1、 数学家思想文库之三 数学的建筑 法 布尔巴基 等著 胡作玄等 编译 数学家思想文库之三 数学的建筑 布尔巴基等著 胡作玄等 编译 责任编辑 王建军 出版: 江苏教育出版社 (南京马家街31号, 邮政编码: 210009） 发行: 江苏省新华书店 照排: 南京展望照排印刷有限公司 印刷: 盐城市印刷厂 (地址: 盐城市纯化路29号, 邮政编码: 224001) 开本850 1168毫米 1 28 印张8.25 插页5 字数1792001999年3月第1版 1999年3月第1次印刷 印数1 2000册 ISBN 7-5343-3493-4G3178 定价: 8.00元 江苏教育版图书若有印刷装订
2、错误, 可向承印厂调换 3 编写说明编写说明 数学的历史是由数学家谱写的, 而数学家的灵魂则是数学思想。一个数学家的数学思想, 包括他所创造的数学理论和他对数学本质、意义与方法的认识等等, 对后人来说不营是一种宝贵的科学财富。数学的创造活动具有科学的与艺术的双重性质。作为科学, 它的发展具有继承性。也就是说, 每个数学家都是在前人思想的基础上前进；作为艺术, 它也要求研究者从先贤的思维范例中汲取创造灵感。因此, 无论从哪方面看, 研究分析历代杰出数学家的数学思想, 不只具有科学史的价值, 对现实的数学研究更有不容低估的意义。 了解数学家的数学思想, 最直接、可靠的途径当然是研读他们本人的著作与
3、论述。然而古往今来数学家们的言论著述浩若烟海, 且用不同文字写成, 查阅困难不言而喻。有鉴于此, 江苏教育出版社经与有关专家商议, 决定编纂数学家思想文库丛书, 精选数学史上有重要影响的数学家的代表性论述, 包括一些久传不衰、脍炙人口的名篇, 专人专集, 分批出版, 作为基本学术资料, 供数学、数学史和数学哲学等领域的学者查考、研读。丛书的内容侧重关于数学的对象、本质、意义与特点, 数学知识的来源与历史发展以及数学研究方法等一系列重大问题的论述, 也适当选录数学家们对自己创造的数学理论、概念与4 编写说明方法的评介说明或哲学概括, 但各数学家的专门著作与论文一般不在收载之列 (后者属于数学原著
4、选编范围)。丛书编辑贯彻少而精的原则, 同时避免断章取义, 力求以经济的篇幅, 较为全面、完整地反映列选数学家的典型思想与观点见解, 对不同流派则主兼收并蓄。另外在每集之首, 加有该集编者撰写的前言, 简介有关数学家的生平、成就与学术思想, 供读者参考。 本丛书的编纂不图速成急就, 而是根据研究进展, 成熟一集, 出版一集。首批拟先分别编辑出版阿蒂亚 (M. Atiyah)、哈代 (G. Hardy)、布尔巴基 (Bourbaki)、冯诺依曼 (J. von Neumann) 和外尔 (H. Weyl) 等五位现代数学家的论集, 以后逐步扩大。我们相信, 经过悉心积累, 必可蔚成系列, 并见其
5、功效。我们也殷切希望本丛书的编纂出版作为数学与数学史研究的一项基本建设, 能够获得学术界的关心与支持, 并诚恳欢迎广大读者与有关人士多提出批评、建议, 帮助我们共同出好这套丛书。 李文林 1995年1月28日于北京 5 序序 本文集数学的建筑集中介绍了本世纪最有影响的数学家集体布尔巴基学派。布尔巴基集体产生于本世纪30年代, 由法国一些年轻的数学家组成。主要奠基人有韦伊 (A. Weil, 1906 )、狄奥多涅 (J. Dieudonne, 1906 1992)、H. 嘉当 (H. Cartan, 1904 ) 、薛华荔 (C. Chevally, 1909 1984) 等人。这些人后来都成
6、为法国科学院院士, 属当代最有影响的世界著名数学家之列。 这个学派, 以布尔巴基名义发表的著作, 主要是多卷本的数学原理 (现已出版41分册); 而以布尔巴基名义发表的论文, 只有 “数学的建筑” 和 “数学研究者的数学基础” 能集中反映该学派对数学的基本观点。这些著作和论文, 成为我们研究布尔巴基学派的主要原始文献。 布尔巴基的奠基人的思想虽然彼此之间也有不少分歧, 但在一些基本观点上还是大同小异。因此, 作为布尔巴基原著的补充, 我们选入了韦伊和狄奥多涅对数学历史、现状和未来的精辟见解的论文4篇。时至今日, 对于布尔巴基的思想与活动仍有一些神秘, 局外人的介绍往往难得准确。因此, 本文集选
