质数与合数的判断方法与题.doc

1、小学数学教材对互质数是这样定义的：“公约数只有 1 的两个数，叫做互质数。”这里所说的“两个数”是指自然数。“公约数只有 1”，不能误说成“没有公约数。”判别方法：（1）两个质数一定是互质数。例如，2 与 7、13 与 19。（2）一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。例如，3 与 10、5 与 26。（3）1 不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如 1 和 9908。（4）相邻的两个自然数是互质数。如 15 与 16。（5）相邻的两个奇数是互质数。如 49 与 51。（6）大数是质数的两个数是互质数。如 97 与 88。（7）小数是质数，大数不是小数的倍数的两

2、个数是互质数。如 7 和 16。（8）两个数都是合数（二数差又较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。如 357 与 715，357=3717，而 3、7 和 17 都不是 715 的约数，这两个数为互质数。（9）两个数都是合数（二数差较小），这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数，这两个数是互质数。如 85 和 78。85787，7 不是 78 的约数，这两个数是互质数。（10）两个数都是合数，大数除以小数的余数（不为“0”且大于“ 1”）的所有质因数，都不是小数的约数，这两个数是互质数。如 462 与 221 462221220，20225。2、5 都不是 221

3、的约数，这两个数是互质数。（11）减除法。如 255 与 182。25518273，观察知 73182。182（732）36，显然 3673。73（362）1，（255，182）1。所以这两个数是互质数。三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况：一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。如 2、3、4。另一种不是两两互质的。如 6、8、9。质数与合数一、趣题引入 甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪，三人各自中靶的环数之积都是 60，按个人中靶的总环数由高到低排，依次是甲、乙、丙。靶子上 4 环的那一枪是谁打的？（环数是不超过 10 的自然数） 二、知识点 如果一个比 1 大的自然数只有两个约数：1

4、和本身，那么这个自然数就叫质数。（质数也叫素数。） 例如：43=143。43 只有 1 和 43 两个约数，所以 43 是质数。100 以内的质数极为常用，它们是： 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。在自然数中，如果除了 1 和本身两个约数，还有其它的约数，这个自然数就叫做合数。例如：6 的约数有 1，2，3，6，那么 6 是合数。应特别注意：1 既不是质数也不是合数，这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和 1。偶数中只有 2 是质数，而且是所有质数中最小的一个。除 2 以

5、外所有的偶数都是合数，除 2 以外所有的质数都是奇数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形成，这几个质数就叫做这个合数的质因数，例如，因为 70=257，所以2，5，7 是 70 的质因数。 把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：60=2235=2235，把 60 这个合数用2235 或 2235 的形式来表示，就是把 60 分解质因数。 三、例题分析 例 1：两个质数的积是 46，求这两个质数的和。 分析：两个质数的积是 46，46 是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数 只有 2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决。 解：因为 46 是偶数，因此它必是

6、一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有 2，另一个质数为 462=23，所以2 与 23 的和是 25。 例 2：用 2，3，4，5 中的三个数能组成哪些三位质数？ 分析：首先考虑个位是几，如果个位数字是 2 或 4，这样的三位数必能被 2 整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是 5，这样的三位数必能被 5 整除，这样的三位数也不会是质数，所以各位数字只能是 3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是 3 的三位数为 243，423，253，523，453，543，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数。 解:如果组成的三位数的个位数字是 2, 4, 5 时，这个数必能被

7、 2 或 5 整除，因此个位数字能是 3，而个位数字是3 的三位数有 243，423，253，523，453，543，其中 243，423，453，543 均能被 3 整除，253 能被 11 整除，所以只有 523 是质数。 说明 质数的判断方法是，当一个数比较小时，用定义直接判断，但这个数比较大时，通常采用查质数表，因此最好记住 100 以内的所有质数。在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除，如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数一定是质数。 例如，判断 100 以内的数是否是质数，只需用

8、 2，3，5，7 这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数。判断 97 是不是质数，因为 97 不能被 2，3，5，7 中的任何一个整除，因此 97 是质数，为什么不必去试除比 97 小的所有的质数呢？因为 97 不能被 2，3，5，7 中的任何一个整除，它就一定不能被4，6，8，9，10 等数（分别为 2，3，5 的倍数）整除，又因为，如果用 11 或大于 11 的质数去试除，9711=89，9713=76，其商为 8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断 100 以内的数是否是质数，只需用 2，3，5，7 去试除。 判断 200 以内的数是否是质数，只需用 2

