1、1概率论与数理统计习题及答案习题 一4.设 A， B为随机事件，且 P（ A）=0.7, P(A B)=0.3，求 P（ ）.AB【解】 P（ ）=1 P（ AB）=1 P(A) P(A B)=10.70.3=0.66.设 A， B， C为三事件，且 P（ A）= P（ B）=1/4， P（ C）=1/3 且 P（ AB）= P（ BC）=0， P（ AC）=1/12，求 A， B， C至少有一事件发生的概率.【解】 P（ A B C）= P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(BC) P(AC)+P(ABC)= + + - =143248. 对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五
2、个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】 （1） 设 A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为 75，有利事件仅 1个，故 P（ A1）= =（ ） （亦可用独立性求解，下同）57（2） 设 A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为 65，故 P（ A2）= =( )567(3) 设 A3=五个人的生日不都在星期日 P（ A3）=1 P(A1)=1( )510.一批产品共 N件，其中 M件正品.从中随机地取出 n件（ n30.如图阴影部分所示. 230164P22. 从（0，1）中随机地取两个数，求：（1）
3、两个数之和小于 的概率； （2） 两个数之积小于 的概率.6514【解】 设两数为 x,y，则 0乙 反 ）正 正（ 甲 乙 ）由对称性知 P（甲 正 乙 正 ）= P（甲 反 乙 反 ） 因此 P(甲 正 乙 正 )= 1246. 证明“确定的原则” （Surething ）：若 P（ A|C） P(B|C),P(A| ) P(B| )，则 P（ A） P(B).C10【证】由 P（ A|C） P(B|C),得 即有 ()(),APBC()()PACB同理由 得 |)(|), ,故 () ()(APBPB47.一列火车共有 n节车厢，有 k(k n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢
4、内至少有一个旅客的概率.【解】 设 Ai=第 i节车厢是空的， （ i=1,n）,则 121(1)()()()nkkikij kiinAPA 其中 i1,i2,in1 是 1，2， n中的任 n1 个. 显然 n节车厢全空的概率是零，于是 2112111221 11231()C()()C()0()()nnnkki ni kijijn kniiiin niSPASPAPSS 12 1C()(1)()C()kknknn11故所求概率为 121()C()(1)nkiinnPA 1()C()nk48.设随机试验中，某一事件 A出现的概率为 0.试证明：不论 0 如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则
5、 A迟早会出现的概率为 1.【证】在前 n次试验中， A至少出现一次的概率为 ()()n49.袋中装有 m只正品硬币， n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷 r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设 A=投掷硬币 r次都得到国徽 B=这只硬币为正品由题知 (),()mnP1(|),(|)12rPAB则由贝叶斯公式知 (|)(|)()|APBB2rrrmnn:50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有 N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有 r根的概率是多少？第
6、一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有 r根的概率又有多少？【解】以 B1、 B2记火柴取自不同两盒的事件，则有 .（1）发现一盒已空，另一盒恰剩 r根，说明已取了 2n r次，设 n次取自 B1盒12()PB（已空） ， n r次取自 B2盒，第 2n r+1次拿起 B1，发现已空。把取 2n r次火柴视作 2n r重贝努里试验，则所求概率为 12 1C()Cnrp:式中 2反映 B1与 B2盒的对称性（即也可以是 B2盒先取空）.（2） 前 2n r1 次取火柴，有 n1 次取自 B1盒， n r次取自 B2盒，第 2n r次取自 B1盒，故概率为 11212()()nnrnnrr
7、r51. 求 n重贝努里试验中 A出现奇数次的概率.【解】 设在一次试验中 A出现的概率为 p.则由 0120()CC1nnnnnqpqpqpq()nnnn12以上两式相减得所求概率为 13Cnnpqp 1()2nqp1(2)np若要求在 n重贝努里试验中 A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得 .252.设 A， B是任意两个随机事件，求 P（ +B） （ A+B） （ + ） （ A+ ）的值.B【解】因为（ A B）（ ）= A B （ B）（ A ）= AB所求 故所求值为 0.()()()()53.设两两相互独立的三事件， A， B和 C满足条件： ABC=， P(A)=P(B)
