1、 43*14)53(*14tan)53(*14tan14tan*)53( limlilimli nnnn22 42*)(42*)( 2221* )1(21( )3( lili lilie xxxxxxx xxxx 2464*26*32222 )1()()1(3)13()3( limlilimli eexxxx xxxxxx 降幂公式： 2cossin2 2coscs2 33tan3120cot20 22 )ta31()tan31( limlimexx xxxx 323232*3 1*)1()2(11)2(lili exxxxxx当 x-0 时 1)ln(arctrsintasin xexxx2
2、co11)(1ln)1l()ln(*)ln( 000 imiim exxxxx（对数肩膀可提前，重要极限二）(+2)2+(2)20 0111)1(1 222 limlilim a xcbacbxaxcbxoax xxx1,0 11lilili22 ba xcbcbxaxcbxxx 是 同 阶 无 穷 小与时 ，当又 )2sin()co2sin( 21*2)sin(s)si(0)2in()co2sin( lmllmll222 xx xxxxxx2)1(1)()1(lnl1 limliimi 12 xxxxxx5414 321)1()()1(100)(1sin,3)( limlilimlill 1
3、21212212 ab axxaxaxabbxabax xxxxx必 有 ， 求716)6(165)sin( lilil 1121 xxxxx )cos(tansitacoi00xx11.12 部分例题：第 一 类 可 去 间 断 点无 意 义 abeabxaxxf xxbx 1*ln*)1ln()1ln()( imiimli 0*00031*)32(211linnn210)(1)(li0kxfxkekxxx处 连 续在qaSqn1时当11.13 部分例题：0000)()(lim0xfxfyxx )()()()li00 afxfafafxx )(423)(53)(235)(2 2)3()2)(
4、525lili limli00 00affafhfafhfaf hafhffhhh h xxln)(10.14 部分例题： )2(1ln2ln)l(31126|)13(l2xytytxtykttxyt法 线 方 程 ：切 线 方 程 ： ，时 ，当处 可 导在 点时 ， 即 处 连 续在 点时 ， ， 极 限 不 存 在时 ，当 ， 极 限 不 存 在时 ，当 时 ，当 0)(101 1sin*1sin*)(00si)(1n)0()(0si*)(0000lmllimllilmli xf xxfxxfxffxfxxxxxx11.15 部分例题： xxxxxxy tanlseclnta21tanl
5、seclnta2 222 11.16 例题：)2(311*23*12 ln)ln(lnl)2(1223232 xxxyxy )(ln1*3)(ln3* lll 32233 xxxy 22122)(*)( xaxay 11 )(cos*insico*s)sin(*)(cossincosin nnnn xxxxy222 2221222*1 )1()( )l( xaxaxa xaxayax 22 2224arcsin1*4arcsin2 1*4arcsin1*4rsi1*)(arcsin2)( xx xxxy 222 sinco1*sin*cos)(*sin)(si xxxy )2sec(tan*1
6、0l )2*secta(0l(ta2tan 2tantan xx xx xx 201)1(cos22 1)(cos21)1(sinl)( 010)1ln( )1ln()ln()(0)(si)( 1)(1 ,1)(sinl)(11 2222211x 11x 2limmli bababxaax xxbaxbaxf aaf aaxxf bf xfx baxxbaxxfxxxx， 又 ， 处 连 续在处 可 导 ， 推 出在解 ： 由 处 可 导 ， 求在 点，幂指函数求导 )()*ln()( xfxgxgefy)1(l)1(ln*)(lln xxexx )sinl*icos*(t)(sin )sin
