概率论与数理统计中的典型例题分析与习题_龙永红_2004_260.pdf-道客多多

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1、概率论与数理统计中的典型例题分析与习题龙永红主编高等教育出版社北京内容简介本书是面向 21 世纪课程教材概率论与数理统计 ( 第二版 ) ( 龙永红主编 ) 的配套辅导书 , 是 “ 高等教育百门精品课程教材建设计划 ” 立项研究项目成果 .为帮助读者系统地学习和掌握概率论与数理统计的主要内容和基本方法 , 本书的各章都提纲挈领地列出了基本概念、重要定理与结论 . 在教材例

2、题的基础上 , 有针对性地精选了大量的例题和习题 , 帮助读者系统地掌握基本概念、基本的解题方法与思路 .本书不仅适合于经济管理学科本科生的需要 , 也是一本适用成人教育考试、高等教育自学考试的参考书 . 对于有志报考研究生的读者 , 本书也是一本有价值的复习用书 .图书在版编目 ( CIP) 数据概率论与数理统计中的典型例题分析与习题

3、/龙永红主编 . 北京 : 高等教育出版社 , 2004. 6ISBN 7 - 04 - 014380 - 1 . 概 . . . . 龙 . . . . 概率论 - 高等学校 - 教学参考资料数理统计 - 高等学校 - 教学参考资料 . O21中国版本图书馆 CIP 数据核字 ( 2004 ) 第 051013 号策划编辑马丽责任编辑李陶师钦贤封面设计张楠责任绘图宗小梅版式设计胡志萍责任校对胡晓琪责任印制出版行高等教

4、育出版社购书热线 010 - 64054588社址北京市西城区德外大街 4 号免费咨询 800 - 810 - 0598邮政编码 100011 网址 http: / /www. hep. edu. cn总机 010 - 82028899 http: / /www. hep. com. cn经销新华书店北京发行所印刷开本 787 960 1 /16 版次年月第 1 版印张 16.75 印次年月第次印刷字数 310 000 定价 17.90 元本书如有缺页、倒页、脱页

6、, 本书编配四部分内容 : 内容提要、典型例题分析、习题和习题解答 . 编写时力求突出以下特点 :1. 选题及其内在的逻辑顺序和结构与课程内容和要求有机联系起来 , 有助于学生对基础知识的巩固、理解和提高 ;2. 选题广泛、典型且新颖 , 使学生能够受到启发并开拓思路 ;3. 打破以往教材按填空、选择、求解题型的分类方式 , 而按知识和解题

7、思路的自然顺序编排 , 有助于学生把握知识间的联系 ;4. 既有对局部概念的深入理解的问题 , 又有综合运用相关知识的问题 . 通过点面结合 , 促使学生打牢基础的同时 , 加强知识间的联系并提高综合分析和应用的能力 ;5. 启发式的解题分析 , 帮助学生迅速抓住问题的关键和本质 , 培养灵活性 ,避免简单的、机械的模仿 , 真正提高解题能力 ;6. 将

8、知识点和解题方法相结合的分类归纳方法 , 更有助于学生将巩固基础和提高解题能力相结合 ;7. 例题和习题相搭配 , 联系紧密 , 使学生能够学练结合 , 巩固提高 ;8. 归纳总结了几乎所有的历届考研题型 , 使学生能够在巩固基础的同时提高应试能力 , 避免学生考研复习和一些考研辅导书偏离基础的通病 ;9. 对教材中部分较难的习题给以详细的解

9、答 , 解决学生在学习课程时遇到的困难 .本书第 1 3 章由龙永红教授编写 , 第 4 7 章由刘刚老师编写 . 欢迎广大师生提出批评和建议 .龙永红2004 年 4 月 10 日第 1章随机事件与概率( 一 ) 内容提要一、随机事件1. 随机现象事先无法准确预知其结果的现象 .2. 随机现象的统计规律性随机现象在大量重复出现时所表现出来的量的规律性 .3. 随机试验对随

10、机现象的观察称为随机试验 , 一般地 , 要求随机试验满足 ( i) 相同条件下可重复试验 ; ( ii) 试验的结果是可观察的 , 所有可能结果是明确的 ; ( iii) 每次试验将要出现的结果是不确定的 , 事先无法准确预知 .4. 样本点随机试验的每个可能的结果称为该试验的一个样本点 , 用表示 .5. 样本空间一个随机试验所有样本点构成的集合称为该试验的

