1、科 学二 一 世 纪 的 数 学陈 省 身南 开 大 学 数 学 研 究 所 所 长编 者 按 本 文 为 作 者 在 纪 念 国 家 自 然 科 学 基 金 十 周 年 学 术 会 议 上 的 发 言 , 由 中 国数 学 学 会 根 据 录 音 整 理 。 本 刊 作 了 少 量 删 节 。 文 中 小 标 题 是 编 辑 部 加 的 。从 两 个 故 事 谈 起我 先 讲 两 个 故 事 。我 们 都 知 道 欧 几 里 得 即 的 几 何 原 本 ,这 是 一 本 数 学 方 面 的 论 著 , 完 成 于 多 年 以前 。 它 对 于 人 类 是 一 个 很 伟 大 的 贡 献 。
2、书 中 包 括 了分 析 和 代 数 , 不 限 于 几 何 , 目 的 是 用 推 理 的 方 法 得到 几 何 的 结 论 。 其 中 , 第 章 的 内 容 讲 的 是 正 多 面体 的 而 数 。 正 多 面 体 就 是 这 样 一 个 多 面 体 它 的 面互 相 交 合 , 同 时 通 过 一 个 顶 点 的 每 个 面 的 边 数 是相 同 的 。 正 多 面 体 在 平 面 上 的 情 形 是 正 多 边 形 。 正多 边 形 很 多 , 有 正 三 角 形 、 正 四 边 形 等 等 。 当时 发 现 , 到 了 空 间 , 讨 论 正 多 面 体 就 不 这 么 简 单了
3、。 空 间 的 正 多 面 体 少 得 多 , 一 共 有 五 种 正 多 面体 四 面 体 、 六 面 体 、 八 面 体 、 十 二 面 体 , 最 大 的 一 个是 正 二 十 面 体 。有 些 人 可 能 会 想 , 数 学 家 们 一 天 到 晚 没 有 事情 可 做 , 无 中 生 有 , 搞 这 些 多 面 体 有 什 么 意 思 不过 我 跟 张 存 浩 先 生 讲 , 现 在 化 学 里 的 钦 化 合 物 就跟 正 多 面 体 有 关 系 。 这 就 是 说 , 经 过 年 之 后 ,正 多 面 体 居 然 会 在 化 学 里 有 用 , 有 些 数 学 家 正 在研 究
4、正 多 面 体 和 分 子 结 构 间 的 关 系 。 我 们 也 知 道 ,生 物 学 上 的 病 毒 也 具 有 正 多 面 体 的 形 状 这 表 明 , 当 年 数 学 家 的 一 种 “ 空 想 ” , 经 历 了 这 么 长的 时 间 之 后 , 竟 然 是 很 “ 实 用 ” 的 。我 再 讲 一 个 许 多 人 都 在 讲 的 故 事 。 有 两 个 中学 时 代 的 朋 友 , 多 年 未 见 了 , 一 天 忽 然 碰 到 。 甲 对乙 说 “ 你 这 些 年 在 做 什 么 事 ” 乙 说 “ 我 在 研 究 人口 问 题 ” 。 甲 当 然 很 想 看 看 老 朋 友
5、的 工 作 , 于 是 拿来 乙 的 人 口 学 论 文 一 读 , 发 现 论 文 出 现 很 多 。 他觉 得 很 奇 怪 。 二 是 圆 周 率 , 圆 周 与 直 径 之 比 , 怎 么 会和 人 口 学 扯 上 关 系 这 个 问 题 与 上 面 的 正 多 面 体问 题 说 明 了 同 样 的 一 点 , 即 基 础 科 学 , 特 别 是 纯 粹数 学 很 难 说 将 来 会 在 什 么 时 候 会 有 用 , 并 且 起 到很 重 要 的 作 用 。 如 果 要 求 基 础 科 学 立 刻 就 要 有 应用 , 那 是 太 短 视 了 。数 学 家 经 常 在 家 里 想 问
