1、 东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A1平面两条直线的位置关系与点到直线的距离(教案)A一、知识梳理：1、 （1 ） 两条直线相交、平行与重合条件已知两条直线的方程为l 1： A1x+B1y+C1=0与l 2：A 2x+B2y+C2=0l1与l 2相交的条件是A 1B2A 2B10；或 ；2l1与l 2平行的条件是A 1B2A 2B1=0且C 1B2C 2B10；或 .1122Al1与l 2重合的条件是A 1=A2，B 1=B2，C 1=C2，或 .1122C（2） 判定两直线相交、平行、重合的步骤；已知两条直线的方程为 l1：A 1x+B1y+C1=0
2、，l 2：A 2x+B2y+C2=0，则判断 l1、l 2是否平行相交与重合的步骤如下：给 A1、A 2、B 1，B 2、C 1、C 2 赋值；计算 D1=A1B2A 2B1，D 2=B1C2B 2C1；若 D10，则 l1 与 l2 相交；若 D1=0，D 20，则 l1 与 l2 平行；若 D1=0，D 2=0，则 l1 与 l2 重合.（3） 设两条直线的方程分别为 l1：A 1x+B1y+C1=0， l2：A 2x+B2y+C2=0，若方程组 有惟一实数解，以这个解为坐标的点，就是11220AxByC两条直线的交点；若方程组无解时，说明 l1 与 l2 平行；若方程组有无数个解时，说明
3、 l1 与 l2 重合。2、两条直线垂直的条件（1） 已知两条直线的方程为 l1：A 1x+B1y+C1=0，l 2：A 2x+B2y+C2=0，l 1、l 2 垂直的条件是 A1A2+B1B2=0；（2） 若 l1 的斜率是 ，l 2 的斜率为 ，即当 l1、l 2 的斜率都1k2k存在时，直线 l1 与 l2 垂直的条件是 k1k2=1，当两条直线垂直时，这两条直线的倾斜角的差为 90。3、直线系东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A2一般地说，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫直线系方程，直线系方程中除含变量 x，y 以外，还可
4、以根据具体条件取不同值的变量，简称参数.经过定点的直线系方程：（1）过定点 P(x0,y0)的直线 yy 0=k(xx 0)（k 为参数）是一束直线（ 方程中不包括与 y 轴平行的那一条） （即 x=x0） ，所以 yy 0=k(xx 0)是经过点P(x0,y0)的直线系方程；（2）直线 y=kx+b ,（其中 k 为参数，b 为常数） ，它表示过定点 (0，b) 的直线系，但不包括 y 轴（即 x=0） ；（3）经过两条直线交点的直线系方程：l 1：A 1x+B1y+C1=0(A12+B120)与l2：A 2x+B2y+C2=0(A22+B220)交点的直线系为 m(A1x+B1y+C1)+
5、n(A2x+B2y+C2)=0， （其中 m、n 为参数，m 2+n20）当 m=1，n=0 时，方程即为 l1 的方程；当 m=0，n=1 时，方程即为 l2 的方程.上面的直线系可改写成（(A 1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0（其中为参数） ，但是方程中不包括直线l 2，但这个参数方程形式在解题中较为常用. 4、点到直线的距离公式点P(x 1， y1)到直线l ：Ax+By +C=0 (A2+B20)的距离 .12|xydB（1） 从运动的观点来看，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；（2） 使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线的方程化成一般式方程
6、，如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式方程；（3） 若点P在直线上，则点P 到直线的距离为零，距离公式仍然成立。5、求点到直线的距离的步骤求点P(x 1，y 1)到直线l ：Ax+By+C=0 (A2+B20)的距离的计算步骤是：（1）给点的坐标赋值：x 1=？；y 1=?；（2）给A、B、C赋值：A=？，B=?；C= ？；（3）计算 ；12|xd（4）给出d的值.6、两平行线间的距离两条平行线 l1：Ax+By +C1=0 与 l2：Ax+ By+C2=0 之间的距离是 .12|CdAB东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A3二、题型探
7、究：、探究一：判断或证明直线的平行关系例 1已知直线 l1：3x+6y+10=0，l 2：x =2y+5 ，求证：l 1/l2.证法一：把 l1 与 l2 的方程写成斜截式 ， ，1535yx因为 k1=k2，b 1b2，所以 l1/l2.证法二：把 l2 的方程写成一般式 x+2y5=0 ，因为 A1B2A 2B1=0，B 1C2B 2C10，所以 l1/l2.例 2已知两直线 l1：mx+8y +n=0，l 2：2x+ my+1=0，试确定 m、n 的值，使 l1/l2.解：由 mm82=0，得 m=4，由 8(1)mn0 ，得 n2，即 m=4，n2 或 m=4，n 2 时 l1/l2.
