1、,3.1 概述3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析 3.3 单自由度体系的弹性水平地震作用及其反应谱3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析3.5 多自由度体系的最大地震反应和水平地震作用3.6 竖向地震作用3.8 结构平扭耦合地震反应与双向地震影响3.10 结构抗震验算,本章是全课的重点！,第三章 结构地震反应分析及抗震计算,导入案例 当向前行驶的公共汽车突然煞车时，车上的人会因为惯性而向前倾，在车上的人看来仿佛有一股力量将他们向前推，即为惯性力； 地震时，由于地面运动，在房屋结构上也会产生水平及竖向惯性力地震作用，使结构产生受迫运动。 传统的惯性力可以利用牛顿定律来求解，那么地震惯性力（地
2、震作用）又将如何计算？计算地震作用的目的又是什么？我们可以通过本章的学习得以了解。,3.1 概 述,3.1.1 结构地震反应,结构地震反应：是指地震时地面振动使建筑结构产生的内力、变形、位移及结构运动速度、加速度等的统称。可分类称为：地震内力反应、地震位移反应、地震加速度反应等。结构地震反应又称地震作用效应。结构地震反应是一种动力反应，其大小不仅与地面运动加速度有关，还与结构自身动力特性（自振周期、振型和阻尼）等有关，一般需根据结构动力学理论进行求解。,3.1.1 结构地震反应,结构动力学：是研究结构系统在动荷载（激励力）作用下产生的反应（响应）规律的科学，研究动荷载、结构和响应三者关系的科学
3、。 现代结构动力学主要研究的问题：,3.1.1 结构地震反应,3.1.1 结构地震反应,结构动力问题与结构静力问题的区别：,（a）梁的内力和位移仅仅依赖于给定的外荷载P，可根据平衡关系求出；（b）梁所产生的位移和加速度有关，这些加速度又产生反向的惯性力，于是梁的恢复力不仅要平衡外加动力荷载P(t)，还要平衡加速度引起的惯性力。,区别：（1）动力问题是随时间变化的；（2）结构的惯性力不可忽略。,3.1.1 结构地震反应,结构动力学问题的研究的基本方法：,理论分析，科学实验、数值计算。,理论分析：就是将实际工程结构经过力学抽象建立力学模型，利用力学、物理基本原理建立数学模型，利用数学工具进行，方程
4、分析、求解。 力学抽象，就是将一个实际的结构系统用力学的基本单元来模拟，如梁，板，壳等，或者用质量元件，弹性元件和阻尼元件。前者建立起的力学模型是连续系统模型，后者建立的是离散系统模型。 力学的基本原理，诸如达朗贝尔原理、能量守恒定律等等 数学模型，就是描述系统运动规律的数学方程。 理论分析受数学、物理学科理论发展的限制,科学实验： 对理论无法分析和预测的问题，较为复杂的问题，通常使用试验的方法。 科学实验对人力、物力，时间，经费等耗费较大。数值分析： 大大扩展了理论分析的能力，是力学等传统学科理论得以在工程中广泛应用的基础。 数值分析可节约大量的人力、物力，时间，经费等。,3.1.1 结构地
5、震反应,3.1.2 地震作用,地震时由于地面运动使原来处于静止的建筑受到动力作用，产生强迫振动。 我们将地震时由地面运动加速度在结构上产生的惯性力称为结构的地震作用（earthquake action）。 地震作用属于间接作用，而不称为荷载。在工程上为使用方便，有时将地震作用等效为某种形式的荷载作用，这时称为等效地震荷载。,结构抗震理论的发展,结构地震反应计算方法的发展，大致可以划分为三个阶段：,1、静力理论阶段-静力法,1920年，由日本大森房吉提出。假设建筑物为绝对刚体。结构所受的水平地震作用：,-地震系数：反映震级、震中距、地基等的影响,将F作为等效静荷载，按静力计算方法计算结构的地震效