6、题 , 想 出 来 的 东 西 为什 么 会 有 用 我 想 , 主 要 的 原 因 就 是 它 的 基 础 非 常简 单 , 又 十 分 坚 固 , 它 的 结 果 是 根 据 逻 辑 推 理 得 出来 的 , 所 以 完 全 可 靠 。 逻 辑 推 理 比 实 验 证 实 所 获 的结 果 要 更 为 可 靠 些 。 数 学 由 于 它 的 逻 辑 可 靠 性 , 因而 是 一 门 有 坚 实 根 底 的 学 问 , 这 是 数 学 有 用 的 一种 解 释 。还 有 一 个 问 题 是 , 为 什 么 许 多 不 同 的 学 科 往往 会 用 到 相 同 的 数 学 。 这 也 是 弄
7、不 清 楚 的 问 题 。 一种 解 释 是 好 的 数 学 太 少 。 数 学 要 讲 应 用 , 就 往 往 归结 到 那 几 种 特 别 好 的 数 学 , 这 种 好 数 学 也 不 多 。关 键 是 培 养 人 才我 的 题 目 是 讲 世 纪 的 数 学 , 也 就 是 要 讲 中国 的 数 学 该 怎 么 发 展 , 如 何 使 中 国 数 学 在 世 纪占 有 若 干 方 面 的 优 势 。 办 法 说 来 很 简 单 , 就 是 要 培养 人 才 , 找 有 能 力 的 人 来 做 数 学 , 使 优 秀 的 年 青 人在 数 学 上 获 得 发 展 。 具 体 一 些 讲
8、, 就 是 要 在 国 内 办十 个 够 世 界 水 平 的 、 第 一 流 的 数 学 研 究 院 。 中 国 这么 大 , 不 仅 北 京 要 有 , 别 的 地 方 也 应 该 办 。至 于 什 么 叫 够 水 平 , 第 一 流 , 这 并 没 有 严 格 的定 义 。 我 只 能 说 南 开 数 学 所 不 够 水 平 , 要 达 到 世 界水 平 还 需 要 很 多 的 努 力 ,中 国 科 学 的 根 子 必 须 在 中 国 。 中 国 科 学 技 术在 本 土 上 生 根 , 然 后 才 能 长 上 去 。 可 是 要 请 有 能 力的 人 来 做 数 学 很 不 容 易 。
9、我 从 年 开 始 组 建 南开 数 学 所 。 开 始 时 想 , 请 有 能 力 的 人 来 所 工 作 就 是了 。 可 是 由 于 种 种 原 因 , 很 难 做 到 这 一 点 。 我 们 办第 一 流 的 数 学 研 究 所 就 要 有 第 一 流 的 数 学 家 。 有了 第 一 流 的 数 学 家 , 房 子 破 一 点 , 设 备 差 一 点 , 书也 找 不 到 , 研 究 所 仍 是 第 一 流 。 房 子 很 漂 亮 , 书 很多 , 也 有 很 贵 的 计 算 机 , 如 果 没 有 人 来 做 第 一 流 的工 作 , 又 有 什 么 用 处 我 看 到 这 种 情
10、 形 , 就 改 变 想法 , 努 力 训 练 自 己 的 年 青 人 , 培 养 自 己 的 数 学 家 ,送 他 们 出 国 学 习 , 到 世 界 各 地 , 请 最 好 的 数 学 家 给予 指 导 。我 很 高 兴 地 告 诉 大 家 , 这 些 措 施 已 经 开 始 出现 成 效 。 比 方 说 贺 正 需 , 他 到 美 国 加 州 大 学 圣 地 亚哥 分 校 跟 弗 里 德 曼 学 。 弗 里 德 曼 得 过 菲 尔 兹 奖 ,是 年 青 的 领 袖 人 物 。 他 亲 自 对 我 说 , 贺 正 需 是 他 最好 的 学 生 。 再 比 方 说 , 王 蜀 光 , 他 是
11、 王 宽 诚 基 金 会资 助 出 国 的 , 在 选 拔 考 试 中 获 第 一 名 。 我 介 绍 他 到英 国 牛 津 大 学 跟 , 唐 纳 森 学 习 。 唐 纳 森 是 英 国 当代 最 了 不 得 的 年 轻 数 学 家 。 我 想 他 大 概 还 不 到岁 , 现 已 成 为 牛 津 大 学 的 教 授 。 王 蜀 光 一 年 前 已 完成 了 博 士 论 文 。 另 一 位 王 荣 光 也 是 王 宽 诚 基 金 会资 助 出 国 的 , 他 到 美 国 哈 佛 大 学 跟 下 读博 士 学 位 , 今 年 也 做 完 了 论 文 。 还 有 一 位 是 张 伟平 , 他 的
