1、第七章 二项分布与 Poisson 分布及其应用一、教学大纲要求（一）掌握内容1二项分布（1）分布参数；（2）各项统计指标（均数、标准差等）的计算方法；（3）二项分布的分布特征，近似分布及其应用条件。2Poisson 分布（1）分布参数；（2）各项统计指标（均数、标准差等）的计算方法；（3）Poisson 分布的分布特征，近似分布及其应用条件。（二）熟悉内容1二项分布（1）样本率的分布；（2）总体率的区间估计；（3）样本率与总体率的比较；（4）两样本率的比较。2Poisson 分布（1）总体均数的区间估计；（2）样本均数与总体均数的比较；（3）两个样本均数的比较。（三）了解内容二项分布及 Po
2、isson 分布的前提条件及其概率密度函数的应用。二、教学内容精要（一）基本概念1概率分布二项分布（binomial distribution）和 Poisson 分布是统计学中很重要的两种分布。二项分布：若一个随机变量 X，它的可能取值是 0,1,n，且相应的取值概率为(7-1)knknXP)1()(则称此随机变量 X 服从以 n、 为参数的二项分布，记为 X B（ n, ） 。Poisson 分布：若离散型随机变量 X 的取值为 0,1,n，且相应的取值概率为（ 0） (7-2)ek!)(则称随机变量 X 服从以 为参数的 Poisson 分布（Poisson Distribution）
3、，记为 XP（ ） 。2两种分布成立的条件（1）二项分布成立的条件：每次试验只能是互斥的两个结果之一；每次试验的条件不变；各次试验独立。（2）Poisson 分布成立的条件：平稳性： X 的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关；独立增量性：在某个观察单位上 X 的取值与前面各观察单位上 X 的取值无关；普通性：在充分小的观察单位上 X 的取值最多为 1。（二）分布参数1二项分布， X B（ n, ）X 的均数 X = n (7-3)X 的方差 = n (1- ) (7-4)2X 的标准差 = (7-5)1(n2Poisson 分布，XP（ ）X 的均数 X = (7-6)X 的方差
4、 = (7-7)2X 的标准差 X = (7-8)（三）分布特性1可加性二项分布和 Poisson 分布都具有可加性。如果 X1，X 2， Xk 相互独立，且它们分别服从以 ni，p（i=1,2, ,k）为参数的二项分布，则 X=X1X 2X k服从以 n，p（n= n1+n2+nk）为参数的二项分布。如果 X1，X 2，X k 相互独立，且它们分别服从以 i（i=1,2, ,k）为参数的 Poisson 分布，则 X=X1X 2X k 服从以 （ = 1+ 2+ k）为参数的 Poisson 分布。2近似分布特定条件下，二项分布、Poisson 分布可近似于某种其它的分布，这一特性拓宽了它们
5、的应用范围。二项分布的正态近似：当 n 较大， 不接近 0 也不接近 1 时，二项分布 B（ n, ）近似正态分布 N（ n , ） 。)1(n二项分布的 Poisson 分布近似：当 n 很大， 很小， 为一常数时，二项分布近似于 Poisson 分布。nPoisson 分布的正态近似：Poisson 分布 P（ ） ，当 相当大时（20） ，其分布近似于正态分布。（四）应用1二项分布的应用（1） 总体率的区间估计有查表法和正态近似法两种方法。当 n50 时可以通过查表求总体率的 95和 99可信区间。当二项分布满足近似正态分布的条件时（n 较大，样本率 p 不接近 0 也不接近 1） ，可
6、用正态近似法求总体率的 1- 可信区间：（p-u Sp, p+u Sp） (7-9)Sp= (7-10)n)(（2） 样本率与总体率比较应用二项分布的概率计算公式计算事件（一般指 X 取某给定值一侧的所有值）发生的概率，再比较其与检验水准 大小，推断样本所在的总体率与给定总体率的关系。（3） 两样本率的比较根据独立的两个正态变量的差也服从正态分布的性质和二项分布在一定条件下的近似正态分布特性，当两个样本的含量 n1和 n2较大，且 p1、 （1- p1） 、 p2、 （1- p2）均不太小，可用 u 检验方法对两样本率对应的总体率作统计推断。(7-11)21pS(7-12)1)(1(22221
7、 nnXXSp 2Poisson 分布的应用（1） 总体均数的区间估计有查表法和正态近似法两种方法。当样本计数 X50 时，可用查表法求得总体均数的 95或 99可信区间。当样本计数 X50 时，可利用 Poisson 分布的正态近似性，计算其总体均数（ 1- ）可信区间如下：（ ， ） (7-13)Xuu（2）样本均数与总体均数的比较有直接计算概率法和正态近似法两种方法。样本均数与总体均数比较的目的是推断此样本所代表的未知总体均数 是否等于已知总体均数 0。当总体均数较小时，可采用直接计算概率法进行比较。X 取某一值的概率以 Poisson 分布的概率密度函数来计算，即（k=0,1,2,）e
