1、 1 2016 考研 数学基础班讲义 高等数学 主讲 ：方浩 Email: 新浪微博： 方浩 Fellow 1 高等数学上册 （ I）经典概念 与 理论 一、 函数 的 基本理论 1.函数的几何特性 (1) 奇偶性：设函数 ()y f x 的定义域为 ( , ) ( 0)a a a,若对 任一 ( , )x a a ,都有 ()fx ()fx ,称 ()fx为 偶函数 ；若对 任一 ( , )x a a ,都有 ( ) ( )f x f x , ()fx为 奇函数 . (2) 周期性：对函数 ()y f x ,若存在常数 0T ,使得对定义域内的每 一个 ,xx T 仍在定义域内 ,且有 (
2、) ( )f x T f x 称函数 ()y f x 为 周期函数 ,T 称为 ()fx的 周期 . 【 注 】 ： 考研常见的奇偶函数与周期函数 常见的奇函数： 2110 , s i n , t a n , , , a r c s i n , a r c t a n ,nx x x x xx 常见的偶函数： 22 | |, | |, c o s , , , ,n x xC x x x e e 常见的周期函数： , s i n , c o s , t a n , c o t , | s i n |, | c o s |C x x x x x x (3) 有界性：设函数 ()y f x 在一个数
3、集 X 上有定义 ,若存在正数 M ,对于每个 xX ,都 有 | ( )|f x M 成立 ,则称 ()fx在 X 上有界；如果这样 M 不存在 ,就称函数 ()fx在 X 上无界 . (4) 单调性：设函数 )(xfy 在区间 I 上有定义 ,若对于 I 上任意两点 1x 与 2x 且 12xx 时 ,均有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x或 ,则称函数 )(xf 在区间 I 上单 调增加 (或 单调减少 ).如果把上述定义中的“ ”换成“ ”称为 单调不减 ,“ ”换成“ ”称为 单调不增 . 2.函数的构成方法与常见函数类 (1) 基本初等函数
4、 幂函数： uyx (uR 是常数 )； 2 指数函数： xya ( 0a 且 1a )； 对数函数： logayx ( 0a 且 1a , 特别当 ae 时 , 为 lnyx )； 三角函数： s i n , c o s , t a n , c o t , s e c , c s cy x y x y x y x y x y x ； 反三角函数： a r c s i n , a r c c o s , a r c t a n , c o ty x y x y x y a r c x . (2) 复合函数 ()y f u , ()ux 多 合 一 ( )y f x 在有意义的情况下 . ln(
5、)g x g x f xf x e (3) 初等函数 由常数和基本初等函数经过 有限次 的四则运算和有限次的复合运算构成的 ,并可以用一个式子表示的函数 ,称为初等函数 . (4) 分段函数 二、极限 的 概念与性质 1.极限的定义 (1) 数列极限 ( N 语言 ) lim nn xA 0, N (自然数 ),使得当 nN 时 ,有 |nxA. 注： 极限存在时称数列是收敛的 ,极限不存在时称数列是发散的 . (2) 当 x 时的函数极限 ( X 语言 ) lim ( )x f x A 0, 0X,使得当 |xX 时 ,有 | ( ) |f x A . (3) 当 0xx 时的函数极限 (
6、语言 ) 0lim ( )xxf x A 0, 0,使得当 00 | |xx 时 ,有 | ( ) |f x A . (4) 单侧极限 在 0x 点的左极限 : 0lim ( )xxf x A 0, 0,使得当 00 xx 时 ,有 | ( ) |f x A . 在 0x 点的右极限 : 3 0lim ( )xxf x A 0, 0,使得当 00 xx 时 ,有 | ( ) |f x A . (5) 极限存在的充要条件 0lim ( )xxf x A 00lim ( ) lim ( )x x x xf x f x A【例】21( ) lim 1 nn xfx x ,求1lim ( )x fx和