7、了几篇布尔巴基奠基者介绍布尔巴基的论文。6 序其中, “布尔巴基与当代数学” 是H. 嘉当于1958年1月在德国的演讲 (1980年发表), 属于系统介绍布尔巴基学派的第一篇文章; “布尔巴基的事业” 和 “近三十年来布尔巴基的工作” 是狄奥多涅于1968年10月在罗马尼亚和1982年10月在美国所做的学术讲演 (分别发表于1970年和1983年), 它们在内容上虽然有些重复, 但是由于介绍角度不同, 因而有助于我们更好地认识与了解布尔巴基学派的基本观点以及布尔巴基学派在数学史上的地位和作用。 最后, 我们附上一篇根据档案文献关于布尔巴基的数学史研究, 极有参考价值。 本文集共收入13篇译文,
8、 分成四个部分: 1. 布尔巴基原著 1 数学的建筑 2 数学研究者的数学基础 2. 布尔巴基论数学 3 数学的未来 (韦伊) 4 数学史: Why and How (韦伊) 5 数学家与数学发展 (狄奥多涅) 6 纯粹数学的当前趋势 (狄奥多涅) 3. 布尔巴基论布尔巴基 7 布尔巴基与当代数学 (H. 嘉当) 7 序8 布尔巴基的事业 (狄奥多涅) 9 近三十年来布尔巴基的工作 (狄奥多涅) l0 布尔巴基的数学哲学 (狄奥多涅) 11 尼古拉布尔巴基数学家集体克劳德薛华荔的一次访问记 (D. 葛杰) 12 孟德尔布洛衣 (Mandelbrojt) 回忆片断 (节录) 4. 对布尔巴基的研
9、究 13 巴黎的一家咖啡馆和布尔巴基首要人物的十次聚会 (1934 1935) 其中9篇译文原载中国科学院自然辩证法通讯杂志社编辑出版的科学与哲学丛刊, 其中 5 原载1979年第5辑60 80页, 4 原载1981年第6 7辑142 154, 141页, 1 2 7 8 9 原载1984年第3辑3 86页, 10 3 原载1984年第4辑134 146, 133页。另有一篇 6 原载数学史译文集130 143页, 上海科学技术出版社, 1981版。其余两篇及一篇节录原载中国科学院数学研究所编辑出版的数学译林: 11 原载5卷4期 (1986) 341 346页, 12 原载11卷2期 (19
10、92) 143 145页, 13 原载13卷3期 (1994) 234 245页。我们感谢原刊的支持, 对于译文除了统一译名及明显错误之外基本未动。 作为本文集的编者和大部分文章的译者, 对于布尔巴基福音的传播者已故的狄奥多涅教授表示深切的敬意与怀念, 同时感谢他寄给编者的资料。参加本书译校的还有 (按出现顺序) 沈永欢、关肇直、苏大军、李文林、苏虹、余家荣、江嘉禾、沈信耀等先8 序生, 感谢他们的合作。 本书的人名索引是河北师范大学邓明立副教授花费很长时间编出的, 他还参与本书校对和统一译名的工作, 对于他的辛勤劳动, 我们表示深切的感谢。 本书的出版当感谢江苏教育出版社以及责任编辑王建军同
11、志的不懈努力, 没有他们, 这本书是难以问世的。 胡作玄 1996年12月 9 目录 编写说明 3 序 5 引言 11 布尔巴基原著 1 数学的建筑 . 31 2 数学研究者的数学基础 . 48 布尔巴基论数学 3 数学的未来 . 63 4 数学史: Why and How 81 5 数学家与数学发展 . 95 6 纯粹数学的当前趋势 . 116 布尔巴基论布尔巴基 7 布尔巴基与当代数学 . 146 10 8 布尔巴基的事业 . 163 9 近三十年来布尔巴基的工作 181 10 布尔巴基的数学哲学 198 11 尼古拉布尔巴基数学家集体 克劳德薛华荔的一次访问记 . 212 12 S. 孟
12、德尔布洛衣回忆片断 224 对布尔巴基的研究 13 巴黎的一家咖啡馆和布尔巴基首要人物的十次聚会 (1934 1935) 230 布尔巴基原始文献 . 252 外国人名英汉对照 . 258 11 引言引言 多头的数学家 布尔巴基 从19世纪末到20世纪初, 数学经历了一个激烈变革的时期: 一方面是新学科、新领域层出不穷, 数学出现丰富多彩的局面; 另一方面是对统一性、严密性的追求, 现代数学大部分分支都来源于这个时期。 18世纪末, 数学的二级学科主要是几何以及分析和代数 (包括算术及数论), 整个19世纪是几何学的黄金时代, 多种多样的几何新学科产生出来, 如射影几何、非欧几何、高维几何、微
