1、1南京清江花苑严老师第 3 讲质数与合数阿拉伯数字无疑是人类历史上最伟大的发明之一，其本身蕴含的规律更是数学学科中最璀璨的明珠！质数和合数的分类产生了哥德巴赫猜想等世界著名的命题，学习质数和合数，窥探数字的奥秘！对于自然数 和 （ ） ，若 没有余数，ab0ab则 是 的倍数， 是 的约数。特殊地， 是0任意非零自然数的倍数。质 数 ： 除 了 和 本 身 ， 没 有 其 他 约 数 的 自 然 数 叫1质 数 。合 数 ： 除 了 和 本 身 ， 还 有 其 他 约 数 的 自 然 数 叫合 数 。特 殊 地 ， 既 不 是 质 数 也 不 是 合 数 。1最 小 的 合 数 是 ， 最 小
2、 的 质 数 是 ， 且 是 唯 一42的 偶 质 数 。质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。互质数：公约数只有 1 的两个自然数，叫做互质数。分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。编写说明知识要点2南京清江花苑严老师【例 1】 对 个不同质数求和，和为 ，则最大的质数是多少？758【分析】 七个质数若全部是奇数，则和一定是奇数，而 是偶数，则七个质数中必定含有唯一的偶质数58，所以最小的质数是 ，从 开始，最小的七个连续质数是 ， ， ， ， ， ， ，和22 2357137为 ，所以题中的七个质数只能是从 开始的七个连续质数，最
3、大为 。582【温馨提示】 是唯一的偶质数，是偶数中的“叛徒” ，所以质数也经常与奇偶性相结合，主要考察“ ”.【拓展】 已知 、 、 、 都是质数，且 ，求 、 、 、 的值。abcd13095179abcdabcd【分析】 ，所以 、 、 应该都是奇数，所以 是唯一的偶质数 ，依此可求得：95179bcd 2， ， ， .2345【例 2】 从小到大写出 5 个质数，使后面数都比前面的数大 12。这样的数有几组？【分析】 考虑到质数中除了 2 以外其余都是奇数，因此这 5 个质数中不可能有 2；又质数中除了 2 和 5，其余质数的个位数字只能是 1、3、7、9。若这 5 个质数中最小的数其
4、个位数字为 1，则比它大24 的数个位即为 5，不可能是质数；若最小的数其个位数字为 3，则比它大 12 的数个位即为5，也不可能为质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是 7 和 9，因此最小的数只能是5，这 5 个数依次是 5，17，29，41，53。这样的数只有一组。说明：除了 2 和 5，其余的质数个位数字只能是 1，3，7 或 9。这是此题的突破口。老师可以只推算个位数字就可以否定 1、3、7、9，然后剩下个位数字是 2 和 5，就很容易找到 5。【拓展】 如果某整数同时具备如下三条性质： 这个数与 1 的差是质数，这个数除以 2 所得的商也是质数， 这个数除以 9 所得的余数是
5、5，那么我们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数。【分析】 法一：由条件 可知，所求的数是偶数，因此可设所求的幸运数是质数 的两倍，即此幸运数p为 2 ，则 的所有可能取值为 5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。于是p2 -1 的所有可能取值为 9，13，21，25，33，37，45，57，61，73，81，85，93。根据题目条件，2 -1 应为质数，因此 2 -1 只可能为 13，37，61 或 73。再由条件知 2 -1 除以 9 所p得的余数应为 4，于是 2 -1 只可能是 13，从而这个幸运数只能是 2 =14。法二：从条件入手，符合条件的
6、偶数有：14，32，50，68，86，再由条件排除掉32，50，68，最后由条件排除掉 86，所以这个幸运数是 14。【例 3】 四个连续自然数的乘积是 3024，这四个自然数中最大的一个是多少？【分析】 分解质因数 ，考虑其中最大的质因数 7，说明这四个自然数中必定有一个是 743027的倍数。若为 7，因 3024 不含有质因数 5，那么这四个自然数可能是 6、7、8、9 或7、8、9、10（10 仍含有 5，不行） ，经检验 6、7、8、9 恰符合。【温馨提示】根据乘积求因数，是分解质因数的一个重要运用.【拓展】 2004720 的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之
7、和最小是多少？【分析】 首先分解质因数，2004720=2222357167，其中最大的质因数是 167，所以所要求的三个连续自然数中必定有 167 本身或者其倍数。3南京清江花苑严老师165=3511，166=2 83，168=2 2237，169=13 13，所以165166167，166167168，167168169 都没有 4 个 2，不满足题意。说明 167 不可行。尝试334=1672，335=567，336=222237，334335336=2222235767167，包括了 2004720 中的所有质因数，所以这组符合题意，以此三数之和最小为1005。【拓展】 甲数比乙数大
8、5，乙数比丙数大 5，三个数的乘积是 6384，求这三个数。【分析】 将 6384 分解质因数，6384 ，则其中必有一个数是 19 或 19 的倍数；经试23719算，1951427，195242223，恰好 1419246384，所以这三个数即为14，19，24。一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析。如果这道题里 19 不符合要求，下一个该考虑 38，再下一个该考虑 57，依此类推。【例 4】 一个长方体的长、宽、高是连续的 3 个自然数，它的体积是 39270 立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米?【分析】 方法一：3927023571117，为三个连续自然数的乘积