12、 老 师 别 斯 缪 是 法 国 最 有 名 的年 轻 数 学 家 。 张 伟 平 在 巴 黎 只 用 两 年 时 间 完 成 了博 士 论 文 , 现 在 在 巴 黎 的做 博 士 后 。 我 还 可 以 提 到 一 些 人 , 这 里 不能 一 一 列 举 了 。 这 样 的 人 才 , 希 望 能 留 住 他 们 。做 什 么 , 我 说 微 分 几 何 , 他 立 刻 说 “ 它已 死 了 ” 。 但 就 在 战 后 , 微 分 几 何 成 了 主 流 数 学 。因 此 , 我 觉 得 做 数 学 的 人 , 有 可 能 找 到 现 在 并 非 主流 , 但 很 有 意 义 、 将 来
13、 很 有 希 望 的 方 向 。 主 流 方 向上 集 中 了 世 界 上 许 多 优 秀 人 物 , 投 人 了 大 量 的 经费 , 你 抢 不 过 他 们 , 赶 不 上 , 不 如 做 其 它 同 样 很 有意 义 的 工 作 。 我 希 望 中 国 数 学 在 某 些 方 面 能 够 生根 , 搞 得 特 别 好 , 具 有 自 己 的 特 色 。 这 在 历 史 上 也有 先 例 。 例 如 第 二 次 世 界 大 战 以 前 , 波 兰 就 搞 逻辑 、 点 集 拓 扑 。 他 们 根 据 一 些 简 单 公 设 推 出 许 多 结论 , 成 就 不 小 。 兄 外 如 芬 兰
14、, 在 复 变 函 数 论 上 取 得成 功 , 一 直 到 现 在 , 例 如 在 拟 共 形 映 照上 的 推 广 一 直 在 世 界 上 领先 。 因 为 他 们 做 的 工 作 , 别 的 国 家 不 做 , 他 们 就 拥有 该 领 域 内 世 界 上 最 强 的 人 物 , 我 还 可 以 举 出 更多 的 例 子 。办 好 个 数 学 研 究 院主 流 数 学 与 非 主 流 数 学数 学 有 很 多 特 点 。 比 如 做 数 学 不 需 要 很 多 设备 , 现 在 有 电 子 通 讯 一 , 要 的 资 料 很 容 易拿 到 。 别 的 学 科 必 须 依 赖 设 备 ,
15、大 家 争 分 夺 秒 在 一些 最 主 要 的 方 向 上 工 作 , 在 主 流 方 向 作 出 自 已 的贡 献 。 数 学 则 不 同 , 由 于 数 学 的 方 向 很 多 , 又 是 个人 的 学 问 , 不 一 定 大 家 都 集 中 做 主 流 数 学 。 我 倒 觉得 可 以 鼓 励 人 们 不 一 定 在 主 流 数 学 上 做 。 常 有 的情 形 是 现 在 不 是 主 流 , 过 几 年 却 成 为 主 流 了 。 这 里我 想 讲 讲 我 个 人 的 经 验 。 年 , 我 在 西 南 联 大教 书 , 应 邀 从 昆 明 到 美 国 普 林 斯 顿 高 等 研 究
16、 院 讲学 。 靠 近 普 林 斯 顿 有 一 个 小 城 叫 ,是 新 泽 西 州 立 大 学 所 在 地 。 我 月 到 普 林 斯 顿 不久 , 就 在 巳 , 参 加 美 国 数 学 会 的 暑 期年 会 。 由 于 近 , 我 也 去 听 听 演 讲 , 会 会 朋 友 。 有 一 次我 和 一 位 美 国 非 常 有 地 位 的 数 学 家 聊 天 , 他 问 我我 刚 才 提 到 要 办 十 个 够 水 平 的 数 学 研 究 院 ,怎 样 才 会 够 水 平 呢第 一 、 应 当 开 一 些 基 本 的 先 进 课 程 。 学 生 来了 , 要 给 他 们 基 本 训 练 ,