7、1lim ( )x fx. 2.极限的性质 (1) 唯一性 在自变量的一个变化过程中 ,若数列 (函数 )的极限存在 ,则此极限唯一 . (2) 有界性 (局部有界性 ) 如果数列收敛 ,则数列必有界；如果函数极限存在 ,则函数局部有 界 . (3) 保号性 (局部保号性 ) (4) 数列极限与子列极限的关系 (5) 函数极限与数列极限间的关系 【 注 】： 需要考生熟悉一些极限不存在的例子 1) 1 , 21 , 2 1n nmx nm ,极限 limnn x不存在 . 2) 0 1limsinx x,0 1limcosx x,limsinx x,limcosx x不存在 . 【例 】 设
8、nx 是数列 ,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若 lim nn xa,则 2 2 1lim lim nnnnx x a(B) 若2 2 1lim lim nnnnx x a, 则 lim nn xa(C) 若 lim nn xa,则 3 3 1lim lim nnnnx x a(D) 若3 3 1lim lim nnnnx x a,则 lim nn xa4 三、导数定义及意义 1.定义 设函数 ()y f x 在点 0x 的某个邻域内有定义 ,当自变量 x 在 0x 处取得增量 x (点 0xx仍在该邻域内 )时 ,相应地函数取得增量 00( ) ( )y f x x f x 如果 y
9、 与 x 之比当 0x时的极限存在 ,则称函数 xfy 在点 0x 处可导 ,并称这个极限为函数 xfy 在点 0x 处的导数 ,记为 0()fx ,即 x xfxxfxyxf xx 00000 limlim)( , 也可记作00| , |x x x xdyy dx 或0()|xxdf xdx . 2.单侧导数 如果 xfy 在点 0x 及其左侧邻域内有定义 ,当 x xfxxfx 000lim存在时 ,则称该 极限值为 fx在点 0x 处的左导数 ,记为 0()fx .当 000limxf x x f xx 存在时 ,则称该极限值为 fx在点 0x 处的右导数 ,记为 0()fx . 3.可
10、导的充要条件 0()fx 存在 左右导数存在且 00( ) ( )f x f x . 4.区间可导与导函数的概念 如果 ()y f x 在 (, )ab 的每一点都可导 ,称 ()y f x 在 (, )ab 内可导 ,其中 ()fx 为导函数 .如果 ()y f x 在 (, )ab 内可导且在 a 点右可导 ,在 b 点左可导 ,则称 ()y f x 在 , ab 可导 ,其中()fx 为导函数 . 5.高阶导数的定义 把可导 (导数 )的定义应用在导函数上就得到二阶可导 (导数 )的定义 ,依此类推就得到高阶可导 (导数 )的定义 . 高阶 导数的表示为： ( 4 ) ( 4 ) ( )
11、 ( )( ) , ( ) , ( ) , ( )nny f x y f x y f x y f x . 5 四 . 拉格朗日中值定理与泰勒中值定理 1.拉格朗日中值定理 若 ()fx满足条件： 1 在闭区间 , ab 上连续； 2 在开区间 (, )ab 内可导 , 则在开区间 (a,b)内至少存在一点 ,使得 )()()( fab afbf ,即 )()()( abfafbf , 或写成 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 )f b f a f a b a b a . 【推论 】 积分中值定理 ： 设 xf 在 ba, 上连续 ,则存在 ,ab ,使 .ba f x dx f b
12、a 2.泰勒中值定理 若 ()fx在 0x 及其附近有直到 1n 阶的导数 ,则 () 00 0 0 0()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!n nnfxf x f x f x x x x x R xn , 其中 ( 1 ) 10()( ) ( )( 1 ) !n nn fR x x xn , 在 x 与 0x 之间 ,这是带有拉格朗日余项的泰勒公式 . 注： 1. 若 0 0x ,上面的泰勒公式称为麦克劳林公式 . 2.如果条件变弱 , ()fx在 0x 及其附近有直到 n 阶的导数 ,这时我们可以得到带皮亚诺型余项的泰勒公式： () 00 0 0 0 0()( ) ( ) (