13、分几何、黎曼几何、位置分析 (即后来的组合拓扑学) 等等, 但它们仍然来源于经典数学学科, 同时分析领域也蓬勃发展起来。到19世纪末, 仍然是几何、代数和分析三大领域, 这就是布尔巴基成员的老师们所教授给他们的主要内容, 其中的重点是数学分析。这种传统的教学内容可追溯到柯西 (Augustin-Louis Cauchy, 1789 1857), 而到19世纪末20世纪初, 三部著名的分析教程是19世纪分析的标准著作, 也是学习数学 (不仅12 引言是分析, 也包含代数和几何内容) 的主要参考书。一部是若尔当 (Camille Jordan,1838 1922) 的分析教程 (Cours dan
14、alyse, 1882 1887), 一部是毕卡 (Emile Picard, 1856 1941) 的分析导论 (Traite danalyse 3卷, 1891 1896), 一部是古尔萨 (Edouard Goursat, 1858 1936) 的数学分析教程 (Cours danalyse mathematique 3卷, 1902 1917), 而正是古尔萨的教程启动了布尔巴基的活动。 在两个世纪之交, 法国数学发展逐步集中于函数论的方向之上。保莱尔(Emile Borel, 1871 1956)、拜尔 (Rene Baire, 1874 1932), 勒贝格 (Henri Lebe
15、sgue, 1875 1941) 的确从G. 康托尔 (Georg Cantor, 1845 1918) 的点集论出发, 建立了新的测度积分和实函数理论, 它们成为现代数学的基础, 但大部分法国数学家在伟大的全才数学家庞加莱 (Henri Poincare, 1854 1912) 去世之后, 主要集中于单复变函数论, 这也恰恰是大多数布尔巴基成员在20年代受教育时主要的研究方向。而第一次世界大战又夺去许多法国年轻人的生命, 法国的数学出现了一代人的断层。 在两次大战之间, 布尔巴基成员大都有机会到国外去, 这大大打开了他们的眼界, 这也是法国人第一次看到他们的传统的头号数学大国的地位即使没有完
16、全过去, 至少也岌岌可危。也就在这二三十年中, 外界的数学早已换了人间。 一是一批新的数学学科的出现, 先是萌芽于19世纪的四大领域: 肇源于高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777 1855) 和狄利克雷 (Peter Dirichlet, 1805 1859) 的代数数论, 主要由德国学派和意大利学派发展的代数几何, 由高斯和黎曼 (Bernhard Riemann, 1826 1866) 开创的微分流形的几何理论, 以及由李 (Sophus Lie, 1842 1899) 一手创立的13 引言李群理论, 它们都为数学提供了与过去完全不同的新的人工对象, 而且到现在也是活
17、跃发展的前沿领域。而在这个过程中, 布尔巴基成员都做出了决定性的贡献。 其次是集合论、数学基础与数理逻辑。前者主要是奠基于G. 康托尔的工作, 后者主要来源于英国人、德国人、意大利人的工作, 这时集合论逐步成为统一数学的基础, 特别是测度和积分理论、实函数论、拓扑空间理论以及泛函分析, 它们在20世纪最初十多年间已经形成。而拓扑空间理论主要集大成者是德国数学家豪斯道夫(Felix Hausdorff, 1868 1942), 他的集论大纲 (Grundzuge der Mengenlehre, 1914) 是一般拓扑学的经典著作; 泛函分析特别是拓扑向量空间的基础则来自希尔伯特David Hi
18、lbert, 1862 1943) 的积分方程的研究, 以及稍后波兰学派的工作。所有这些也是布尔巴基统一数学的基础的主要一部分。另一部分也是在这时产生的, 它们包含群论、域论、环与代数理论、格论等, 它们构成所谓抽象代数这一领域。 数学本身也在这时期有相应的扩张。首先是多复变函数论, 其次是拓扑群上的调和分析。20年代中随量子力学诞生相伴发展了算子理论及稍后的算子代数理论, 尤其重要的是组合拓扑学以及微分流形的拓扑学。在这些多学科的交叉领域, 布尔巴基成员也做出了自己的贡献。 二是法国数学早已不再是唯我独尊了, 大部分新数学都来自德国以及其他国家, 而更可悲的是, 法国数学家对这些新领域几乎一