9、，3，5，7，11，13，17 这七个质数去试除；判断 300 以内的质数，只需用 20 以内的八个质数去试除；判断 500 以内的质数，只需要 2 到 23 的质数去试除，其余可用类似的方法推出，同学们可以思考一下 1000 以内的质数如何判断？ 例 3：将 40，44，45，63，65，78，99，105 这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。 分析：如果采用观察，计算调整的方法是比较麻烦的，要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，根据质因数的个数，进行适当的搭配，使能找出问题的答案。 解：将八个数分析质因数：

10、40=235 44=2211 45=325 63=327 65=513 78=2313 99=3211 105=357 这八个数分解质因数后一共有 6 个 2，8 个 3，4 个 5，2 个 7，2 个 11，2 个 13。因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有 3 个 2，4 个 3，2 个 5，1 个 7，1 个 11，1 个 13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99 和44，45，78，105。 例 4：360 有多少个约数？ 分析：如果先求 360 的所有约数，再数出它们的个数显然比较麻烦。为此，先将 360 分解质因数：360=23325，360 的任意一个约数均由若干

11、个 2 成 3 成 5 组成，我们将 360 的所有约数列成下面的数阵： 这个数阵共 6 行，每行 4 个约数，所以 360 共有 46=24 个约数。而 24=（3+1）（2+1）（1+1），这里3，2，1 恰好是 360 分解质因数式子中 2，3，5 的个数，从而得到下面关于约数个数的一个重要结论： 一个大于 1 的整数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加 1 的连乘积。用数字式子表示为： 如果 A 分解质因数为： A= 则 A 的全体约数的个数为： （r1+1）（r2+1）（rn+1） （学过乘法原理的同学，不妨从乘法原理的角度去理解此公式的由来。） 例 5：有 30 个

12、约数的最小自然数是多少？ 分析：设所求的数为 A，则 A 有 30 个约数，因为 30=301=215=310=56=235，要使 A 最小，一般使 A的质因数的幂指数尽可能小，质因数的个数尽可能少，所以 A 必为下列形式： A=a1a22a34 其中 a1，a2，a3 为互不相同的质数。 要使 A 最小，a1，a2，a3 应尽可能小，显然 a3=2，a2=3，a1=5，这样 A=24325=720 解：因为 30=301=152=103=65=532，而且题中要求有 30 个约数的最小的数，所以这个数是能表示为A=a1a22a34，其中 a1，a2，a3 为互不相等的质数，为了使 A 最小，

13、a3=2，a2=3，a1=5，所以A=24325=720。 例 6：引例。 分析：三人三枪中靶环数之积均为 60，即每人每枪中靶环数均为 60 的约数。将 60 分解质因数为 60=2235，又因为每枪环数不超过 10，所认将 60 写成三个不超过 10 的自然数的乘积有且只有以下四种情况： 60=345 （1） 60=265 （2） 60=2310 （3） 60=1610 （4） 其中总环数分别为 12，13，15，17，出现 4 环的情形（1）总环数最少，所以 4 环是丙打的。 解：因为 60=345=265=2310=1610， 所以三个人各自打的环数有下面 4 种可能： （1）3，4，

14、5 （2）2，6，5 （3）2，3，10 （4）1，6，10 其中出现 4 环的情形（1）总环数最少，所以 4 环是丙打的。 例 7：九个连续自然数中至多有四个质数，例如 1 至 9 中有 2，3，5，7 四个质数。请在 200 以内再找出五组这样的质数。 分析：9 个连续自然数中至多有 5 个奇数，在两位数中，个位是 5 的数必能被 5 整除，而且三个连续的奇数必有一个能被 3 整除，所以只有当个位数字为 5 的两位数又有能被 3 整除时，其余的四个奇数才有可能是质数。当找到一组这样的两位以上质数时，另一组与这组对应的数的差必定是 30 的倍数。按照上述办法找出后，再根据质数的判断方法去筛选

15、就可得到结果。 首先容易得出 3，5，7，11；5，7，11，13；在两位数中，按照上面的方法可得出以下各组数： 11， 13， 15， 17， 19； 41， 43， 45， 47， 49； 71， 73， 75， 77， 79； 101，103，105，107，109； 131，133，135，137，139； 161，163，165，167，169； 191，193，195，197，199； 根据质数的判断方法可以得出两位数中还有 11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199 这三组符合条件。 解：200 以内另外五组这样的质数为： 例 8：有一