11、样本空间 , 记作 .6. 随机事件随机试验的一个可观察的特征称为该试验的一个随机事件 .简称为事件 , 记作 A, B, .7. 必然事件在试验中一定发生的事件 , 用表示 .8. 不可能事件在试验中一定不发生的事件 , 用狖表示 .9. 基本事件由一个样本点 , 即试验的一个可能结果所构成的事件 .10. 事件的集合表示随机事件可由满足相应特征的可能结果

12、( 即样本点 )的集合来描述 , 因而可用集合来表示事件 . 一个试验的结果为 , 则当 A 时 ,称事件 A 发生 .二、事件的关系与运算1. 事件的包含如果事件 A 发生必然导致 B 发生 , 则称事件 B 包含事件A, 记作 Anull B.2. 事件的相等如果 Anull B 且 Bnull A, 则称事件 A 与 B 相等 , 记作 A = B.3. 事件的并 ( 和 ) “ A 与 B 中至少有一个事件发生 ” 这一

13、事件称为事件 A与事件 B 的并 ( 和 ) , 记作 A B 或 A + B.4. 事件的交 ( 积 ) “ A 与 B 两个事件均发生 ” 这一事件称为事件 A 与事件B 的交 ( 积 ) , 记作 A B 或 AB.15. 事件的差 “ 事件 A 发生而事件 B 不发生 ” 这一事件称为事件 A 与事件B 的差 , 记作 A - B.6. 互不相容事件若事件 A 与事件 B 不可能同时发生 , 即 AB = 狖 , 则称事件 A 与事件 B 互不

14、相容 .7. 对立事件 “ 事件 A 不发生 ” 这一事件称为 A 的对立事件 , 记作珔A. 事件 A与事件 B 互为对立事件当且仅当 ( i) AB = 狖 ; ( ii) A + B = .8. 有限或可数个事件的并 “ 有限个事件 A1 , A2 , , An 中至少有一个发生 ” 这一事件称为 A1 , A2 , , An 的并 , 记作 ni = 1Ai ;“ 可数个事件 A1 , A2 , 中至少有一个发生 ” 这一事件称为 A1 , A2

15、 , 的并 , 记作 i = 1Ai .9. 有限或可数个事件的交 “ A1 , A2 , , An 均发生 ” 这一事件称为 A1 , A2 , , An 的交 , 记作 ni = 1Ai ;“ A1 , A2 , 均发生 ” 这一事件称为 A1 , A2 , 的交 , 记作 i = 1Ai .10. 完备事件组有限个或可数个事件 A1 , A2 , , An , 如果两两不相容且并为必然事件 , 则称 A1 , A2 , , An , 为一个完备事件组 .三、事

16、件的关系与运算的性质1. 基本性质( 1 ) 狖 null Anull ;( 2 ) A - B = A珔B = A - AB;( 3 ) 珔A = - A;( 4 ) A B = A ( B - A) = ( A - B) ( B - A) ( AB) ;( 5 ) A = A.2. 运算律( 1 ) 交换律 : A B = B A; A B = B A;( 2 ) 结合律 : ( B C) = ( A B) C;A ( B C) = ( A B) C;( 3 ) 分配律 : A ( B C) = ( A B) ( A C) ;A ( B C) = (

17、 A B) ( A C) ;( 4 ) De Morgan 对偶律 :iAi =i珔Ai ;iAi =i珔Ai .四、随机事件的概率1. 概率的描述性定义一个事件发生的可能性大小的度量 .2. 频率在 n 次试验中 , 事件 A 发生的次数为 rn ( A) , 称 fn ( A) = rn ( A)n 为2事件 A 在 n 次试验中发生的频率 .3. 概率的频率解释 ( 统计定义 ) 在 n 次独立重复试验中 , 事件 A 发生的频率为 fn (

18、A) , 当 n 时 , fn ( A) 趋于一个稳定值 , 这个稳定值就是事件 A 在每次试验中发生的概率 .4. 概率的公理化定义设是样本空间 , 定义在的事件域 F( 全体事件构成的集合 ) 上的实值函数 P( ) 称为上的一个概率测度 , 如果它满足下列三条公理 :公理 1: P( ) = 1;公理 2: 对任意事件 A, 有 P( A) 0;公理 3: 对任意可数个两两不相容的事件 A1 , A2 ,