19、无所知。例如: 德国: 代数数论、抽象代数、积分方程、算子理论、拓扑学; 意大利: 泛函分析、微分几何、代数几何; 14 引言俄国: 一般拓扑学、实函数论; 波兰: 一般拓扑学、泛函分析; 美国: 组合拓扑学、代数几何。 面对这种局面, 新生的法国一代开始觉醒, 而他们的首要任务是向其他国家首先是德国的数学学习, 加以消化, 然后进行独创, 形成自己的风格和学派。布尔巴基的成员正是在这种认识的基础上走到了一起。正如我国数学家吴文俊教授指出的: 布尔巴基是一种民族数学复兴运动。 布尔巴基这个名称是1935年夏天正式确定的, 它的核心人物是韦伊、狄奥多涅、H. 嘉当和薛华荔, 主要的组织者还有德尔
20、萨特 (Jean Delsarte, 1903 1968)。原籍波兰的孟德尔布洛衣 (Szolem Mandelbrojt, 1899 1983) 也是创始成员之一, 他于1939年离开了。法国大数学家勒瑞 (Jean Leray, 1906 ) 也是创始人, 但不久即退出。接替他的是埃瑞斯曼 (Charles Ehresmann, 1905 1979)。应该说, 他们是布尔巴基的主要成员。 创立布尔巴基的成员大致有相同的经历, 他们大都是高等师范学校毕业生, 毕业后有去国外游学的经历, 以及回国后在外省大学任职。 在高等师范学校读书三年的历届毕业生如下: 1922 1925 韦伊, 德尔萨特
21、 1923 1926 H. 嘉当 1924 1927 狄奥多涅, 埃瑞斯曼, 布雷洛 (MarcelBorlot, 1903 1986) 15 引言1925 1928 1926 1929 薛华荔 1924年, 美国洛克菲勒基金会支持国际教育计划, 使许多法国人有机会到国外游学。韦伊曾到意大利、德国、瑞典、瑞士、英国等地, 狄奥多涅去美国, 薛华荔去德国,H.嘉当主要同德国明斯特学派关系密切。 到30年代, 他们大都在外省任职: 韦伊和H. 嘉当在斯特拉斯堡任教, 德尔萨特和狄奥多涅在南锡大学任教。不过, 他们经常来巴黎, 因为巴黎毕竟还是法国的中心, 也是数学的中心。在巴黎有许多数学权威, 但
22、支持他们事业的主要来自阿达玛 (Jacques Hadamard, 1865 1963)。实际上, 早在1923年, 阿达玛就开始建立文献讨论班, 它不局限于某一学科, 而涉及全部数学, 通过每个人的报告来了解世界数学的发展动向, 这实际上是后来布尔巴基讨论班的原型。 到了1933/1934年度, 布尔巴基的奠基者们组织了自己的讨论班, 作为大家定期聚会的所在, 并请儒利雅 (Gaston Julia, 1893 1978) 作为他们的保护人, 因此讨论班以儒利雅讨论班命名。这时, 每年度讨论班有一个重点, 大家开始围绕当时最重要的题目比较深入地研究, 从中还得出一些新成果。这个讨论班一直继续
23、到1939年夏第二次世界大战爆发之前。各年度的主题为: 1933/1934 群和代数的代数和算术理论 1934/1935 希尔伯特空间及其应用 1935/1936 拓扑学 16 引言1936/1937 E. 嘉当的工作 1937/1938 代数函数论 1938/1939 到了30年代, 这些青年数学家大都已经各自得出了出色的结果, 但是, 他们仍然是一些无名小辈。他们先后在法国的大学里找到了教书的职位, 并保持经常的接触及交往, 定期到这个城市或那个城市会面, 形成了法国数学的“东部集团”。开始他们对于老的教本、当时通用的古尔萨的分析教程很不满意。这本书已经出版30多年了, 内容非常陈旧, 他
24、们在教学过程中发现了一系列问题, 比如说应该如何讲授斯托克斯 (Stokes) 定理。开始, 只是德尔萨特同韦伊在一起研究, 后来大家逐渐都产生了一种组织起来改革教学的愿望。 第一次大会在离克勒蒙一费朗不远的贝塞一昂一商德塞召开, 时间是1935年7月, 这可以看成是布尔巴基集体正式成立的日期。 第二次大会在1936年夏天召开, 地点是薛华荔母亲提供的在商德塞的别墅。第三次大会于1937年9月也是在这里开的。在这两次会议上, 布尔巴基的工作方法逐步确定下来, 一人起草, 集体讨论, 反反复复, 直到一致通过。这个过程在布尔巴基的奠基者论布尔巴基的文章中都有生动的论述。 第四次大会于1938年9
25、月在丢来菲特召开, H. 嘉当的父亲, 大数学家E. 嘉当 (Elie Cartan, 1869 1951) 也参加了, 参加的新人还有皮索 (C. Pisot) 和沙包迪 (C. Chabauty), 不过当时正在开臭名昭著的慕尼黑会议, 对国际局势的关注和不安使他们无心讨论数学。韦伊说, 这是一次完全没有任何实际工作的布尔巴基大会, 实际上这也是第二次大战前的17 引言最后一次大会。 就这样, 经过几年的含辛茹苦, 他们只完成了数学原理第一部分 “分析的基本结构” 的第一卷 “集合论” 中的一个分册 “结果”。这本还不到50页的小册子在1939年问世。 布尔巴基战前完成的书稿在1939年首
