1、用心 爱心 专心 1点击圆锥曲线中的最值问题最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。一求距离的最值例 1.设 AB 为抛物线 y=x2的一条弦，若AB=4，则 AB 的中点 M 到直线 y+1=0 的最短距离为 ，解析：抛物线y=x2的焦点为 F（0 ，41） ，准线为 y= 41，过 A、B、M 准线 y=的垂线，垂足分别是 A1、B 1、M 1，则所求的距离d=MM1+ 43= 2(AA1+BB1) + 43= 21(AF+BF) + AB+ = 4+
2、= ,当且仅当弦 AB 过焦点 F 时，d 取最小值 ，评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。二求角的最值例 2 M， N 分别是椭圆 124yx的左、右焦点， l 是椭圆的一条准线，点 P 在 l 上，则 MPN 的最大值是 . 解析：不妨设 l为椭圆的右准线，其方程是 2x，点 )0(,(0yP，直线 PM 和 PN 倾斜角分别为 和 . ),2(),(NM ,230tan0yykP2N于是 )ta(ta 231tnt100y3626200y ),MPN MPN 即 MPN 的最大值为 6.评注：审题时要注意把握 MPN 与 PM 和 PN 的
3、倾斜角之间的内在联系.三、求几何特征量代数和的最值例 3.点 M 和 F 分别是椭圆 1925yx上的动点和右焦点，定点 B(2,2).求|MF|+|MB|的最小值. 求 45|MF|+|MB|的最小值.解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点 F (-4,0)，离心率 e= 5，准线方程 x= 25.|MF| + |MB| = 10|MF | + |MB| =10（|MF |MB|）10|F B|=102 10. 故当 M，B，F 三点共线时，|MF|+|MB|取最小值 102 10.过动点 M 作右准线x= 425的垂线，垂足为 H，则 |e|5F.于是4|MF|+|MB|=|MH|+|
4、MB|HB|= 417.可见，当且仅当点 B、M、H 共线时， 5|MF|+|MB|取最小值17.评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。例 4点 P 为双曲线 142yx的右支上一点， M， N 分别为 )5(和1)5(2yx上的点，则 PM PN 的最大值为 .用心 爱心 专心 2解析：显然两已知圆的圆心分别为双曲线的左焦点 )0,5(1F和右焦点 2.对于双曲线右支上每一个确定的点 P，连结 PF1，并延长 PF1交 F1于点Mo.则 PM0为适合条件的最大的 PM，连结 PF2,交 F2于点 No.则 PN0为适合条件
5、的最小的 PN.于是 PM)()(1 624)(1故 PM PN 的最大值为 6.评注：仔细审题，合理应用平面几何知识，沟通条件与所求结论的内在联系，是解决本题的关键.例 5已知 e1， e2分别是共轭双曲线2byax和 byax的离心率，则e1+e2的最小值为 .解析： ,1221a2bae)1(4)( 222121 bae8)(42ba考虑到 01e，故得 21e. 即 e1+e2的最小值为 .评注：解题关键在于对圆锥曲线性质的准确理解，并注意基本不等式等代数知识的合理应用.四、求面积的最值例 6已知平面内的一个动点 P 到直线34:xl的距离与到定点 )0,3(F的距离之比为 2，点 )
6、21,(A，设动点 P 的轨迹为曲线 C.求曲线 C 的方程；过原点 O 的直线 l 与曲线 C 交于 M， N 两点.求 MAN 面积的最大值.解析：设动点 P 到 l 的距离为 d，由题意 23dF根据圆锥曲线统一定义，点 P 的轨迹 C 为椭圆. 23,ace, 可得 ,2a 142b故椭圆 C 的方程为： yx若直线 l 存在斜率，设其方程为 ,kxl与椭圆 C 的交点 ),(1M),(2N将 y=kx 代入椭圆 C 的方程 14yx并整理得 0)41(2xk. 21,k于是 21)(| xN4)212xk226( k又 点 A 到直线 l 的距离 21|d故 MAN 的面积 4|21
7、kMNS从而 224)(k当 k=0 时， S2=1 得 S=1当 k0 时， S2 0, a 245, 故 amin=3 5，得（2a） min=6 5,此时椭圆方程为 1364yx.解法 2：设椭圆 92a=1 与直线xy+9=0 的公共点为 M(acos, sin)，则 acos sin2+9=0 有解. )co(92a=9 cos(+ )= 2，| 92a|192a9 a245, a min=3 5，得（2a） min=6 5,此时椭圆的方程 1364yx.解法 3：先求得 F1(3，0)关于直线xy+9=0 的对称点 F(9,6)，设直线 xy+9=0与椭圆的一个交点为 M，则 2a=|MF1|+|MF2| =|MF| +|MF2|FF 2|=6 5，于是(2a)min=6 ,此时易得： a 2=45, b2=36，于是椭圆的方程为 136452yx.评注：本题分别从代数、三角、几何三种途径寻求解决。由不同角度进行分析和处理，有利于打开眼界，拓宽思路，训练思维的发散性。解决圆锥曲线中的最值问题，要熟练准确地掌握圆锥曲线的定义、性质，在此基础上，灵活合理地运用函数与方程、转化与划归及数形结合等思想方法，仔细审题，挖掘隐含，寻求恰当的解题方法。此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、运算准确、规范合理。
