1、本资料来源于七彩教育网http:/21、空间向量与立体几何211 空间向量及其运算【知识网络】1 了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程。2 了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解空间向量的基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。3 掌握空间向量的线性运算及其性质；掌握空间向量的坐标运算。4 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。【典型例题】例 1（1）已知 a=(2，4，5
2、)， b=(3，x，y )，若 ab，则 （）Ax=6， y=15 B.x=3， y= C。x =3， y=15 D。x=6， y= 152 152（2）对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C ，且有 =x +y +z (x，y，zR )， 则 xyz1 是四点 P，A， B，C，D 共面的 （）A必要不充分条件 B。充分不必要条件C充要条件 D。既不充分又不必要条件（3）已 知 向 量 a=(1， 2， 3)， b =( 2， 4， 6)， | c |= ， 若 (a+ b)c =7， 则 a 与 c 的 夹 角 为 （1 4）A 30 B。 60 C。120 D。150（4）设向
3、量 a=(3， 5， 4)， b =(2， 1， 8)，若 1a 2 b 与 z 轴垂直，| 1a 2 b |=，则 1 ， 2 。185（5）在空间直角坐标系 O-xyz 中，点 P(2，3，4) 关于 yOz 面的对称点坐标为 ； 关于 z 轴的对称点坐标为 ；关于原点的对称点坐标为 ；点 P 在 xOz 面的射影的坐标为 。例 2 已知 为原点，向量 ，,01,2,AOBCOAB求 AC例 3已知向量 a，b ，c 是空间的一基底，向量 a + b，a - b，c 是空间的另一基底，一向量 在基底 a，b ，c 下的坐标为（1，2，3） ，求在基底 a + b，a- b，c 下的坐标。p
4、例 4 如图所示，在平行六面体 中， P 是 CA1 的中点，M 是 CD1 的中1DCBA点，N 是 C1D1 的中点，点 Q 在 CA1 上，且 CQQA 1=41，设，用基底a，b ，c 表示以下向量：,ABAac（1） ；（2） ；（3） ；（4） PMANQB1 C1ABMPQA1 D1DC例 4 图【课内练习】1 已知 A(-1， 0， 1 )，B(x， y， 4 )，C(1 ，4 ，7 ) ，且 A，B ，C 三点在同一直线上，则实数 x， y 分别为 （）Ax=0， y=1 B。 x=0， y=2 C。x =1， y=1 D。x=1， y=22 已知 a=(2，-1，3 ) ，
5、b =(-1，4，-2 ) ，c =(7，5，)，若 a ，b ，c 三向量共面，则等于 （）A B。 9 C。 D。627 647 6573 已知空间两个动点 A(m，1+m ，2+m) ，B(1-m，3-2 m，3m )，则| |的最小值是AB（）A B。 C。 D。917 3174 已知 A(2， 3-，-1+)关于 x 轴的对称点是 A(，7，-6 ) ，则， ，的值为（）A= -2，= -4，= -5 B。=2，= -4，= -5C。= -2 ，=10，=8 D。=2 ，=10，=75 在空间四边形 ABCD 中， ， ，对角线 AC、BD 的中2Aac568Cabc点分别为 P、Q
6、 ，则 6 已知正方体 中，侧面 的中心是 ，若1DCBD1P，则 ， 1ADmnAmn7 已知空间两点 、 ，则 的最大值和最小)3,cos)4(cs)1,si4(siBAB值分别为 8 已知 A(1， 0，1) ，B(4， 4，6)，C(2，2，3) ，D(10，14，17)，求证：A，B，C，D共面。9 已知 =(1，2，3)， =(2，1，2) ， =(1，1， 2)，点 Q 在直线 OP 上运动，求OABOP当 取得最小值时，点 Q 的坐标。QB10设 A(2，3 ，-6) ，B(6，4 ，4)，C(3，7，4)，是平行四边形的三个顶点，试用向量法求此平行四边形的面积。21、空间向量