26、次出版 (集合论总结), 又于1940年出版一般拓扑学的第一、二章 (拓扑结构), 1942年出版第三、四章及代数学的第一章 (代数结构)。这四本书已经反映出布尔巴基精神, 而且是数学原理的基础, 它们与其他著作完全不同。不过这时正值大战, 这些书并没有引起足够的注意。 1939年9月第二次大战爆发之后, 薛华荔在美国无法返法, 1941年韦伊也逃到美国。1940年6月, 由于希特勒德国的长驱直人, 法国的一些大学跟着政府纷纷南迁。这时, 布尔巴基许多成员的所在地斯特拉斯堡也落人了德国人的手中。于是, 有很多布尔巴基成员先后跑到德国中部的克莱孟费朗去避难。他们是: 狄奥多涅, H. 嘉当、韦伊
27、、德尔萨特、埃瑞斯曼、德波塞尔 (De Possel)、孟德尔布洛衣、李希涅诺维奇 (A. Lichnerowicz, 1915 )、施瓦尔兹 (L. Schwartz, 1915 ) 等人, 简直可以说是一次布尔巴基的大集中。他们在这里仍然继续布尔巴基的事业, 并同大西洋彼岸的成员通过一定的渠道有着联系。在十分艰苦的条件下, 布尔巴基的成员在这个时期都做了重要的工作。 1945年第二次世界大战结束之后, 这些年届不惑的布尔巴基学员又开始重新聚首。1945年夏天韦伊回到巴黎, 当即召开临时大会, 其后每年就继续常规地召开大会。布尔巴基的著作数学原理加速出版, 从1947年到1959年又出了21
28、个分册, 连同以前出版18 引言的4个分册, 共25个分册, 基本上把“分析的基本结构”这部分出齐了。 布尔巴基的数学原理产生了巨大的影响, 他们的思想及写作风格成为青年人仿效的对象, 很快地 “布尔巴基的” 便成了一个专门的形容词。战后不到10年, 布尔巴基的名字就风靡了欧美数学界。 到50年代中期, 布尔巴基的奠基者们相继 “退休”, 实际上这是布尔巴基的一个规定, 而新鲜血液又不断补充进来。 在这期间施瓦尔兹、科肖尔 (Jean Louis Koszul, 1921 )、古德曼 (Roger Godement, 1921 )、萨姆埃尔 (Pierre Samuel, 1921 )、布吕埃
29、 (Franqois Bruhat, 1929 ) 也先后成为布尔巴基成员, 他们是第二代, 其中塞尔 (Jean Pierre Serre, 1926 ) 是最为出色的, 他可能是唯一没有通过考验而直接被接纳为正式成员的。大数学家托姆 (Rene Thom, 1923 ) 和格罗登迪克 (Alexandre Grothendieck, 1928 ) 也曾是布尔巴基的第三代成员。 第二次大战后的10年间, 是布尔巴基的全盛时期, 也是他们开始发挥巨大影响的时期; 布尔巴基的奠基者们还没有退出, 他们为布尔巴基绘出一个确定的形象。这时以布尔巴基命名的三大项工作全面展开。 一是以布尔巴基名义发表的
30、论文, 除了一些小论文之外, 最重要的两篇 “数学的建筑” 和 “数学研究者的数学基础” 分别在1948年和1949年发表, 它们实际上是布尔巴基学派的纲领和宣言, 是布尔巴基学派的原始文献。同时布尔巴基的主要成员也陆续发表他们对数学、数学史和数学发展的看法。 二是布尔巴基的主要著作数学原理在其主体部分 “分析的基本结构” 中, 把大部19 引言分数学建立在6个基础部分之上。实际上从50年代到80年代, 布尔巴基的数学原理的各个分册, 已经成为数学原始论文的主要引用标准著作, 这恰巧反映了布尔巴基为整个数学奠基的成就。 三是布尔巴基讨论班的建立。布尔巴基讨论班可以说是阿达玛数学文献讨论班的继续
31、和发展。讨论班的报告反映当前数学的重大进展, 并非只是简单的介绍, 而是经过报告者的消化、吸收甚至再创造, 对于掌握当前数学动向至关重要。最早的报告包括H.嘉当对科肖尔工作的报告和韦伊关于e函数基本定理的报告, 它们对后来的数学发展都有重大意义。一开始讨论班的报告打印散发, 到60年代中期, 布尔巴基讨论班从1948/1949年度到1967/1968年度的346个报告 (No. 1 No. 346) 经过编辑修订, 后由美国W. A. Benjamin, Inc出版, 共15卷。1968/1969年度到1980/1981年度的报告由Springer出版社出版, 其后的报告在法国专业数学杂志星(