6、应。,3.1.2 地震作用,静力计算方法的缺点：,3.1.2 地震作用,（1）没有考虑结构的动力特性；,（2）认为地震时结构上任一点的振动加速度均等于地面运动的加速度，这意味着结构刚度是无限大的，即结构是刚性的。,2、反应谱理论阶段,地震反应谱：单自由度弹性体系在地震作用下其最大的反应与自振周期的关系曲线称为地震反应谱。1943年美国皮奥特（ M. A. Biot）发表了以实际地震记录求得的加速度反应谱，提出的“弹性反应谱理论”。,3.1.2 地震作用,按照反应谱理论，作为一个单自由度弹性体系结构的底部剪力或地震作用为：,由于反应谱理论正确而简单地反映了地震特性以及结构的动力特性，从而得到了国
7、际上广泛的承认。实际上到50年代，反应谱理论已基本取代了静力法。,目前，世界上普遍采用此方法。,3.1.2 地震作用,3. 动力分析阶段-时程分析法,大量的震害分析表明，反应谱理论虽考虑了振幅和频谱两个要素，但只解决了大部分问题，地震持续时间对震害的影响始终在设计理论中没有得到反映。这是反应谱理论的局限性。 时程分析法将实际地震加速度时程记录作为动荷载输入，进行结构的地震响应分析。不仅可以全面考虑地震强度、频谱特性、地震持续时间等强震三要素，还进一步考虑了反应谱所不能概括的其它特性。时程分析法用于大震分析计算，借助于计算机计算。,3.1.3 结构动力计算简图及体系自由度,结构动力计算,确定结构
8、动力计算简图,确定结构惯性的模拟,结构质量的描述,3.1.3 结构动力计算简图及体系自由度,描述结构质量的方法，主要有两种：,1、连续化描述（分布质量）；2、集中化描述（集中质量）。,由于连续化描述结构的质量，结构的运动方程将为偏微分方程。,上述偏微分方程的求解和实际应用都很不方便。因此，工程上常采用集中化方法描述结构的质量，来确定结构的动力计算简图。,3.1.3 结构动力计算简图及体系自由度,高层建筑,烟囱,迪拜哈利法塔,对多、高层建筑其集中质量等于该楼层上、下各半的区域质量（楼盖、墙体等）之和（每个质点的质量应根据重力荷载代表值确定），并集中在楼面结构标高处，固端位置一般取至基础顶面或室外
9、地面下0.5m处。,3.1.3 结构动力计算简图及体系自由度,为确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需要的独立的几何参数的数目，即自由度。 空间中一个自由质点可有三个独立的平动位移（忽略转动），因此它具有三个平动自由度。若限制质点在一个平面内运动，则一个质点有两个自由度。根据结构自由度的数量多少，可分为单自由度体系和多单自由度体系。,质量集中点的个数与自由度个数并不是一一对应的,结构的自由度与是否超静定次数无关,3.1.3 结构动力计算简图及体系自由度,可用加链杆的方法确定自由度,3.2 单自由体系的弹性地震反应,研究单自由度体系振动的重要性,1、是工程上一些实际结构的简化。,2、是研究复杂
10、动力计算的基础。,等高单层厂房、水塔等均可简化成一个单质点体系。当该体系只作单向振动时，就形成了一个单自由度体系。,3.2.1 运动方程,前面我们讲了结构动力学主要研究问题有四种（反应问题、参数识别问题、荷载识别问题和控制问题），对于结构的地震反应分析，属于第一种即反应问题；对于结构动力学问题的研究的方法我们介绍了三种（理论分析、实验研究和数值模拟），本章主要是从理论上来分析地震反应问题。,建立问题的理论模型（基于一组基本假定建立力学模型）,推导问题的数学模型（建立微分方程）,求解问题的动响应,1) 应用达朗贝尔原理，通过列瞬时“动平衡”方程来建立，也称为直接平衡法。2) 虚功法 根据达朗贝尔