9、，所以 33、34、35 为满足题意的长、宽、高则长方体的表面积为：2（长宽宽 高高 长）2（3334 34353533） 6934(平方厘米) 方法二：3927023571117，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数 17，如果 17 作为长、宽或高显然不满足当 17 与 2 结合即 34 作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数 7，与 34 接近的数 3236 中，只有 35 含有 7，于是 7 与 5 的乘积作为长方体的一条边的长度而 39270 的质因数中只剩下了 3 和 1l，所以这个长方体的大小为 333435长方体的表面积为：2（ + + ） 2（119011551122
10、）234676934(平方厘米)39207439205【拓展】 在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少? 【分析】 如上图，设长、宽、高依次为 、 、 ，有正面和上面的和为 abc 209acb，而 ()209acbc19当 时， ，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数 ，则11;27当 时， ，则 ， 为 不是质数，所以不满足题意92cb所以它们的乘积为 2734【例 5】 只同样的瓶子内分别装有一定数量的油每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：4， ， ， ， ， 已知 只空瓶的重量之和以及油的重量之
11、和均为质数，求最重的两89101瓶内有多少油?【分析】 由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是 4 瓶油(连瓶)重量之和的 3 倍，即 4 瓶油( 连瓶)共重(8+9+10+11+12+13)3=21(千克) 而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于 2 是唯一的偶质数，只有两种可能：(1)油重之和为 19 千克，瓶重之和为 2 千克，每只瓶重4南京清江花苑严老师千克，最重的两瓶内的油为 13- 2=12(千克)(2) 油重之和为 2 千克，瓶重之和为 19 千克，21 12每只瓶重 千克，最重的两瓶内的油为 13- 2= (千克)，这与油重之和 2 千克矛盾因此949427
12、最重的两瓶内共有 12 千克油【例 6】 从 20 以内的质数中选出 6 个，然后把这 6 个数分别写在正方体木块的 6 个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等。将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？【分析】 小于 20 的质数有 2，3，5，7，11，13，17，19，其中 5+19=7+17=11+13。每个木块掷在地上后向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是 5+5+5=15，最大是 19+19+19=57，经试验，三个数的和可以是从 15 到 57 的所有奇数，所有可能的不同值共有 22 个。【拓展】 有些自然数能够写成一个质数与一个合数
13、之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有 13 种，那么所有这样的自然数中最小的一个是多少？【分析】 在所有的质数中，从小到大第 13 个质数是 41，因此在 13 种分解方法中，质数最大的那一组至少是 。按题目要求分拆 45 有如下 12 种方法：41553207381432789629617841按题目要求分拆 46 有如下 7 种方法：465539按题目要求分拆 47 有如下 14 种方法 ： 72534342617407因此满足题意的最小自然数是1170892847。【练习 1】 4 个一位数的乘积是 360，并且其中只有一个是合数，那么在这 4 个数字所组成的四位
14、数中，最大的一个是多少？【分析】 将 360 分解质因数得 360=222335，它是 6 个质因数的乘积。因为题述的四个数中只有一个是合数，所有该合数必至少为 63=3 个质因数的积，又只有 3 个 2 相乘才能是一位数，所以这 4 个乘数分别为 3，3，5，8，所组成的最大四位数是 8533。【练习 2】 9 个连续的自然数，它们都大于 80，那么其中质数最多有多少个?【分析】 大于 80 的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越多越好，9 个连续的自然数中最多只有 5 个奇数，它们的个位应该为 1，3，5，7，9但是大于 80 且个位为 5 的数一定不是质数，所以最多只有 4 个数经