7、l*icos*(tcos*icol)isicos sinlcoil silcocos xxx xxexey xx 抽象的复合函数求导：)(ln)*(1)(ln xffxfxfyf )()1()( xxxx efefy )(*)(xfeyxff11.17 例题： 22222 1)(arcos)(arcos)1(*)(arcos*)(arcos*)( ) xfxfxxfxffxfy )(cs)()(sincosi)()(ssin)(i )s 22222 ffffxfff 高阶导数：求两次导以上（平均速度） =（瞬时速度） =加速度例： xyxyxy cossin6cos6,i32 ， 求例：y=a
8、x+b 求 y y=a y=0例：y=cosnx 求 y y=-nsinnx y=-n2cosnx例：y=e sinx ，求 y y= esinx *cosx y= esinx*cos2x- esinx *sinx= esinx (cos2x-sinx)例：y=xlnx ，求 y y=lnx+1 y= x1例：y=e x y(n)=ex例：y=x 5 y=5x4 y=5*4x3 y=5*4*3x2 y(4)=5*4*3*2x y(5)=5*4*3*2*1=5!(xn)(n)=n! (xn)(n+1)=0例：Y=5x 10+3x8-7x+9 ，求 y(10) y(10)=5*10!例：Y=(x
9、2+1)10(x9+x3+1)，求 y(30)=0例：Y=sinx，求 y(n) =sin(x+n* 2)Y=cosx=sin(x+ 2) y=cos(x+ )=sin(x+ + )=sin(x+2* 2) y=cos(x+2* 2)=sin(x+3* ) y(n)=sin(x+n* 2)例：Y=cosx，求 y(n)=cos(x+n* )例：设 f(x)的 n-2 阶导数 f(n-2)(x)=x/lnx，求 f(n)(x) 334242)( 2)()1( )(ln2)(ln12)(ln*1)(l)(ln1(l*l)ln xxxxxf xffnnn 11.18 笔记Dy=f(x)*dx-线性主
10、部 dx-自变量的微分例 1： dxxdyy221)ln(， 求例 2： dxxdxdxyy 22 )1(cosin)1(*cos*sin)1cos( ， 求例 3： eeyexx )2。， 求例 4： ddy2cos()sin(。， 求例 5： dxfxfxfyxf )(ln1)(ln)lnl 的 微 分 。求微分：dy=f(x)dx微商： )(fdy=分子、分母做微分，再约去 dx，结果无 dx例 6： xxxedecossin例 7： 3222 2sincosin)in()i( xdxd 第三章重点：1、导数的定义及其几何意义（平面曲线的切线和法线）2、函数可导与连续的关系3、函数的各种
11、求导法则（四则运算、复合函数、反函数）4、基本初等函数的导数5、高阶导数6、微分的定义和微分的基本公式及运算法则7、经济学中的边际函数和弹性函数讲解：1、函数的导数（1）导数的定义 xffxfxf xx )(0)()( 000 limli0例： 1)(1)(10fff ， 问 导 数，已 知 函 数法一： 1)()( lililililim000000 xxxxxf xxxx法二： 1|)1()(02x（2） 、基本求导公式、求导法则例：xxxxxyxy 2222 41tan1tan1)(*1sin(co1cosln。， 求设（3）幂指函数求导 )(ln)(fgxef例： xxxxxxx xx
12、xxx ee eeeyy 21sinsin2sin 2lnsilsiin 1arctn*lco)(1(arct)sinl(co )*(art()1*l(os*rt) ac 。， 求（4）单侧导数（左导存在，右导存在，且左导=右导）例： 处 不 可 导在 ，） 求 导 ， 代 入） 导 数 的 定 义 ； （： （处 的 可 导 性 。 两 种 方 法在， 讨 论， ，0)()(1 |21cossin)( 10)(0i02xfffxfxf11.19 笔记（5） 、高阶导数例： ef exexexexxeffxf xxxxx )1( 1*)1(*)1(0*)1(*)( )( 3232221 112
