1、第 1 页 共 14 页普通高中课程标准实验教科书数学 人教版高三新数学第一轮复习教案（讲座 14）直线、圆的位置关系一课标要求：1能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；3能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；4能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；5在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。二命题走向本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题） ，此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多
2、考察其几何图形的性质或方程知识。预测 2007 年对本讲的考察是：（1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；（2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；（3）本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力。三要点精讲1直线 l1 与直线 l2 的的平行与垂直（1）若 l1，l 2 均存在斜率且不重合：l 1/l2 k1=k2；l 1 l2 k1k2=1。（2）若 0:,0: 22CyBxAlCyBxA若 A1、A 2、B 1、B 2 都不为零。l 1/l2 ；21l 1 l2 A1A2+B1B2=
3、0；l 1 与 l2 相交 ；2l 1 与 l2 重合 ；2121CBA注意：若 A2 或 B2 中含有字母，应注意讨论字母=0 与 0 的情况。两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。2 距离第 2 页 共 14 页（1）两点间距离：若 ，则)y,x(B),(A21 2121)()(yxAB特别地： 轴，则 、 轴，则 。x/B|/ |2y（2）平行线间距离：若 ， 0:,0:211CxlCyxl则： 。注意点：x，y 对应项系数应相等。21ACd（3）点到直线的距离： ，则 P 到 l 的距离为：0ByAx:l),(P2Byxd3直线 与圆 的位置
4、关系有三种0CA22)()(rbyax（1）若 ， ；2bad 0交rd（2） ；0交r（3） 。d还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 求解，通02FEyDxyCBA过解的个数来判断：（1）当方程组有 2 个公共解时（直线与圆有 2 个交点） ，直线与圆相交；（2）当方程组有且只有 1 个公共解时（直线与圆只有 1 个交点） ，直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点） ，直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为 ，圆心 C 到直线 l 的距离为 d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切 d=r 0；相交 d0；相离 dr 0。4两圆位置
5、关系的判定方法设两圆圆心分别为 O1，O 2，半径分别为 r1，r 2， 。dO21第 3 页 共 14 页；交交421rd；3；交交22121rr；交d；交210r外离 外切相交 内切 内含判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。四典例解析题型 1：直线间的位置关系例 1 （1） （2006 北京 11）若三点 A（2，2） ，B（a，0） ，C（0，b）(ab 0)共线，则, 的值等于 。ab（2） （2006 上海文 11）已知两条直线 若12:3,:4610.lxylxy，则 _ _。1/l解析：（1）答案： ；（2）2。1第 4 页 共 14 页点评：（1）三
6、点共线问题借助斜率来解决，只需保证 ；（2）对直线平ACBk行关系的判断在一般式方程中注意系数为零的情况。例 2 （1） （2006 福建文，1）已知两条直线 和 互相垂直，yax()1yax则 等于（ ）aA2 B1 C0 D （2） （2006 安徽理，7）若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则4yxl480xy的方程为（ ）lA B C D430xy50x3y3解析：（1）答案为 D；（2）与直线 垂直的直线 为 ，48xl40xym即 在某一点的导数为 4，而 ，所以 在(1，1)处导数为 4，此点的4yx3y4yx切线为 ，故选 A。30点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数