13、 ) ( ) ( ) ( ( ) )!n nnfxf x f x f x x x x x o x xn . 3.常用的麦克劳林公式 10 ,! ( 1) !kxnxnkxeexkn (0 1) . 6 211 2 11s i ns i n ( 1 ) ( 1 ) ,( 2 1 ) ! ( 2 1 ) !kn k n nkxxxxkn (0 1) . 2 1 2 20c o sc o s ( 1 ) ( 1 ) ,( 2 ) ! ( 2 2 ) !kn k n nkxxkn (0 1) . 1 111 ( 1 ) ( 1 )l n ( 1 ) ,( 1 ) ( 1 )knn knnkx x xk
14、 n x (0 1) . 111( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )( 1 ) 1 ( 1 ) ,! ( 1 ) !n k n nkknx x x xkn (0,1) . 4.泰勒公式的主要应用：建立函数与高阶导数的关系 . 3.罗尔定理 若 ()fx满足条件： 1 在闭区间 , ab 上连续； 2 在开区间 (, )ab 内可导； 3 ( ) ( )f a f b , 则在开区间 (a,b)内至少存在一点 ,使得 0)( f . 四 、定积分 的意义与性质 1.定积分的定义 设函数 ()fx 在 ,ab 上有界 , 在 ,ab 中任意插入若干个分点 0ax 1x 1nx nxb把区间
15、,ab 分成 n 个小区间 01,xx 12,xx 1, , , ,nnxx 各个小区间的长度依次为 1 1 0,x x x 2 2 1x x x , 1.n n nx x x 在每个小区间 1,iixx 上任取一点i 1i i ixx ,作函数值 ()if 与小区间长 ix 的乘积 ()iifx 1,2, ,in ,并作出和7 1 ( ) .niiiS f x记 12m a x , , , nx x x ,如果不论对 ,ab 怎样划分 ,也不论在小区间 1,iixx 上点 i 怎样选取 ,只要当 0 时 ,和 S 总趋于确定的极限 I ,那么称这个极限 I 为函数()fx在区间 ,ab 上的
16、定积分 (简称积分 ),记作 ( ) ,ba f x dx 即 0 1( ) l i m ( ) ,nbiia if x d x I f x 其中 ()fx叫做被积函数 , ()f xdx 叫做积分表达式 ,x 叫做积分变量 ,a 叫做积分下限 ,b 叫做积分上限 , ,ab 叫做积分区间 . 注： 定积分定义中的两个“任意” 分法任意 ,i 的取法任意 . 2.定积分的 几何意义 设 ()ba f xdx存在 ,则 ()ba f xdx的值等于由曲线 ()y f x 、直线 xa 、 xb 及 x 轴所围成曲边梯形面积的代数和 . 3.可积的条件 (1) 可积的必要条件：可积函数必有界 .
17、(2) 可积的充分条件： 1) 闭区间上的连续函数必可积 . 2) 若 ()fx在 , ab 上只有有限个第一类间断点则必可积 . 4.积分的性质 (1) baab dxxfdxxf. (2) 0.aa f x dx(3) 1 1 2 2 1 1 2 2 .b b ba a ak f x k f x d x k f x d x k f x d x (4) bccaba dxxfdxxfdxxf(c 也可以在 ba, 之外 ). (5) 设 ba , xgxf bxa ,则 .bbaaf x dx g x dx(6) 设 ba , Mxfm bxa ,则 .bam b a f x d x M b
18、 a 注： 结合定积分的几何意义 理解“估 值”性质 . 8 (7) 设 ba ,则 .bbaaf x dx f x dx(8) 定义：我们称 ba dxxfab 1为 xf 在 ba, 上的积分平均值 . (9) 奇偶函数的积分性质 0aa dxxf(f 奇函数 ). aaa dxxfdxxf 02(f 偶函数 ). (10) 周期函数的积分性质 设 xf 以 T 为周期 ,a 为常数 ,则 0 .a T Ta f x dx f x dx 二、微积分基本定理 1.变上限积分的函数 设 xf 在 ba, 上连续 ,则 xa dttfxF, bax , 称为变上限积分的函数 . 2.变上限积分函