8、探究二根据平行或垂直条件求直线方程例3求直线l的方程：（1）过点P (2，1)且与直线 3x2y6=0 平行；（2）过点P (1，1)且与直线 2x+3y+1=0垂直；解： （1）因已知直线与所求直线平行，故所求直线可设为3x2y+C =0，由点P(2，1) 在直线上解得 C=8，故所求直线方程为3x2y8=0.（2）因已知直线与所求直线垂直，故所求直线可设为3x2y+C =0，由点P(1，1)在直线上解得C =5，故所求直线方程为3x2y5=0.探究三求直线交点例4求下列两直线的交点l 1：3x+4y2=0，l 2：2 x+y+2=0解：解方程组 得 ，所以两直线的交点是(2，2).3420
9、xy探究四已知直线的位置关系，求参数值例 5直线 l1：(m +2)x+(m23m )y+4=0，l 2：2x+4( m3)y1=0 如果l1/l2，求 m 的值 .解：若 l1/l2.，则有 ，解得：m=4 或2(4(3)0)14东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A4m=3.例 6直线 l1：ax+(1a)y3=0 与 l2：(a 1)x+(2 a+3)y=2 互相垂直，求 a 的值.解：利用 A1A2+B1B2=0，即 a(a1)+(1a)(2 a+3)=0 解得：a=1 或 a=3. 探究五求点到直线的距离例 7求点 P(3，2)到下列直线的距离：
10、（1）3x4y+1=0；（2）y=6 ；（3）y 轴.解：（1）由点到直线的距离公式得 d= .2|34()1|85（2）因为直线 y=6 平行于 x 轴，所以 d=|6( 2)|=8（3）d=|3|=3.探究六求两平行线间的距离例 8求平行线 2x7y+8=0 和 2x7y6=0 间的距离 .解：在直线 2x7y6=0 上任取一点，不妨取(3，0)，则点(3，0) 到直线2x7y+8=0 的距离就等于两平行线间的距离。因此 d= .2|38|14537探究七根据距离求直线方程例9求过点A(1，2)且与原点的距离为 的直线方程。2解：设直线的方程为y2=k( x+1)，则kx y+2+k=0,
11、所以 ，解得k =1或k=7，2|1故所求的直线方程为x+ y1=0或7x +y+5=0.三、 方法提升：四、反思感悟东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A5五、课时作业（一）1如果直线ax+2 y+2=0与直线3x y2=0平行，那么系数a的值为（ B ）（A） （B） 6 （C ）3 （ D）2 322若直线(2a+5)x+( a2)y+4=0 与直线(2 a)x+(a+3)y1=0互相垂直，则（ C ）（A）a=2 （B）a= 2 （C）a=2或a=2 （D）a=2，0，3如果直线ax+ y4=0与直线 xy2=0相交于第一象限，则实数a 的取值范围
12、是（ A ）（A）11 （C）a24直线Ax+4y 1=0与直线 3xyC =0重合的条件是（ D ）（A）A=12，C0 （B）A =12，C= 41（C）A= 12，C （D）A =12，C=45若两条直线l 1，l 2的方程分别为 A1x+B1y+C1=0，A 2x+B2y+C2=0，l 1与l 2只有一个公共点，则（ B ）（A）A 1B1 A2B2=0 （B）A 1B2A 2B10 （C） （D）2126已知点P (1，1)和直线l：3x 4y20=0 ，则过P与l平行的直线方程是 3x4y+1=0 ；过P与l垂直的直线方程是 4x+3y7=0 . 7设直线l 1：(m 2) x+3
13、y+2m=0与l 2：x +my+6=0，当m3且m1 时，l1与l 2相交；当m = 1 时，l 1与l 2平行；当m= 时，l 1l2. 28设三条直线：x2y=1，2x +ky=3，3kx +4y=5交于一点，求k的值.解：解方程组： ，解得yxk641xyk即前两条直线的交点为 ，因为三直线交于一点，所以第三条6(,)4东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A6直线必过此定点，故 ，解得k =1或k = 。613()4(5k1639光线由点A(1，4)射出，在直线 l：2x+3y 6=0上进行反射，已知反射光线过点B(3， )，求反射光线所在直线的方