13、11， 求设（6）可导=可微 ， 可导- 连续- 极限（7）微分 )(0*Ay微商例： 5.03*46)2(.5.06.03.0002 xxffdy xxx解 ： 。 则时 ， 对 应 的 线 性 主 部处 ， 已 知 在 点设 函 数P154 第四章 微分中值定理和导数的应用1、弗马引理：极值点处的导数为 02、罗尔定理：（是拉格朗日定理的特例） 0在 一 点 的 导 数 为函 数 在 开 区 间 内 至 少 存函 数 相 等 ）区 间 端 点 函 数 值 相 等 （ ）在 开 区 间 内 可 导 （ 开 导 ）在 闭 区 间 内 连 续 （ 闭 连条 件 ： 几何意义：过一个曲线弦，过一点
14、作一条切线，这一条切线是水平的，这一条切线的斜率等于 0驻点：使得导数为 0 的点称为驻点。F(x 0)=0，x 0 为驻点。例：判断函数 f(x)=x2-2x-3 在 -1,3上是否满足罗尔定理条件，若满足，求出它的驻点。分析：（1）基本初等函数连续，f(x)在-1,3 上连续；（2 ）函数的定义域是 R， （-1，3）属于于 R，是可导的；（3）f(-1)=1+2-3=0 f(3)=9-6-3=0 区间端点的函数值相等。可推出函数 f(x) =x2-2x-3 在-1,3上满足罗尔定理条件。求驻点：f(x)=2x-2=2 （x-1） 令 2（x-1 ）=0 =x=1解： 2)( 0)()3,
15、1 0)3(1,)(2xf xff ffxf， 使 得取 上 可 导 ， 且，上 连 续 ， 在在 满 足例：设 f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)，判断 f(x)=0 时有几个实根，并指出这些根所在的区间。解： 的 三 个 实 根为， 为 三 次 方 程 ， 使 得， 及同 理 ： ， 使 得上 满 足 罗 尔 定 理 条 件在 0)()( 0)()()5,3(,21,)(321 321xfxf xffff11.20 笔记罗尔定理的课后三个习题：习题 1： 间 端 点 值 不 相 等 ）， 不 符 合 罗 尔 定 理 （ 区， 1)(3xf习题 2： 为 驻 点， 即令。符
16、合 罗 尔 定 理 ， 求 驻 点， 在 区 间40620)( 62*6 6xxf x习题 3： 尔 定 理 。内 ， 不 可 导 ， 不 符 合 罗，函 数 在 区 间，解 ： 。， 问 是 否 符 合 罗 尔 定 理， 1)0()( 1)( 0)( 1|)( limli00 ff xxff xfxx拉格朗日中值定理=微分中值定理1、 )()(fabf自 变 量 的 改 变 量函 数 的 改 变 量开 导闭 连条 件 ：2、几何意义：过一个曲线弦，过一点作一条切线，这一条切线是平行的。罗尔：闭连、开导、端点函数值相等，使得导数为 0拉格朗日中值定理：闭连、开导，使得导数=函数的改变量/自变量
17、的改变量例 1：f(x)=sinx,0,p/2，是否满足拉格朗日中值定理解： 2102)()(cos)(20)( ffxf xf使 得 ： 可 导，在 上 连 续 ，在证明 2：arcsinx+arccosx=P/2， -1,12arcosrsin 220rs0i)( 0)1()(1arcosrsin)( 22 xCfx xxfxf ， 即又 一 定 会 有， 则 任 意令 结论 1：如果函数 f(x)在区间 I 上的导数恒为零，则 f(x)在区间 I 上是一个常数结论 2：假设在区间 I 上有两个函数的导数处处相等，则这两个函数之间至多相关一个常数。如：x 2+5，x 2+6，x 2=导数=
18、2x例 3：设函数 f(x)=ekx，在区间 -1，1满足罗尔定理，求 K。解：e -k=ek 推出 K=0例 4：函数 f(x)=x3+2x，在0,a满足拉格朗日中值定理，求点 = a3解： aaaf abaf 3,0332)( 2)(223， 复合函数求导例题：1、 112111112 222222 tansec4*tn*sec)(sec xxxxxxx ee2、 ilnli)(oo 22 lllnln 11.22 笔记4.2 洛必达法则（5-7 分计算题）求导解决极限的问题。 ，0使用洛必达的条件：1、使用范围： ，02、分子和分母都有导数3、分母的导数不为 04、导数比的极限存在例 1
