m4.72hb受拉边或受压较小边钢筋应力(压应力)Mpa7.314.37206910 hxEscus将所得 x 和 值代入公式（5.3-1）得sssdcduAfbfN15207.3152094.37250.1= kN8k d计算结果表明，结构的承载力是足够的。