16、个 2n+1 位整数（n 是整数，n1） 解法 1：我们观察这个数的数字特征，可以看出，它的各个数位数字和是 3 的倍数。 由于 n+1 是整数，得 3 | 3（n+1），所以 3 是原数的约数，显然 3 是 1 和原数以外的约数， 从上面的解法中，可以看到“整除”知识在判断质数与合数时有很大用处，要想迅速找到一个整数的约数，就要对数的整除特征非常熟悉，这对提高筛选的速度大有好处。 解法 2：还可以把这个数分解一下，把这个数中间的“3”拆开。 把这个数字拆开的主要目的是能提出公因数做因数分解。这种方法不但能说明一个数是合数，还提供了分解因数的一种方法。 对于质数来讲，由于它至今没有统一的数学式

17、子来表示，人们对它的了解仍是很不全面。已经知道：质数有无限多个（这在初中可以证明），并且一般来说，随着数值越大就越来越稀少。有人统计过五千以内的质数分布情况：1-1000 中有 168 个质数， 1001-2000 中有 135 个质数， 2001-3000 中有 127 个质数， 3001-4000 中有 120 个质数， 4001-5000 中有 119 个质数。 四、练习 1、 由 1,2,3,4,5,6,7,8,9。这九个数字组成的九位数是质数吗？ 2、 把下列八个数，分为两组，每组四个数，使两组数的积相等，问如何分？ 14，33，35，75，39，30，143，169 3、 2340

18、 有多少个约数？ 4、 有一个质数，它加上 10 是质数，加上 14 也是质数，把它求出来。 5、 两个质数的和是 33，求这两个质数的积。 6、 求用 1,2,4,5,8 中的三个数字组成最大的三位质数。 7、 有四个人，他们的年龄一个比一个大一岁，他们的年龄乘积等于 43680，求这四个人的年龄？ 8、 求有 18 个约数的最小自然数？ 9、 三个质数的乘积恰好等于它们的和的 11 倍，求这三个质数。 10、 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数。求这两个整数。 五、习题参考答案及思路分析 1、 不是。因为它一定能被 3 整除。 2、 第一组

19、：35，30，39，143 第二组：14，75，33，169 （答案不唯一） 3、2340=2232513 它的约数个数为（2+1）（2+1）（1+1）（1+1）=36 个 4、设所求的质数为 A，则 A+10，A+14 仍为质数。 101（mod3），若 A2（mod3），则 3|A+10 不可。又142（mod3），若 A1（mod3），则 3|A+14 也不可。只能 A0（mod3）。能被 3 整除且为质数的数只有 3 符合。 所以所求的数为 3。 5、因为这两个质数和是 33，为奇数，所以这两个质数必定是一个为奇数，另一个为偶数。由于偶质数只有 2，所以另一个奇质数为 33-2=31。

20、312=62。这两个质数的积为 62。 6、个位是 2，4，8，5 的三位数一定能被 2 或 5 整除，不是质数，所以个位只能是 1。将个位数字是 1 的三位数从大到小逐个试验： 851=2327，851 不是质数。 841=2929，841 不是质数。 821 不能被 2 至 29 的任何一个质数整除，所以 821 是所求的最大的三位质数。 7、因为这四个人的年龄的乘积等于 43680，所以这四个人的年龄是 43680 的约数。先将 43680 分解质因数： 43680=2535713 =13（27）（35）24 =13141516 所以这四个人的年龄分别是 13，14，15，16。 8、因

21、为 18=181=92=63332，要使所求数最小，这个数为 A=a12a22a3，其中 a1，a2，a3 为互不相同的质数，所以 a1=2，a2=3，a3=5，A=22325=180，即有 18 个约数的最小自然数为 180。 9、设这三个质数分别为 a、b、c，则 abc=11（a + b + c） 所以 a、b、c 中必有一个是 11，不妨设是 c=11，则上式变为 ab=a + b + 11 变形，得 ab-a-b=11 a（b-1）-（b-1）=11+1 （a-1）（b-1）=12=121=62=43 当 b-1=12，a-1=1 时，b=13，a=2； 当 b-1=6，a-1=2 时，b=7，a=3； 当 b-1=4，a-1=3 时，b=5，a=4（舍）。 所以这三个质数为 2，11，13 或 3，7，11。 10、因为这两个整数的乘积恰好是三个数字相同的三位数，这个三位数必有因数 111，因为 111=337，所以这两个整数中必有一个是 37 的倍数，由于这两个整数的和是两位数，所以这两个整数最大为两位数。因此 37 的倍数只能是 37 或 74。而另一个则是 3 的倍数，经试验，只有（3，74），（18，37）两组符合。