19、： 2346123123limlilim xxxxx例 2： nxnx 11例 3： lili00xxee ex-1x例 4： 11*)1ln(limiim000 xxxxxln(1+x)x例 5： )()()( 10100ll xxx（1+x） a-1ax例 6： aaaxax cos1sini例 7： 61323cos161cosini020 002030limli l xx xxx xxx或 原 式例 8： 313tansectantan 2020203020 limli xxxxxx例 9： 1coscos*cosin*cosin1sil lilil 00000 bxabababxba
20、b xxxxx例 10： 1arct2 22lilmli xxxxxx最后一步用除以最高次例 11： 01lnliliii 1 axaxaxax例 12： !)(l xxnxxn eee是 正 整 数例 13： 02121ln1lln 23030202020 limliimiiim xxxxxx例 14： lilili22xxxxx ee例 15： 1*11*)(limlili211 xexeex xxxxx或 原 式无穷-无穷型，通分例 16： 04212cos1sinsin)sin1( 2002000 limlillll xxxxx xxx例 17： )1( i002000eeee xxx
21、xxxx11.23 笔记例 1： 1limlilimli 011nlnln00 02000ilm eeex xxxxxx例 2： 111lnln1ln11 liiii 1 xxxxxxx x例 3： 1)0( 1limlilimli)(cos)()(0)(cs) 0cosin1)in*(s)n(cos )ln(cos1)ln(cos10100100 0 af eeexxf afaf xx xxxxxx x解 ： 。是 连 续 函 数 ， 求， 若 ， 若例 4： 1)cos1(coslili xxxxP173 4.3 节 函数的单调性判断函数的单调性的步骤：1、判断原函数的定义域2、求一阶导数
22、3、找点（1）找驻点，即使一阶导数为 0 的点（2）找导数不存在的点4、根据点划分区间，确定在各区间内一阶导数的正负号，讨论原函数的单调性。例 1：求 y=ex-x-1 的单调性Y=ex-1（定义域为 R）当 x 属于（-无穷，0）时，y0，单调增加11.24 笔记例 1：y=2x 3-9x2+12x-3 的单调性。解：y=6x2-18x+12=6(x2-3x+2)=6(x-2)(x-1)令 y=0，得：x=1，x=2原函数定义域为 R把各区间内数值代入到 y，确定 y正负号，推出原函数的单调性。x负无穷，1 1 1，2 22，正无穷f(x) + 0 - 0 +f(x) 单增 单减 单增例 2
23、： 为 不 可 导 点， 定 义 域 为0132)(33xxf Rx负无穷，0 0 0, 正无穷f(x) - +f(x) 单减 单增例 3：当 x0，证明：xln(1+x)这个不等式成立证明： )1ln(00)l(0),()011)( )ln(xxxfffxfxf， 有 ， 即， 有， 有 是 单 增 函 数在 ，令例 4：xex xexefffxfxxffxfexxfx xx10 1010)()(0)()0(1)(0， 有 ， 即， 有单 增 ： ， 即， 有单 减 ： 是 单 增 函 数，时，当 是 单 减 函 数，时，当 ， 即令证 ： 令 时 ，证 明 ： 当P94 习题 2.4 13
24、1)2(3142)31( 2222 limlimlim xxxxxx xxx11.25 笔记P180 4.5 节 函数的极值与最值极值（局部）： ， 右极 小 值 ， 左 ， 右极 大 值 ， 左 最值（整体）： 最 小 值最 大 值第一充分条件：设函数 f(x)在 x0 处是有导数，且在 x0 处取得极值，则 f(x0)=0找极值点：（1）驻点，即一阶导数为 0 的点，0 也是一阶导数的一个根。 （2）不可导点可导函数的极值点一定是驻点，驻点不一定是极值点。求极值的步骤：（1） 判断原函数的定义域（2） 求一阶导数（3） 找极值点：（1）令一阶导数为 0 的点（2）不可导点（4） 检查左右符