11、原理和所假设的阻尼理论，考虑惯性力、阻尼力的作用，则在任意瞬时质量应该处于“动平衡”状态，因此根据虚位移原理，外力（动荷载、惯性力、阻尼力）的总虚功应恒等于总虚变形功。也即通过列虚功方程象1)一样来获得运动方程。由于是用虚功方程来建立平衡条件，称虚功法。,运动方程建立的方法：,3.2.1 运动方程,3) 利用哈密顿原理来建立运动方程变分法 通过建立系统动能、势能和耗能（分别记作 T、EP、V），获得如下哈密顿泛函,根据哈密顿原理，可由令哈密顿泛函的一阶变分等于零来建立“动平衡方程”运动方程。 当没有耗能时，所得到的是无阻尼的方程。否则，是有阻尼情况。 用哈密顿原理时和上两方法不同，不再考虑惯性
12、力、阻尼例和弹性恢复力等，它们通过能量变分来得到。,3.2.1 运动方程,3.2.1 运动方程,作为本科学习，这里只讨论用达朗贝尔原理通过列平衡方程得到运动方程的“直接平衡法”。,确定单自由体系在水平地震作用下的计算简图：,：地面（基础）的水平位移：质点对地面的相对位移：质点对地面的相对速度：质点的绝对加速度,3.2.1 运动方程,取质点为隔离体，作用在质点上的惯性力：,惯性力等于质点的质量与其绝对加速度的乘积，但其方向与质量加速度的方向相反。,阻尼力是由结构的内摩擦机结构周围介质（如空气、水）对结构的运动造成的，其大小一般与结构运动的速度有关。,按照等效粘滞阻尼理论，阻尼力与质点的速度成正比
13、，但方向与质点运动的方向相反。,3.2.1 运动方程,根据胡克定律，恢复力与质点偏离平衡位置的位移成正比，但方向与质点位移的方向相反。,弹性恢复力是使质点从振动位置回到平衡位置的力，由结构的弹性变形产生。,根据达朗贝尔原理，在任一时刻t，质点在惯性力、阻尼力及弹性恢复力三者作用下保持动力平衡。于是运动平衡方程为,即：,单自由度体系的运动方程,常系数二阶非齐次的线性微分方程,3.2.1 运动方程,为便于求解，两边同除以m，并令,结构振动圆频率(自振圆频率),结构的阻尼比,（3-9）,3.2.2 运动方程的解,线性常微分方程的通解等于齐次解和特解之和。齐次解代表体系的自由振动反应，特解代表体系在地
14、震作用下的强迫振动反应。因此，相应的地震反应由下式计算 体系的地震反应=自由振动反应+强迫振动反应,1方程的齐次解自由振动位移反应,特征方程,特征根为,3.2.2 运动方程的解,（1）当,（2）当,（3）当,（4）当,当1时，体系不振动，称为过阻尼状态,当=1时，体系不振动，称为临界阻尼状态,当1时，体系自由振动，称为无阻尼状态,一般结构的阻尼比较小（0.010.1），D,3.2.2 运动方程的解,当01时，振幅衰减，但周期不变。,3.2.2 运动方程的解,一般工程均为欠阻尼情形，即：,为确定该情形方程的解，考虑如下初始条件：,3.2.2 运动方程的解,无阻尼单自由度体系的自由振动为简谐振动。
15、,有阻尼和无阻尼单自由度体系的自由振动的重要区别：有阻尼体系的自由振动的振幅不断衰减，直至消失。,无阻尼y- t曲线,低阻尼y- t曲线,例3-1,3.2.2 运动方程的解,2方程的特解I简谐强迫振动,地面简谐运动,使体系产生简谐强迫运动,A为地面运动振幅；g地面运动的圆频率。,单自由度体系的简谐地面运动的强迫振动是圆频率为g周期运动。,3.2.2 运动方程的解,B为地面运动振幅； 体系振动与地面运动的相位差。,3.2.2 运动方程的解,由于结构阻尼一般较小（0.010.1），因此放大系数max可达550，即体系质点的振幅可达地面的几倍到几十倍。,3.2.2 运动方程的解,3方程的特解II冲击