7、的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况。题型 2：距离问题例 3 （2002 京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）Ax y=0 Bx+y=0 C|x| y=0 D|x| y|=0解析：设到坐标轴距离相等的点为（x，y）|x |y| |x |y |0。答案：D点评：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径例 4 （2002 全国文，21）已知点 P 到两个定点 M（1，0） 、N（1，0）距离的比为 ，点 N 到直线 PM 的距离为 1求直线 PN 的方程。2解析：设点 P 的坐标为（x ，y ） ，由题设有 ，2
8、|即 。22)1()1(y整理得 x2+y26x +1=0 因为点 N 到 PM 的距离为 1，|M |2，第 5 页 共 14 页所以PMN30，直线 PM 的斜率为 ，3直线 PM 的方程为 y= （x 1） 3将式代入式整理得 x24x10。解得 x2 ，x 2 。代入式得点 P 的坐标为（2 ，1 ）或（2 ，1 ） ；33（2 ，1 ）或（2 ，1 ） 。3直线 PN 的方程为 y=x1 或 y=x+1。点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析
9、法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想。该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。题型 3：直线与圆的位置关系例 5 （1） （2006 安徽文，7）直线 与圆 没有公共1xy20()xya点，则 的取值范围是（ ）aA B C D (0,2)(21,)(,1),21（2） （2006 江苏理，2）圆 的切线方程中有一个是（ ）322yxAx y0 Bxy0 Cx0 Dy0解析：（1）解析：由圆 的圆心 到直线 大2()a(,)a1x于 ，且 ，选 A。a点评：该题考察了直线与圆位置关系的判定。（2）直线 ax+by=
10、0 ，则 ，由排除法，22(1)(3)1xy与 相 切 |3|12b选 C，本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选 C,用图象法解最省事。点评：本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径。直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件：圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件：直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解。例 6 （2006 江西理，16）已知圆 M：（xcos） 2（ysin） 21，直线第 6 页 共 14 页l：ykx，下面四个命题：（A） 对任意实数 k 与，直线 l 和圆 M 相切；（B） 对任意实数 k 与，直线 l
11、和圆 M 有公共点；（C） 对任意实数，必存在实数 k，使得直线 l 与和圆 M 相切；（D）对任意实数 k，必存在实数 ，使得直线 l 与和圆 M 相切。其中真命题的代号是_（写出所有真命题的代号）解析：圆心坐标为（cos，sin ）d 22|kosin|1k|sin|1|i| （ ） （ ）故选（B） （D）点评：该题复合了三角参数的形式，考察了分类讨论的思想。题型 4：直线与圆综合问题例 7 （1999 全国，9）直线 x+y2 =0 截圆 x2y 24 得的劣弧所对的圆心3角为（ ）A B C D64解析：如图所示：由 0322yx消 y 得：x 23x +2=0，x 1=2，x 2=
12、1。A（2，0） ，B（1， ）|AB|= =222)30()(又|OB |OA |=2，AOB 是等边三角形，AOB= ，故选 C。点评：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性。如果注意到直线 AB 的倾斜角为120，则等腰OAB 的底角为 60.因此AOB=60.更加体现出平面几何的意义。例 8 （2006 全国 2，16）过点（1， ）的直线 l 将圆(x2) 2y 24 分成两段弧，2当劣弧所对的圆心角最小时，直线 l 的斜率 k 。图第 7 页 共 14 页解析：过点 的直线 将圆 分成两段弧，当劣弧所对的圆心
13、(1,2)l2()4xy角最小时，直线 的斜率lk解析(数形结合)由图形可知点 A 在圆 的内部, 圆心为 O(2,0)要使(1,2)2()4xy得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线 ，所以 。lO12lOAk点评：本题主要考察数形结合思想和两条相互垂直的直线的斜率的关系，难度中等。题型 5：对称问题例 9 （89 年高考题）一束光线 l 自 A（3，3）发出，射到 x 轴上，被 x 轴反射到C ：x 2y 2 4x4y 70 上。() 求反射线通过圆心 C 时，光线 l 的方程；() 求在 x 轴上，反射点 M 的范围解法一：已知圆的标准方程是(x2) 2+(y2) 2=1，它关于 x 轴的对