19、, An , , 有P( i = 1Ai ) = i = 1P( Ai) .5. 概率的性质( 1 ) P( 狖 ) = 0;( 2 ) 0 P( A) 1;( 3 ) A1 , A2 , , An 两两不相容 , 则 P( ni = 1Ai) = ni = 1P( Ai ) ;( 4 ) P( ni = 1Ai) ni = 1P( Ai ) ;( 5 ) P( 珔A) = 1 - P( A) ;( 6 ) P( A - B) = P( A) - P( AB) ;( 7 ) Anull B, 则 P( A - B) = P( A) - P( B) , P( A) P( B) ;

20、( 8 ) ( A + B) = P( A) + P( B) - P( AB) ,P( A + B + C) = P( A) + P( B) + P( C) - P( AB) - P( BC) - P( AC) + P( ABC) .6. 古典概型( 1 ) 古典概型的假设条件( i) 随机试验只有有限个可能结果 , 即样本点总数有限 , 亦即基本事件总数有限 ;( ii) 每一个可能结果出现的可能性相同 .( 2 ) 古典概型的概率计算公式设是一个古典概型

21、样本空间 , 则对任意事件 A, 有P( A) = A 中的样本点数中的样本点数 = 使 A 发生的基本事件数基本事件总数 .7. 几何概型3( 1 ) 几何概型的假设条件( i) 试验的样本空间是 Rn 中的一个区域 ;( ii) 每一个样本点出现的可能性相同 .( 2 ) 几何概型的概率计算公式对任意事件 Anull , 有P( A) = ( A) ( ) ,其中 ( ) 是 Rn 中的几何测度 , 当 n = 1,

22、 2 , 3 时 , 分别表示长度 , 面积和体积 .对 A 不是的子集的情形 , 公式变为 :P( A) = ( A ) ( ) .五、条件概率与事件的独立性1. 条件概率的定义若 P( A) 0, 称 P( B A) = P( AB)P( A) 为事件 A 发生的条件下 B 发生的条件概率 .2. 条件概率的性质( 1 ) 条件概率满足概率的三条公理 :( i) P( A) = 1;( ii) P( B A) 0;( iii) A1 , A2 , 为一列

23、两两不相容的事件 , 则P( iAi A) = iP( Ai A) .( 2 ) 条件概率满足概率的其他性质3. 两个事件的相互独立( 1 ) 定义若 P( AB) = P( A) P( B) , 则称 A 与 B 相互独立 .( 2 ) 等价条件( i) 若 P( A) 0, 则 A 与 B 相互独立等价于 P( B A) = P( B) ;( ii) 若 P( B) 0, 则 A 与 B 相互独立等价于 P( A B) = P( A) .4. 有限个事件的两两独立与相互

24、独立( 1 ) 两两独立的定义A1 , A2 , , An 为 n 个事件 , 若其中任何两个事件均相互独立 , 即 P( Ai Aj) = P( Ai ) P( Aj) , i j, i, j = 1, 2 , , n, 则称 A1 , A2 , , An 两两独立 .( 2 ) 相互独立的定义A1 , A2 , , An 为 n 个事件 , 若对任意 2 k n, 及 1 i1 0, 则 P( A1 A2 ) = P( A1 ) P( A2 A1 ) ;若 P( A2 ) 0, 则 P( A1 A2 ) = P( A

25、2 ) P( A1 A2 ) .( 2 ) n 个事件的情形若 P( A1 A2 An - 1 ) 0, 则P( A1 A2 An ) = P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 ) P( An A1 A2 An - 1 ) .2. 全概率公式设 A1 , A2 , , An 是一个完备事件组 , 且 P( Ai ) 0 , i = 1, 2, , n 则对任意事件 B, 有P( B) = ni = 1P( Ai B) = ni = 1P( Ai ) P( B Ai ) .3. 贝叶斯公式设 A1 , A2 , , An 是