16、强迫振动,体系质点所受到的力：,在dt时刻的速度和位移分别为：,体系质点在0dt时间内的加速度为：,（3-30）,3.2.2 运动方程的解,4方程的特解III一般强迫振动,地震地面运动一般为不规则的往复运动。,那么对于复杂的问题怎么办？,化繁从简,删繁就简三秋树,领异标新二月花,引起体系的反应：,3.2.2 运动方程的解,叠加：体系在任意t时刻的地震反应。,3.2.2 运动方程的解,5方程的通解,线性常微分方程的通解=齐次解+特解,单自由度体系的地震反应=自由振动+强迫振动,由初位移、初速度引起迅速衰减，可不考虑,地面运动引起,因此，对于单自由度体系的地震位移反应可用（3-32）表示。,3.3
17、 单自由体系的水平地震反应与反应谱,对于单自由度体系，在任意的随机地震作用，我们可以将其任意时刻的地震位移反应求出。,3.3.1 水平地震作用的定义,结构设计,结构结构最大反应,最关心、最感兴趣,水平地震作用就是地震时结构质点上受到的水平方向的最大惯性力。,3.3.1 水平地震作用的定义,当基础作水平运动时，作用于单自由度弹性体系质点上的惯性力为,由体系的运动方程,可见，在地震作用下，质点在任一时刻的相对位移x(t)将与该时刻的瞬时惯性力成正比。因此可认为这一相对位移是在惯性力的作用下引起的，惯性力对结构体系的作用和地震对结构体系的作用效果相当，可认为惯性力是一种反映地震影响效果的等效力。,3
18、.3.1 水平地震作用的定义,求得地震作用后，即可按静力的方法计算结构的最大地震位移反应。,利用它的最大值来对结构进行抗震计算，就可以使抗震设计这一动力计算问题转化为相当于静力荷载作用下的静力计算问题。,3.3.2 地震反应谱,1定义与计算,欲求最大地震位移反应,地震作用,为了便于求地震作用，将单自由度体系的地震最大绝对加速度反应与其自振周期T的关系定义为地震加速度反应谱，简称地震反应谱，计作Sa(T)。,3.3.2 地震反应谱,（3-32）,对上式微分一次:,由（3-9）质点的绝对加速度为,3.3.2 地震反应谱,（3-9）,一般结构的阻尼比较小（0.010.1），D,3.3.2 地震反应谱
19、,所以，质点相对于地面的最大加速度反应为,最大加速度反应,（3-39）,也可由（3-32）微分两次得到，即（3-38）,3.3.2 地震反应谱,2地震加速度反应谱的意义和影响因素,意义：,质点的绝对最大加速度取决于地震时地面运动加速度、结构的自振周期及结构的阻尼比。在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数。,3.3.2 地震反应谱,影响因素：,1、体系阻尼比,1940年Elcentro(埃尔森特罗)地震时地面运动加速度记录,Elcentro波,3.3.2 地震反应谱,加速度反应谱曲线可见： 加速度反应谱曲线为一多峰点曲线。 阻尼比越小 ，体系的地震加速度越大。 当结构的自振周期较小
20、时，随着周期的增大其谱值急剧增加，但至峰值点后，则随着周期的增大其反应逐渐衰减，而且渐趋平缓。根据反应谱曲线，对于任何一个单自由度弹性体系，如果已知其自振周期和阻尼比，就可以从曲线中查得该体系在特定地震记录下的最大加速度。,3.3.2 地震反应谱,Taft波,天津波,迁安波（E-W）,地震动记录不同，地震反应谱也将不同，因此，影响地震动的各种因素也将影响地震反应谱。,2、地震动,3.3.2 地震反应谱,地震动的三要素：,振幅、频谱和持时,对于线性的单自由度体系，地震动振幅对地震反应谱的影响也是线性的。即地震动振幅越大，地震反应谱的幅值也就越大。,地震动仅对地震反应谱的大小有影响。,线性的,地震