32、Asterisque) 上出版。近半个世纪的布尔巴基讨论班的报告, 实际上是二次大战后数学发展的缩影, 是一份难得的文献。当然, 它反映布尔巴基学派对数学发展的历史与现状的看法, 比较集中于主流的学科, 侧重于数学的统一性。 在布尔巴基讨论班创设前后, 布尔巴基成员还组织了一些专题讨论班, 它们可以说是儒利雅讨论班的继续。这些讨论班是布尔巴基讨论班的重要补充, 在传播现代主流数学方面起着举足轻重的作用。其中最主要的是H. 嘉当讨论班: 由1948/1949年度 (主题是代数拓扑学) 到1963/1964年度 (主题是指标定理), 其中报告的重点是拓扑学及多复变函数论。这些报告完全改变了这两个领
33、域的面貌和它们在数学中的地位, 影响了整整一代数学家, 不仅法国数学, 而且欧洲及北美的数学家都从中受益, 而且也从另一方面推动了布20 引言尔巴基精神的散播。 另外一个是以薛华荔为首的李群和代数群的讨论班, 时间只有两年, 由1956/1957年度到1957/1958年度, 但对群论的未来发展起了很大作用。到了60年代施瓦尔兹的分析讨论班时间持续最久, 后来的数论、分析、概率论等讨论班, 均有布尔巴基成员的参与。可以说, 起源于德国的这种讨论班的形式在法国已是遍地生根了。 布尔巴基的衰落 布尔巴基的数学原理到50年代末已经出了20多分册, 其体系的主要部分基本具备, 在这个时候, 它的名声可
34、以说如日中天。由于以布尔巴基名义发表的论文和数学原理, 加上布尔巴基的奠基者们和第二代成员个人的贡献以及他们在数学界的影响, 他们的确把现代数学提高到了一个新的境界。以代数拓扑学、同调代数、微分拓扑学、微分几何学、多复变函数论、代数几何学、代数数论、李群和代数群理论、泛函分析等领域汇合在一起, 汇成现代数学的主流, 法国数学家在国际数学界的领袖地位也得到大家的公认。这由他们接连荣获国际数学大奖可见一斑。布尔巴基成员在学术界的地位也由原先的 “反对派” 变成跻身于权威机构的成员。他们陆续成为科学院院士、大学校长、理学院院长, 在科学界、教育界发挥重大影响。当然, 也有一些布尔巴基成员如薛华荔等对
35、此表示不满, 可是, 他们对这种学术界的权威机器也无可奈何。 1970年左右, 布尔巴基大体上走向自己的反面而趋于衰微。这时, 布尔巴基的奠基者21 引言们和第二代相继退出, 年轻一代的影响不能和老一代同日而语。数学本身也发生了巨大变化, 布尔巴基比较忽视的分析数学、概率论、应用数学、计算数学, 特别是理论物理、动力系统理论等等开始蓬勃发展, 而五六十年代的重点代数拓扑学、微分拓扑学、多复变函数论等相对平稳, 数学家的兴趣更集中于经典的、具体的问题, 而对于大的理论体系建设并不热衷; 数学研究更加趋于专业化、技术化。70年代到80年代中的数学显示出多样化的局面, 明显的表现是在近年很少有新兴学
36、科的兴起, 也无法与布尔巴基成立的时期相提并论。虽然, 到了80年代中期, 一种新的数学大统一的趋势又在形成, 不过, 这已经是在布尔巴基统一基础上更高级的统一。另一方面, 许多持经典的观点的数学家根本就否定这种统一, 也有相当多的人只热衷于具体的、极专门甚至琐碎的问题, 很难把它们融人主流数学当中。实际上, 第三代、第四代的布尔巴基也大都是某个领域的专家。从70年代起, 布尔巴基讨论班的报告也反映出这种专门化和技术化的趋向。在这种情况下, 70年代以来, 在论文中引用布尔巴基数学原理的人越来越少了。 布尔巴基在教育上的失败也是影响它衰落的原因之一。由于布尔巴基的影响, 在50年代到60年代出
37、现了所谓 “新教育” 运动, 把抽象数学, 特别是抽象代数的内容引人中学甚至小学的教科书当中。这种突然的变革不但使学生无法接受新教材, 就连教员都无法理解, 造成了整个数学教育的混乱。这是布尔巴基在教育方面的大失败。在高等数学教育方面, 就连布尔巴基的奠基者们后来编的教科书也破除了布尔巴基的形式体系而采用比较自然、具体、循序渐进的体系。从某种意义上来讲, 这是一种否定之否定, 是向老传统的回归。 22 引言这时, 布尔巴基著作的出版也出现问题。在布尔巴基建立之初, 出版业都掌握在学术权威的手中, 离经叛道的著作很难有出版的机会。这时韦伊正好有一位墨西哥朋友弗莱曼 (Freymann), 他娶了