17、就 要 为 他 们 开 高 水 平 的课 。 所 谓 基 本 训 练 有 两 方 面 。 一 是 培 养 推 理 能 力 ,学 生 应 该 知 道 什 么 是 正 确 的 推 理 , 什 么 是 不 正 确的 推 理 , 必 须 保 证 每 步 都 正 确 , 不 能 急 于 得 结 果 。马 马 虎 虎 , 最 后 一 定 出 毛 病 。 二 是 要 知 道 一 些 数学 , 对 整 个 数 学 有 个 判 断 。 从 前 是 与 分 析 有 关 的 学科 较 重 要 。 世 纪 以 来 是 代 数 较 时 髦 , 群 论 、 群 表示 论 , 后 来 是 拓 扑 学 , 等 等 。 总 之
18、 , 好 的 研 究 中 心 应该 能 开 这 些 基 本 课 程 。 我 认 为 , 中 国 要 做 到 这 一 点是 不 困 难 的 。 无 非 是 两 条 一 是 讲 授 研 究 院 的 某 些课 程 , 给 予 奖 金 二 是 也 可 请 几 个 国 外 的 人 来 教 。这 样 , 数 学 研 究 院 会 有 一 个 完 整 的 课 程 系 统 。第 二 、 我 想 必 须 要 有 好 的 学 生 。 我 们 每 年 派 去参 加 国 际 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 的 中 学 生 都 很 不 错 。虽 然 中 学 里 数 学 念 得 好 将 来 不 一 定 都 研 究 数 学
19、,但 希 望 有 一 部 分 人 搞 数 学 , 而 且 能 有 成 就 。 昨 天 ,我 和 在 北 京 的 一 些 数 学 竞 赛 中 获 奖 的 学 生 见 面 ,谈 了 话 。 我 对 他 们 说 , 搞 数 学 的 人 将 来 会 有 大 的 前途 , 年 , 年 之 后 , 世 界 上 一 定 会 缺 乏 数 学 人才 。 现 在 的 年 青 人 不 愿 念 数 学 , 势 必 造 成 人 才 短缺 。 学 生 不 想 念 数 学 也 难 怪 , 因 为 数 学 很 难 , 又 没有 把 握 。 苦 读 多 年 之 后 , 往 往 离 成 为 数 学 家 还 很远 。 同 时 ,
20、又 有 许 多 因 素 在 争 夺 数 学 家 , 例 如 计 算机 。 做 一 个 好 的 计 算 机 软 件 , 需 要 很 高 的 才 能 , 很不 容 易 , 不 过 它 与 数 学 相 比 , 需 要 的 准 备 知 识 较少 。 搞 数 学 的 人 不 知 要 念 多 少 书 , 好 象 一 直 念 不完 。 这 样 , 有 能 力 的 人 就 转 到 计 算 机 领 域 去 了 。 也科 技 导 报有 一 些 数 学 博 士 , 毕 业 后 到 股 票 市 场 做 生 意 。 例 如预 测 股 票 市 场 的 变 化 , 写 个 计 算 机 程 序 , 以 供 决 策使 用 ,
21、其 收 入 比 大 学 教 授 高 得 多 了 。 因 此 , 数 学 人才 的 流 失 , 是 世 界 性 的 问 题 。相 比 之 下 , 中 国 的 情 况 反 而 较 为 乐 观 , 因 为 中国 的 人 才 多 , 流 失 一 些 还 可 以 再 培 养 。 我 们 应 采 取一 个 态 度 , 中 国 变 成 一 个 输 送 数 学 家 的 工 厂 。 出 去的 人 希 望 能 回 来 , 如 果 不 回 来 , 我 们 仍 然 继 续 送 。中 国 有 的 是 人 才 , 送 出 去 一 部 分 在 世 界 上 发 挥 影响 也 是 值 得 的 。 我 们 要 做 的 事 是 花