8、kXP!)(注意：样本均数与总体均数比较时，应以 X 取大于等于（样本均数大于总体均数时）或小于等于（样本均数小于总体均数时）样本均数的所有值的概率总和同检验界值 进行比较，切不可仅以 X 取样本均数的概率同检验界值进行比较。当总体均数较大时，可用正态近似法进行统计推断。此时 Poisson 分布近似正态分布，故可计算标准正态统计量u，(7-14)0u通过 u 值得出相应的概率，推断样本均数与总体均数的关系。（3）两个样本均数的比较：两个样本计数均较大时，可根据 Poisson 分布的正态近似性对其进行 u 检验。两个样本观察单位相同时，用下式计算 u 值。(7-15)21Xu两个样本观察单位
9、不同时，用下式计算 u 值。(7-16)21/nu三、典型试题分析(一)单项选择题1某地人群中高血压的患病率为 ，由该地区随机抽查 n 人，则（ ）A样本患病率 p=X/n 服从 B（n, ）Bn 人中患高血压的人数 X 服从 B（n, ）C患病人数与样本患病率均不服从 B（n, ）D患病人数与样本患病率均服从 B（n, ）答案：B评析 本题考点：二项分布概念的理解。二项分布中所指的随机变量 X 代表 n 次试验中出现某种结果的次数，具体到本题目就是指抽查的 n 个人中患高血压的人数，因此答案为 B。2二项分布近似正态分布的条件是（ ）An 较大且 接近 0 Bn 较大且 接近 1Cn 较大且
10、 接近 0 或 1 Dn 较大且 接近 0.5答案： D评析 本题考点：二项分布的正态近似特性。从对二项分布特性的描述中可知：当 n 较大， 不接近 0 也不接近 1 时，二项分布 B（ n, ）近似正态分布N（ n , ） 。 不接近 0 也不接近 1，等同于 接近 0.5，因而此题目答案为 D。)1(n3. 以下分布中，其均数和方差总是相等的是（ ）A正态分布 B. 对称分布CPoisson 分布 D. 二项分布答案：C评析 本题考点：Poisson 分布的特性。Poisson 分布 P（ ）的参数只有一个，即 。它的均数和方差均等于 ，这一点大家需要牢记。4. 测得某地区井水中细菌含量为
11、 10000L,据此估计该地区每毫升井水中细菌平均含量的 95%可信区间为（ ）A B. 1096.101096.C D. . .答案：C评析本题考点：Poisson 分布的正态近似性。当 X 较大（一般大于 50）时，Poisson 分布近似正态分布，按照正态分布资料的计算公式计算该地区井水中平均每升细菌含量的 95%可信区间，再除以 1000 即得平均每毫升井水中细菌的平均含量（设 ，有10XY） 。1010XYS（二） 是非题从装有红、绿、蓝三种颜色的乒乓球各 500、300、200 只的暗箱中随机取出 10 个球，以 X 代表所取出球中的红色球数，则 X 服从二项分布 B（10，0.5
12、） 。 （ ）答案：正确。评析 本题考点：二项分布的定义。二项分布成立的条件是：每次试验只能是互斥的两个结果之一；每次试验的条件不变；各次试验独立。此题目所述情况完全满足后两个条件，关键在于第一个条件的判断，从表面上看，每次试验的结果有三种，但本题目所关心的试验结果是“红色与否” ，因而该试验结果仍为两种互斥的情况“红色”和“非红色” 。所以，此题目所述情况满足以上三个条件， X 服从二项分布 B（10，0.5） 。（三）计算题炮击命中目标的概率为 0.2，共发射了 14 发炮弹。已知至少要两发炮弹命中目标才能摧毁之，试求摧毁目标的概率。答案：0.802评析 本题的考点：二项分布概率函数的理解
13、和应用能力。摧毁目标的概率即有两发或两发以上炮弹命中目标的概率，此概率又等于 1 减去只有一发命中或无一命中的概率之差。根据二项分布的概率函数计算如下： 802.54.0.)2.01(.)(2.01(1 3142 XXP四、习 题（一）名词解释1二项分布 2. Poisson 分布3. Bernoulli 试验（二） 单项选择题：1. X1、X 2 分别服从二项分布 B（n 1，p 1） 、B （n 2，p 2） ，且 X1、X 2 相互独立，若要 X= X1X 2 也服从二项分布，则需满足下列条件（ ） 。AX 1=X2 B. n1=n2Cp 1=p2 D. n1p1=n2p22. 二项分布
14、 B（n，p）的概率分布图在下列哪种条件下为对称分布（ ） 。An=50 B. p=0.5Cnp=1 D. p=13. Poisson 分布 P（ ）满足下列何种条件时近似正态分布 N（ ， ） （ ） 。A 相当大 B. =1C =0 D. =0.54. 已知某高校学生近视眼的患病率为 50%，从该高校随机挑选 3 名学生，其中 2 人患近视眼的概率为（ ） 。A0.125 B. 0.375C0.25 D. 0.55. 某自然保护区狮子的平均密度为每平方公里 100 只，随机抽查其中一平方公里范围内狮子的数量，若进行100 次这样的抽查，其中的 95 次所得数据应在以下范围内（ ） 。A51