19、数的性质 (1) 若 xf 在 ba, 上可积 ,则 xa dttfxF在 ba, 上连续 . (2) 若 xf 在 ba, 上连续 ,则 xa dttfxF在 ba, 上可导 ,且 xfxF . 注： 1) 推广形式：设 xx dttfxF 21, xx 21 , 可导 , xf 连续 ,则 2 2 1 1 .F x f x x f x x 2) 若 xf 连续 , ()Fx是 xf 的一个原函数 . 3) 有关函数的所有问题都可以对变限积分函数实行 . 4) xf 连续 ,变上限积分函数 xa dttfxF是 xf 的一个原函数 ,在对应区间上是连续的可导的 ,一个抽象函数要找其原函数首选
20、是变限积分 函数 . 3.牛顿一莱布尼兹公式 设 xf 在 ba, 上连续 , xF 为 xf 在 ba, 上任意一个原函数 ,则 .ba bf x d x F x F b F aa 9 高等数学上册 （ II） 经典 计算 与应用 1.极限的 计算 【方法 】 （ 1） 四则运算 法则 设 lim f x A , limg x B 则 1) lim f x g x A B 2) lim f x g x A B 3) lim fx Ag x B 0B （ 2） 无穷小 型 ：泰勒 展开， 合并 （ 3） 无穷 大型： 洛必达 ， 根据 速度 进行比较 （ 4） 幂指型 ： 若 lim 1, l
21、imf x g x ,则 1 1 l im 11l i m l i m 1 1 f x g x f x g xgx fxf x f x e . 【例 1】 当 0x 时，用“ ()ox”表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是 ( ) (A) 23( ) ( )x o x o x (B) 23( ) ( ) ( )o x o x o x (C) 2 2 2( ) ( ) ( )o x o x o x (D) 22( ) ( ) ( )o x o x o x 【例 2】 设 函数 ln (1 ) s i n f x x a x b x x， 3()g x kx ， 若 fx与 gx在 0x
22、 是等价 无穷小，求 ,abk 的值 . 10 【例 3】 当 0x 时， 1 co s co s 2 co s 3x x x 与 nax 为等价无穷小，求 an与 的值 . 【例 4】 求极 限 3301 ta n 1 s inlim ( c o s )2xxxxI x e x 【例 5】 求极限 224 1 l nl imc o sxx x x xIxx 【例 6】 求极限 211 0limxxeI x, 3 lim ,nn nI a ( 1)a【例 7】 323 1li m ( s i n c o s )2 xx xx xxx = 【例 8】 求 极限 2 0lim sin xxIx【例
23、 9】 求 极限 1 10ln(1 )lim xexxx 11 2.导数 的 概念 与应用 （ 1） 导数 的 概念 ， 理论证明 （ 2） 与 导数相关的等式 ， 不等式证明 （ 3） 变上限 积分求导运算 【例 1】 设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是：【 】 (A) 若0 ()limx fxx存在，则 f(0)=0. (B) 若0 ( ) ( )limx f x f xx 存在，则 f(0)=0. (C) 若0 ()limx fxx存在，则 (0)f 存在 . (D) 若0 ( ) ( )limx f x f xx 存在，则 (0)f 存 在 【例 2】 设 ()gx在
24、 0xx 的某邻域内有定义 , 0( ) ( )f x x x g x ,则 ()fx在 0xx 处可导的充要条件是 ( ) A 0lim( )xxgx存在 . B ()gx在 0xx 处连续 . C ()gx在 0xx 处可导 . D 0lim( )xxgx与0lim( )xxgx都存在 ,且反号 . 【例 3】 设函数 ( ) ( )ux,vx 可导，利用导数定义证明 u x v x = u ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ( x ) 【例 4】 设 ()fx是连续函数， （ I） 利用定义证明函数0( ) ( )xF x f t dt可导，且 ( ) ( )F x f