25、号（5） 把极值点代入原式求极值例 1：求 f(x)=x3-3x2-9x+5 的极值解： 2)3(1031 )1()(96)(2f xxf x极 小 值 ：极 大 值 ： ， 得 到 驻 点 ：令x 负无穷，-1 -1 -1,3 33，正无穷f(x) + 0 - 0 +f(x) 单增 极大值=10 单减 极小值=-22 单增第二充分条件：（二阶导数）F(x)0，极小值点要求：（1）f(x)=0 （2） f(x)0例 2：求出 x3+3x2-24x-20 的极值解： 48)2(601 )()( 240 )4(3)8(6)( 2fffxf xxf极 小 值 ：极 大 值 ： 是 极 小 值 点，
26、是 极 大 值 点， 入 二 阶 导 数 ）（ 把 一 阶 导 数 的 驻 点 代， 得 出 驻 点 ：令例 3：求 32)1x的极值解： 1)2()(0 )2(1*3)(*)(2)( 31132 fxfxf xxf极 大 值 单 减，时 ，当 单 增，时 ，当不 可 导 点 为 ：找最值点： 区 间 端 点驻 点不 可 导 点极 值 点求最值：把四点代入原式进行比较例 4：求 y=2x3+3x2-12x+14 在-3 ，4上的最大值、最小值。解： 7)1(142)(4312)(734)( 10 )(26)(6162 ffff xy xx， 最 小 值 是最 大 值 是，函 数 在 ， 可 得
27、 驻 点 ：令实际问题求最值：（1） 建立目标函数（2） 求最值例 5：由直线 y=0，x=8 ，及抛物线 y=x2 围成的一个曲边三角形，在曲边 y=x2 上求一点使曲线在该点处的切线与直线y=0 及 x=8 所围成的三角形面积最大。解： 8B（8， 2016x）A( 0,21x)最 大 值是 所 有 三 角 形 当 中 面 积）（故 为 最 大 值 的 范 围 ， 故 舍 去 ）， 超 出（， 可 得 驻 点 ：令三 角 形 面 积 ： ），点 坐 标 （代 入 可 得将 轴 的 交 点 建 联 立 方 程 ：切 线 与 ，点 坐 标代 入 可 得将 轴 的 交 点 建 联 立 方 程 ：
28、切 线 和由切 线 方 程 ： ） 的 切 线 方 程 ：） 为 切 点 ， 过 （设 （27409631)(8 81630 )*4(16443 )280210 2)(68168 22)(2)(2)(2)(|2 )(,002 002 00202020020000002002 00000 S xxSxxAxy xyyxxYBxyx xxxxxxyXxxyyxkyy xkyy题： 01sin1sinsinlmllm0200 xxxxx题： 31*sin3cos33sinco*3cosi3ta lmllll 22222 xxx xxxx 11.26 笔记P145 第 3.6 节 导数和微分在经济学中
29、的简单应用1、边际分析边际成本 MC=（成本） 边际收入 MR=（收入） 边际利润 ML=（利润） L（x）=R(X)-C（X）即总利润=总收入- 总成本L(X)= R(X)-C（X）ML=MR-MC 边际利润=边际收入- 边际成本例 1：总成本=1500+1/1200*q 2 百元，求 q=900 件时的边际成本。解：边际成本 C（q）=（1500+1/1200*q2 ） =1/1200*2q=1/600q将 q=900，代入 C(q)=900/600=1.5即，当 q 从 900 件改变 1 件时，成本要改变 150 元。例 2：设产品的销量 Q 与价格 p 之间的关系 p=150-0.0
30、1Q 元，求收益函数及当 Q=100 件时的总收益与际收益。解：收益函数 R（X）=Q*p=(150-0.01Q)Q=150Q-0.01Q 2当 Q=100 件时的总收益：R （100）=150*100-0.01*100 2=15000-100=14900 元边际收益 MR=R（X） （150Q-0.01Q 2） =150-0.02Q当 Q=100 件时的边际收益：MR=150-0.02*100=148 元/件P147 2、弹性分析（弹性函数）定义：函数 y=f(x)在点 x0 处的弹性。 )(|00xyExy（1）需求价格弹性： )(PDP（2）供给价格弹性： )(SEP例 1： xexex
