1、概率论,授课教师 经济贸易学院统计系 张立新,欢迎各位同学对教学提出建议和意见 若学习中出现问题请及时与老师沟通E-Mail: Tel：13560083058（663058）,概率统计是研究随机现象数量规律的数学,学科, 理论严谨, 应用广泛, 发展迅速. 目前, 不,仅高等学校各专业都开设了这门课程, 而且从,上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为,本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真,学好这门不易学好又不得不学的重要课程.,前 言,国内有关经典著作,国外有关经典著作,概率论基础教程（原书第6版） A First Course in Probability (6th Edition)
2、 作者: （美）SHELDON ROSS 译者：赵选民 等 市场价: ￥42.00 出版社: 机械工业出版社 出版日期:2006-4-1 丛书: 华章数学译丛,概率论的起源,概率(或然率或几率) 随机事件出现的可能性的量度, 其起源与博弈问题有关.,公元1494年，意大利的帕奇欧里在一本有关计算技术的教科书里提出了一个问题是：一 场赌赛，胜六局才算赢，当两个赌徒一个胜5局，另一个胜2局时，中止因故赌赛，赌金该怎样分配才合理？当时给出的答案是5:2，后来人们对此表示怀疑，但没有一个人能提出合适的办法来。,本学科的应用,概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有,科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个
3、,部门中. 例如,1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预,测都与 概率论 紧密相关；,2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在,3. 寻求最佳生产方案要进行 实验设计 和,数据处理；,临床中应用，均需要用到 假设检验；,5.,过程 来描述, 例如同位素半衰期;,研究化学反应的时变率，要以 马尔可夫,4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制与发射,许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、,都离不开 可靠性估计;,购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率,模型来描述，其涉及到 的知识就是 排队论.,机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、,生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题 . -拉
4、普拉斯,我又转念，见日光之下，快跑的人未必能赢，力战的未必得胜，智慧的未必得粮食，明哲的未必得资财，灵巧的未必得喜悦，所临到众人的，是在乎当时的机会. -传道书,第一章 随机事件与概率,概率论是研究随机现象的规律性的数学 分支，为了对随机现象的有关问题作出明确 的数学描述，像其它数学学科一样，概率论 具有自己的严格的体系和结构。本章重点介绍概率论的两个基本概念： 随机事件和概率。掌握核心点：条件概率。,现 象,确定性(必然)现象,非确定性（随机）现象,概率论研究对象,何谓确定性现象呢？,？,一定条件下，必然发生的现象. 例如：1、每天早上太阳从东方升起2、水在标准大气压下的沸点为一百摄氏度,随
5、机现象：一定条件下，结果有可能发生有可能不发生，但是重复试验中具有某种规律性的现象。,例如：1购买彩票中彩。2今天上课提问。3参加考试及格。,11 随 机 事 件,一、随机现象,二、随机现象的统计规律性,三、样本空间,四、随机事件,五、事件的集合表示,六、事件间的关系与运算,七、随机事件的运算律,一、随机现象,投掷一枚硬币 我们不能事先预知将出现正面还是反面,观察与思考 下述试验的性质有什么不同？,广州市每天中午12点的气温.,必然事件,是在一定条件下必然出现的现象。,异性电菏放置一起,观察其关系;,是我们事先无法准确预知其结果的现象。,二、随机现象的统计规律性,人们把随机现象在大量重复出现时