38、著名出版商厄尔曼的孙女, 因此, 他继承这个事业, 从1929年发行当代科学与工程丛书, 并把布尔巴基的数学原理以分册形式纳人其中。顺便说一句, 后来维纳 (N. Wiener) 的控制论也是他首先答应出版的。的确只有这些有眼光的出版家才真正能创造出辉煌的业绩。可是他的接班人同布尔巴基产生了矛盾, 在1975年出版数学原理第38分册以后, 布尔巴基的著作出版戛然而止。到80年代, 出版转移到马松 (Masson) 出版社, 1980年到1983年出版了3个新的分册, 而对以前出版过的数学原理加以重印或重版。近几年, 连重版也很少见。虽然我们还不能说数学原理的出版就此告一段落, 不过, 它的影响
39、逐渐减弱的确是一个不争的事实。 布尔巴基的思想 虽说布尔巴基已趋于衰落, 但是其影响不能说已完全消失, 恰恰相反, 其思想中许多合理内核必将长期地传下去。 了解布尔巴基的思想, 最好是读布尔巴基的原著, 以及其主要成员对布尔巴基的阐释, 这里只是简单地概括一下。 (一) 数学的统一性。 19世纪以来, 特别是20世纪数学的领域空前的扩大, 新学科、新领域大量涌现, 数23 引言学呈现空前的多样化局面。它有些像人类面对的自然界中, 动物、植物、矿物所显示出的千姿百态、丰富多采的世界。一般人可以局限于特殊事物, 而科学家就是要理解它们之间的关系, 也就是自然界的统一性。现代数学家可以只去考虑自己某
40、一狭窄领域里的特殊问题, 而布尔巴基则要探索其间的共同点, 也就是数学的统一性。他们强调, 数学不仅仅是各个学科的简单总和, 数学各领域之间有着千丝万缕的联系, 而且各种问题的价值并不一样。最有价值的数学, 就是与各个领域有密切关系的问题, 而比较孤立的问题往往是意义不大的。 狄奥多涅曾把问题分成六大类: (1) 没有希望解决的问题。例如完全数问题、费尔马素数的判定问题、欧拉常数的无理性问题, 等等。它们之所以难于解决, 是由于不能发现同其他的数学理论的联系, 其本身也找不到结构, 这些往往是很孤立的问题, 在初等数论中特别多。 (2) 没有后代的问题。所考虑的问题有可能得到解决, 但是它的解
41、决对于处理其他任何问题没有什么帮助。许多组合问题就属于此类。这主要是它们比较孤立, 与其他数学理论没有联系。 (3) 产生方法的问题。有些组合问题及有关数论的问题, 其本身比较孤立, 它们的解决对于其他问题的解决帮助并不大, 特别是对于其他理论影响不大。但是, 为了解决原来的问题, 可以从中钻研出一些有用的技巧甚至方法, 利用它们可以处理相似的问题或者更困难的问题。例如解析数论中哥德巴赫 (C. Goldbach) 问题、孪生素数问题、超越数论问题以及有限群论中的一些问题。这些问题虽然比较孤立, 但是创造出的解决方法影响却不24 引言小。这些方法的本质以及内在的结构还值得进一步探索。 (4)
42、产生一般理论的问题。问题从特殊情形开始, 但是由于揭示出了难以预测的隐蔽结构的存在, 不仅解决了原来的问题, 而且提供了有力的一般工具, 可以解决许多不同领域的一批问题。从而, 问题本身发展成为生机勃勃的分支学科。代数拓扑学、李群理论、代数数论、代数几何学等主要问题都是属于这个类型。 (5) 日渐衰落的理论问题。正如希尔伯特所强调的, 一个理论的繁荣要依靠不断提出新的问题。一个理论一旦解决了最重要的问题 (从本身意义上来看或者从与其他数学分支的联系上来看) 之后, 往往就倾向于集中研究特殊的和孤立的问题。这些问题都很难, 而且前景往往也并不是十分美好。例如单复变函数论的某些分支。不变式理论就曾
43、经有过多次起落, 而主要是靠找到了同其他数学领域的联系才获得新生的。 (6) 平淡无聊的问题。由于理论中某些特选的问题幸运地碰到好的公理化, 而且得以发展出有用的技巧和方法, 就导致许多人没有明确的动机就任意地改变公理, 得出一些 “理论”, 或平行地推出一些没有什么实际内容的问题。这种为公理而公理的 “符号游戏”, 在数学中占有相当的比例。 布尔巴基强调的主要是第4类问题, 间或有少量的第3类问题。因此, 尽管布尔巴基所选择的主题内容庞杂、数量繁多, 很难掌握, 但是它们的特点在于其突出的统一性。其中, 没有一个理论的思想不在其他一些领域中反映出来。而且, 从布尔巴基讨论班上反映出来的也正是