22、 不 多 的 钱 , 打 好基 础 , 开 出 好 的 课 。 基 础 搞 得 好 了 , 至 于 出 去 的 人回 来 不 回 来 可 以 变 得 次 要 些 。 这 是 我 的 初 步 想 法 。参 加 国 际 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 的 人 , 数 学 都 是 很 好的 , 如 果 他 们 进 大 学 数 学 系 , 我 建 议 立 刻 给 奖 学金 。 钱 很 有 限 , 但 效 果 很 大 , 对 别 人 也 是 一 种 鼓 励 。对 好 的 数 学 系 学 生 来 说 , 到 国 外 去 只 是 时 间 问 题 。国 内 做 得 很 好 的 话 , 到 了 国 外 不 必
23、做 研 究 生 , 可 以直 接 当 教 授 。 中 国 已 有 条 件 产 生 第 一 流 的 数 学 家 ,大 家 要 有 信 心 。培 养 学 生 我 主 张 流 动 。 世 纪 的 德 国 数 学 当然 是 世 界 第 一 。 德 国 的 大 学 生 可 以 到 任 何 大 学 去注 册 。 这 学 期 在 柏 林 听 的 课 , 下 学 期 到哥 廷 根 听 的 课 , 随 便 流 动 。 教 授 也 可 以 流动 。 例 如 柏 林 大 学 已 有 普 朗 克 爱 因 斯 坦 , 一个 理 论 物 理 学 家 在 柏 林 大 学 自 然 没 有 发 展 的 希望 , 就 不 妨 到
24、 别 的 学 校 去 创 业 。 我 希 望 中 国 的 学生 、 教 授 都 能 流 动 。 教 授 可 以 到 别 的 学 校 去 教 课 ,各 个 数 学 研 究 院 的 教 授 也 能 互 相 交 换 。选 择 好 数 学 研 究 的 方 向我 想 再 讲 点 数 学 。 刚 才 说 过 , 选 择 数 学 研 究 方向 并 不 一 定 要 跟 主 流 , 可 以 选 自 己 特 别 喜 欢 的 那些 分 支 。 不 过 , 一 个 数 学 家 应 当 了 解 什 么 是 好 的 数学 , 什 么 是 不 好 的 或 不 大 好 的 数 学 。 有 些 数 学 是 具有 开 创 性 的
25、 , 有 发 展 的 , 这 就 是 好 的 数 学 。 还 有 一些 数 学 也 蛮 有 意 思 , 但 渐 渐 变 成 一 种 游 戏 了 。 所 以选 择 好 的 数 学 研 究 方 向 是 很 重 要 的 。让 我 举 例 来 谈 谈 。 大 家 是 否 知 道 有 个 拿 破 仑定 理 定 理 是 说 任 给 一 个 三 角 形 , 各 边 上 各 作 等 边三 角 形 , 然 后 将 这 三 个 等 边 三 角 形 的 重 心 联 起 来 ,又 是 一 个 等 边 三 角 形 。 各 边 上 的 等 边 三 角 形 也 可朝 里 面 做 , 得 到 两 个 解 , 等 等 。 这
26、就 不 是 好 的 数 学 ,因 为 它 难 有 进 一 步 的 发 展 , 好 象 一 种 游 戏 。那 么 , 什 么 是 好 的 数 学 比 方 说 解 方 程 就 是 。搞 数 学 都 要 解 方 程 。 一 次 方 程 易 解 。 二 次 方 程 就 不同 。 一 有 实 数 解 。 “ 一 就 没 有 实 数解 。 后 来 就 加 进 复 数 , 讨 论 方 程 的 复 数 解 。 大 家 知道 的 代 数 基 本 定 理 就 是 次 代 数 方 程 必 有 复 数 解 。这 一 问 题 有 很 长 的 历 史 。 当 年 的 有 名 数 学 家 欧拉 一 就 考 虑 过 这 个