7、与立体几何211 空间向量及其运算A 组1 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列四对向量： 与 ； 与 ；AB1DC1AB 与 ； 与 1AD其中互为相反向量的有 n 对，则 n = （）A1 B 2 C3 D42 已知点 A、 B 的坐标分别为（-2，3，5） 、 （1，-1，-7） ，则向量 的相反向量的坐AB标是 （）A （-3，4，12） B （ 3，-4，-12） C （-1，2 ，-2） D （1，-2，2）3 已知 a = (1，1，0)，b = ( -1，0，2)，且 ka+b 与 2a-b 垂直，则 k 的值为 （）A B 1 C D5 53574 棱长为 a
8、的正四面体 ABCD 中， + 的值等于 AB5 空间四边形 OABC 中， = a， = b， = c， 点 M 在 OA 上，且OO，N 为 BC 的中点，则 = （用向量 a、b、c 来表示 ）2OMAMN6 设 i ， j ， k 是空间直角坐标系 O-xyz 中与 x 轴、y 轴、z 轴正方向上的单位向量，求同时适合下列条件的向量 x:( i2j4k )x0;| x| 10;x 在坐标面 yOz 内 。7 已 知 A(1， -2， 3)， B(4， -4， -3)， C(2， 4， 3)， D(8， 6， 6)， 试 求 向 量 在 向 量 方 向 上 的 射 影 AB。8 已知 =
9、(10，-5，10)， =(-11，-2 ，10)， =(-2，-14 ，-5)，证明：由OAOBOCOA，OB，OC 可以组成一个正方体的三条棱，并求出该正方体的其它几个顶点的坐标。（O 为坐标原点）21、空间向量与立体几何211 空间向量及其运算B 组1 已知ABC 得三个顶点为 A(3，3，2)，B(4，-3，7)，C(0，5，1)，则 BC 边上的中线长为 （）A。 2 B。 3 C。4 D。52 已知 a=(1t， 1t ， t)， b=(2， t ， t)，则| ba|的最大值是 （）A。 B。 C。 D。 1153 若 A(3cos，3sin ，1) ，B(2cos ，2sin
10、，1)，则| |的取值范围是 （ ）A。0，5 B。 1，5 C。(2 ，5) D。1 ，254 已知 =(x， 2， -4 ) ， =(-1， y， 3 )， =(1， -5， z)，且 ， ， 两两垂abcabc直，则 x= ，y= 。5 已知 2 + =(0，-5，10)， =(1，-2，-2) ， =4， | |=12， ， bca。6 已知ABC 的三顶点 A（1，-2，-3） ，B（-1，-1，-1） ，C（0，0，-5） ，试证明它是一个直角三角形，并计算它的面积7 已知 是平行六面体BCD(1)化简 ，并在图形中标出其结果；1223AB(2)设 是底面 的中心， 是侧面 的对角
11、线 上的点，且MNCB，设 ，试求 之值。:3:1BNCAD,8 已知在四面体 ABCD 中， = a， = b， = PABPCc，G平面 ABC（1）若 G 为ABC 的重心，试证明 (a+b+c)；31G（2）试问（1）的逆命题是否成立？并证明你的结论 ABCDGP第 8 题图参考答案211 空间向量及其运算【典型例题】例 1（1）D。（2）C。（3）C（4）2，1（5） （-2，3，4） ， （2，3，-4） ， （-2，-3 ，-4） ， （2，0，4） 。例 2设 ，,1,OxyzBCxyz ， ， ，AOABCOAR ，即30,123,01xzy 0,3,2.xzyz解此方程组，
12、得 。7,0xy ， 。21,0OC 371,ACO例 3设 在基底 + ， - ， 下的坐标为( x， y ， z)，则pabc+2 3 x( + )+y( - )+z =(x+y) + (x-y) + zacabc ， 解得 ，x+y=1x-y=2z=3 )故 在基底 + ， - ， 下的坐标为（ ， ，3） 。pabc32 12例 4连接 AC、AD 1（1） 1()2APC1()2ABD；abc（2） 1()M1()；2c（3） 1()2ANCD11()()2ABAD；1B2abcabc（4） Q14()5C15ACAD45c【课内练习】1 B。2 D。3 C。4 D。5 。5abc6