44、他们时时注意的, 属于当前主流的理论。主流的特征在于各个理论与分支之间有着多种多样的相互联系而且彼此之间不断在施加新的相互影响。 25 引言一个理论不是永远处于主流而不再变动的。像非交换、非结合代数、一般拓扑学、 “抽象” 泛函分析等等, 都曾一度处于主流, 不过后来有意义的问题越来越少, 同其他分支也脱离得越来越远, 并且偏于一些过分专门的问题或者搞一些无源之水式的研究, 结果逐步偏离开了主流, 也就偏离开了布尔巴基的选择。 (二) 数学结构是数学统一性的基础。 在数学历史上, 有过多次统一数学的想法, 而布尔巴基的独创之点就是提出数学结构的概念, 并以此为数学统一的基础。 结构的基础是集合
45、。集合的概念较为简单, 它只涉及集合、元素以及元素属于集合这种简单关系。它不讨论元素和元素之间的关系, 而元素与元素之间以及元素与子集合、子集合与子集合之间的各种关系, 我们就称为结构, 它构成布尔巴基统一数学的基础。 定义数学结构的方法, 布尔巴基仿照他们的前辈希尔伯特、E. 诺特 (Emmy Noether, 1882 1935) 以及范德瓦尔登 (B. L. Van der Waerden, 1903 1996) 的抽象化、形式化及公理化的方法。通过这种方法, 各种结构的相似和差异以及它们的复杂程度都一目了然。它们可以构成研究具体的数学对象的基础, 通过结构的分析则可以看出各领域的亲缘关
46、系。 (三) 数学结构的分类。 布尔巴基提出, 在数学世界的中心, 是结构的几个主要类型: 代数结构 (群、环、域), 序结构 (偏序、全序), 拓扑结构 (领域、连续、极限、连通性、维数), 它们可以被称为母结构, 或者是核心结构、基础结构。每一种类型的结构又各有许多分支, 而且彼此间有一26 引言定关系, 它们都由公理来决定。更进一步, 两种或多种结构可以复合而成更复杂的结构, 每种结构都保持其独立性, 但是它们之间可以通过映射、运算等关系联结在一起, 复合结构最简单的例子是向量空间。此外还有多重结构, 如果一个集合同时具有两种或两种以上的结构, 这些结构之间有一定关系并且彼此相容, 就称
47、为一种多重结构。多重结构很多, 如偏序群、全序群、拓扑群、拓扑环、拓扑域、偏序拓扑空间、拓扑向量空间等等。 通过对结构的分析, 数学的各个分支也就在统一数学的框架之内, 形成一个严整的体系。狄奥多涅在纯粹数学大观: 布尔巴基的选择一书中, 把数学主流学科分为A、B、C、D四个等级。A级为当前最活跃的10门学科, 即代数拓扑学与微分拓扑学、微分几何学、微分方程、遍历理论、偏微分方程、非交换调和分析、自守形式与模形式、解析几何学、代数几何学、数论。这些都是数学的最上层建筑。在它们的下面是B级学科, 这些学科已比较成熟, 与其他学科目前的关系不像以前那么密切, 它们是: 同调代数学、李群、“抽象”
48、群、交换调和分析、冯诺伊曼 (Von Neumann) 代数、数理逻辑、概率论。C级则更为基本, 共包括有: 范畴与函子、交换代数学、算子的谱理论。A、B、C三级共20个学科, 它们被布尔巴基认为是当前数学中处于主流的学科。作为它们的基础的是D级, 共分6门: 集合论、一般代数学、一般拓扑学、古典分析、拓扑向量空间、积分。这6个 “基础” 学科正好是布尔巴基在数学原理中所整理的内容, 经过布尔巴基的整理, 它们大都已经定型, 布尔巴基认为其后的发展不会太大了。 (四) 数学的历史分析。 布尔巴基学派一个常为人忽视的方面, 就是只强调其结构分析一面, 而忽视其历史分27 引言析一面。布尔巴基在建
49、立数学的结构体系的同时, 也对数学历史进行了研究。数学原理大多数分册, 都有“历史注记”, 这些历史注记曾于1960年集中出版, 其后也多次再版。布尔巴基的成员, 特别是韦伊和狄奥多涅, 极为重视数学历史, 他们也有许多数学史著作行世。不仅如此, 他们对于数学现状和数学未来也有一些独到的见解, 在本文集中也收人了这方面的论述。 布尔巴基思想的传播 布尔巴基的名字逐渐为人所知还是在第二次世界大战结束之后, 他的著作数学原理得到了多方面的好评。这对于统一当时数学思想、推动结构数学的进步的确起了重要的作用。于是许多人就问, 谁是布尔巴基？有些人语焉不详地介绍一些情况, 布尔巴基成员往往借题发挥, 大开玩笑。认真介绍布尔巴基的还是布尔巴基的奠基者, 最早是H. 嘉当1958年的报告, 德尔