14、程.623解：设点 A 关于直线 l：2 x+3y6=0 的对称点 A的坐标为 (x0，y 0)，则由直线 l 的斜率为 k= ，得 ，即 ，得32Ak04312yx3x02y 0=11，因为 AA1 的中点在直线 l 上，所以 ，004()()6y得 2x0+3y0=2联立方程组解得 ，所以反射光线 AB 所在直线的方程为：00298,3xy，得 13x26y +85=0.6813()2y课时作业（二）1过两直线3x+y 1=0与 x+2y7=0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（ B ）（A）x3y+7=0 （B）x 3y+13=0 （C）2 x7=0 （D）3xy5=02过点P (
15、1，4)和Q(a，2a+2) 的直线与直线2xy 3=0平行，则a的值（ B ）（A）a=1 （B）a1 （C）a=1 （D）a13直线2x+y+m =0和x+2y +n=0的位置关系是（ C ）（A）平行 （B ）垂直 （C）相交但不垂直 （ D）不能确定，与m，n取值有关4经过两条直线2x+y 8=0 和x2y+=0 的交点，且平行于直线4x3y7=0的直线方程是 4x3y6=0 .5直线ax+4y2=0与直线 2x5y+ c=0垂直相交于点(1，m )，则a= 10 ，c= 12 ，m= 2 .东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A76、已知直线(a
16、2)y=(3 a 1)x1 (1)求证无论 a 为何值，直线总过第一象限(2)为使这直线不过第二象限，求 a 的范围解： (1)将方程整理得为 a(3xy)+(x+2 y1)=0，对任意实数 a，恒过直线 3xy =0 与 x2y+1=0 的交点( ， )， 直线系恒过第一象限内53的定点( ， )； (2)当 a=2 时，直线为 x= 不过第二象限；当 a2 时，直511线方程化为：y= x ，不过第二象限的充要条件为 213 0213a或 a2，总之，a2 时直线不过第二象限021a7、 过点 P(2，1)作直线 l，与 x 轴、y 轴正半轴分别交于 A、B 两点，| PA| PB|的最小
17、值及此时 l 的方程分析 本题除了用斜率、角度作为参数外，我们再给出以直线的参数方程来求解的方法解 设直线 AB 的倾斜角为 ( ), 则直线 AB 的参数方程为2sin1co2tyx令 x=O，则得 B 点所对应的参数 t= ，cos令 y=O，则得 A 点所对应的参数 t= in1|PA|PB|=| | |=cos2i|2si|4当 a= 时|PA|PB|有最小值 4，此时直线 l 的方程为43东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A8即43sin1co2tyxtyx218、下面三条直线 l1：4x y 40，l 2：mxy0，l 3：2x3my40 不
18、能构成三角形，求 m 的取值集合分析：根据平面几何知识：当三条直线交于一点或至少两条直线平行或重合时，这三条直线不能构成三角形，分两种情况讨论解：（1）三条直线交于一点时：由 ， 解得 l1 和 l2 的交点 A 的4+4=0+=0 坐标（ ， ） ，由 A 在 l3 上可得 2 3m =4，解之 m 或 m 44 m 4m4 m 44 m 4m4 m 231 （2）至少两条直线平行或重合时：l1、l 2、l 3 至少两条直线斜率相等，这三条直线中至少两条直线平行或重合，当m4 时，l 1l2；当 m 时，l 1l3；若 l2l3，则需有 ，m 2 不可能16 m2 1 3m 23综合（1）