13、 。21,7 ， 。268 A(1 ，0， 1)，B(4，4， 6)， C(2，2，3) ，D(10，14，17) ， =(3，4，5)，AB=(1，2，2)， =(9，14 ，16) ，ACAD令 x(3 ，4，5)y (1，2，2)，则 x=2， y=3。 =2 +3 ，A，B ，C，D 共面。9 设 Q(x， y， z)，因为点 Q 在直线 OP 上运动，故 与 共线，故 ，OQPOQP即有 (x， y， z)(1，1， 2)( ， ，2) ， =(，2)。又 =(1，2，3)- ( ， ， 2) =(1-，2- ， 3-2)。QO=(2，1，2)- (， ， 2)=(2-，1-，2-2
14、)，B=(1-，2-，) (2-，1- ，2-2)A=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=6216 10 =6(- )2 。43 23当 时， 取得最小值，此时，点 Q 的坐标为（ ，） 。43 QAB 43438310S ABCD=ABACsin A= sin 。AC,Bsin = = ，,C1-cos2 21()|S ABCD 。又易求， =(4，1，10)， =(1，4，10) ， | |2=117， | |2=117， ABACABAC =108，S ABCD =45。C1172 1082211 空间向量及其运算A 组1 B。提示：是互为相反向量2 A。提示：向量
15、 的相反向量为 AB(2,35)(1,7)(3,412)B3 D。提示：(k a+b)( 2a-b) = (k-1，k，2) (3 ，2，-2) = 5k-7=04 。提示： 而 ，故2C2|cos()aACAACBDA=0B5 。132abc6 由可设 x(0，x 2 ，x 3)。 即 ， 2x2+4x2=0x22+x32= 100)解得 或 。x(0，2 ， )或 x(0，2 ， )。20 20 20 207 (4，-4，-3)(1， -2，3)（3，2，6） ， (8，6，6)(2 ，4，3)AB CD（6，2，3） ，而 方向上的单位向量是 =( ， ， )，CDe| 67 27 37
16、AB= =（3，2， 6）( ， ， ) 。e67 27 37 478 (10，-5 ，10) (-11，-2，10) 110101000；O (-11 ，-2，10)(-2，-14，-5)2228500 ； (-2， -14，-5) (10，-5，10)2070500。COA，OB，OC 两两垂直。又| |= =15;A102+(-5)2+102| |= =15;B(-11)2+(-2)2+102| |= =15;O(-2)2+(-14)2+52OA=OB=OC，从而 OA，OB，OC 可以组成一个正方体的三条棱。已知 O(0，0， 0)，A(10，-5， 10)，B(-11，-2 ，10)
17、，C(-2，-14，-5)，其它几个顶点分别设为 D，E，F ，G。则= + =(10，-5，10)+(-11，-2 ，10)=(-1，-7，20)。AB= + =(-11，-2，10)+(-2，-14 ，-5)=(-13 ，-16 ， 5)OEBC= + = (-2，-14 ，-5)+(10 ，-5，10)=(8 ，-19 ，5)FA= + + =(10，-5，10)+(-11，-2 ，10) +(-2，-14 ，-5)=(-3 ，-21，15) 。G正方体的其它几个顶点的坐标分别为 D(-1，-7，20)，E(-13 ，-16，5)，F(8，-19，5)，G(-3，-21，15)。B 组1
18、 B。2 C。3 C。4 -64，-26 。5 120。6 由 ， ，9)13()2()1(| 22 AB 18)5(1| 222BC，得 ，故ABC 为直角三角形，53|C |A且 A 为直角，面积为 2|2ACB7 (1)先在图形中标出 ，为此，可取1的中点 ，则 E ，在 上取点 ，使ABDC F。 23F 又 ，从而有BCAD，如图所示 12ABCEFE(2) 13132424MNBC，12DA AD 。,48 （1）证明 连 AG 交 BC 于 D，则 D 平分 BC，且 G 分 所成的比为 21，从而ABCD EFMN第 7题，ADGP32a，)2(1)()(1)(21 acbPACPBCAD故 323cbacba（2）解 逆命题成立，证明如下：设 D 分 所成的比为 p，G 分 所成的比为BADq则 ， )(1PCpBD )(1PqAG，CpPBP1于是， )(1pqAG= qq)1()(1因 (a+b+c)，故 ，解得 q =2，p = 1，3P 3)()(1ppq于是 G 为ABC 的重心