26、一个完备事件组 , 且 P( Ai ) 0, i = 1 , 2, , n, 则对任意事件 B, P( B) 0, 有5P( Ai B) = P( BAi)P( B) = P( Ai ) P( B Ai )nj = 1P( Aj) P( B Aj), i = 1, 2, , n.七、独立试验概型1. 独立试验序列 : 如果一系列试验 , 各次试验的结果之间相互独立 , 则称这一系列试验为一个独立试验序列 .2. 伯努利试验 : 只有两个可能结果的试验称

27、为伯努利试验 .3. 伯努利试验序列 : 独立重复进行的一系列伯努利试验称为伯努利试验序列 .4. 伯努利定理在一次试验中 , 事件 A 发生的概率为 p( 0 t ( B) T1 T2 T3 t( C) min T1 , T2 , T3 t ( D) max T1 , T2 , T3 t分析 “ 系统的寿命超过 t” 等价于 “ 至少有一个元件的寿命超过 t” , 这又等价于 “ 三个元件中最大的寿命超过 t” , 即 ( D)

28、是正确的 .答选择 ( D) .注上述事件亦可表示为 T1 t T2 t T3 t . 如果系统是串联的 , 答案是 ( C) 或表示为 T1 t T2 t T3 t .二、事件的关系与运算例 4 如果 A 与 B 互不相容 , 则 ( ) .( A) 珔A 珔B = 狖 ( B) 珔A = B( C) 珔A + 珔B = ( D) A + B = 分析这里要区分互不相容和对立事件 . 如图 , A 与 B 互不相容 , 显然 ( D) ,7( B) 不成立 . 而珔A

29、珔B = - ( A B) 也不为狖 , 故 ( A) 也不成立 , 事实上 , 由于珔A + 珔B = AB = 于是选择 ( C) .答选择 ( C) .例 5 A, B 是两个事件 , 则下列关系正确的是 ( ) .( A) ( A - B) + B = A ( B) AB + ( A -B) = A( C) ( A + B) - B = A ( D) ( AB + A) - B = A分析这类问题关键在于正确理解事件运算的定义和性质 , 必要时可借助于文氏图来分析 .

30、比如选项 ( A) 的左边的运算结果应该等于 A + B, 而不是 A; 而选项 ( C) 左边运算的含义是 A 发生而 B 不发生 , 即为 A - B, 这两个选项的关键在于要注意求并和差运算的顺序 . 选项 ( B) 的左边实际上等于 AB + A珔B =A( B + 珔B) = A, 从而选项 ( B) 是正确的 . 最后选项 ( D) 左边的括号中运算结果实际上等于 A, 从而左边运算结果为 A - B.答选

31、择 ( B) .注注意集合 ( 事件 ) 运算与代数运算的区别 , 不能简单地抵消 . 注意事件的结合律和交换律只在纯粹的并运算或纯粹的交运算中成立 .三、应用概率性质计算概率例 6 已知 P( A) = p, P( B) = q, P( A B) = p + q, 则 P( 珔A B) = .分析首先 , 由题设及加法法则知 P( AB) = 0 , 尽管 AB 一般不一定等于狖 ,但在概率计算时视其为狖也不

32、会影响计算结果 . 在求填空题时 , 这是一种好的技巧 . 接下来不妨设 AB = 狖 , 此时 Bnull 珔A, 从而 P( 珔A B) = P( 珔A) = 1 - P( A) = 1 -p.答 1 - p.注也可由概率公式直接计算 :P(珔A B) =P( 珔A) + P( B) - P( 珔AB) = P( 珔A) + P( B) - ( P( B) - P( AB) )=P( 珔A) = 1 - p.例 7 已知 P ( B) = 0. 4, P ( AB ) = 0. 2, P ( A珔B ) = 0 .

33、6 , 则 P ( 珔A 珔B) =.分析由于 P( 珔A 珔B) = 1 - P( A + B) , 因而需计算 P( A + B) . 又根据加法公式有 P( A + B) = P( A) + P( B) - P( AB) , 其中题设中已知 P( B) 和 P( AB) , 因而需计算 P( A) , 注意到 P( AB) + P( A珔B) = P( A) . 由此可计算 P( A + B) 从而得 P( 珔A 珔B) .答 0 .8四、由概率性质导出的一些结果例 8 如果 P( AB) = 0,