8、=P(C)0, P(A|B)=1,试比较 P(A B)与 P(A)的大小. (2006 研考)解：因为 所以 .()() ()()()PABPBA习题二1.一袋中有 5只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3只，以 X表示取出的 3只球中的最大号码，写出随机变量 X的分布律.14【解】 352435,41()0.C.()0.6XPX故所求分布律为X 3 4 5P 0.1 0.3 0.62.设在 15只同类型零件中有 2只为次品，在其中取 3次，每次任取 1只，作不放回抽样，以 X表示取出的次品个数，求：（1） X的分布律；（2） X的分布函数并作图； (3) .13,2222PX
9、PX【解】 315231350,.C()().CPX故 X的分布律为X 0 1 2P 235235135（2） 当 xa时， F（ x）=1 即分布函数 001()()d()dxxxFftftta 0,0()1,xFxaa18.设随机变量 X在2，5上服从均匀分布.现对 X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于 3的概率.【解】 XU2,5，即 故所求概率为 1,25()30xfx其 他 5312()dPx 233120C()()7p2019.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（以分钟计）服从指数分布 .某顾客在窗口等待服务，若超过 10分钟他就离开.他一个月要到银行 5次，1()5E
10、以 Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出 Y的分布律，并求 PY1.【解】依题意知 ，即其密度函数为 该顾客未等到服务而离开的概率为 1()5XE51e,0()xf 2510()edxPX,即其分布律为 2(5e)Yb 225525()C(),1,3410(e)0.67kkPY20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间 X服从 N（40，10 2） ；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间 X服从 N（50，4 2）.（1） 若动身时离火车开车只有 1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有 45分钟，问应走哪条路
11、赶上火车把握大些？【解】 （1） 若走第一条路， XN（40，10 2） ，则 406(6) (2)0.971xPX若走第二条路， XN（50，4 2） ，则 + 故走第二条路乘上火车的把握大50(60) (2.5)9384PX些.（2） 若 XN（40，10 2） ，则 (45) (0.)6110若 XN（50，4 2） ，则 故走第一条路乘上火车的把握大() (.25)XP1(.25).些.21.设 XN（3，2 2） ， （1） 求 P20; (2) f(x)= 试确定常数 a,b，并求其分布函数 F（ x）.,0,21,2他xb【解】 （1） 由 知 故 ()dfx| 02d2dxxa
12、a即密度函数为 当 x0 时 当 x0时e,()02xf 1()()de2xxxFf故其分布函数 00()()ded2x xFf1ex 1e,02(),xx(2) 由 得 b=1 即 X的密度函数为 12011()ddbfxbx 2,01(),xf其 他当 x0 时 F（ x）=0 当 00时， ()0FyP()(e)(ln)xFyPyPyln()dyXfx故 2/lnd(11() (ln) ,0yYY xf fyyy (2) 当 y1 时 当 y1时2(1)PYX()0YFP 2()(1)YFPyXy2 122yyX(1)/2dyXfx故 d1()()42YYXXfFffyy(1)/42e,
13、yy(3) 当 y0 时 当 y0时0P()0YPy()|)()YFPXXy()dXfx26故 d()()()YYXfyFfyf2/e,0y31.设随机变量 XU（0,1） ，试求：（1） Y=eX的分布函数及密度函数； （2） Z=2ln X的分布函数及密度函数.【解】 （1） 故 当 时(0)P(1)1Py()0YFPy当 10时，()ZFzz()(2ln)ZFzPzXz/2(ln)(e)2zzPX/21/2edzzx即分布函数 故 Z的密度函数为 -/20,()1eZz /21e,0()zZf32.设随机变量 X的密度函数为 f(x)= 试求 Y=sinX的密度函数.2,0,.x其 他【
14、解】 当 y0 时，(01)PY()0YFyP当 00）=1，故 06,则101d3x 10321d93kxP（ Xk）=1故只有当 1 k3 时满足 P（ X k）= .2342.设随机变量 X的分布函数为 F(x)= 求 X的概率分布. （1991 研考）.3,1,8.0,4,x【解】由离散型随机变量 X分布律与分布函数之间的关系，可知 X的概率分布为X 1 1 3P 0.4 0.4 0.243.设三次独立试验中，事件 A出现的概率相等.若已知 A至少出现一次的概率为 19/27，求 A在一次试验中出现的概率.【解】令 X为三次独立试验中 A出现的次数，若设 P（ A）= p,则 Xb(3,p)由 P（ X1）= 知 P（ X=0）=（1 p） 3= 故 p=19278271344.若随机变量 X在（1，6）上服从均匀分布，则方程 y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？ 【解】 ,()50xfx其 他 4(40)()(2)()5PXPX