31、exfyexyXY 2)2()()( 22， 则 其 弹 性 函 数设例 2：设某商品的需求函数为 D(P)=75-P2，求当 p=4 时的需求价格弹性和收益价格弹性。P151 习题解： 46.05927|)3(75)(75)(*54.09|)75()( 42332 4232 PPR PPDPEp收 益 函 数 价 格 弹 性 ：）（收 益 函 数 ：需 求 价 格 弹 性 ：P176 4.4 节 曲线的凹凸性和拐点单调性：（极值点）凹凸性：f(x)0, 凹F(x)0，y0，所以曲线在（0，正无穷）是凹的找拐点：（1）二阶导数不存在的点（2）二阶导数为 0 的点例 2：求曲线 y=3x4-4x
32、3+1 的拐点和凹凸区间。解： 27130320 )(6261113yxxyxy，令x负无穷，0 0 0,2/3 2/33，正无穷f(x) + 0 - 0 +f(x) 凹 0,1 凸 （2/3,11/27） 凹例 3：f(x) 在一个区间内恒有 f(x)0，f(x)0=单增f(x)0 ，f(x)单增 ；f(x)x=3x3 时，f(x)为正数， f(x)为单调增加x0 时， x12证明： xfxffxx120)(00)(12)( ， 即，当 ） 单 增，在 （，） 内 ，在 （令求极值的步骤：1、求 f(x)，或 f(x)2、找极值点：（1）导数为 0 的点（驻点） （2）不可导点3、将极值点代
33、入原式求极值例 6：求 y=2ex+e-x 的极值解： 2*2*22|2ln10 2llog 210120120 112lnl)ln1(ln1ln1 11 eeeyxeyxyxya eeeeeyxa xxxxx极 小 值 ： 为 函 数 的 极 小 值 点驻 点 ：有 公 式 ： ， 即令可导函数的极值点一定是驻点。例 7：当 x=1 时，函数 y=x3+3px+1 取得极值，常数 P=-1解：y=3x 2+3p，当 x=1 时，令 y=0,即 3x2+3p=3+3p=0=p=-1凹凸性与拐点凹凸性的判断：y0，凹； y0）时的凹凸性解： ， 函 数 为 凹 的时 ， 当， 0 32 yxyx
34、y例 9：求曲线 y=x3+3 拐点的个数解：y=3x 2 y=6x 令 y=0 =6x=0，即 x=0当 x0 时，y0 ，函数为凹的当 x0 时，y0 ，函数为凸的把 x=0 代入曲线 y= x3+3=y=3所以， （0，3）是曲线的拐点，即函数 y= x3+3 的拐点只有一个。函数的最值：（1）找最值点： 区 间 端 点驻 点不 可 导 点极 值 点（2）求最值：把四点代入原式进行比较例 10：函数 y=x4-8x2+2 在-1，3的最大值、最小值解：y=4x 3-16x=4x(x2-4)=令 y=0，即可得：x=0，x=2(-2 舍去)F(-1)=-5 f(3)=11 f(0)=2 f
35、(2)=-14所以，最大值 f(3)=11，最小值 f(2)=-14最值的应用：（1）收益函数（2）利润函数=收益-成本（3）求一阶导数，找极值点（4）求二阶导数，判断正负号，确定找到的点是极大值点（或极小值点）（5）把极值点代入原函数，求得最值。例 11：已知某商品的需求函数 x=125-5p(x 产量，p 价格)，总成本 C=100+x+x2,生产的商品能够全部出售，求利润最大的售价。解： 23|5101 10245012 1024561052)10(52)5(52112 222 xpLxx xxxxxCRLxxpx是 函 数 的 极 大 值 点， ， 即令 ）（利 润 函 数 ：收 益
36、函 数例 12： 的 渐 近 线求 2)(14y解： 是 函 数 的 竖 直 渐 近 线，是 函 数 的 水 平 渐 近 线，201)2(404limli222xxyxxx11.29 笔记5.1 节 cxd32cxdsino cuxd1 cxdxartn12积分曲线例 1：设曲线通过点（1，2）且其任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求曲线方程。解： 112 21*2)(221xyccxxdfy曲 线 方 程 为 ：可 得 ： ）， 又 因 为 曲 线 通 过 点 （原 函 数 为根 据 题 意 可 知 ：设 曲 线 方 程 ：求不定积分：得到的是积分曲线族求积分曲线：得到“一条”积分的性