15、验证 101，102，103，104，105，106，107，108，109 这 9 个连续的自然数中 101、103、107、109 这 4 个数均是质数也就是大于 80 的 9 个连续自然数，其中质数最多能有 4 个【练习 3】 用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数?5南京清江花苑严老师【分析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有 2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9 这 5 个不是质数的数字未用有 1、4、8、9 可以组成质数 41、89，而 6 可以与
16、7 组合成质数 67所以这 9 个数字最多组成了 2、3、5、41、67、89 这 6 个质数【练习 4】 在放暑假的 8 月份，小明有五天是在姥姥家过的。这五天的日期除一天是合数外，其它四天的日期都是质数。这四个质数分别是这个合数减去 1，这个合数加上 1，这个合数乘上 2 减去1，这个合数乘上 2 加上 1。问：小明是哪几天在姥姥家住的？【 分析】 由题意可知这个合数最大是 16，16 以内相差 2 的质数有 3 和 5、5 和 7、11 和 13，那么对应合数是 4，6，12。经检验这个合数是 6，四个质数分别是 5，7，11，13。【练习 5】 若将 17 拆成若干个的质数之和，使得这
17、些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积是多少？【分析】 根据整数拆分原则：多拆 3，少拆 2，不拆 1拆分后乘积最大。若要使 17 拆成的不同质数的乘积尽可能大，应该将 17 分解为 5 个 3 和 1 个 2，所以最大乘积是 333332=486。对于此类整数分拆的题，可以适当归纳一下：当这个数是 3 的倍数时，全部拆成 3；当这个数除以 3 余 1 时，可拆成若干个 3 和两个 2，如 16 可拆成 4 个 3 和两个 2；当这个数除以 3 余2 时，可拆成若干个 3 和一个 2。【练习 6】 三个连续自然数的乘积是 ，求这三个数是多少？10【分析】 分解质因数： ，可知这三个数是 、
18、和 。10575676南京清江花苑严老师澳大利亚馆澳大利亚将在上海世博会园区内自行建设一座占地面积达4800 平方米的国家展馆，其主题是“战胜挑战：针对城市未来的澳大利亚智能化解决方案”，通过探讨环境保护以及城市化和全球化等人类面临的共同挑战，以及展示澳大利亚自然风光，向参观者呈献“世界上最适宜居住地”澳大利亚如何缔造城市建设和自然环境之间可持续发展的和谐。设定目标美国汽车大王亨利福特，在 12 岁的那一年，随着父亲驾着马车到城里，偶然间见到一部以蒸汽做动力的车子，他觉得十分惊奇，并在心中想着：既然可以用蒸汽做动力，那么用汽油应该也可以，我要试试！虽然是个遥不可及的梦想，但是从那时起，他便为自
19、己立下了 10 年内完成一辆用汽油做动力的车子。他告诉父亲说：“我不想留在农场里当一辈子的农民，我要当发明家！”然后他就离开家乡到工业大城底特律去，当一名最基本的机械学徒，逐渐对于机械有了更深入的认识。工作之余，他一直没有忘记他的梦想，每天劳累地从工厂下班后，仍孜孜不倦地从事他的研发工作。29 岁那一年，他终于成功了！在试车大会上，有记者问他说：“您成功的要诀是什么?”福特想了一下说：“因为我有远大的目标，所以成功！”7南京清江花苑严老师上期答案： 高强在天平的两端各放上两个小球，有次品的那段要重一些，肯定要比另一端低。然后，高强在天平的两端各拿走一个小球，如果这时的天平还是不平衡，仍然一端高
20、一端低，那么天平上低的那端的小球就是次品；如果天平是平衡的，那么从刚才低的那端拿走的小球就是次品。金币与银币在一个国家有一个美丽而聪明的公主，一个王子来向公主求婚。公主声明要嫁给最聪明的人，为了考验王子的智慧， 公主吩咐仆人端来两个盆， 一个盆装着10个金币，另一个 盆里则装着10个银币， 金币和银币的大小完全一样。公主让 人 把 王 子 的 眼 睛 用布蒙上， 然后说： “现在， 我要让人将两个盆的位置随意调换，请你随意选一个盆，并从里面挑出一枚硬币。如果你选中的是金币，我就嫁给你；如果你选中的是银币，我不但不会嫁给你，还要将你赶出宫殿。”王子想了想，问道：“在蒙上眼睛之前，我能不能任意调换
21、盆里的硬币组合呢？”“当然可以。”公主同意了。 王子应该怎样调换硬币，娶到公主的把握才能最大呢？8南京清江花苑严老师动物中的数学 “天才 ”蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为 109 度 28 分，所有的锐角为 70 度 32 分，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚 0.073 毫米，误差极小。 丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是 110 度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半即每边与鹤群前进方向的夹角为 54度 44 分 8 秒！而金刚石结晶体的角度正好也是 54 度 44分 8 秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？ 蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出 365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现 3 亿 5 千万年前的珊瑚虫每年“画”出 400 幅“水彩 画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅 21.9小时，一 年不是 365 天，而是 400 天。(生活时报)