25、 x ； （ III） 当 ()fx是以 2 为周期的周期函数时，证明函数 xx f t dt f t dt220( ) ( ) （ III） 当 ()fx是以 2 为周期的周期函数时，证明函数 200( ) 2 ( ) ( )xG x f t d t x f t d t也是以 2为周期的周期函数 12 【例 5】 设 ()fx是连续函数， gx， hx为 可导函数，证明 （ 1） 0x f t dt为 连续函数 （ 2） 0gxF x f t dt 为 可导函数，且 F x f g x g x （ 3） gxhxG x f t dt 为 可导函数，且 G x f g x g x f h x
26、h x 【例 6】 计算2 2cosxxd x t dtdx 【例 7】 以下四个命题中，正确的是【 】 （ A） 若 )(xf 在（ 0， 1）内连续，则 )(xf 在（ 0， 1）内有界 . （ B）若 )(xf 在（ 0， 1）内连续，则 )(xf 在（ 0， 1）内有界 . （ C）若 )(xf 在（ 0， 1）内有界，则 )(xf 在（ 0， 1）内有界 . （ D） 若 )(xf 在（ 0， 1）内有界，则 )(xf 在（ 0， 1）内有界 . 【例 8】 设 2ebae , 证明 )(4lnln222 abeab . 【例 9】 设函数 ()fx连续，且 ,0)0( f 则存在
27、0 ，使得【 】 (A) ()fx在（ 0， ) 内单调增加 . （ B） ()fx在 )0,( 内单调 减少 . (C)对任意的 ),0( x 有 ( ) (0)f x f . (D) 对任意的 )0,( x 有 ( ) (0)f x f 【例 10】 证明：当 0 ab 时， s i n 2 c o s s i n 2 c o sb b b b a a a a 13 3. 定积分 的定义与性质 【例 1】 求 极限 22 2 2 221l i m 1 2 1 _ _ _ .n n n n nn 【例 2】 如图，连续函数 y=f(x)在区间 3， 2， 2， 3上的图形分别是直径为 1 的
28、上、下半圆周，在区间 2， 0， 0， 2的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设0( ) ( ) .xF x f t dt则下列结论正确的是【 】 (A) 3(3) ( 2)4FF . (B) 5(3) (2)4FF . (C) )2(43)3( FF . (D) )2(45)3( FF . 【例 3】 设 4484ta n( )d ,1 xM x xx 4482( s in l n ( 1 ) ) d ,N x x x x 444( ta n e c o s e c o s )d .xxP x x x x 则有 ( ) (A) .P N M (B) .N P M (C) .N M P (
29、D) .P M N 【例 4】 设 2 s in( ) e s in d ,x txF x t t 则 ()Fx ( ) (A)为正常数 . (B)为负常数 . (C)恒为零 . (D)不为常数 . 【例 5】 设 20 s in d ( 1, 2 , 3 )k xKI e x x k则有 ( ) (A) 1 2 3I I I (B) 3 2 1I I I (C) 2 3 1I I I (D) 213I I I 【例 6】 计算 定积分 40 ln 1 ta nI x dx 14 高等数学下册 （ I）经典概念 与 理论 一 、多元函数 极限 与偏导 1.多元函数的概念 (1) 定义 ：设 D
30、 是平面上的一个非空子集，称映射 RDf : 为定义在 D 上的 二元函数 ，记为),( yxfz ， Dyx ),( ，其中点集 D 称为函数的 定义域 ， 集合 ),(,),()( DyxyxfzzDf 称为函数的 值域 类似可定义三元函数 ( , , )u f x y z (2) 几何意义 二元函数 ),( yxfz 表示空间的曲面，例如 22 yxz 的图形为旋转抛物面；221 yxz 的图形为上半球面 2.二元函数的极限 (1) 定义 ：设 ( , )z f x y 在 00( , )xy 的去心邻域有定义，若对任意 0 ，存在 0 ，使得当22000 ( ) ( )x x y y