14、称圆的方程是(x2) 2+(y+2)2=1。设光线 L 所在的直线的方程是 y3=k(x +3)（其中斜率 k 待定） ，由题设知对称圆的圆心 C（2，-2）到这条直线的距离等于 1，即 d= =1。整理得 12k2+25k+12=0，解得 k= 或 k= 2|5| 43 。故所求直线方程是 y3= (x+3)，或 y3= (x+3)，即 3x+4y+3=0 或343444x+3y+3=0。第 8 页 共 14 页解法二：已知圆的标准方程是(x2) 2+(y2) 2=1，设交线 L 所在的直线的方程是y-3=k(x+3)（其中斜率 k 待定） ，由题意知 k0，于是 L 的反射点的坐标是（ ，
15、0） ，因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线 L所在直线的方程k)13为 y= k(x+ )，即 y+kx+3(1+k)=0。这条直线应与已知圆相切，故圆心到直线(的距离为 1，即 d= =1。以下同解法一。2|5|k点评：圆复合直线的对称问题，解题思路兼顾到直线对称性问题，重点关注对称圆的几何要素，特别是圆心坐标和圆的半径。例 10已知函数 f(x)=x21(x1)的图像为 C1，曲线 C2 与 C1 关于直线 y=x 对称。（1）求曲线 C2 的方程 y=g(x)；（2）设函数 y=g(x)的定义域为 M，x 1，x 2M，且 x1x 2，求证|g(x 1)g( x2)|x1x 2|;
16、（3）设 A、B 为曲线 C2 上任意不同两点，证明直线 AB 与直线 y=x 必相交。解析：（1）曲线 C1 和 C2 关于直线 y=x 对称，则 g(x)为 f(x)的反函数。y=x 21，x 2=y+1，又 x1 ，x= ，则曲线 C2 的方程为 g(x)= (x0)。（2）设 x1，x 2M，且 x1 x2，则 x1x 20。又 x10， x20，|g( x1)g(x 2)|=| |= |x1x 2|。2121（3）设 A(x1，y 1)、B（x 2，y 2）为曲线 C2 上任意不同两点，x 1，x 2M，且x1x 2，第 9 页 共 14 页由（2）知，|k AB|=| |= 121
17、xy|)(21xg直线 AB 的斜率|k AB|1，又直线 y=x 的斜率为 1，直线 AB 与直线 y=x 必相交。点评：曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入手来处理，最终转化为点的坐标之间的对应关系。题型 6：轨迹问题例 11 （2005 山东理，22）已知动圆过定点，且与直线 相切，其中 。,02p2px0p（I）求动圆圆心 的轨迹的方程；C（II）设 A、B 是轨迹 上异于原点 的两个不同点，O直线 和 的倾斜角分别为 和 ，当 变O,化且 为定值 时，证明直线 恒(0)AB过定点，并求出该定点的坐标。解析：（I）如图，设 为动圆圆心， 为记为 ，过点 作直线M,02pFM的垂线，垂
18、足为 ，由题意知： 即动点 到定点 与定直线2pxNN的距离相等，由抛物线的定义知，点 的轨迹为抛物线，其中 为焦,02p点， 为准线，所以轨迹方程为 ；2px2(0)ypxP（II）如图，设 ，由题意得 （否则 ）且12,AxB12所以直线 的斜率存在，设其方程为 ，显然 ，12,0xykxb221,yxp将 与 联立消去 ，得 由韦达定理知ykb2(0)ypxP20p1212,bk（1）当 时，即 时， 所以2tan1AxoB,02pFMNx第 10 页 共 14 页， 所以 由知： 所1212,0yxy21204yp214yp24pbk以。因此直线 的方程可表示为 ，即 ，所以直线ABk
19、xP()0kxy恒过定点 。2,0（2）当 时，由 ，得 = = ，tan()tan1t12()4py将式代入上式整理化简可得： ，所以 ，tbpk2tanpbk此时，直线 的方程可表示为 即AByx2tan，所以直线 恒过定点 。2()0tanpkxyAB2,tanp所以由（1） （2）知，当 时，直线 恒过定点 ，当 时直线2,02恒过定点 。AB,tanp点评：该题是圆与圆锥曲线交汇题目，考察了轨迹问题，属于难度较大的综合题目。例 12 （2005 江苏，19）如图，圆 与圆 的1O2半径都是 1， . 过动点 分别作圆 、圆24OP的切线 （ 分别为切点） ，使得2PMN， ，. 试建
20、立适当的坐标系，并求动点 的轨迹方程。解析：以 的中点 为原点， 所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角12O12Ox坐标系，则 ， 。(0)， ()， NM P第 11 页 共 14 页由已知 ，得 。2PMN22PN因为两圆半径均为 1，所以 。12(1)O设 ，则 ，()xy， 2()xyxy即 (或 )。2632130点评：本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力。题型 7：课标创新题例 13已知实数 x、y 满足 ，求 的最大值与最小值。)()2(2yxyz1解析： 表示过点 A（0，1）和圆1上的动点（x，y）的直线的斜率。)()2(2x如下图，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜
21、率分别取得最大值和最小值。设切线方程为 ，即 ，则1kxy01y，解得 。1|2|k374因此， minmaxzz，点评：直线知识是解析几何的基础知识，灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性强等特点，对启迪思维大有裨益。下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用。例 14设双曲线 的两支分别为 ，正三角形 PQR 的三顶点位于此双xy1C12、曲线上。若 在 上，Q 、R 在 上，求顶点 Q、R 的坐标。P， 2第 12 页 共 14 页分析：正三角形 PQR 中，有 ， 则以 为圆心，PQRP1，为半径的圆与双曲线交于 R、Q 两点。PR根据两曲线方程可求出交点 Q、R 坐标。解析：设以 P 为
22、圆心， 为半径的圆的方程为：r()0，xyr122由 得： 。 （其中，可令12xrx22110进行换元解之）tx1设 Q、R 两点的坐标分别为 ，则 。xy12， ， ， xr121即 ，xxr12121244同理可得： ， 且因为PQR 是正三角形，则yr，即 ，得 。rxyr212122214r24代入方程 ，即 。rx0x20由方程组 ，得： 或 ，xy241y13y23第 13 页 共 14 页所以，所求 Q、R 的坐标分别为 2323， ， ，点评：圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而
23、使问题得解，起到铺路搭桥的作用。五思维总结1关于直线对称问题：（1）关于 l ： Ax By C 0 对称问题：不论点，直线与曲线关于 l 对称问题总可以转化为点关于 l 对称问题，因为对称是由平分与垂直两部分组成，如求 P（x 0 ，y 0）关于 l ：Ax By C 0 对称点 Q（x 1 ，y 1） 有 （1）与 A10xyBB C 0。21x210y（2）解出 x1 与 y1 ；若求 C1 ：曲线 f（x ，y）0 （包括直线）关于 l ：Ax By C 1 0 对称的曲线 C2 ，由上面的（1） 、 （2）中求出 x0 g 1（x 1 ，y 1）与 y0 g 2（x 1 ，y 1）
24、，然后代入 C1 ：f g1（x 1 ，y 1） ，g 2（x 2 ，y 2） 0，就得到关于 l 对称的曲线 C2 方程：f g 1（x ， y） ，g 2（x ，y）0。（3）若 l ：Ax By C 0 中的 x ，y 项系数|A| 1，|B |1就可以用直接代入解之，尤其是选择填空题。如曲线 C1 ：y 2 4 x 2 关于 l ：x y 40 对称的曲线 l2 的方程为：(x 4) 2 4（y 4）2即 y 用 x 4 代，x 用 y 4 代，这样就比较简单了。（4）解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决。点与圆位置关系：P（x 0 ，y 0）和圆 C ：(x a) 2
25、(y b) 2 r 2。点 P 在圆 C 外有(x 0 a) 2 (y 0 b) 2 r 2；点 P 在圆上：(x 0 a) 2 ( y0 b) 2 r 2；点 P 在圆内：(x 0 a) 2 ( y0 b) 2 r 2 。3直线与圆的位置关系：l ：f 1（x ，y）0圆 C ： f2（x ，y）0 消 y 得F（x 2） 0。（1）直线与圆相交：F（x ，y ）0 中 0；或圆心到直线距离 d r 。第 14 页 共 14 页直线与圆相交的相关问题：弦长|AB | |x1 x 2| 2k21k，或|AB |2 ；弦中点坐标（ ， ） ；弦21214)(xx2dry中点轨迹方程。（2）直线与
26、圆相切：F（x ）0 中 0，或 d r 其相关问题是切线方程如P（x 0 ， y0）是圆 x2 y 2 r2 上的点，过 P 的切线方程为 x0x y 0y r 2 ，其二是圆外点 P（ x0 ，y 0）向圆到两条切线的切线长为 或2)()(rba；其三是 P（x 0 ，y 0）为圆 x2 y 2 r 2 外一点引两条切线，有两个切22ry点 A ， B ，过 A ，B 的直线方程为 x0x y 0y r 2 。（3）直线与圆相离：F（x ）0 中 0；或 d r ；主要是圆上的点到直线距离d 的最大值与最小值，设 Q 为圆 C ：( x a) 2 (y b) 2 r 2 上任一点，|PQ|
27、 max |PC | r ；|PQ| min |PQ| r ，是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值4圆与圆的位置关系：依平面几何的圆心距|O 1O2|与两半径 r1 ，r 2 的和差关系判定（1）设O 1 圆心 O1 ，半径 r1 ，O 2 圆心 O2 ，半径 r2 则：当 r1 r 2 |O 1O2|时O 1 与O 2 外切；当|r 1 r 2| O1O2|时，两圆相切；当|r 1 r2| O1O2|r 1 r 2 时两圆相交；当|r 1 r2|O 1O2|时两圆内含；当 r1 r 2 |O1O2|时两圆外离。（2）设O 1 ：x 2 y 2 D1x E 1y F 1 0，O 2 ：x 2 y 2 D 2x E 2y F 2 0。两圆相交 A 、B 两点，其公共弦所在直线方程为（D 1 D 2）x （E 1 E 2）y F 1 F2 0 ；经过两圆的交点的圆系方程为 x2 y 2 D 1x E 1y F 1 （x 2 y 2 D 2x E 2y F2）0（不包括 O2 方程） 。