15、95 B80.4119.6C95105 D74.2125.8（三）简答题1服从二项分布及 Poisson 分布的条件分别是什么？2二项分布、Poisson 分布分别在何种条件下近似正态分布？3在何种情况下，可以用率的标准误 Sp 描述率的抽样误差？（四）计算题1. 已知我国成人乙肝病毒表面抗原平均阳性率为 10%，现随机抽查某地区 10 位成人的血清，其中 3 人为阳性。该地区成人乙肝表面抗原阳性率是否高于全国平均水平？2. 对甲、乙两种降压药进行临床疗效评价，将某时间段内入院的高血压病人随机分为两组，每组均为 100 人。甲药治疗组 80 位患者有效，乙药治疗组 50 位患者有效，两种降压药
16、有效率有无差别？3. 某放射性物质发生脉冲频率为 100克小时，已知某矿区矿石中该放射性物质的含量为 4 克千克，今又测得另一矿区同种矿石每千克发生脉冲频率为 1000小时，问两个矿区矿石中该放射性物质的含量是否相等？4. 一台仪器在 10000 个工作时内平均发生 10 次故障，试求在 100 个工作时内故障不多于两次的概率。五、习题答题要点（一）名词解释1. 二项分布：若一个随机变量 X，它的可能取值是 0,1,n，且相应的取值概率为 knkP)1()(则称此随机变量 X 服从以 n、 为参数的二项分布（Binomial Distribution ） ，记为XB（ n, ） 。2. Poi
17、sson 分布：若离散型随机变量 X 的取值为 0,1,n，且相应的取值概率为（ 0）ekP!)(则称随机变量 X 服从以 为参数的 Poisson 分布（Poisson Distribution） ，记为 XP（ ） 。3. Bernoulli 试验：将感兴趣的事件 A 出现的试验结果称为 “成功” ，事件 A 不出现的试验结果称为“失败” ，这类试验就称为 Bernoulli 试验（Bernoulli Test ） 。（二）单项选择题1.C 2.B 3.A 4.B 5.B（三）问答题1.二项分布成立的条件：每次试验只能是互斥的两个结果之一；每次试验的条件不变；各次试验独立。Poisson
18、分布成立的条件：平稳性： X 的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关；独立增量性：在某个观察单位上 X 的取值与前面各观察单位上 X 的取值无关；普通性：在充分小的观察单位上 X 的取值最多为1。2. 二项分布的正态近似：当 n 较大， 不接近 0 也不接近 1 时，二项分布 B（ n, ）近似正态分布 N（ n , ） 。)(nPoisson 分布的正态近似：Poisson 分布 P（ ） ，当 相当大时（20） ，其分布近似于正态分布。3. 当率 P 所来自的样本近似服从正态分布时，即 n 较大，P 不接近 0 也不接近 1 时，可以用率的标准误 Sp 描述率的抽样误差。（四）
19、计算题1. 建立检验假设H0： 该地区成人乙肝表面抗原阳性率为 10%；H1：该地区成人乙肝表面抗原阳性率大于 10%。 =0.05。从总体率为 10%的人群随机抽取 10 人，3 人或 3 人以上阳性的概率为：P(X3)=1-P( X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1-0.910+10*0.1*0.99+45*0.12*0.98=0.0702P(X3)0.05，在 =0.05 水平上，不拒绝 H0，不能认为该地区成人乙肝表面抗原阳性率高于全国水平。2. 建立检验假设H0：两种药有效率无差别；H1：两种药有效率有差别。 =0.05。)1(22121 nnXSp 095.)0(5821 p2
20、1pSu2.58，P0.0163.4.058在 =0.05 水平上，拒绝 H0，接受 H1，即两种降压药有效率有显著差别，甲药比乙药有效率高。3. 放射性物质含量为 4 克千克的矿石每千克的平均脉冲记数为 =100*4=400小时， 值较大，可利用Poisson 分布的近似正态分布特性进行计算。H0：两矿区矿石中该放射性物质含量相等，即后一矿区矿石发生脉冲频率的总体均数为 400小时；H 1：两矿区矿石中该放射性物质含量不相等，即后一矿区矿石发生脉冲频率的总体均数不等于 400小时。 =0.05。0uX2.58，P0.01。3041在 =0.05 水平上，拒绝 H0，接受 H1，即两矿区矿石中该放射性物质含量不相等，后一矿区矿石中该放射性物质含量高于前一矿区。4. 该仪器在 100 个工作时内故障不多于两次的概率即为 ， ， 三者之和。而 100 个)(X)1()2(XP工作时内故障平均次数为 ，根据 Poisson 分布的概率函数计算如下：.01 984.052.0948!2!0)2( eeXP故该仪器在 100 个工作时内故障不多于两次的概率为 0.99984。（夏结来 薛富波）