27、问 题 , 结 果 一 直 没有 证 出 来 。 后 来 还 是 高 斯 一 发 现 了 复数 与 拓 扑 有 关 系 , 有 了 新 的 理 解 。 因 为 模 等 于 的复 数 表 示 一 个 圆 周 , 在 这 圆 周 上 就 会 有 很 多 花 样 。第 一 个 证 明 代 数 基 本 定 理 的 是 高 斯 , 而 且 给 了 不止 一 个 证 明 。如 果 从 解 一 到 解 , , 那 就 进 到 研究 曲 线 , 当 然 也 可 能 没 有 解 , 一 个 零 点 也 没 有 。 于是 花 样 就 来 了 , 假 使 你 在 , 中 把 , 丫 都 理解 为 复 数 , 则 两
28、 个 复 数 相 当 于 四 维 实 空 间 , 这 就 很麻 烦 , 出 现 了 复 变 函 数 论 中 的 黎 曼 曲 面 。 你 要 用 黎曼 曲 面 来 表 示 这 个 函 数 , 求 解 原 来 的 方 程 , 一, 那 就 要 用 很 多 的 数 学 知 识 。 其 中 最 要 紧 的 概 念是 亏 格 。 你 把 , 的 解 看 成 曲 面 之后 , 那 么 曲 面 有 多 少 个 圈 , 球 面 、 环 面 等 等 的 花 样就 很 多 , 都 和 有 关 。此 外 , 也 可 以 有 另 外 的 花 样 。 如 假 定 , 一的 系 数 都 是 整 数 , 你 也 可 以 讨
29、 论 这 一 方 程 的 整 数解 , 这 个 问 题 就 很 难 了 。 直 到 前 几 年 才 发 现 这 一 方程 是 否 有 整 数 解 和 亏 格 有 密 切 关 系 。 当 一 时 ,有 无 穷 多 个 整 数 解 。 则 有 些 特 别 的 性 质 。 当时 , 德 国 的 伐 尔 廷 斯 】 在一 年 间 证 明 了 , 一 。 的 整 数 解 至 多为 有 限 个 。 这 一 结 果 和 费 马 定 理 有 关 。 那 是 说没 有 正 整 数 解 。 这 还 没 有 解 决 费马 问 题 , 但 是 前 进 了 一 大 步 。确 实 , 数 学 可 以 引 出 很 深 的
30、观 念 。 数 学 中 我 愿把 数 论 看 作 应 用 数 学 。 数 论 就 是 把 数 学 应 用 于 整数 性 质 的 研 究 。 我 想 数 学 中 有 两 个 很 重 要 的 数 学部 门 , 一 个 是 数 论 , 另 一 个 是 理 论 物 理 。 理 论 物 理也 是 用 很 多 数 学 的 部 门 。我 还 想 讲 一 点 , 比 方 说 最 近 一 个 时 期 最 热 闹的 数 学 , 即 当 前 的 主 流 数 学 是 什 么 刚 才 我 说 过 我并 不 喜 欢 大 家 都 去 搞 主 流 数 学 , 不 过 主 流 数 学 毕竟 是 重 要 的 。 所 谓 主 流
31、数 学 , 是 指 一 个 伟 大 的 数 学贡 献 , 深 刻 的 定 理 , 含 义 很 广 , 证 明 很 不 简 单 。 如 果在 当 前 选 一 个 这 样 的 贡 献 , 我 想 那 就 是一 指 数 定 理 。 是 英 国 皇 家 学 会 会 长 口这 个 指 数 定 理 可 看 成 是 上 面 所 谈 问 题 的 近 代 发展 , 即 将 代 数 方 程 、 黎 曼 曲 面 、 亏 格 理 论 等 从 低 维推 广 到 高 维 和 无 穷 维 。因 此 , 我 觉 得 数 学 研 究 不 但 是 很 深 、 很 难 、 很强 , 而 且 做 到 一 定 的 地 步 仍 然 维 持 一 个 整 体 。 到 现在 为 止 , 数 学 没 有 分 裂 为 好 几 块 , 依 旧 是 完 整 的 。尽 管 现 代 数 学 的 研 究 范 围 在 不 断 扩 大 , 有 些 观 念看 来 比 较 次 要 , 慢 慢 就 被 丢 掉 了 , 但 基 本 的 观 念 始终 在 维 持 着 。责 任 编 辑 蔡 德 诚旧