31、时，有 ( , )f x y A，则称 A 为 函 数 ),( yxf 当),(),( 00 yxyx 时的极限，记为 Ayxfyxyx ),(lim ),(),(00 注： 1) 二元函数的极限只有当动点 (, )xy 以任意方式趋于 00( , )xy 时 ( , )f xy 的极限都为 A 时才存在 2) 若可找到两条不同路径沿其 (, )xy 趋近于 00( , )xy 时 ( , )f xy 的极限不相等，则二元函数的极限不存在特别，当 00( , ) (0,0)xy 时选择 y kx ，若极限与 k 有关，则二元函数的极限不存在 3)即使沿着 y kx 函数的极限存在且相等也不能说
32、明二元函数的极限是存在的 3.多元函数的连续性 (1) 定义 ： 设二元函数 ( , )z f x y 在 00( , )xy 的邻域有定义，若 ),(),(lim 00),(),( 00 yxfyxfyxyx 15 则称函数 ),( yxf 在点 ),( 000 yxP 连续 如果函数 ),( yxf 在 D 的每一点 都连续，则称函数 ),( yxf 在 D 上连续，或者说 ),( yxf 是 D上的连续函数 (2) 多元函数在有界闭区域上的性质 1) 有界性 ：在有界闭区域 D 上连续的多元函数必定在 D 上有界 2) 最大值与最小值定理 ：在有界闭区域 D 上连续的多元函数必定在 D
33、上取得它的最大值和最小值 3) 介值定理 ：有界闭区域 D 上连续的多元函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值 (3) 二元初等函数在定义区域内连续 3.多元函数的偏导数 (1)定义： 设函数 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 的某邻域内有定义，如果 x yxfyxxfx ),(),(lim 00000 存在，则称此极限为函数 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 处对 x 的偏导数，记为 00( , )xf x y 即 0 0 0 000 0 ( , ) ( , )( , ) l i mx x f x x y f x yf x y x 类似，函数 ),( yxfz 在点 )
34、,( 00 yx 处对 y 的偏导数定义为 0 0 0 000 0 ( , ) ( , )( , ) l i my y f x y y f x yf x y y 如果函数在定义域内每点偏导数都存在，则称 ( , )xf xy ( , )yf xy 为偏导函数 (2) 偏导数的几何意义 (数一二 ) 由偏导数的定义， 00( , )xf x y 可看成函数 ),( 0yxfz 在 0x 处的导数，根据导数的几何意义， 00( , )xf x y 是曲线 0),(yy yxfz 在 ),( 000 yxM 处的切线对 x 轴的斜率同理， 00( , )yf x y 是曲线 0),(xx yxfz
35、在 ),( 000 yxM 处的切线对 y 轴的斜率 (3) 偏导数存在和连续的关系 偏导数存在推不出函数连续，函数连续也推不出偏导数存在 16 (4) 高阶偏导数 一般情况，函数 ),( yxfz 的两个偏导数 ( , )xf xy 和 ( , )yf xy 仍然是 x ,y 的函数因此，可以考虑 ( , )xf xy 和 ( , )yf xy 的偏导数， 即二阶偏导数，依次记为 22( ) ( , )xxzz f x yx x x ， 2) ( , )xyzz f x yy x x y 2( ) ( , )yxzz f x yx y y x ， 22( ) ( , )yyzz f x yy
36、 y y 若函数 ( , )z f x y 的两个二阶混合偏导数 22,zzx y y x 在某区域内均连续，则在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等 注： 二阶混合偏导数连续的时候一定要合并 (5) 复合函数求偏导 ( , ) , ( , ) , ( , )z f u v u u x y v v x y ， z 对 ,uv有连续偏导数， ,uv对 ,xy偏导数存在，则 ( , ) ( , )uvz u vf u v f u vx x x ， ( , ) ( , )uvz u vf u v f u vy y y 1) 链式法则图 2) 结构法：复合函数求偏导数等于若干项之和，其项数取决于中间变量