21、动的频谱反映地震动不同频率简谐运动的构成，由共振原理知，地震反应谱的“峰”将分布在地震动的主要频率成分段上，因此，地震的频率不同，地震反应谱的“峰”的位置也将不同。,所以，影响地震频谱的各种因素，如场地条件、震中距等，都对地震反应谱有影响。,3.3.2 地震反应谱,持时主要影响单自由度体系地震反应的循环往复次数，对其最大反应或地震反应谱的影响不大。,3.3.3 设计反应谱,由地震反应谱可计算单自由度体系水平地震作用为,将公式变形,3.地震影响系数,2.动力系数,1.地震系数,由于无法确定今后的地震动时程，因而无法确定相应的反应谱，可见地震反应谱直接用于设计还有一点的困难。,3.3.3 设计反应
22、谱,1、地震系数,将地震动振幅对地震反应谱的影响分离出来。,反映的是地面运动的强烈程度,一般情况下，地震加速度越大，地震烈度就越大，即地震系数与地震烈度有一定的对应关系。,规范根据烈度所对应的地面加速度峰值进行调整后得到地震系数k与地震烈度的关系表,2、动力系数,3.3.3 设计反应谱,体系最大加速度反应,地面最大加速度反应,意义：体系加速度的放大系数。,实质：规则化的地震反应谱。不同的地震记录Sa(T)不具有可比性，但动力系数具有可比性。,与T的关系曲线称为谱曲线，实质也是一条加速度反应谱曲线。,3.3.3 设计反应谱,所以动力系数用于设计还有一定的困难，需采取一定的措施,地震是随机的，每一
23、次地震的加速度时程曲线都不相同，则加速度反应谱也不相同。抗震设计时，我们无法预计将发生地震的时程曲线。用于设计的反应谱应该是一个典型的具有共性的可以表达的一个谱线。标准反应谱曲线：根据大量的强震记录算出对应于每一条强震记录的反应谱曲线，然后统计求出的最有代表性的平均曲线。,3.3.3 设计反应谱,3.3.3 设计反应谱,确定标准反应谱曲线采用以下措施：,（1）取确定的阻尼比（0.05）。,（2）按场地和震中距将地震记录分类。,（3）计算每一类地震动记录动力系数的平均值。,考虑了阻尼比的影响,考虑地震动频谱的影响,考虑了类别相同的不同地震记录地震反应谱的变异性,3.3.3 设计反应谱,2.25,
24、0.45max/2,特征周期，与场地条件和设计地震分组有关,结构自振周期,衰减指数，=0.9,直线下降段的斜率调整系数,阻尼调整系数，=1.0,3.3.3 设计反应谱,3、地震影响系数,为方便使用：,二者仅差一个系数，其物理意义相同，反应谱曲线形状相同，是一条设计反应谱。,3.3.3 设计反应谱,3.3.3 设计反应谱,4、阻尼对地震影响系数的影响,3.3.3 设计反应谱,5、地震作用计算,（3-41）,（3-45）,对比（3-40）,3.3.3 设计反应谱,结构的重力荷载代表值等于结构和构配件自重标准值Gk加上各可变荷载组合值。,-第i个可变荷载标准值；,-第i个可变荷载的组合值系数；,例3-2,（1）根据计算简图确定结构的重力荷载代表值和自振周期。（2）根据结构所在地区的设防烈度、场地类别及设计地震分组，按表3-2和表3-3确定反应谱的特征周期和水平地震影响系数最大值。（3）根据结构的自振周期，按图3-12中相应的区段确定地震影响系数。（4）按式（3-23）计算出水平地震作用值。,单自由度体系地震作用的计算步骤：,3.3.3 设计反应谱,作业：P91：2、3、5,谢谢！,本讲结束,2018年4月15日,