19、、 （2 ）可知，m1， ， ，4 时，三条直线不能组成三角形，因此1623m 的取值集合是1， ， ，4 1623点评 善于将原问题等价转化，讨论问题注意全面性 9、 一直线过点 P（2，3） ，且和两平行直线 3x4y80 及 3x4 y70 都相交，两交点间线段长 3 ，求这直线方程2分析：由两平行线的距离以及所求直线与两平行线交点间线段的长，结合平面几何知识，求出所求直线与已知直线夹角的正切，进一步求出所求直线的斜率解：两平行线间的距离为 3|8 ( 7)|32+42东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A9设直线交两平行线于 A、B，直线与平行线的
20、夹角为 ，则 AB3 2sin 45 ，tan1 ，设所求直线的斜率为 k，33 2 22则 tan |1，解得 k 或 k7 k+ 341 34k 17所求直线的方程为 x7y 190 或 7xy170点评 要注意平几知识、平几方法在解析几何中的应用课时作业（三）1 两直线 axy40 与 xy20 相交于第一象限，则实数 a 的取值范围是（ ）A1a 2 B a 1 C a2 D a1 或 a22 设两直线 L1，L 2 的方程分别为xy b0，xsiny 0， （a，b 为常数， 为第三象限1 cos 1+cos角） ，则 l1 与 l2 （ ）A平行 B垂直 C平行或重合 D 相交但不
21、一定垂直3 设 a，b ，k，p 分别表示同一直线的横截距，纵截距，斜率和原点到直线的距离，则有（ ）Aa 2k2p 2(1 k2) Bk C p Dakbba 1a 1b4 若点（1，1）到直线 xcosysin2 的距离为 d，则 d 的最大值是 5 一束光线经过点 A（2 ，1 ） ，由直线 l：x3 y2 0 反射后，经过点B（3 ，5）射出，则反射光线所在直线的方程为 6 直线 2xy40 上有一点 P，它与两定点 A（4，1） 、B（3，4 ）距离之差东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A10最大，则 P 点坐标是 7在 ABC 中，AB AC
22、，A120 ，A（0，2 ） ，BC 所在直线方程为 xy10，求边 AB、AC 所在直线方程38已知ABC 中，点 A（3，1） ，AB 边上的中线所在直线的方程为6x 10y59 0， B 的平分线所在直线的方程为 x4y10 0，求 BC 边所在直线的方程9如图，足球比赛场地宽为 a 米，球门宽 b 米，在足球比赛中，甲方边锋从乙方球门附近带球过人沿直线 l（贴近球场边线）向前推进，试问：该边锋在距乙方底线多远时起脚射门的可命中角最大？（注：图中 AB 表示乙方所守球门；AB 所在直线为乙方底线；l 表示甲方边锋前进的直线） 参考答案1 A 2B 3A 42 529x22y+230 6
23、（5，6 ） 7由题2意得B C30 ，设 AB 边斜率的夹角公式得| | ，从而得 k = k3133又 AB 斜率不存在时也适合题意，AB 边所在直线方程为 y x+2 和 x0. 33 338设 B（a,b ） ，则 AB 边中点为（ , ）在 AB 边中线上，6 +10a+32 b 12 a+32590 ， 又点 B 在 B 的平分线上，a4b +100 由 得 b 12C lBDA甲乙东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A11a10 ，b5由题意得 ，k 从而 BC 边所在直线方14 k1+ 14k67 141+ 314 29程为 2x+9y65
24、0. 9以 l 与直线 AB 的交点 D 为原点，l 为 x 轴， DA 为y 轴，建立直角坐标系 设 AB 中点为 M，则 DA DM MA + a2b2 a+b2DBDMBM 故定点 A、B 坐标分别为（0， ） ， （0， ） （显然a b2 a+b2 a b2ab0） ，设动点 C（边锋起脚处）坐标为（x，0 ） （x0 ）tanACBtan（ACOBCO）tan （） ， 其中 =ACO，= BCD 且、（0 ， ） 2tan（） tan1ta+b2x a b2x1+ a+b2x a b2xbx+ a2 b24x x+ 2 tanACBa2 b24x x a2 b24x a2 b2