34、则 ( ) .( A) A 与 B 不相容 ( B) 珔A 与珔B 不相容( C) P( A - B) = P( A) ( D) P( A - B) = P( A) - P( B)分析首先注意到零概率事件不一定是不可能事件 , 因而 ( A) 不成立 , 其次注意到即便是 AB = 狖 , 珔A 珔B 也不一定不相容 , 因而 ( B) 也不成立 . 事实上 , 由P( A - B) = P( A) - P( AB) 立即得知 ( C) 是正确的 , 而 ( D) 不成立 .答选择

35、( C) .例 9 设 P( A) = 0. 6, P( B) = 0 . 7, 证明 0. 3 P( AB) 0.6.分析证明概率不等式的基本依据是概率的性质 , 通常包括 :事件的概率介于 0 和 1 之间 ; 子事件的概率不大于母事件的概率 ;概率的计算公式等 .证明首先由 ABnull A, 知 P( AB) P( A) = 0.6. 其次 , 由 P( AB) = P( A) + P( B) - P( A B) = 0.6 + 0.7 - P ( A B) , 又由 P(

36、A B) 1 知 P( AB) 0.6 +0.7 - 1 = 0.3.例 10 设 P( A) + P( B) = 1, 则 ( ) .( A) P( A B) = 1 ( B) P( A B) = 0( C) P( 珔A 珔B) = P( A B) ( D) P( 珔A 珔B) = P( A B)分析由加法法则知选项 ( A) 和 ( B) 一般不成立 , 事实上取 A = B, 且P( A) = 12 , 便否定了 ( A) 和 ( B) 的正确性 . 选项 ( C) 和 ( D) 可利用概率性质来分析 :P( 珔A 珔B) =

37、 1 - P( A B) = 1 - P( A) + P( B) - P( AB) = P( AB) ,故知 ( C) 是正确的 .答选择 ( C) .五、古典概率的概率计算1. 袋中取球问题例 11 一袋中有 m + n 个球 , 其中 m 个黑球 , n 个白球 , 现随机地从袋中取出 k 个球 ( k m + n) , 求其中恰好有 l 个白球 ( l n) 的概率 .分析这是古典概型中的一类最基本的问题 , 由于许多问题常常归结为此类问

38、题 , 所以尽管它简单 , 我们还是列出 . 这类问题的特点是所考虑的事件中只涉及球的结构 , 不涉及取球的顺序 , 因而计算样本点数 ( 即基本事件数 ) 时 , 只需考虑组合数 .解首先 , 从 m + n 个球中任取 k 个 , 取法共有 Ckm + n 种 , 即试验的基本事件数为 Ckm + n , 而这些取法中恰好有 l 个白球的取法共有 Cln Ck - lm , 于是所求事件 A“ 恰好有

39、l 个白球 ” 的概率为9P( A) =Cln Ck - lmCkm +n .例 12 一袋中装有 m + n 个球 , 其中 m 个黑球 , n 个白球 , 现随机地从中每次取出一个球 ( 不放回 ) , 求下列事件的概率 :( 1 ) 第 i 次取到的是白球 ;( 2 ) 第 i 次才取到白球 ;( 3 ) 前 i 次中能取到白球 ;( 4 ) 前 i 次中恰好取到 l 个白球 ( l i m + n, l n) ;( 5 ) 到第 i 次为止才取到 l 个白

40、球 ( l i m + n, l n) ;( 6 ) 取球直到剩下的球的颜色都相同为止 , 最后剩下的全是白球 .分析本题中取球是按顺序取的 , 所考虑的事件往往也涉及取球的顺序 , 所以在计算样本点数 ( 即基本事件数 ) 时 , 要用排列数 .解 ( 1 ) m + n 个球按顺序取出共有 ( m + n ) ! 种取法 , 其中第 i 次取出的是白球的取法按乘法法则共有 C1n ( m + n - 1)

41、 ! 种取法 , 于是 “ 第 i 次取到的是白球 ” 这一事件 Ai 的概率为P( Ai ) =C1n ( m + n - 1) !( m + n) ! =nm + n.( 2 ) 同 ( 1) , 基本事件总数为 ( m + n) ! 而 “ 第 i 次才取到白球 ” 等价于 “ 前i - 1次取到的全是黑球 , 而且第 i 次取到的是白球 ” , 由乘法法则 , 其取法共有C1n Pi - 1m ( m + n - i) ! . 于是 “ 第 i 次才取到白球 ” 这一事