37、质： cxfdfCdffxxfx)( )()(*)(：本 身先 微 再 积 ：本 身先 导 再 积 ：本 身先 积 再 微 被 积 函 数 （ 本 身 ） ：先 积 再 导求微分与求不定积分互逆求不定积分=求原函数的集合5.2 节 基本积分公式cadxexcdxcxdxccxxdxarccx cxdudcxckxxxuulnsotcsanotsianecossinicosarsn1tt0|ln1)(1222，例 2： cxxdxdx 2725252121 1*不定积分的性质：（1）和差的积分=积分的和差 dxgxfdxgf )()()(（2） dxfkxf)()(例 3： cxdxdxdxxx
38、 arsin2rct312131213)12( 22例 4： xxxd lrt1)()()()( 22222练习：2222 2221221 2212 1)(*14)()(*21 )1(*)(*)()(*)(21 )()(1)1(1arctn xxxx xxxxx xxyx 11.30 笔记不定积分的解题技巧：例 1： cxcxxdxdxxddd 1artn12arctnrt 1)()()1()(2 222222例 2： cxxddxxd artn3artn)(11 22242424例 3： cxffxffxf 3os)(3cos)(3sin)(sin)( ， 则，）解 ： （ ， 求之 一 的
39、 原 函 数已 知例 4： 22d例 5： cxsii例 6： xcxcxeefcxfcxdxf tantantan22 *)(tan)(ltansec)(ln ， 两 边 同 时 取 对 数 ：， 求例 7： cxdxxdxxdxdxx 23252123)21()213(22132132 )()(例 8： c )sin()cos(cossin2例 9： cxdxdxxdxdx osin)si(coicoinsico22例 10： ta)1(ectan22例 11： 14)(11)0(4)( )()(1)( 4333 txfcfcxf fcdttftttexffxx ， 即代 入 可 得， 将
40、 ， 则解 ： 令 ， 求， 且设例 12： ceceedxedxxxxx 2lnl2nl)2(2两个旨数形式相乘，转化为一个指数形式例 13： cxxddxxdxxx tancosecos1sicosicosincosin 2222222例 14： d ttein1ii 22222例 15： cxeddxexe xx )(1)(12例 16： d tan21sec2coscos25.3 节，换元积分法1、凑微分法（必考 7 分题）sin例 1： cxdxxd2sin12cos12co例 2： ee333= cdxxxln)()(33312.1 笔记 cxFdxfu)()()统一变量例 3：
41、cxd2os12sin12sin= cxxdxx 22sin)(si*insinco= x ococcssi例 4： dxx |23|l1)23(123例 5： cx|nlnl例 6： edexx222例 7： cexdexxsinsinsinco例 8： cxd |os|lo1ta例 9： xx |9|n2)9(2222例 10： cxxxdxdddx 3ln61|)3|ln|(l61)3(1)3(1(6 )()例 11： dx |2|l2(222例 12： cxcxxdxdxdd 13ln4|)1|ln3|(l41 )1()3(14)(习题： 2121cos)cosin21*cosi(2s
42、inta1*2 tan1ta*sinta)tanta(itt lmlilml li xxxx xxxx x xx12.1 笔记例 1： dddx 3artn)3(19)3(19222例 2： cxcxx |9|l1|ln22222例 3： ddxx 34art19)4(58122非计算题可直接使用的推导公式： cxxtn2配方公式：ax 2+bx+c= )()(abcxa例 4： edeexx ossinsi例 5： cdxxxx |1|ln)(1例 6： edeexxx art)(22例 7： cexdeed xxxxx |1|ln111例 8： cxcxdxddxdx )2sin1()2cos1(2)cos1(2cos1sin2例 9： ari()*)()(44 2222例 10： cxxdxdxxddx 32223 sin1isnisin1siin1coscos例 11： cxxddx 32arsin)32()(13*)2(13 )3(19)(94)(5451 2222例 12： cxdx