6、所表现出来的量的规律性称为随机现象的统计规律性,由于随机现象的结果事先不能预知 初看起来 随机现象毫无规律可言 然而人们发现同一随机现象在大量重复出现时 其每种可能的结果出现的频率却具有稳定性 从而表明随机现象也有其固有的量的规律性,历史上投掷硬币试验的记录,投掷一枚均匀硬币时 事先无法准确预知将出现正面还是反面 但是 当人们重复投掷上千次时 却发现出现正面和反面的次数大致相等 即各自占总试验次数的比例(即频率)大致等于05 而且随着试验次数的增加 这一比例会更加稳定地靠近05 ,随机试验,对某事物特征进行观察, 统称试验.,若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示,随机试验的特点 1.重复性
7、：可在相同条件下重复进行； 2.预知性：试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.随机性：一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。,E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。,随机试验的例子,本书以后的试验都是随机试验.,三、样本空间,样本空间我们把随机试验的每一个可能结果称为一个样本点 而把所有样本点的
8、全体称为样本空间 样本空间通常用表示 中的点 即样本点 用表示,例11 在投掷一枚硬币观察其出现正面还是反面的试验中 有两个样本点 正面、反面 样本空间为正面 反面 记1“正面” 2“反面” 则样本空间可表示为1 2 ,样本空间举例,（其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度）,观察某地区每天的最高温度与最低温度,观察总机每天9:0010:00接到的电话次数,投一枚硬币3次，观察正面出现的次数,例： 给出一组随机试验及相应的样本空间,四、随机事件,如果一个事件在随机试验中可能发生也可能不发生 则这样的事件称为随机事件,随机事件,必然事件与不可能事件如果一个事件在随机试验中必然发生 则这样的事
9、件称为必然事件,如果一个事件在随机试验中一定不发生 则这样的事件称为不可能事件,基本事件,每次试验只能对应于一个惟一地可能结果,则这样的事件称为基本事件.,说明虽然必然事件与不可能事件是完全对立的 但它们有一个共同的特点 那就是在试验之前我们能够准确预知其是否发生 因而均不是随机事件 通常称之为确定性事件 概率论研究的是随机事件 但为方便起见常常将必然事件和不可能事件视为随机事件的极端情形 并将随机事件简称为事件 通常记作 A B ,举例: 投掷一枚骰子 “点数小于7”是必然事件 “点数不小于7”是不可能事件,提示,五、事件的集合表示,样本空间是样本点的全体 因而样本空间实际上是所有样本点构成
10、的集合 相应的每一样本点是该集合中的元素 一个事件是由具有该事件所要求的特征的那些可能结果所构成 所以一个事件对应于中具有相应特征的样本点(元素)构成的集合 它是的一个子集,任何一个事件 可以用样本空间的某一子集来表示 通常用符号A B 来记 某事件发生 就是属于该集合的某一样本点在试验中出现 ,事件的集合表示,要点： 随机试验的所有可能结果可以写成一个集合，记为. 也称为样本空间。 随机事件是试验中出现的某种结果，可以表示成为一些导致该事件发生的样本点集合。记为事件A，B 基本事件是每次试验的直接结果。可以表示某个样本点的单点集。一个基本事件就是一个样本点。记为。,练习1、向某一目标发射一发
11、炮弹，观察落点与目标的距离。,随机事件A=“距离目标不超过100米”,2、 从包含两件次品（记作,）和三,件正品（记作,）的五件产品,）和三,件正品（记作,）的五件产品,中，任取两件产品，观察次品个数。,=“没有抽到次品”,=“抽到一个次品”,=“抽到两个次品”,注意：它们都是样本空间,的子集。,注意两个特殊的随机事件：,由于,，所以样本空间,也是随机事件。,但每做一次随机试验，样本空间,必然发生，,又称样本空间,为必然事件。,由于,，所以空集,也是随机事件。,但每做一次随机试验，空集,一定不发生，,又称空集,为不可能事件。,说明,六、事件间的关系与运算,1 事件的包含,如果事件A发生必然导致