25、ba2 b2由正切函数在（0， ）是增函数，知ACBarctan ，当且仅当 x2 ba2 b2时， ACB 达最大角，即 x ，C （ ，0 ）a2 b24x a2 b22 a2 b22即该边锋在距乙方底线 米时起脚射门，可命中角最大a2 b22课时作业（四）东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A121点(0，5) 到直线 y=2x 的距离是（ B ）（A） （B） （C ） （D ）25523522点 P(x，y)在直线 x+y4=0 上，O 是原点，则|OP|的最小值是（ B ）（A） （B）2 （C） （D）21063过点 P(1，2)的直线 l
26、与两点 A(2，3)、B (4，5)的距离相等，则直线 l的方程为（ C ）（A）4x+y6=0 （B）x+4y 6=0 （C）3x+2y =7 或 4x+y6=0 （D）2x+3 y=7 或 x+4y6=04P 点在直线 3x+y5=0 上，且 P 到直线 xy1=0 的距离等于 ，则2P 点坐标为（ C ）（A）(1，2) （B）(2，1) （C）(1，2)或(2 ，1) （D）(2，1)或(1，2)5点 P(2，3)到直线 ax+(a1)y+3=0 的距离等于 3，则 a 的值等于 或733 .6设点 P 在直线 x+3y=0 上，且 P 到原点的距离与 P 到直线 x+3y2=0 的距
27、离相等，则 P 点坐标为 .31(,)(,)55或7求经过点 P(2，1)，且到点 Q(1，2) 的距离为 的直线方程。2答案：xy 1=0 或 7x+y15=08已知点 P1(2，3)、P 2( 4，5)、A (1，2)，求过点 A 且与点 P1、P 2 距离相等的直线方程. (答案：x+3 y5=0 或 x=1)9、已知直线 l 经过点 P(3，1) ，且被两平行直线 l1：x+y+1=0 和l2：x+ y+6=0 截得的线段长为 5，求直线 l 的方程.解：若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x=3；东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A
28、13此时与 l1：x +y+1=0 和 l2：x+ y+6=0 的交点分别为 A(3，4)和 B(3，9)，截得线段的长|4(9)|=5，符合题意若直线 l 的斜率存在，则设直线的方程为 y1= k(x3) ，解方程组 ，得 ，(3)10kxy3241(,)k解方程组 ，得 ，()679(,)Bk由|AB |=5 得 ,22341()51k解得 k=0，即所求直线方程为 y=1.综上可知，所求直线l的方程为x=3 或y=1.10、已知 A(4，3)，B (2，1) 和直线 l：4x +3y2=0 ，求一点 P 使|PA|=|PB|且 P 点到 l 的距离等于 2.解：设点 P 的坐标为 P(a
29、，b) ，因为 A(4，3) ，B(2 ，1)，线段 AB 中点 M 的坐标为(3，2) ，而 AB 的斜率 kAB=1，线段 AB 的垂直平分线方程为 y+2=x3 ，即 xy5=0，而点 P(a，b)在直线 xy5=0 上，故 ab5=0，由已知点 P 到 l 的距离为 2，得 2|4|两式联立解方程组 得 或 .504321ab4ab278所以 P(1，4)和 为所求的点78(,)11、在直线 x3y2=0 上求两点，使它与点 (2，2)构成等边三角形的三个顶点.解：点(2，2)到直线 x3 y2=0 的距离为 d= ，即等边|6|10东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A14三角形的高为 . 由此得等边三角形的边长为10230若设此三角形在直线 x 3y2=0 上的顶点坐标为(x 0，y 0)，则x0=3y0+2，所以其坐标为(3y 0+2，y 0)，于是有3y 0+2( 2) 2+(y02) 2=234()整理解得 所以031,y013x故两点为 和(,)(,)