37、的个数，每一项是两个偏导数的乘积 二 ， 多元 函数可微 的 理论与性质 （ 1） 定义： 如果函数 ),( yxfz 在点 00( , )xy 处的全增量 0 0 0 0( , ) ( , )z f x x y y f x y 可表示为 )(oyBxAz ，其中 A 、 B 不依赖于 x 、 y 而仅与 0x 、 0y 有关，22 )()( yx ，则 称函数 ),( yxfz 在点 00( , )xy 可微分，且称 yBxA 称为函数),( yxfz 在点 00( , )xy 的全微分，记为 dz ，即 00( , )xydz A x B y 注： 如果函数 ),( yxfz 在点 00(
38、 , )xy 处可微分， 则函数 ),( yxfz 在点 00( , )xy 处连续 （ 2） 可微的必要条件 17 如果函数 ),( yxfz 在点 00( , )xy 可微分，则函数 ),( yxfz 在点 00( , )xy 的偏导数 xz 、yz存在，而且00 0000( , ) ( , ) ( , )xy xy xyzzd z d x d yxy （ 3） .可微的 充分条件 如果函数 ),( yxfz 的偏导数 ,zxyz在点 00( , )xy 连续，则函数在该点可微 （ 4） .可微的等价定义 函数 ),( yxfz 在点 00( , )xy 处的 ,zxyz存在，且0lim
39、0zzz x yxy ， 则 ),( yxfz 在 00( , )xy 可微 、 二 、 二阶 线性微分方程 理论 1.二阶 线性微分方程 基本 理论 ( ) ( ) ( )y p x y q x y f x 非齐次 ( ) ( ) 0y p x y q x y 齐次 1.若 12,yy是的解 ,则 1 1 2 2cy c y 也是的解 ,其中 12,cc为任意常数 2.若 12,yy是的两个线性无关的解 ( 12y cy ),则 1 1 2 2y c y c y是的通解 3.若 12,yy是的解 ,则 12yy 为的解 4.若 y 是的通解 , *y 是的特解 ,则 yy + *y 是的通解
40、 5.若 *1y 是 1( ) ( ) ( )y p x y q x y f x 的解， *2y 是 2( ) ( ) ( )y p x y q x y f x 的解，则*1y *2y 是 12( ) ( ) ( ) ( )y p x y q x y f x f x 的解 18 二、常系数线性微分方程求解 1.二阶常系数齐次线性微分方程 (1) 方程形式 0y ay by ， 其中 ,ab是常 数 (2) 解法 (特征方程法 ) 方程 2 0ab 称为它的特征方程，特征方程的根 12,称为它的特征根 1) 当 12 且均为实数时，微分方程的通解是 1212() xxy x C e C e； 2
41、) 当 12 时，微分方程的通解是 1112() xxy x C e C xe； 3) 当 1,2 i 时，微分方程的通解是 12( ) ( c o s s i n )xy x e C x C x 2.高于二阶的常系数齐次线性微分方程 (数一 ) 方法和二阶常系数齐次线性微分方程类似 3.二阶常系数非齐次线性微分方程 (1) 方程形式 ()y ay by f x (2) 解法： 由解的性质知，需找到对应齐次方程的通解和非齐方程的一个特解。下找特解： 1) 右端项为 ( ) ( )kx nf x e P x 的方程 2) 右端项为 ( ) coskxf x e x 的方程 3) 右端项为 ( )
42、 ( ) c o sx nf x e P x x 的方程 【 注 】 ： 数三只要求自由项为多项式函数、指数函数、正弦函数、余弦函数的 二阶常系数非齐次方程 。 19 高等数学下册 （ II）经典计算 与 应用 1.偏导 的概念与计算 （ 1） 固定点 的偏导 （ 2） 任意 点的偏导 （ 3） 复合 函数的偏导计算 ， 隐函数偏导的计算 【 例 1】 22 , ( , ) ( 0 , 0 )( , )0 , ( , ) ( 0 , 0 )xy xyxyf x yxy ，证明：( , ) (0,0)lim ( , )xy f x y不存在 【 例 2】 22 , ( , ) ( 0 , 0 )( , )0 , ( , ) ( 0 , 0 )xy xyf x y xyxy ，求( , ) (0,0)lim ( , )xy f x y 【 例 3】判断 22 , ( , ) ( 0 , 0 )( , )0 , ( , ) ( 0 ,