12、B发生 则称事件B包含事件A 或称事件A包含于事件B 或称A是B的子事件 记作BA或AB ,AB属于A的每一个样本点一定也属于B 对任意事件A 易知A ,说明,2 事件的相等如果事件A包含事件B 事件B也包含事件A 则称事件A与B相等(或等价) 记作AB,相等的两个事件总是同时发生或同时不发生 AB A与B所含的样本点完全相同,3 事件的并(或和)“事件A与B至少有一个发生”这一事件称作事件A与B的并(或和) 记作AB或AB,说明,事件AB是由A和B的样本点共同构成的事件 ,例17 在投掷一枚骰子的试验中 记A“点数为奇数” B“点数小于5” 则 AB1 2 3 4 5 ,说明,4 事件的交(
13、或积)“事件A和B都发生”这一事件称为事件A与B的交(或积) 记作AB(或AB),AB实际上是由A和B的公共样本点所构成,两个事件的并与交可以推广到有限个 或可数个事件的并与交,5 事件的差“事件A发生而B不发生”这一事件称为事件A与B的差 记作AB ,举例,在投掷一枚骰子的试验中 记A“点数为奇数” B“点数小于5” 则 AB5 ,显然有：,6 互不相容事件若事件A与B不可能同时发生 也就是说 AB是不可能事件 即AB 则称事件A与B是互不相容事件 ,举例 在投掷一枚骰子的试验中 “点数小于3”和“点数大于4”这两个事件是互不相容事件,基本事件是两两互不相容的。,说明,7 对立事件“事件A不
14、发生” 这一事件称为事件A的对立事件 记作A,事件对立与互斥的关系：,两个互为对立的事件一定是互斥事件；反之，互斥事件不一定是对立事件。 对立 互斥，而互斥 对立。互斥并不一定对立。 对立概念只适用于两个事件。 互斥的概念适用于多个事件。,要点,8 有限个或可数个事件的并与交 ,设有n个事件A1 A2 An 则称 “A1 A2 An至少有一个发生” 这一事件为事件A1 A2 An的并 记作,称 “A1 A2 An都发生” 这一事件为事件A1 A2 An的交 记作,9 完备事件组,举例,显然 A与A构成一个完备事件组 ,设A1 A2 An 是有限或可数个事件 如果其满足 (1) AiAj ij
15、i j1 2 ,则称A1 A2 An 是一个完备事件组 ,例17 在投掷一枚骰子的试验中 记A“点数为奇数” B“点数小于5” C“点数小于3” D“点数大于4” ,则 AB,1 2 3 4 5,AB,1 3 ,AB,5,CD,例18 考察某一位同学在一次数学考试中的成绩 分别用A B C D P F表示下列各事件(括号中表示成绩所处的范围)A优秀(90 100) D及格(60 70) B良好(80 90) P通过(60 100) C中等(70 80) F未通过(0 60) 则 A B C D F是两两不相容事件 P与F是互为对立的事件 即有PF A B C D均为P的子事件 且有PABCD,
16、七、随机事件的运算律,1 关于求和运算(1) ABBA (交换律)(2) (AB)CA(BC)ABC (结合律) 2 关于求交运算(1) ABBA (交换律)(2) (AB)CA(BC)ABC (结合律) 3 关于求和与求交运算的混合(1) A(BC)(AB)(AC) (第一分配律)(2) A(BC)(AB)(AC) (第二分配律),4 关于求对立事件的运算,5 关于和及交事件的对立事件,运算顺序： 逆交并差，括号优先,摩根定律,B,C,A,C,分配律 图 示,A,1.设事件A=甲种产品畅销，乙种产品滞销， 则A的对立事件为（ ）甲种产品滞销，乙种产品畅销；甲、乙两种产品均畅销；甲种产品滞销；
17、甲种产品滞销或者乙种产品畅销。2.设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说明下列各对事件间的关系A=|x-a|,B=x-a(0）A=x20，B=x20A=x22，B=x19,课堂练习,A与B对立,A与B互斥,3、在图书馆中随意抽取一本书， 随机事件 A表示数学书B表示中文书C表示平装书,则,表示抽取的是精装中文版数学书，,表示精装书都是中文书，,表示非数学书都是中文版的书，且中文版的书都是非数学书。,4、设A，B，C是样本空间中的三个随机事件，试用A，B，C表示下列事件： （1）A发生且B与C至少有一个发生； （2）A与B都发生而C不发生； （3）A，B，C恰有一个发生； （4）A，B，C中不多于一个发生； （5）A，B，C不都发生； （6）A，B，C中至少有两个发生。,数学之所以有生命力在于它有趣， 数学之所以有趣就在于它对思维的启迪,结束语,