42、件 B i 的概率为P( Bi ) =C1n Pi - 1m ( m + n - i) !( m + n) !=nPi - 1mPim +n .( 3 ) 记该事件为 Ci , 先计算其对立事件 “ 前 i 次没有取到白球 ” 的概率 ,P( 珔Ci) =Pim ( m + n - i) !( m + n) ! =PimPim +n =CimCim + n .于是P( Ci ) = 1 - P( 珔Ci) = 1 -PimPim +n = 1 -CimCim +n ;( 4 ) 记该事件为 Di, 则易知P( Di ) =CliPln

43、Pi - lm ( m + n - i) !( m + n) !01=Cli Pln Pi - lmPim + n =Cln Ci - lmCim +n .( 5)“ 到第 i 次为止才取到 l 个白球 ” 等价于 “ 前 i - 1 次恰好取到 l - 1 个白球 , 而第 i 次取到的是白球 ” , 于是该事件 E i 的概率为P( E i ) =Cl - 1i - 1 Pl - 1n P( i - 1 ) - ( l - 1)m C1n - l +1 ( m + n - i) !( m + n) != ( i - 1) ! Cl

44、- 1n Ci - lm C1n - l +1Pim +n= Cl - 1n Ci - lm ( n - l + 1)iCim + n.( 6 ) 首先注意到 “ 剩下都是白球 ” 等价于 “ 最后一次取到的是白球 ” 于是由( 1 ) 的结果 , 该事件 F 的概率为P( F) = nm + n.注例 12 中的问题 ( 1 ) 就是著名的抽签问题 , 问题的结果表明 , 抽到好签的机会 ( 概率 ) 与抽签的次序无关 , 说明抽签的公平性 . 由于问题

45、 ( 1 ) ( 5) 中的事件均只涉及前 i 次取球 , 因而我们可以只考虑取 i 次球的试验 , 比如 , 此时的基本事件总数为 Pim + n , 类似可计算相应事件所含基本事件数 , 这样计算会更简单 , 而结果与例中解法的结果一致 . 尽管试验中取球是按顺序抽取的 , 但如果所考虑的事件 , 只涉及取出的球的结构而不涉及取球的顺序则可以按组合数来计算基本事

46、件总数和事件中所包含的基本事件数 ( 但注意二者必须统一 ! ) , 所得结果与考虑顺序时按排列数计算的结果是一致的 , 比如例 12 中的问题 ( 3) 和 ( 4) . 本例中的顺序取球问题等价于排序问题 , 也等价于将 m + n 个球随机放入 m + n 个箱子中 , 每箱只放一球 . 问题 ( 3 ) 的解法也是典型的 , 在遇到 “ 能 ” 或 “ 至少一个 ” 等时 , 直接计算需要

47、考虑的情况比较多 , 较复杂 , 往往先计算对立事件的概率 . 上面的例子中 , 我们还注意到事件表述的 “ 转化 ” 是解决问题的关键所在 . 在后面的讨论中 , 我们会经常遇到 .例 13 一袋中装有 m + n 个球 , 其中有 m 个黑球 , n 个白球 . 每次从中任取一球 , 取后放回 , 求下列事件的概率 :( 1 ) 第 i 次取到的是白球 ;( 2 ) 第 i 次才取到白球 ;( 3 ) 前

48、 i 次能取到白球 ;( 4 ) 前 i 次中恰好取到 l 个白球 ;( 5 ) 到第 i 次为止才取到 l 个白球 .11分析对于有放回的取球 , 计算取法要用重复排列数 , 比如 m + n 个球 , 每次取一个球有 m + n 种取法 , 根据乘法法则 , i 次取球便有 ( m + n) i 种取法 . 此外类似于例 12 的注中所说明的 , 这里我们可以仅考虑 i 次取球 .解 ( 1) i 次取球的取法共有 ( m + n) i 种 ,“ 第 i 次取到的是白球 ” 的取法根据乘法法则共有 C1n ( m + n) i - 1 种 , 从而所求事件 Ai 的概率P( Ai) =C1n ( m + n) i - 1( m + n) i =nm + n.( 2 ) 基本事件总数同 ( 1) , 而 “ 第 i 次才取到白球 ” 等价于前 i - 1 次取到的都是黑球 ( 共有 mi - 1 种取法 ) 且第

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